「単純な」未解決の数学の謎

数学について話してから長い時間が経ちました。今日は、気楽な話をしましょう。これは数学における未解決の謎です。このタイトルを聞くと、まずリーマン予想、ゴールドバッハ予想、ABC予想などを思い浮かべるかもしれません。これらはとても奥深いものです。電源を切って、Liu Fusky の自慢話を聞くのをやめたほうがいいでしょう。しかし、慌てる必要はありません。今日お話しする未解決の数学の謎は小学生でも理解できるものです。小学校を卒業していないのなら、忘れて、無理をしないでください。しかし、それらは単純に見えますが、その難しさはゴールドバッハ予想などの高度な問題に劣りません。数学の長い歴史を通じて、何世代にもわたる数学者たちがこれらの問題を解こうと最善を尽くしてきましたが、いまだに誰も解明できていません。大まかに整理したので、今日は簡単に一覧にしてみようと思います。

最初の問題は 3x+1 問題です。

この問題の要点は、任意の正の整数から始めて、その整数に対してこの操作を繰り返すことです。偶数の場合は 2 で割ります。奇数の場合は 3 を掛けて 1 を足します。それで、これだけ苦労した後、常に 4、2、1、4、2、1... のようなサイクルになるのでしょうか?

それはどういう意味ですか？例を見てみましょう。正の整数、たとえば偶数である 28 を取ります。これを 2 で割ると 14 となり、やはり偶数です。それをもう一度 2 で割ると 7 となり、これは奇数です。したがって、3×7+1 を使用すると、結果は 22 になります。操作を続けると、次のシーケンスが得られます。

11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2、1、4、2、1…そしてサイクルが始まります。

任意の正の整数を選択でき、同じ結果が得られると思います。これはすべての正の整数に当てはまりますか?この問題は非常に単純に思えますが、多くの数学者が関わってきました。この問題の名前の変遷からヒントを得ることができます。たとえば、この問題には、コラズ予想、シラキュース問題、角谷予想、ハッセアルゴリズム、ウラム問題など、さまざまな名前があります。後に、あまりにも混乱を招いたため、単に 3x+1 問題と呼ばれるようになりました。つまり、この質問に対する答えはまだありません。もし本当に例外を見つけたら、間違いなく数学の歴史に名を残すことになるでしょう。

2番目の質問は質問196です。

回文についての質問です。回文は非常に単純です。本は、181、343 など、前から読んでも後ろから読んでも同じです。では、正の整数をランダムに選び、それに逆順に書かれた数字を追​​加し続けると、最終的に必ず回文が得られますか?たとえば、69 を試してみましょう。

69+96=165;

165+561=726;

726+627=1353;

1353+3531=4884です。

はい、たった 4 つのステップで回文が得られます。自分で試してみてください。数字によっては多くの計算ステップが必要になる場合もありますが、最終的には回文が得られます。直感的に言えば、数字に正と負の値を加算し続けると、必ず回文になります。コンピューターが計算しても何も問題は見つかりません。しかし、例外があり、不可解なのは、この例外が数万や数十万桁の大きな数字ではなく、169 桁であるという点です。現在、数学者はコンピューターを使用して何億ものステップを計算していますが、まだ回文を生成していません。では、169 は回文を生成できるのでしょうか?そうでない場合、どのように証明できますか?もしそうなら、何ステップかかりますか？なぜそんなに特別なのでしょうか?この問題には今日まで答えがありません。

3 番目の問題は、ギルブレス予想です。

このアイデアの創始者はギルブレスという名の数学者でした。ある日、レストランで食事を待っている間、彼はナプキンを手に取って、そこに素数の列を書き留めました。

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31...

次に、隣接する 2 つの項の差を計算し、次のような結果を得ました。

1、2、2、4、2、4、2、4、6、2...

この操作を続行して、新しいシーケンスを取得します。

1、0、2、2、2、2、2、2、4...

このプロセスを繰り返します。

1、2、0、0、0、0、0、2...

時間があれば、作れますよ。最後に、数列の各行の最初の数字が 1 であるパターンを見つけます。この発見をした後、ギルブレス氏は非常に興味深いと感じ、2 人の学生にそれを調べるように依頼しました。案の定、兄弟が64419行目まで計算したとき、数列の始まりはまだ1でしたが、師匠と2人の弟子はそれをどう証明すればいいのか分かりませんでした。そこで 1958 年にギルブレスは数学の会議で彼の発見を発表し、ギルブレス予想が誕生しました。もちろん、それを信じない人も間違いなくいました。そこで 1993 年に、アンドリュー・オドリツコという人物が 3460 億行目までを一気に計算しましたが、それでも例外は見つかりませんでした。これは鉄則なのでしょうか？これはまだ証明されていません。

4 番目の問題はヒンマスター予想と呼ばれます。

今回使用するツールは、パスカルの三角形とも呼ばれる、おなじみのパスカルの三角形です。パスカルの三角形で最も多く現れる数字は当然1です。この数字は無限にあるので、1の他に最も多く現れる数字はどれでしょうか？数えてみると、6 は 3 回出てきますが、これはそれほど多くはありません。 10 は 4 回出現しますが、これも許容範囲です。では、どの数字が一番多いのでしょうか?現在の答えは 3003 で、パスカルの三角形に合計 8 回出現する数字です。もっと頻繁に現れる数字はありますか?今のところ、これは謎のままです。

パスカルの三角形

1971 年、数学者のデイビッド・ヒンマスターは、何らかの未知の方法により、パスカルの三角形に現れる正の整数の回数には上限があると提唱しました。上限はまだ不明ですが、8、10、または 12 である可能性があります。では、この上限は存在するのでしょうか。また、この上限とは何でしょうか。数学界はまだ答えを持っていません。はい、今日はこれで終わりです。