この問題を解決するために、有名な数学者はためらうことなく...

最近、サイクロイドという新しい曲線を学びました。ぜひ私と一緒に見に来てください。あなたもきっと驚くでしょう。

私たちが認識している形のほとんどは日常生活の中で時々現れるものであり、新しい形を発見するのは難しいと思います。私たちは小学校の頃から正方形、円、三角形を知っていて、その後双曲線、楕円、正弦曲線を学びましたが、この形を知らない人が多いです...それは私が最近発見した素晴らしい形、サイクロイドです。次は、この新しい形をあなたと一緒に学びます。

トロコイドとは何ですか?

Wikipedia では、サイクロイドは「円の端にある点が滑ることなく直線に沿って転がる軌跡」と定義されています。次のアニメーション画像を見ると、より直感的に理解できるかもしれません。

サイクロイドは、円がこの直線に沿って転がるときに境界上の点が進む赤い軌跡です。これはサイクロイドですか？簡単ですよね？あまり。

トロコイドの歴史

トロコイドは、誰がその形状を発見したかを含め、数学者の間で多くの論争を巻き起こすため、「幾何学者のヘレン」と呼ばれることもあります。

最も初期の候補者の一人は、ピタゴラスの伝記作家であるイアンブリコス（紀元前245年 - 325年）でした。他の候補者には、ドイツのニコラウス・クザーヌ（1401年 - 1464年）、フランスのシャルル・ド・ボヴェレス（1475年 - 1566年）、イタリアのガリレオ・ガリレイ（1564年 - 1642年）、フランスのマリン・メルセンヌ（1588年 - 1648年）など、多くの学者が含まれていました。しかし、誰が最初にサイクロイドを発見したのかは誰にも分かりません。

イアンブリコスは古代ギリシャの哲学者、トガの流行の先駆者、そして（おそらく）トロコイドの発見者であったが、トロコイドの名声のせいで、彼自身の大理石の胸像を持つことはできなかったようだ。

(出典: https://en.wikipedia.org/wiki/Iamblichus)

私を含め、ほとんどの人は、ガリレオがサイクロイドを初めて研究し、それに名前を付けた人物だということしか知らないと思います。彼はサイクロイドの下の領域を研究するために、金属板を使ってサイクロイドの模型まで作りました。おそらく、その当時に微積分が利用できていれば、もっと簡単だったでしょう。ちなみに、単一のサイクロイド線の下の面積の問題を最終的に解決したのは、水銀気圧計を発明したエヴァンジェリスタ・トリチェリでした。

時が経つにつれ、サイクロイドは、デカルト、フェルマー、パスカル、ニュートン、ライプニッツ、ロピタル、ベルヌーイ、オイラー、ラグランジュなど、数多くの有名な数学者の興味を惹きつけました。

彼らは糸車に関する競争や質問を作り出すことを楽しんでいるようで、最終的には相互攻撃や侮辱で終わる。

ブレーズ・パスカルは以前、サイクロイドの重心、面積、体積を求めるコンテストを創設し、賞金としてスペインの金貨を用意していた。残念ながら、3人の審査員は誰も勝者ではないと判断しました。ロンドンのセント・ポール大聖堂の設計者クリストファー・レン（1632-1723）は、サイクロイドの長さを計算するための証明を提出したが、これは競争の一部ではなかったものの、それでも賞賛に値する。数年後、裁判官は問題を解決したが、それを文書に記録していなかったと主張し、世論の争いを引き起こした。（少なくともレーンは自身の出版物を通じて正当な評価を得た。）

残念ながら、1696 年にヨハン・ベルヌーイが提案した挑戦も失敗に終わりましたが、これについては後ほど紹介します。

数学を使ってサイクロイドをより深く理解する

サイクロイドの歴史について理解できたので、皆さんはガリレオやレンの偉人たちと同様の幾何学に関する疑問を持つかもしれません。サイクロイドの下の面積はどれくらいでしょうか?サイクロイドの長さはどれくらいですか？サイクロイドはどのような形ですか?

