番号とは何ですか?私たちの脳は数字をどのように認識するのでしょうか?

哲学的な疑問は徐々に科学的な疑問へと発展しました。まだ長い道のりが残っています。

徐子龍（東南大学）著

番号とは何ですか?私たちは数字をどのように認識するのでしょうか?

これは非常に単純で無邪気な質問のように思えます。しかし実際には、数学の哲学において、これは未解決のまま残っている最も根本的な問題です。古代ギリシャ時代から、哲学者たちはこの疑問を提起してきました。

この記事では、生物進化、心理学、神経科学、哲学など、さまざまな観点から、人間がこの質問に対する答えを見つけようと努力する様子を探ります。

スマートな「BMW」ハンス

人間は数字を認識し、計算を行うことができます。これは人間特有の能力なのでしょうか、それとも動物の祖先から遺伝的に私たちの脳に受け継がれた進化の遺産なのでしょうか?

数字を認識できるのは本当に人間だけなのでしょうか？動物も大丈夫ですか？

100年前のBMWハンスの物語を聞いてみましょう。

図 1. 数学教師ウィリアム フォン オステンと彼の馬「ハンス」 |出典: Wikipedia

1904 年、ドイツの数学教師ヴィルヘルム・フォン・オステンは、ベルリンの聴衆に、彼が調教した「賢いハンス」として知られるハンスという名の馬を紹介しました (図 1)。フォン・オステンが黒板に「2+3」のような方程式を書くと、ハンスは蹄を正確に5回叩いてから止めました。ハンスはより複雑な算術問題も解くことができます (図 2)。当時、これはサーカスの芸ではないかと疑う人もいました。 13人の著名な専門家と学者（哲学者と心理学者を含む）がこの問題を調査するために「ハンス委員会」を結成したが、最終的に詐欺は発見されなかった。

図 2. ハンスの数学的計算能力のテスト |出典: Wikipedia

その後、ドイツの心理学者オスカー・プフングスト（1874-1932）が再びハンスを調査した。フンストは、フォン・オステン自身が質問をしていないときでも馬が正しい答えを出したことを発見し、馬の所有者が不正行為をした可能性を排除した。しかし、重要なのは、質問者が答えを知っていて、馬が質問者を見ることができる場合にのみ、ハンスは正しい答えを得ることができるということです。質問者が結果を知らなかったり、馬から見えなかったりすると、ハンスは質問に答えることができません。したがって、フングストは、ハンスが実際には算数のやり方を知っていたのではなく、質問者の無意識の体の合図を使って質問に答えていたと結論付けました。ハンスさんはタップしながら、質問者や傍観者の姿勢、表情、呼吸パターンのわずかな変化を観察し、適切なタイミングでタップを止めます。これに基づいて、彼はいわゆる「ハンス効果」を提唱しました (図 3)。

図 3. 賢いハンスとそれほど賢くないハンス。左: 多くの観客が見ているとき、ハンスは数字を認識できます。右: 見物人がおらず、質問者が馬から見えていない場合、ハンスは課題を完了できません。出典: Wikipedia

このことから、ハンスマはそれほど賢くないことがわかります。数学的な計算は実際にはできず、周囲の人々の行動や表情を観察して反応するだけです。この観点から、動物には精神性があると推測できますが、動物に数の概念があることを証明することはできません。

心理学者ファンスターは論文[1]の中でこう書いている。

「数字は私たちの日常生活に欠かせません。しかし、ホモサピエンスになる前の私たちの祖先にとって、数字の認識は何の役にも立ったのでしょうか？動物は最初から数字を使っていたのでしょうか？進化適応の原理によれば、数字の認識が個体にとって有益（または少なくとも無害）である場合に限り、集団内で、時には大型動物の分類群で何百万年もの間、数字の認識が維持されたことは明らかです。」

生物進化の観点から見た人間のデジタル知覚

動物は生き残り、繁殖するために、性的に成熟して繁殖できるようになるまで、自らの生存を確保するための特定の戦略を採用する必要があります。一部の種では、子孫が十分長く生き残るように世話をすることも必要です。個人にとって、これは何よりもまず食べ物を見つけること、そして食べ物になることを避けること、雑然とした環境の中で正しい道を選ぶこと、そして日常の事柄で友人を助けることを意味します。

