近視眼的なオタクは朝食を買い、値段表を見なくても単価を「計算」できる！ ?

多くの学生は、初めて線形代数を学習するときに混乱したり苦痛を感じたりして、そのコースの実際的な重要性を理解できません。これは主に、浅いところから深いところへ段階的に進むために、教科書は基本的な抽象的な概念から始めなければならず、本当に直感的な部分は後のサブフィールドや具体的な応用まで待たなければならないことが多いためです。そのため、初心者は結果はわかっても理由はわからないことがよくあります。彼らは木しか見ず、森を見ない。この記事が皆さんの視点を変え、リラックスした興味深い日常的な視点から線形代数を違った方法で見る助けになれば幸いです。

この記事は、「N テキストにおける線形代数の大まかなガイド」と題された一連の記事の 3 番目です。前回の記事では、基本的な行列変換を通じて逆行列とその特性を紹介し、線形方程式を解くプロセスについて説明しました。線形方程式の連立方程式には、解がない、唯一の解がある、または無限の解があるという 3 つの解しかありません。それで、ここでのパターンは何でしょうか?

著者 |呉金元

この本の最後の章では、ある日朝食を買うために階下の朝食店に行った近視眼的なオタクの話が語られました。メガネを家に忘れてしまったので、黒板に書かれた値段が見えません。そこでオタクは、前に並んでいる客が購入した朝食の品数と、店員が報告する合計金額を聞きながら列に並び、これをもとに朝食の各品の単価を計算した。

図1

近視眼のオタクは、データを集め、分析し、計算した後、線形方程式の係数行列の逆行列を見つけ、食べ物の単価を計算し、朝食を買いました。食べながら、彼は深く考え込んでしまった。

（１）結果を決定する取引はいくつありますか？

正方行列のみ逆行列を計算できることはわかっています。具体的には、朝食を買うという問題では、未知数が 3 つあり、食品の未知の単価を計算するには、正確に 3 つの取引、つまり 3 つの線形方程式が必要です。しかし、現実の世界では、トランザクションが 3 つだけではない状況に遭遇する可能性も十分にあります。このような場合、計算ではどのような問題が発生するでしょうか?

直感的に、方程式の数が未知数の数より少ない場合、一意の解を見つける方法は絶対にないことがわかります。しかし、両者が等しい場合、必ず一意の解を見つけることができるのでしょうか?さらに、未知数よりも方程式の数が多い場合はどうなるでしょうか?段階的に分析してみましょう:

これらの問題を直感的に議論するために、3 つの食品の単価を 3 次元座標系でプロットします。次の写真では:

横方向は油かすの単価×1、

縦方向は茶卵の値段×2です。

紙面の向こう側にある豆腐プリンの単価×3ポイント。

図2

上の図は、線形方程式系の最初の方程式、つまり最初の顧客が行った取引のグラフである平面 (赤) を示しています。

客は揚げパンケーキ、茶卵、豆腐プリンを1杯ずつ購入し、合計14元を支払った。

最初の取引だけに基づいて、3 つの食品の単価を計算することはできませんが、それでもいくつかの情報は得られます。具体的には、これら 3 つの食品の単価がこの平面上の特定の点にあることが分かっています。

たとえば、この平面は x1=14 の点で水平軸と交差します。これは、揚げパンが 14 元であるのに対し、茶卵と豆腐プリンは無料であることを意味します。

現実にはこのように価格を設定する上司はほとんどいませんが、この点に対応する単価のセットはこの式に矛盾しません。実際、平面全体のすべての点はこの式と矛盾せず、実際の単価もこの平面上にあり、図にマークされた青い点です。

実際、1 つの取引、または 1 つの方程式しか知らないと、真の単価を決定するのに十分な情報がありません。ここで 2 番目のトランザクションを導入します。この方程式は、図 3 の別の平面 (緑) に対応します。