幸いなことに、私たちには数学と発達したネットワークがあります。

次のパラメトリック方程式は、時間 (t) とともに前進する円上の点の x 座標と y 座標を表現できます。 x 座標と y 座標はサイクロイドの軌道を表します。 x と y は互いに独立しているので、次の 2 つの方程式があります。

x(t) = r(t−sin(t))

y(t) = r(1−cos(t))

これら 2 つの方程式をよりよく理解するために、t = π とします。このとき、x(π) = r ( π − sin(π) ) = r ( π − 0 ) = πr となります。円の円周は 2πr なので、この時点で円は半円を回転したことになります。この点の高さは y(π) = r ( 1 − cos(π) ) = r ( 1 + 1 ) = 2r であり、半径の2倍は、円上のこの点が1つの回転円の最高点に達することを示しています。

これら 2 つの方程式を使用して、微積分を使用してサイクロイドの長さと面積を計算できます。インターネットと以前の数学の知識の記憶の助けを借りて、私はさまざまな色のペンを使ってこのエレガントな証明を完成させました。

すべての円の問題と同様に、解決法は非常に明確です。単一のサイクロイドの下の面積は 3πr² です。驚くべきことに、ガリレオはサイクロイドの下の面積 (3πr²) と円の面積 (πr²) の比を 3:1 にかなり近づけました。しかも、それを昔ながらの金属縫いだけで実現したのです。サイクロイドの長さは 8r であり、これはライアンがずっと以前に計算したものと一致しており、そこには π の痕跡はありません。

この結果は非常に美しいと言えます。

物理学におけるサイクロイド

サイクロイドは見た目は良いが実用的ではないのでしょうか?サイクロイドは自然界に存在するのでしょうか？トロコイドは、幾何学的な類似物ほど一般的ではありませんが、自然界には不思議な形で存在しています。

1696 年にベルヌーイが著名な数学者たちに投げかけた質問に戻りましょう。

「

私、ヨハン・ベルヌーイから世界で最も優秀な数学者たちへ。

賢い人にとって、単純明快で挑戦的な問題ほど魅力的なものはなく、その解決によって有名になり不滅になれる可能性もある。パスカルやフェルマーなどの例に倣い、現代のトップクラスの数学者のスキルと知力を試す問題を提起することで、私も学界から感謝されることを期待していました。もし誰かが私の次の問題の解決策を提示してくれたら、私はその人を人前で褒めるつもりです。

その男性は、自分が自慢していることに気づいていなかった。たとえ「公の称賛」がスペインの金貨ほど魅力的に聞こえなかったとしても。それから彼は次のような質問をしました。

「

垂直空間に点 A と点 B があります。粒子は重力のみの影響を受け、A から B へ移動します。その軌道が最短時間で進む曲線はどれですか。

つまり、重力場のみの影響を受け、摩擦のない軌道（線分 AB は垂直ではない）上で高い地点 A から低い地点 B に移動する小さなボールがある場合、どのような軌道でボールを最短時間で移動できるでしょうか。

しかし、ベルヌーイが誤った方法を使って正しい結果を導き出し、その正しい導出を兄からコピーしたことを考えると、彼の「報酬」はもっと興味深いものになります。

ベルヌーイは国民に6か月以内に回答を提出するよう求めたが、何の返答も得られなかった。ライプニッツは提出期限を1年半に延長することを提案し、その間にニュートンは挑戦を完了した。

ニュートンによると、彼は1967年1月29日午後4時に王立造幣局から帰宅する途中、ヨハン・ベルヌーイからの手紙を受け取った。彼は一晩中研究し、翌日匿名で正解を電子メールで送ったが、その答えが非常に優れていて、非常に「ニュートン的」だったため、ベルヌーイはすぐに「この足跡を残したライオン」だと認識した。

ニュートンの一夜での解決は、ベルヌーイの2週間の記録を破った。ニュートンは手紙の中で、当時の数学者が好んで表現していた軽蔑の念を次のように付け加えた。「私は数学において外国人に絡め取られて面白がられるのは好きではない…」ニュートンは決して好感の持てる人物ではなく、不親切な人物だったと言える。

ニュートンは、サイクロイド数学者の中で最も冷酷な人物です。

（出典：https://whatculture.com/offbeat/10-times-well-loved-scientists-were-total-jerks?page=10）

ニュートンとベルヌーイによって解決された最速の経路は、ギリシャ語で「最短時間」を意味する言葉に由来する最速降下曲線と呼ばれます。この記事のトピックから推測できるように、このパスはサイクロイドの一部です。次のアニメーションは、この問題を説明するために実験を使用しています。