数字の認識は動物がこれらの目標を達成するのに役立ちます。研究によると、対数知覚は、動物が食物を見つける能力、獲物を捕まえる能力、捕食を避ける能力、生息地を移動する能力、社会的交流を維持する能力を高めることができることが示唆されています。

1. ナビゲーション

動物は適切なルートを見つけるためにランドマークを数えることがよくあります。たとえば、ミツバチは巣から餌までの距離を測定するために目印を頼りにしています。ミツバチの行動を研究する実験[2]では、研究者らは4つのテントを設置し、3つ目と4つ目のテントの間に砂糖水を入れた給餌器を設置しました。ミツバチはテントを目印として認識し、餌を見つけるためのナビゲーションの基準として使います。テントの数とテント間の距離を変えると、ミツバチの距離の判断に影響します。ミツバチが飛行した絶対距離を直接記録するのか、それとも目印（この場合はテント）を数えて距離を測るのかはまだ不明です。しかし、ランドマークの数は依然として重要な要素です。

2. 狩猟

普通のクモは孤独な動物ですが、クモを食べるクモは社会的な動物であり、一部の個体は比較的長い期間一緒に集まります。ケニアのクモPortia africana（Portia）がこれに該当し、このクモは岩や木の幹、建物の壁にテントのような絹の巣を作る小さなクモを捕食します。[3]ポーシャは狩りをするときに数字の手がかりをよく使います。典型的なシナリオを例に挙げてみましょう。2 匹のポーシャが獲物の巣の隣に落ち着きます。一人のポーシャが獲物を捕まえると、もう一人のポーシャも加わって一緒に食べます。ポーシャは、獲物であるクモの巣の近くに定住するかをどうやって決めるのでしょうか?基準となるのは、すでにそこに定住している仲間の数です。彼らは単独よりもペアで狩りをすることを好み、2人、3人、あるいはそれ以上の仲間と狩りをすることには満足しません。なぜなら、狩猟チームのメンバーが増えるほど、一部のメンバーが非協力的になる可能性が高くなり、結果として、大規模なグループでは小規模なグループよりも獲物を捕まえるのが難しくなるからです。

「2人の僧侶は飲み水を運んでいるが、3人の僧侶は飲み水を持っていない」という原理は、人間だけでなくクモにも理解されているようです。

3. 餌食にならないようにする

自分自身を守る能力を持たない動物は、多くの場合、社会的な仲間の大きな集団の中に避難所を求めます。大きな群れに加わることで、各個体が獲物になる可能性は減少します。したがって、多くの魚にとって、群れに加わることは捕食者に対する主な戦略です。群れが大きくなればなるほど、魚にとっては良いことです。 1 匹または数匹の魚が、なじみのない、潜在的に危険な環境に持ち込まれると、同じ種の他の魚が加わることがよくあります。魚の群れが 2 つある場合、通常は大きな群れに加わります。つまり、大きな群れと小さな群れを区別できるということです。したがって、生死に関わる状況では、同じ種の個体群を比較する能力が非常に重要になる場合があります。

4. 社会領土防衛

個人だけではリソースを守れない場合は、グループとグループの規模が重要になります。多くの動物は社会的な集団で生活し、侵入者から身を守るために協力します。縄張りを守ることは、ライバル集団との致命的な衝突を伴う場合が多いため、動物は攻撃するか撤退するかの判断の根拠として、自らの集団と敵集団の規模を評価できなければなりません。これは明らかに適応的価値のある能力です。グループ規模の評価は、明らかにグループ内の個人の数を認識することです。

「数は多ければ多いほど強い」という真理を動物たちも理解しています。

数の概念とその認知心理学的メカニズム

人間の日常生活では、数字や数値はいたるところに存在します。私たちが話し方を覚え始めた頃、両親は私たちに数字を認識すること、指で数えること、数字を読むことを教え始めました...では、数字の概念とは一体何なのでしょうか?数字は人間の心の中でどのように表現されるのでしょうか?

