ソファを移動させるときに廊下の角をどうやって通すか？これは60年以上も数学者を悩ませてきた問題です。

制作：中国科学普及協会

著者: デノボ

プロデューサー: 中国科学博覧会

引っ越しの際、狭いスペースにある家具を動かしたいのに、回すときに引っかかってしまい、どうやっても動かせない、そんな経験をしたことがあるのではないでしょうか。数学者はこのパズルを「動くソファ問題」と呼んでいます。

2024年12月2日、韓国の数学者ペク・ジニオン氏がソーシャルメディア上で問題を解いたことを発表し、国内外のメディアや数学界で即座に幅広い議論が巻き起こった。おそらくあなたは、日常生活に密接に関係する一見小さな問題がどれほど難しいのか、興味があるのではないでしょうか。

動くソファの問題には、角の周りに形がどのようにフィットするかという数学的な問題が含まれます。

（画像提供：カリフォルニア大学デービス校）

「動くソファ問題」とは何ですか?

実際、「動くソファ問題」は、多くの議論と検討が行われてきた問題です。 1960 年代初頭には、一部の数学者がこの問題に関連する幾何最適化問題の研究を始めていました。

1966 年、オーストリア系カナダ人の数学者レオ・モーザーは、正式な数学雑誌で初めて「動くソファ問題」の明確な数学的定義と問題の説明を提案しました。幅 1 の L 字型の平面廊下で、衝突せずに直角に曲がることができる「ソファ」の最大面積はどれくらいでしょうか。この問題はそれ以来数学界で広く注目を集め、古典的な幾何最適化問題の 1 つになりました。

ソファの移動問題のデモンストレーション

（画像出典：参考文献[1]）

1968 年、イギリスの数学者ジョン・マイケル・ハマーズリーは、最も単純なケースに基づいた解決策を提案しました。彼は「ソファ」を、2 つの四分の一円と中央の長方形のブロックで構成された電話受話器のような形になるように設計しました。中央の長方形のブロックから半円が掘り出され、「ソファ」の面積が最大になりました。

ハマーズリーがソファをデザインした

(画像出典: Wikipedia)

1992年、アメリカの数学者ジョセフ・ガーバーはハマーズリーが設計した「ソファ」を改良し、18本の滑らかな曲線で囲まれた「ソファ」を提案した。計算されたソファの最大面積は約 2.2195 となり、この問題の解決の下限がさらに改善されました。

ジェフがデザインしたソファ

(画像出典: Wikipedia)

2014年、アマチュア数学者のフィリップ・ギブス氏はコンピューター計算を使用して、ジョセフ・ガーバー氏が設計した「ガーバーソファ」とほぼ同じ最適なソファの形状を導き出しました。計算された面積は有効数字8桁まで同じです。この発見は、ジェフが設計した「ソファ」がソファを移動する問題に対する最適な解決策である可能性が高いことを示唆していますが、これはまだ数学的に正式に証明されていません。

しかし、科学者たちは少なくとも「ソファ」の面積の上限、つまりこの面積が超えることのできない最大量を決定しました。ハマースリーはソファ定数の上限はせいぜい2√2≈2.8284であると指摘した。 2018年、ヨアヴ・カラスとダン・ロミックは、廊下（ソファではない）をいくつかの異なる角度で回転させ、回転した廊下の交差点が可能な限り最大の接続領域を形成するようにし、コンピューター検索を使用することで、「ソファ」の上限を2.37に狭めることに成功しました。

つまり、 「動くソファ問題」の最適解は 2.2195 から 2.37 の間です。

「動くソファ問題」って何が難しいのでしょうか？

これを見ると、「動くソファ問題」は直感的で単純なように思えるのに、なぜ半世紀以上も数学者を悩ませてきたのかと疑問に思うかもしれません。

ジョセフ・ジェフは近似最適解を提案しましたが、すべての可能性のあるより良い形状を排除する必要があるため、それが真の最適解であることを証明するのは依然として非常に困難です。平面では、「ソファ」の形状は大きく変化する可能性があり、最適な解決策は非対称で複雑で不規則な多角形になる可能性があります。