動的グラフ内の最短降下線は、重力により、高さの異なる 2 点間の最速降下経路となります。上図の中央の線と下図の赤い曲線が、ブラキストード曲線です。

自然界にあるいくつかの形状の特徴を認識することも非常に興味深いことです。

サイクロイドに関するもう一つのエピソードは、ギリシャ語の「同じ時間」に由来するトートクロン曲線です。この曲線上のどの位置にも小さなボールを置くことができ、最低点に到達するまでにかかる時間は同じです。このグラフは半サイクロイドから導出されます。次のアニメーションはこの曲線を示しています。

等時性降下曲線。サイクロイドのもう一つの興味深い形です。カーブ上のどこにボールを置いても、ボールが底に到達するまでにかかる時間は同じです。

サイクロイド振り子と呼ばれるものもあり、その頂点は 2 つのサイクロイド線の交点にあります。この振り子の線は 2 つのサイクロイド線に沿って曲がりますが、振り子が描く線は実際には別のサイクロイド線です。

サイクロイド振り子は、2 つのサイクロイドの間に別のサイクロイドを作成します。

円形のローリングホイールを使用して、さまざまな変更を行うこともできます。同じ円が直線的に前進する場合、円の内側または外側の軌道は、次の図に示すように、より湾曲した曲線または平坦な曲線になることがあります。

さまざまなサイクロイド曲線。

（出典：https://www.researchgate.net/figure/Cycloidal-motion-and-examples-of-cycloids-Cycloid-blue-prolate-cycloid-red-curtate_fig12_304707433）

次に、特定の図形の周りを回転する円やその他の図形で構成されるサイクロイドの族を見てみましょう。

任意の高さから物体を落下させることでサイクロイドを作成することもできます。物体の落下経路は地球に対して垂直な線になりますが、地球は回転する円であるため、落下経路はわずかに反転したサイクロイドになります (ただし、非常にわずかですが)。 ²

文学におけるサイクロイド

過去数世紀にわたって文学作品に時折登場するトロコイドは確かに注目に値するもので、すべてを列挙することはできませんが、ハーマン・メルヴィルの 1851 年の古典『白鯨』から 1 つ紹介します。

「

ペコッド号の左側の大釜の中で石鹸石がぐるぐる回っているとき、私は突然、サイクロイド線上を滑るすべての物体、私の場合は石鹸石、は、以前の位置に関係なく、幾何学的に一緒に落ちる運命にあるという事実を間接的に初めて意識しました。

建築におけるサイクロプス

サイクロイドは本当に興味深いことがわかります。私たちの日常生活では見逃しているサイクロイドがいくつかあるのではないかと思います。

この建物は多数の幾何学的形状で構成されています。多くの有名なアーチは、円（ローマアーチ）、楕円（半楕円アーチ）、放物線（放物線アーチ）、懸垂線（懸垂線アーチ）から派生したものです。それぞれにたくさんの例がありますが、最も有名なものをいくつか選びました。

パリの凱旋門は半円形のアーチで、ローマアーチとしても知られています。

ロンドンのテムズ川に架かるキュー橋は、船や列車などの交通のために広いスパンを確保した半楕円形のアーチを備えています。

カリフォルニア州ビッグサーのアメリカ国道 1 号線沿いにあるビクスビー橋は、放物線状のアーチが特徴です。写真：Alamy。

ミズーリ州セントルイスにあるゲートウェイ・アーチは懸垂アーチで、重量が均等に分散されるため最も強力なタイプのアーチです。

トロコイドはアーチによく似ていますが、トロコイドアーチを使用している建物はありますか?オンライン検索結果によると、存在しますが、非常に少ないです。序文には、繰り返し登場する例が 2 つあります。

1つ目は、米国テキサス州フォートワースにあるキンベル美術館の屋根です。この屋根の複数のアーチは、間隔を空けて並べられた一連のローラーラインで構成されています。このローラーで形成された模様は滑らかな外観を与え、美術館に最適です。

テキサス州フォートワースのキンベル美術館にある大転子弓。

サイクロイドアーチを備えた 2 番目の建物は、私が学部課程を学んだダートマス大学のジョンズホプキンスセンターの正面にあるアーチです。このことから、私は別のことを考えるようになりました。私がこの建物を 4 年間毎日見ていたから、サイクロイドにとても魅了されたのでしょうか?