これらの質問に答えるには、まず数字にはどのような種類があるのか​​、その意味は何なのか、そして異なる種類間の違いは何かを理解する必要があります。

数の最初の概念は基数です。基数は量、つまり「どのくらい」という概念を表します。基数の基本的な機能は計数である[4]。

基数は日常生活では非常に一般的です。たとえば、フルーツバスケットにはマンゴーが 5 個入っており、口座残高は 12.34 元です。ここでの「5」と「12.34」は、それぞれマンゴーの数が少なすぎることとお金がいくらあるかを表しており、基数です。

数学の集合論では、集合内の要素の数は集合の基数と呼ばれます。

私たちがよく目にする 2 番目の種類の数概念は序数です。序数は、エンティティの順序、またはそれらのランク付けの順序を表します。たとえば、PlayerUnknown's Battlegrounds というゲームをプレイしているときに、運よく「チキン」が手に入ると、1 位も獲得できます。ここでの 1 は明らかに量ではなく順位を表しており、序数です。

3 番目のタイプの数値概念は、いわゆるラベルです。ラベルは数量や順位を示すものではなく、単に異なるオブジェクトを区別するためのマークとして数字を使用するものです。最も一般的な例としては、ID 番号、銀行口座番号、QQ 番号などがあります。

数の概念のいくつかの種類は、実際には、人々がさまざまな経験的特性を抽象化したことから始まります。

下の図は、上記の 3 つの数値概念の構造を完全に表したものです。

図4. 3つの経験的特性を表すために、3種類の数値概念がよく使用される[1]

では、人間の心は数字に関する情報をどのように表現し、処理するのでしょうか?

認知心理学には非常に重要な概念があります。それは「表象」です。表現とは、人間の脳内の外部現実世界の心理モデルまたは図、または人間の認知システムによる現実の対象の抽象化を意味します。

簡単な例を挙げると、家のテーブルの上に水の入ったコップがあり、それが水のコップであることが分かります。仕事中、誰かの机の上に水の入ったコップが置いてあるのを見ました。家にあるものとは違っていましたが、水の入ったコップだと分かりました。あるいは、店の棚にさまざまな水の入ったコップが並んでいるのを見ると、たとえそれが家にあるものと違っていても、私たちはそれが水の入ったコップだとわかっていて、椅子や花や猫と間違えることはありません。目を閉じると、何も見えなくても、カップのイメージが心の中に浮かびます。本質的に、私たちは心の中に水の入ったコップという概念を持っており、この概念は現実の具体的な物体から抽象化されています。

私たちが数字について持つ心的表現には、記号的なもの、非記号的なものという 2 つの基本的な種類があります。基数と序数には、どちらもこれら 2 つの表現があります。タグ型には記号表現のみがある[1]。

記号表現とは、数字の概念を表現するために記号（アラビア数字など）を使用することを指します[5]。非記号表現とは、記号を使用せず、実際の要素数を含む関連グラフィック (点の配列など) を通じて数値を直感的に表現することを指します。

数字の非記号表現は、集合の大きさの知覚的表現であり、実際に知覚される要素の数と表現される数との間の対応関係です。典型的な表現方法は、格子内の点など、空間内に散在する複数の要素を使用して、対応する数値を表すことです。この時点で、人々は点が表す量を瞬時にかつ並行して認識することができます。

動物の進化の観点から見ても、人間の発達の観点から見ても、非記号的な数の表現は原始的な表現方法です。動物には非象徴的な表現があり、幼児期の人間も同様です。数字の記号を一度も学んだことがない人は、非記号表現しか使えません[1]。

図 5 に 2 つのデジタル表現方法を示します。図 5(A) は、8 と 12 の 2 つの量をドットの数で示し、図 5(B) は、アラビア数字などの記号で量を直接示します。

図5. 数字の記号的表現と非記号的表現 [6] （A）非記号的表現(B) 象徴的な表現

昔から、乳児や幼児の数の認知発達過程が研究されてきました。研究者たちは、乳児の数の表現は3つの発達段階を経ると考えています[7]。最初の段階では、乳児や幼児は数字の音声パターンを記憶します。第二段階では、数字の書き方のパターンを覚え、それを発音と関連付けます。 3 番目の段階は象徴的表現段階と呼ばれ、この段階で乳児や幼児は数字の内部表現を形成します。

他の研究では、幼児期には数字を記号で表現するスキルが子供の数学のレベルに影響を与える主な要因であることが示されています。年齢が上がるにつれて、記号表現能力と非記号表現能力が数学の熟達度に与える影響は低下する傾向がある[6]。

もう一つ興味深い疑問があります。数値に対する人間の認識には、自動化された処理プロセスがあるのでしょうか?

