最大数と最小上限は同じものですか?

アインシュタインはかつてこう言いました。「学校で学んだことはすべて忘れなさい。残るのは教育だけだ。」この文章は、教育の核心的な価値は特定の知識にあるのではなく、慎重な思考と識別の過程で蓄積される思考力にあることを強調しています。数学の概念をよく学ぶことは、論理を磨き、観察力を研ぎ澄まし、混乱した世界で冷静さを保つのに役立ちます。

この記事は初心者向けです。本書では、微積分の重要な概念である「厳密な極限」の意味と拡張を簡単な言葉で説明し、それと「最大数」の違いと関連性を明らかにし、極限理論の基礎である実数の完全性について触れています。

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

「信頼できない」の最大数

読者の皆様、私は区間 (0, 1) を示します。これは 1 より小さいすべての正の実数の集合です。ここで質問させてください。この実数の集合には最大の数があるでしょうか。現時点でこの質問に答えるのが難しい場合は、質問を変更し、開区間を表す括弧を中括弧に変更します。つまり、まず最初に質問します。集合 {0, 1} には最大数がありますか?

あなたは間違いなくすぐにこう答えるでしょう。「はい、最大数は 1 です。」この正しい答えは、あなたが「最大数」の定義を明確に知っていること、または少なくともこの非常に単純な例では「最大数」が何であるかを理解していることを示しています。厳密な定義は次のとおりです。A を実数の集合とします。実数 M が 2 つの条件を満たす場合: (i) M は A 内の数である。 (ii) A の任意の数 a について、不等式 a≤M が成り立つ場合、M は A の最大数と呼ばれます。一般化された不等式記号「≤」を使用したくない場合は、定義の条件 (ii) を同等の条件 (ii)' に変更することもできます。つまり、A の他のすべての数 a について、厳密な不等式 a＜M が成り立ちます。同様のアプローチを使用して、数値セット内の最小値を定義することもできます。しかし、この記事では主に最大数を扱っており、最大数に関するすべての結論は、最小数に関する対応する結論につながります。なぜなら、最大数と最小数には次のような関係があるからです。集合 A の最大数 (存在する場合) は、集合 -A の最小数の反対であり、集合 -A={-a:a∈A} です。

上記の 2 つの数集合 {0, 1} を他の有限数集合、たとえば中国の人口と同じ大きさの実数集合に置き換えます (もちろんこの数は正確にはわかりませんが、確かに正の整数です)。それらの数には必ず最大値があり、つまり、この数はそれらの数の中の他のどの数よりも小さくありません。 「以上」は「より大きい」とは異なることに注意してください。前者は「より小さい」を表す数学記号「<」の否定、つまり「以上」であり、記号は「≥」です。後者の記号は「>」です。拡張すると、有限個の実数で構成される任意の集合には、その集合に属し、集合内の他のどの数よりも確実に大きい最大数が必ず存在します。この記事を読んでいる人なら誰でも、この直感的でわかりやすい事実を知るべきだと私は信じています。しかし、実数の集合に無限の数の数字が含まれている場合、このいわゆる「無限の数の集合」には必ず最大数が存在するのでしょうか?

これは、この記事の冒頭で私が尋ねた質問です。つまり、1 より小さいすべての正の数の中で、最大の数は存在するのでしょうか?読者が少し考えてみると、0 から 1 までの開区間 (0, 1) の無限集合には確かに最大数は存在しないことに気づくでしょう。最大数の定義の論理によれば、区間内に最大数が存在しないということは、(0, 1) 内に区間内のすべての数より大きいか等しい数が存在しないことを意味します。言い換えれば、この開区間内のどの数値、たとえば 0.9999 をとっても、同じ区間内に常にそれより大きな数値が見つかります。たとえば、同じ区間内にある数値 0.99999 は、選択された数値 0.9999 よりも大きくなります。ここでは 1 が最大の数のように見えますが、(0, 1) に属していないため、最大数の定義を満たしていないことに注意してください。