図3

この平面は最初の平面と直線で交差します。つまり、両方の式を満たす単価の組み合わせは、この直線上にしか存在しないことになります。実際の単価の組み合わせは確かにこの線上にあります。ただし、正確な位置はまだ確認できません。両方の方程式を満たす解はまだ無限に存在します。

明らかに、3 番目のトランザクションを導入する必要があります。 3 番目のトランザクションに対応する線形方程式は、下の図の紫色の平面に対応します。

図4

この新しい平面は、空間内の共通点で前の 2 つの平面と交差します。これが、この問題における実際の単価の組み合わせです。したがって、未知数が N 個ある場合、一意の解を見つけるには少なくとも N 個の方程式が必要です。

では、方程式の数が未知数の数と等しい場合、一意の解を見つけることができるのでしょうか?不確か。朝食を買うという例で、オタクが顧客 3 の取引データをはっきりと聞き取らず、顧客 1、2、4 の取引データのみを使用して問題を解決した場合、一意の解決策を得ることはできません。

読者の便宜を図るため、いくつかの顧客の購入データを次の表に再掲載しました。

よく観察すると、顧客 4 の取引データは、顧客 1 と 2 のデータの線形結合 (5×(顧客 1 のデータ)-(顧客 2 のデータ)) であることがわかります。

したがって、顧客 4 のデータには新しい情報は含まれず、この方程式は図 5 の紫色の平面に対応します。この平面は前の 2 つの平面と同じ直線上で交差し、この直線上のすべての点は同時に 3 つの方程式を満たします。

図5

さらにいくつかの方程式を追加したとしても、新しく追加された方程式が元の方程式の線形結合である場合、新しく追加された方程式は依然として新しい情報や新しい制約を提供できず、一意の解が得られないことは想像に難くありません。これらの方程式は、すべて共通の直線上で交差する一連の平面として上の図にプロットされています。

（２）秩序について

線形システムAx = yの解の特性は、行列Aのランクと密接に関係しています。いわゆるランクは、行列内の線形に独立した行または列の最大数を指します。先ほどの朝食の購入の例では、顧客1、2、3の3つのトランザクションは互いに線形独立しているため、この行列のランクはrank( A )=3です。顧客 3 を含めず、顧客 1、2、4 の取引のみを考慮すると、線形に独立した 2 つの行のみが見つかり、3 行目は最初の 2 行の線形結合になります。したがって、このような行列のランクはrank( A )=2です。

行列の列数 m は方程式系の未知数の数に対応し、その階数 ( A ) は線形独立方程式の最大数であり、独立した情報を提供できる制約の数とも見ることができます。ランク( A ) = mのとき、この状況をフルランクと呼びます。このとき、方程式系に解が存在する場合、その解は一意になります。

ランク(A)<mの場合、この状況をアンダーランクと呼びます。連立方程式に解がある場合、その解は一意ではなく、無数の解が存在します。

行列が「チャンキー」である場合、つまり行数が列数より少ない場合、明らかに完全な列ランクを持つことはできません。 「短くて太い」行列に対応する方程式系には一意の解はなく、解がある場合でも無限の解が存在します。

行数が列数より多い場合、行列は「高くて薄い」ものとなり、対応する連立方程式には一意の解が存在する可能性があります (解が存在する場合)。しかし、解決策があるという前提の下では、具体的な状況はそれがフルランクであるかどうかによって異なります。