この研究では、次のような結論に達しました。数字がグラフの形で提示される場合、その値が 4 未満 (つまり、1、2、3) の場合 (図 6 を参照)、人々はグラフの数字をほぼ瞬時に認識できます。このプロセスは、subitizing と呼ばれます。

図6. 非記号数が4未満の場合は瞬時に推定できる[6]

しかし、値が 4 以上の場合 (図 7 を参照)、即座に推定することはできず、1 つずつカウントすることしかできません。このカウント処理をカウントと呼びます。数を数えるときは、声に出して読むことも、心の中で黙って数えることもできます。つまり、この時点では、言語記号を使用して、グラフィックスがいくつあるかを把握する必要があります。

図7. 非記号数が4以上の場合、即座に推定することはできず、数えることしかできない[6]

図8. 非記号的数値表現が知覚反応時間と誤り率に与える影響 [6]

研究結果（図 8）は、非記号的な数値表現が人々の数字の認識に与える影響を示しています。グラフの横軸は数値、左のグラフの縦軸は反応時間、右のグラフの縦軸はエラー率を表しています。図から、値が大きくなるにつれて反応時間が長くなり、エラー率も増加することがわかります。値が 1、2、または 3 の場合、両方の変化は非常に小さくなります。値が 4 付近になると、両方の増加が非常に顕著になります。これは人々の注意力の持続時間に関係している可能性があります。

数概念の神経メカニズム

認知活動の生理学的基礎は神経系です。では、人間が数字の概念を認識し、数字を心理的に表すのは、どのような神経メカニズムによるのでしょうか?

この疑問に答えるために、認知神経科学の研究者はさまざまな非侵襲的技術を使用して、数学的課題中のニューロンの活動を測定します。今日最も一般的に使用されている方法の 1 つは、機能的磁気共鳴画像法 (fMRI) です。この技術は大脳皮質の活性化を検出できるため、研究者は被験者が特定の認知タスクを実行するときに脳のどの領域がより活発になるかを観察できます。明らかに、活動している脳の領域は、現在行われている認知活動と密接に関係している可能性があります。

2003年、フランスの研究チームはfMRIを使用して、被験者が数字を認識しているときの脳の活動をスキャンしました[8]。スキャン画像では、（図 8 に示すように）3 つの脳領域のニューロンが比較的活発であることが示されています。つまり、両側頭頂間溝の水平部分（赤色の領域）、両側後上頭頂葉（青色の領域）、および左脳の左角回（緑色の領域）です。言い換えれば、これらの領域はすべて、数の知覚の認知的/心理的プロセスに関与しています。

図9. 数知覚実験で活性化する脳領域[8]

写真からは、左脳の活性化領域が右脳の活性化領域よりもわずかに広いこともわかります。これは、人間が数字の概念を認識するときに、左脳が右脳よりも多くの神経資源を提供する可能性があることを示しています。

2004年、イタリアの研究チームは別のアプローチを用いて、数字の知覚に関与する脳領域を研究しました[9]。彼らは経頭蓋磁気刺激（TMS）技術を使用した。この実験装置は、頭蓋骨を通過して特定の脳領域に干渉し、神経活動を抑制し、「仮想的な損傷」を引き起こす磁場を生成することができる。この手順も非侵襲的です（図10）。

実験者は被験者に簡単な数字知覚課題を行うよう指示し、同時に磁場送信装置を使用して下頭頂小葉 (IPL) 領域 (図 9 の赤い領域に相当) に干渉しました。結果は、被験者の課題完了の正確性が低下し、反応時間が長くなったことを示しました。装置が取り外されると、被験者の問題解決の正確さはすぐに正常に戻り、反応速度も正常に戻りました。対照として、実験者は数字の知覚に関係のない脳領域にも装置を向けました。案の定、これらの脳領域への干渉は、被験者の数認識課題を完了する能力に影響を与えませんでした。

図 10. 経頭蓋磁気刺激装置と操作 |画像出典: インターネット

さらに、科学者たちは、足し算、引き算、掛け算、割り算の演算を行うときに活性化する脳の領域についても研究しました。これは、4つの異なる操作を実行するときに認知プロセスの基盤となる神経活動が異なるかどうかを理解するのに役立ちます[10]。