すべての可能な形状を調査し、その面積と移動性を評価するには、膨大な量の計算が必要となり、すべての可能性を網羅的に列挙することは不可能です。さらに、対称性や規則性がなく、柔軟に回転したり移動したりできる形状は、幾何学的に本質的に非常に複雑なため、数学者がこの問題を解決するための普遍的な公式を見つけることは困難です。

新世紀に入り、コンピュータ技術が急速に発展するにつれ、数学者はコンピュータ支援設計と動作経路シミュレーションを広く利用し、「ソファ」の可能な形状を模索し始めました。しかし、コンピュータ支援の数値法や最適化アルゴリズムを使用した場合でも、既存のアルゴリズムでは、すべての潜在的なより良い形状を除外し、さまざまな複雑な形状の実現可能性と領域を調査および検証する際に、計算時間が長くなったり、コンピューティング リソースが過剰に消費されたりする問題に直面することが多く、これにより、さらなる研究の進歩が大きく制限されます。

近年非常に人気となっている機械学習も、「動くソファ問題」を解く際には大きな制限があります。機械学習モデルは通常、トレーニングに大量のデータを必要とし、「動くソファ問題」の解決は主に理論導出と最適化アルゴリズムによって生成された限られたデータセットに依存しており、大規模モデルのトレーニングニーズを満たすことは困難です。

さらに、数学的最適化問題では、高度に解釈可能で正確な解が求められることが多く、機械学習モデルの「ブラックボックス」の性質により、答えは得られるものの解決プロセスはわからない場合があり、そのような問題の解決に直接適用することは困難です。

「ソファ」は直角に曲がる必要があるだけでなく、廊下の壁との衝突も避けなければなりません。これらの複数の制約により、最適化プロセスは非常に複雑になります。 「動くソファ問題」には、幾何学、最適化理論、計算幾何学などの複数の分野の知識が関係するため、解決策を見つけるには学際的な研究が必要です。

「動くソファ問題」は本当に解決したのか？

最近注目を集めているペク・ジニョン氏の119ページの論文に注目してみましょう。彼は、ジョセフ・ジェフがデザインした「ソファ」が最適な解決策であることを証明したと主張した。

白振雲は、最初に最適な「ソファ」の形状制約を提案しました。①ソファの形状は、回転する廊下の交差点によって定義できます。 ②ソファの辺の長さは一定のバランス条件を満たしている必要があります。 ③ 動きを完了するには、90 度回転できる必要があります。

次に、彼は「ソファ」の移動中の主要点の軌跡が交差せず（つまり、繰り返しや重なりがなく）、平面上に単純な閉曲線を形成し、面積計算の厳密さを保証することを証明しました。

Q(S)定義の図解

（画像出典：参考文献[1]）

次に彼は「ソファ」の面積の上限として二次関数Q(S)を構築し、マミコン定理とブルン・ミンコフスキー理論を使用して、Q(S)が凹関数であること、つまりその極大値が大域的最大値でもあることを証明しました。

最後に、ジェフが設計した「ソファ」がこれらの条件を完全に満たしていることを検証し、ここでQ(S)の値が最大に達し、その面積2.2195が理論上の最大値であることを確認しました。

しかし、この論文はまだ権威ある学術誌に掲載されておらず、広範な査読も受けておらず、学術界は依然としてその証明の正確性と厳密さについて様子見の姿勢をとっている。 「可動式ソファ問題」が完全に解決されたと断言するのはおそらく時期尚早だろう。

結論

では、この問題を完全に解決する意味は何でしょうか?

「移動式ソファ問題」は、解決過程で開発されたツールや構築方法を通じて他の幾何最適化問題に新たなアイデアを提供するだけでなく、空間利用の極限最適化モデルとして抽象化することもでき、建築設計、家具製造、物流管理などの実用分野にとって重要な参考価値を持っています。たとえば、狭い空間で物体を運ぶ際の高速ロボットの経路計画や、不規則な物体を運ぶ際の生産ライン上のロボットアームの空間経路計画は、この問題に関する研究からヒントを得ることができます。

数学者たちが白振雲の論文を慎重に検証するのを待ち、科学界を60年以上悩ませてきたこの問題がうまく解決されることを期待しよう。

参考文献:

[1] Baek J. Gerverのソファの最適性[J] arXiv プレプリント arXiv:2411.19826、2024。

[2] ギブスP.ソファと車の計算研究[J]コンピュータサイエンス、2014年、2:1-5。