しかし、これは無限の実数からなる集合に最大数が存在しないという意味ではありません。たとえば、1 より大きくないすべての正の数の中には、最大値 - 1 が存在するはずです。これは、これらの数の集合が区間 (0, 1] であり、数 1 がこの区間に属するだけでなく、集合内の他のどの数よりも大きいためです。無限の実数の集合には、最大値がある場合とない場合があります。最大値が存在する場合と存在しない場合があるので、この概念には少し残念な点があります。数学では、実数の大きさを比較することは基本的な操作ですが、「信頼できない」最大数は実際にはあまり役に立たない場合があります。

実数の上限と完全性

どうすればいいですか？数学者は非常に賢いです。彼らは、初等数学では非常に実用的な概念である「最大数」の欠点を、高等数学で克服するためのアイデアを常に思いつくことができます。このアイデアは、与えられた実数集合内のすべての数値より大きいか等しい数値の「上限の集合」を考慮することから生まれます。

この素晴らしいアイデアを説明する良い例として、最大値を持たない開区間 (0, 1) を詳しく見てみましょう。この集合は「上向きに有界」です。つまり、集合内のすべての数値よりも常に大きいか等しい 2 などの実数が存在します。 2 はこの数集合の「上限」と呼ばれます。明らかな事実は、実数 2 が (0, 1) の上限であるため、2 より大きい任意の数も同じ数集合の上限であり、したがって区間 (0, 1) には無限の上限があるということです。問題は、これらすべての上限の中で、最小の数値が存在するかどうかです。つまり、この数値は特定の数値セットの上限であるだけでなく、常に同じ数値セットのすべての上限以下になります。存在する場合、この最小の上限は、与えられた数集合 (0, 1) の上限と呼ばれます。これは英語の数学用語「least upper bound」の中国語訳ですが、どの中国の数学者がこれを思いついたのかはわかりません。この翻訳の利点はその簡潔さです。同じ数である 3 つの英語の単語を、わずか 3 つの漢字で簡潔に翻訳します。しかし、元のフレーズが持つ直接的な意味（least = minimum、upper bound = upper bound）を翻訳することはできません。より鮮明で理解しやすい「supremum」の中国語訳は「最小の上限」です。名前が示すように、最小上限は、特定の数値セットのすべての上限の中で最小の数値です。数の集合の最大値が存在する場合、それが一意であることは明らかです。実数 s が数集合 A の上限である場合、それは s=lub A またはピリオドなしの lub A、あるいは s=sup A と表記されます。ここで、lub または lub は最小上限の最初の 3 文字であり、sup は上限の最初の 3 文字です。

ちょっと待ってください。考えることに慣れていて、あえて質問する勇気のある読者は、次のように問い返し始めました。「上記の記述は、すべての上限の中に最小値が存在するはずだという恣意的な前提を暗示しています。」無限数集合において最大数が存在しない例があるのだから、上限全体において最小数が存在しない例は存在しないのでしょうか？この時点で他の読者の中には混乱し始める人もいるかもしれません。それは問題ではありません。私が南京大学数学科で学んでいたとき、「数学解析」の授業の1学期に、厳其居先生（1936-2011）が「至高」について説明しているのを聞いて、私たちの中にも少し戸惑った人がいました。混乱によって道に迷うことを避けたいのであれば、例に導かれて理解の領域へと進むのが最善の方法です。

まず、区間 (0, 1) の上限がすべてどのような集合を形成するかを見てみましょう。先ほど、上限が 2 の例を示しました。当然、2 より大きい数値もすべて上限になります。一方、1.5 も明らかに上限であり、1.1、1.01 なども上限です。では 1 が上限でしょうか?よく考えてみると、それは本当です。さらに考えてみると、0.9999 などの 1 より小さい数値も上限になるでしょうか?前に指摘したように、区間 (0, 1) 内の数値 0.99999 はそれより大きいため、0.9999 は上限となる資格を失います。この分析の結果、有界数集合 (0, 1) の上限はすべて無限区間 [1, +∞) であることがわかります。この「左側が閉じていて、右側が開いている」無限区間の最小値は確かに 1 です。言い換えると、(0, 1) のすべての上限の集合には最小値 1 があり、つまり、1 は区間 (0, 1) の最小の上限です。