図11. 算術演算中の脳活動状態。上から下へ、加算、減算、乗算、除算です。 [10]

図11に実験結果を示します。計算を実行するときに、どの脳領域が活性化されるか (赤と黄色)、または抑制されるか (シアン) を色で示します。図からわかるように、掛け算と割り算をするときには、足し算と引き算よりもはるかに多くの脳領域が活性化されます。つまり、掛け算と割り算にはより多くの認知リソースが必要であり、言い換えれば、掛け算と割り算の方が難しいということです。この結果は私たちの常識と完全に一致しています。

同時に、各操作で左頭頂間溝 (左 IPS) 領域が活性化されることも観察できます。そのため、この領域はあらゆる操作に関与しており、計算に関わる非常に重要な脳領域であると考えられます。

fMRI や TMS 以外にも、脳波記録 (EEG)、脳磁図 (EMG)、近赤外線など、脳の活動を研究するための非侵襲的技術が数多くあります。また、これらの技術を使用して数の知覚や数学的能力を研究した神経科学の文献も膨大にあります。多くの質問にはまだ明確で統一された答えが得られておらず、多くの結論は暫定的です。上に挙げた研究例はほんの一部にすぎません。 「脳は数字をどのように認識するのか？」という疑問に答えるには、さらに調査を進める必要があります。

要約する

私たちが日々の生活の中で接する「数字」は、もともと存在し人間が発見したものなのでしょうか、それとも人間の発明の産物なのでしょうか。

『神は数学者か?』の著者マリオ・リヴィオが説明するように、この疑問は長い間数学者を悩ませてきました。

図 14. 最後の数学の問題 (Posts and Telecommunications Press、2019 年 9 月)

ある学派は実在論を信奉し、数字は人間の思考とは独立して存在し、人間がそれを発見しただけだと信じています。別のグループは反実在論を支持し、数字は私たちの認識から独立しているのではなく、私たちが作り出したものだと信じています。

おそらくこの問題は今後もしばらく論争を引き起こし続けるだろう。しかし、認知心理学と認知神経科学の発展により、人々は数字の認知の背後にある謎にますます近づいています。

参考文献

[1] ニーダー「数字を扱う脳：数字本能の生物学」 MITプレス、2019年。

[2] L. ChittkaとK. Geiger、「ミツバチはランドマークを数えることができるか？」Animal Behavior、vol. 49、いいえ。 1、159 ～ 164 ページ、1995 年、土井: https://doi.org/10.1016/0003-3472(95)80163-4。

[3] XJ NelsonとRR Jackson、「クモ食クモの特殊な捕食戦略における数値能力の役割」、Animal cognition、vol. 15、pp.699-710、2012年。

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinal_number

[5] https://dictionary.apa.org/symbolic-representation

[6] Y. Li、M. Zhang、Y. Chen、Z. Deng、X. Zhu、およびS. Yan、「子供の非記号的および記号的な数値表現と数学的能力との関連」、Frontiers in Psychology、vol. 2018年9月。

[7] E. Bialystok、「文字と数字の記号表現」、認知発達、vol. 7、アート。いいえ。 1992年3月。

[8] S. Dehaene、M. Piazza、P. Pinel、およびL. Cohen、「数字処理のための3つの頭頂回路」、認知神経心理学、vol. 20、いいえ。 3-6、487–506 ページ、2003 年、土井: 10.1080/02643290244000239。

[9] M. Sandrini、PM Rossini、C. Miniussi、「数の比較における下頭頂小葉の差異的関与：rTMS研究」、Neuropsychologia、vol. 42、いいえ。 14、pp. 1902–1909、2004、土井: https://doi.org/10.1016/j.neuropsychologia.2004.05.005。

[10] M. Rosenberg-Lee、TT Chang、CB Young、S. Wu、V. Menon、「ヒトの後頭頂皮質における4つの基本算術演算間の機能的分離：細胞構築マッピング研究」、Neuropsychologia、vol. 49、いいえ。 9、pp. 2592–2608、2011、土井: https://doi.org/10.1016/j.neuropsychologia.2011.04.035。

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制作：中国科学技術協会科学普及部

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