これら 2 つの状況は、前の例から簡単に理解できます。

（３）「解決策がない」とはどういう意味ですか？

読者は、「方程式系に解がある場合」をなぜ強調するのかと疑問に思うかもしれません。方程式系に解がない状況はあるでしょうか?それは本当だ。

連立方程式では、方程式を追加するたびに制約を追加できます。このように、理想的な状況では、方程式系の解を見つけるのに役立つ十分な有効な制約が存在します。

方程式を追加し続けると、以前の計算が正しいかどうかを確認するのに役立ちます。

しかし、方程式系に方程式を追加すると、混乱が生じ、自己矛盾した方程式が追加される可能性が十分にあります。この場合、方程式系には解がありません。

たとえば、朝食の例では、最初の顧客が揚げケーキ、茶葉卵、豆腐プリンを購入し、ウェイトレスは14元の価格を提示しました。別の顧客が揚げパンケーキ 2 個、茶葉卵 2 個、豆腐プリン 2 杯を購入したとすると、価格は 28 元になります。客が広東語を話し、ウェイトレスが広東語で発音するほど配慮していると仮定すると、我々オタクが「二十八」を「一三十八」と聞き間違える可能性は十分にある。したがって、私たちは自己矛盾した方程式のシステムに直面しています。

現実の世界では、データの取得と転送におけるエラーは非常に一般的であるため、方程式のセットが自己矛盾になることも非常に一般的であり、矛盾は非常に複雑になる可能性があります。連立方程式に解があるかどうかを調べるには、別の行列のランク、つまり拡張行列 ( A | y ) のランク ( A | y ) を使用する必要があります。ここで言及されている拡張行列は、方程式システムAx = yでyとAを組み合わせることです。ここで、 y は垂直方向に並んだ数字の列であり、ベクトルと見なすことができます。また、 Aの各列も同じ次元のベクトルです。

連立方程式Ax = yに解がある場合、 y はAの列ベクトルの線形結合でなければならないことは容易にわかります。 y をAに追加すると、新しく追加された列は他の列と線形関係になります。このように、拡張行列 ( A | y ) の rank( A | y ) は、元の行列Aの rank( A ) よりも大きくなりません。したがって、方程式系に解があるという事実は、rank( A | y )=rank( A ) と同等です。

逆に、列を追加した後にランクが増加する場合、つまり rank( A | y )=rank( A )+1 の場合、方程式系は自己矛盾を起こし、解がなくなります。

上で説明した状況を表にまとめると、一目でわかるようになります。

ここで指摘しておくべきことは、行列Aがフルランクでない場合、方程式に解があれば無限の解が存在するが、その「無限」の解は状況によって異なるということです。具体的には、解空間の次元はmランク( A )に等しい。

たとえば、朝食を買うという例では、m=3 です。最初の顧客データだけがある場合、rank( A )=1 なので、解空間は平面となり、解空間の次元は (m-rank( A ))=3-1=2 となります。

2番目と4番目の顧客のデータが追加された後、rank( A )=2になります。このとき、解空間の次元は 3-2 = 1 となり、解空間は直線となります。

3番目の顧客のデータが追加されると、順位（ A ）= 3になります。このとき、解空間の次元は3-3 = 0に等しいため、解空間は点になり、解の数は無限から1に変わり、方程式は唯一の解を持ちます。

（４）ゼロドル購入と同次線形方程式

時々、 Ax = 0 のような同次線形方程式系に遭遇することがあります。「同次」とは、方程式に未知数 x の 1 次項のみがあり、定数項や未知数 x の 0 次項がないため、すべての項のべき乗が「同次」であることを意味します。

連立方程式の右辺は 0 に等しいので、その拡張行列の階数は明らかに増加しません。したがって、同次線形方程式系には必ず解が存在することになります。肉眼で見ると、x = 0 が明らかに方程式の解であることが分かります。

しかし、問題は、自明な解x = 0 に加えて、同次線形方程式系Ax = 0 には 0 に等しくない解が存在するかどうかです。前回の議論から、rank( A )<mのとき、方程式系には無限の解があることがわかっています。したがって、同次線形方程式系にはゼロ以外の解が存在します。

分かりやすくするために、次の図を描きます。図中の各平面は線形方程式に相当し、これら 3 つの平面に対応する方程式は線形に独立しています。各方程式の右側の定数項は 0 に等しく、すべての平面が原点を通過することを意味します。