この観点から、数集合の最小の上限には次の 2 つの特性があります。1. 数集合の上限である。 2. 数値集合のすべての上限の中で、最小の上限です。前の簡単な例から、実数の集合が上限を持つ場合、つまり上限を持つ場合は、すべての上限の中で最小の数である上限値を持つ必要があることが想像できます。これは実際には実数系の最も重要な特性であり、「実数の完全性」と呼ばれます。中学校では実数をたくさん扱いましたが、実数は理解するのが難しく、微積分を学ばずに実数を使う必要もなかったため、実数について何も知りませんでした。実際、高度な微積分学の研究のほとんどはそれを証明していません。例えば、私たちが1年生と2年生で使用した教科書、吉林大学の江澤建教授（1921-2005）が書いた『数学解析』では、実数の最も重要な性質を証明しようとしていませんでした。それは単に「完全性公理」としてリストされ、証明することなく使用されました。もちろん、この「公理」はユークリッド幾何学の有名な第 5 公準のように「証明不可能」ではなく、検証可能です。しかし、それを証明するには実数の構成理論が必要であり、これには「デデキント切断」や「有理数の基本列」などのより難しい概念が含まれます。私たちが大学の課外授業で学んだ、ソ連の数学者グリゴリー・ミハイロヴィチ・フィフテンゴルツ（1888-1959）の『微積分学講座』の中国語訳全8巻のような、大規模な上級微積分学の教科書や教育参考書の中には、この実数完全性定理を証明する『実数論』から始まるものもあります。

要約すると、上限を持つ無限の数の集合には必ずしも最大数があるわけではありませんが、最小の上限は必ずあることがわかります。

ここまでで、この記事のタイトルにある質問に答えました。つまり、最大数と最小上限という 2 つの数学的概念は同じものではありません。もちろん、集合に有限個の実数のみが含まれている場合、集合には最大数があるだけでなく、その最大数は集合の最小の上限でもあります。ただし、集合に無限の数の数字が含まれている場合、最大数が存在しない可能性があります。また、上限が定められていない限り、上限が存在しない可能性もあります。理由は簡単です。上限さえも持たない実数の集合が、どのようにして最小の上限を持つことができるのでしょうか?したがって、実数の完全性の記述「実数の空でない集合に上限がある場合、その集合には上限がある」では、すべての単語を無視することはできません。

アルキメデスの性質

理解を深めるために、2つの簡単な例を挙げてみましょう。 1つは集合{1, 2, 3,…, n,…}です。可算集合には上限がないので

上記で使用した「任意の正の実数よりも大きい自然数が常に存在する」という真理は、あまりにも明白に思えます。たとえば、この実数が 10 進数形式で表記されている場合、小数点以下の数字をすべて削除し、正の整数部分に 1 を加えるだけで、元の数値よりわずかに大きい自然数が得られます。おそらくほとんどの人はこのように対処するでしょう。しかし、この真実と同等の記述は、「すべての実数は自然数の集合の上限ではない」または「すべての自然数の集合は実数で上限が決まっていない」です。この記事は「実数の完全性」についてなので、それを使ってアルキメデスの性質を厳密に証明します。アルキメデスの性質が