ニューハンプシャー州ハノーバーにあるダートマス大学ジョン・ホプキンス・センターのファサードにあるトロコイド・アーチ。

芸術とエンターテイメントにおけるトロンボーン

おそらく、あなたも子供の頃にトロットで「遊んだ」ことがあるでしょう。フラワールーラーは、ハイポサイクロイドと呼ばれる一般的なサイクロイドをベースにしたおもちゃです。直線に沿って回転する円とは異なり、内サイクロイドは「大きな円の内側を回転する大きな円に付いた小さな円上の特定の点の軌道で構成される特殊な平面曲線」です。

万華鏡。

(出典: https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph)

下トロコイドには、三角筋と小星筋という 2 つの特殊な形態があり、それぞれ大きな円の内側で特定の小さな円を 3 回と 4 回転がすことで得られます。いくつかのロゴに星型の線が描かれているのを見たことがあるかもしれません。

2 つの特殊な下トロコイド: 三角下トロコイド (左) と星状下トロコイド (右)。

ピッツバーグ・スティーラーズ・フットボールチームのロゴには3つの星が描かれています。

このような線画が心地よいと感じたら、異なるサイズの複数の円を組み合わせてサイクロイドアートを作成するアーティストもいます。

Pinterest 上の回転する車輪のラインアートインスタレーション。

サイクロンのアートワークが Kickstarter で販売されました。

光学におけるトロコイド

円上の点が円の外側に沿って転がる経路によって、別のサイクロイド形式を形成できます。特別な例としては、カーディオイドがあります。これは、下の図に示すように、円上の点が同じ半径の別の円の外側に移動する軌跡によって形成される図形です。この形状は、ハートに似た鋭い角を持っており、それが名前の由来にもなっています。

カーディオイド線はトロコイド線の別の種類です。

カーディオイドは自然界で非常に一般的であり、特に 2 つの円形の表面によって作成されるコースティクスでよく見られます。光学において、コースティクスは「物体の表面の凹凸や反射によって生成される光エンベロープ、または光エンベロープの他の表面への投影」である曲線または表面として定義されます。この線または面上では、すべての光線がこれに接しており、これらの光線が集中する場所が光エンベロープの境界となります。

コーヒーカップから時計まで、複数の丸い物体によって作成されたコースティクスでハートの線を見ることができます。

次に朝のお茶を飲むときは、ぜひ目を開けてティーカップの模様を見てください。 ☕️

フラクタル幾何学やカオス理論の枠組みであるマンデルブロ集合の中心領域の境界も正確なカーディオイドですが、具体的な理由はわかりませんが、やはりカーディオイドの別の形です。

マンデルブロ集合の最初のステージの中央領域は、完全なハートの線で囲まれています。

サイクロイドの形状は円に限定されません。円形以外の形状を直線に沿って転がして、多角形のサイクロンという新しい形状を発見することもできます。三角形と正方形のサイクゴンは次のとおりです。

正三角形が滑らずに直線に沿って転がるときに形成される回転弧。

(出典: https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon)

滑らずに直線に沿って転がる正方形の弧。

(出典: https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon)

宇宙のサイクロイド

トロコイドは、車輪、時計、カップ、スピログラフなどの日常的なスケールの図形だけではなく、惑星スケールにまで達することがあります。木星の衛星エウロパ（小さな円）が巨大な木星（大きな円）の周りを回ると、重力（直線）によって衛星上にサイクロイドが形成され、エウロパの衛星画像では氷のひび割れとして見ることができます。この亀裂は、衛星の軌道が重力圧力を受けていることと一致しています。

木星の衛星エウロパの表面にあるサイクロイド。

（出典：https://www.science.org/doi/10.1126/science.1248879）

エウロパの表面のサイクロイド形成。

（出典：https://www.researchgate.net/figure/Model-of-cycloidal-crack-formation-on-Europa-by-Hoppa-et-al-The-arrows-represent-the_fig6_13779479）

要約する

この記事から新しいグラフィックも学んでいただければ幸いです。結局のところ、サイクロイドは非常に興味深いグラフィックのグループです。一連のサイクロイドを見た後、私は自分の周りの宇宙についてもっと知りたくなりました...

参考文献:

¹ イーライ、マオール、オイゲン・ヨスト。「ねじれた数学と美しい幾何学」アメリカの科学者。

² リンチ、ピーター。「ガリレオから自転車のギアまで、サイクロイドの曲線的な歴史。」アイリッシュ・タイムズ。 2015年9月17日。

ライ・サリバン著

翻訳: zhenni

レビュー担当者: なし