図6

上の図では、3 つの平面には共通の交点が 1 つだけあり、それが原点です。したがって、rank( A )=m の場合、方程式系には一意の解、つまりx =0 という唯一の自明な解が存在します。

3 つの平面に対応する方程式が線形関係にある場合 (たとえば、ランクが 2 の場合)、それらの間の空間関係は次のようになります。

図7

各方程式の右辺も 0 に等しいため、各平面も原点を通ります。ただし、3 つの方程式は線形関係にあるため、3 つの平面には無限の共通点があります。

階数が 2 の場合、これらの共通点は原点も通る直線を形成します。このように、自明な解x = 0 を除いて、この直線上の他の場所も方程式系の解であり、言い換えると、この同次線形方程式系にはゼロ以外の解が存在します。

実数の場合、0 を掛け合わせた値だけが 0 になります。そのため、0 以外の解を想像するのは簡単ではない場合があります。実際、完全にゼロではない一連の数字に、完全にゼロではない別の一連の数字を掛け合わせて、その積を足すと、実際にはゼロになることがあります。この状況は起こりにくいものではありません。たとえば、2 組の数値を掛け合わせた後の積が正または負である限り、それらは互いに打ち消し合ってゼロになることがあります。たとえば、行列を乗算するときに 0 に等しくないすべての数値が完全に無視され、0 が乗算されると、結果も 0 になります。

線形代数では、すべての要素がゼロである行列をゼロ行列と呼びます。ゼロ行列に任意の行列を掛けると、自然にゼロ行列が生成されますが、その逆は必ずしも真ではありません。実際、2 つの非ゼロ行列を乗算することでゼロ行列を取得することは完全に可能です。非ゼロの解を持つ同次線形方程式系は、実際には 2 つの非ゼロ行列を乗算してゼロ行列を取得する例です。

朝食を買うという例では、同次線形方程式はどのようになるでしょうか?まず、私たちのオタクは、これまでの取引結果がすべて0だったと聞いており、この「ゼロ元購入」は非常に幸せな状況であると想像できました。かつての学校や会社の食堂では、運営側の管理が行き届いており、市場から安い食材を仕入れることができ、年末には食材が余ることがあり、「余った食材を食べる日」が設けられることもありました。当然のことながら、すべての食品の単価が 0 の場合、余剰または 0 ドルの購入が発生します。

しかし、その逆は必ずしも真実ではありません。たとえば、次の 2 人の顧客の購入データに基づくと、すべての食品の単価が 0 であることを確認できません。

最初の客は揚げパンケーキ、茶卵、豆腐プリンを0元で買った。

2人目の客は、揚げパンケーキ2個、茶葉卵4個、豆腐プリン4杯を0元で購入しました。

なぜなら、すべての食べ物が無料である場合を除いて、これら 2 つの方程式が成り立つゼロ以外の解を見つけることは完全に可能だからです。たとえば、次のことを想像してください。

揚げケーキ、茶卵、豆腐プリンの単価はそれぞれ0元、X元、-X元なので、上記の2つの式は有効です。

この単価設定は、揚げケーキは無料、茶卵は1個X元、豆腐プリンを1杯購入すると、無料であるだけでなく、X元相当のギフト券も受け取ることを意味します。この状況はビジネスではあまり合理的ではないように思われますが、理論的には同次線形方程式に対して理論的に存在する非ゼロ解です。

ここで、3 番目の顧客のデータを追加します。

彼が揚げパンケーキ、茶葉卵3個、豆腐プリン3杯を0元で買ったとします。

すべての食品の価格が 0 であることをまだ確認できません。彼の購入数量ベクトルは、最初の 2 桁の線形結合 (2 桁目の購入数量ベクトル - 1 桁目の購入数量ベクトル) であるためです。

リピーターの購買量ベクトルが以前のものから線形独立であり、行列全体がフルランクになった場合にのみ、新しい方程式の唯一の解、つまりすべての単価が 0 になる解が得られます。（続く）

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