有理数の不完全集合

最大数と上限値の関係について引き続き調査します。無限数集合には必ずしも最大数や上限値があるわけではありませんが、数集合に最大数が含まれている限り、その集合にも上限値があり、2 つの数は等しくなければなりません。これはなぜでしょうか?この主張は、依然として、上限の定義（つまり、上記の 2 つの特性）に従って証明されます。まず、与えられた数値集合の最大数は自動的にその集合の上限になります。第二に、集合の任意の上限は、集合内の任意の数値以上になります。具体的には、セットの最大数以上となります。これは、集合の最大数が集合のすべての上限の中で最小数であることを証明します。つまり、集合の最大数は集合の最小の上限に等しいということです。このことから、上限を持つ実数の集合の場合、上限の概念は最大値の概念を直接一般化することがわかります。

しかし、私たちが怠けて、有理数の集合内での微積分だけを扱うようになれば、「上限」という概念はたちまち輝きを失い、微積分という数学の巨人は動きが鈍くなり、基礎が緩み、骨組みが崩れてしまうでしょう。微積分学における重要な定理、例えば単調収束定理や閉区間の入れ子定理などは、「皮膚がなければ、髪の毛はどこに付くのか」という慣用句で説明できます。

代数構造と演算の点では、有理数の集合と実数の集合は同じ栄光を共有しています。どちらも加算と乗算の演算に適した数体であり、サイズ関係があります。さらに、無理数はコンピュータ内で正確に表現できず、切り上げられるだけなので、エラーが発生する可能性があるため、コンピュータ科学者やコンピュータプログラマーは、実数よりも有理数に親しみを感じるかもしれません。したがって、計算にコンピュータ プログラムを日常的に使用する科学者やエンジニアは、おそらく無理数を避けたいと考えるでしょう。

しかしながら、数学者は別の種族です。有理数が失うのは「完全性」であり、より正式には、すべての有理数の集合において、有界な部分集合には必ずしも上限がないということです。言い換えれば、必ずしも最小の上限が存在するわけではありません。最も有名な無理数である円周率を例にとり、上限のない有界集合の例を構築します。高校の数学の先生は、円周率の最初の 15 桁を暗記して π = 3.14159265358979 と書く方法を教えてくれました。有理数列を次のように定義する

3、3.1、3.14、3.141、3.1415、3.14159、3.141592、3.1415926、3.14159265、…。

至高者の2番目の特性に戻りましょう。今回は、それと同等だが、より「数学的」な趣を持つ定義を与えたいと思います。上限 s の 2 番目の特性は、それが数集合のすべての上限の中で最小の数であるということです。これは、それより小さい数は上限ではないということと同じです。 「s より小さい」数は s-ε と表記されます。ここで、ε は正の数です。 「上限ではない」とは、指定された数値セット内に、この上限ではない数値よりも大きい数値があることを意味します。このようにして、上限の新しい定義が得られます。実数 s が実数集合 A の上限であるとは、(i) A の上限である場合です。 (ii) 任意のε＞0に対して、Aにs-ε＜aとなる数aが存在する。

√2は存在するか？

これまで関連する概念に触れたことがない読者であっても、上限と実数の完全性の基本的な考え方を十分に理解していると思います。さて、この知識を使って、2 の算術平方根の存在、つまり平方すると 2 になる √2 で表される実数が存在することを証明したいと思います。高校で代数を学んだ人の中には、「この事実は証明する必要があるのか​​?」と「抗議」する人もいるかもしれません。確かに、彼らの代数学の教科書にはすでに√2が満載ですが、高校の代数学における無理数指数の厳密な定義には高等数学における単調収束定理の裏付けが必要であるのと同様に、無理数としての√2の存在の厳密な証明にも実数の完全性の助けが必要です。

ピタゴラスの定理の発見により、古代ギリシャ人は、単位正方形の対角線の長さが√2であるため、√2が存在するはずだと信じていました。この長さは存在しないのでしょうか?しかし、彼らは、この長さを測定すると「通約不可能性」という困難に遭遇し、それが数学史上初の危機の原因となったことに驚きました。ユークリッド（紀元前330年頃-275年）は、彼の傑作『原論』の中で、√2は有理数ではないことを証明しました。この議論のプロセスは簡潔かつ美しく、標準的です。これは、前世紀前半のイギリスの純粋数学者ゴッドフリー・ハロルド・ハーディ（1877-1947）の有名なエッセイ集『数学者の弁明』の中で、「美しい数学的証明」の例として挙げられている。

証明は背理法によって行われます。√2 が有理数であるとすると、2 つの正の整数 m と n が存在し、どちらも 1 より大きくなりません。

単調収束定理

読者が上限の概念を理解しているかどうかを確認するために、テスト問題を出します。次の数値セットの上限を求めてください。この集合は、(-1)^(mn)/(mn) の形式のすべての分数で構成されます。ここで、m と n は、任意の 2 つの等しくない自然数です。これは私が大学で上級学部生と大学院生に教えた上級微積分学のコースの中間試験で最初に出した質問でした。

最大数に対応する概念は最小数です。同様に、上限に対応する概念は下限であり、英語では最大下限または下限と表現されます。したがって、実数集合 A の最小値は、glb A、glb A、または inf A と表記されます。 数集合の最小値は、まず、与えられた数集合の下限、つまり集合内のすべての数以下である実数です。 2 番目に、その数値はセット内のすべての下限値の中で最大の数値です。つまり、その数値はセット内のどの下限値よりも大きいか等しいです。したがって、下限のよりわかりやすい名前は、英語のフレーズをそのまま翻訳した「最大下限」です。実数の完全性は、最小値について主張します。つまり、与えられた数の集合が下限を持つ場合、その集合には最小値が存在します。上限の場合と同様に、集合に最小値がある場合は下限も存在し、2 つの数は等しくなります。

ガウスはかつてこう言いました。「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。」彼の文型を当てはめると、極限理論は微積分の基礎であり、極限の概念は極限理論の礎である、とも言えるでしょう。実数の完全性 - 有界数集合の存在は、極限理論におけるいくつかの主要な定理の演繹につながります。この記事の最後では、数列に関する単調収束定理を列挙し、境界の魅力を改めて認識します。

「極値」は、中国の大学の数学科の新入生にとって最も重要な科目である「数学解析」や、アメリカの一般大学の上級生や大学院生が学ぶ「上級微積分学」において最も重要な基本概念である。これは、学生を怖がらせることが多い難しい概念の 1 つでもあります。しかし、本当に理解できれば、極限理論の勉強にスムーズに入ることができるだけでなく、誰にとっても、脳の「エアロビクス」の1週間のトレーニングコースを無事に修了したことに相当します。実際、解析数学のさまざまなコースの多くの概念は、高度な微積分におけるリーマンの上積分と下積分、実変数関数論におけるルベーグの外測度など、極値の言語で書かれています。したがって、それを学ぶことは間違いなく多くの利益をもたらします。

高度な数学的概念を学ぶことは、数学的知識を増やすだけでなく、人々の思考能力を強化することにもつながります。今日の世界では、私たちが耳にする情報は多様で混在しており、真実と虚偽、正しいと間違っているを区別することが難しくなっています。認識能力を向上させる良い方法は、これまで見たことのない数学的概念や、教師から十分に教わったことのない数学的概念を理解しようと努力し、数学用語の定義とその拡張推論内の論理的関係、および他の概念とのつながりを分析することです。論理的判断能力を向上させる機会があれば、あなたの頭の中に孫悟空の燃えるような目がゆっくりと成長し、周囲の多くの発言の背後にある真の論理がわかるようになるまで、そう長くはかからないでしょう。これは、私がこの記事を書いた当初の意図でもあり、「supremum」の概念をできるだけ簡単な言葉で紹介することでもありました。

謝辞: 誤字を注意深く確認して訂正してくださった Fanpu の編集者 Zhou 氏に感謝します。

2024年1月22日月曜日に書かれた

ハティスバーグ サマー ハウス

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

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