ポピュラーサイエンス |代数的位相幾何学の誕生

19 世紀に代数学者によって発見された新しい数学的対象 (行列、代数、群、クラスターなど) は、数学者によって研究作業に応用され始めました。彼らはこれらの新しい数学的対象を、幾何学、位相幾何学、数論、関数論などの他の数学分野の問題を解決するためのツールとして使用しました。フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、位相幾何学の考え方を初めて代数化し、代数的位相幾何学の創始者となった。彼の後継者であるブラウワーは非常に思慮深い哲学者であり、直観主義の創始者でした。

ジョン・ダービーシャー

翻訳 |張昊

トポロジーはしばしば「ゴム幾何学」と呼ばれます。球体などの 2 次元表面を想像し、それが何らかの伸縮性のある素材でできていると仮定します。このゴム球は、伸ばしたり押し込んだりすることで、球と「同じ」他の任意の表面に変形することができ、これが位相学者が関心を持っていることです。トポロジーを数学的に正確にするには、切断、接着、有限領域を次元のない点に「押しつぶす」、ゴム表面が霧のように通過できるようにするなどのルールを作成する必要がありますが、これらのルールはアプリケーションによって若干異なります。しかし、ここでは、この広範かつ馴染みのある定義で十分です。

19 世紀の終わりまで、位相幾何学は代数学とあまり関係がありませんでした。実際、初期の開発は非常に遅かった。 「トポロジー」という言葉は、1840 年代にゲッティンゲンの数学者ヨハン・リスティング (1808-1882) によって初めて使用されました。リスティンのアイデアの多くは、彼と親しい関係にあったガウスから来ているようだ。しかし、ガウスは位相幾何学に関するものを一切出版しませんでした。 1861 年、リスティングは現在メビウスの帯と呼ばれている片面面を説明しました (図 1)。メビウスも 4 年後にこの表面について書いていますが、何らかの理由で彼の紹介が数学者の注目を集めました。今となってはその名前を正当化するのは遅すぎますが、Listin に少しばかりの敬意を表すために、図 14-1 を Listin ベルトと呼ぶことにします。

図1 リストインベルト

さらに、折り畳まれた球体 (図 2) から小さな円盤を切り取ると、残りの部分は位相的にリストバンドと同等になります。 2 つのオブジェクトが適切に引き伸ばされたり圧縮されたりしたときに「同じ」(つまり、位相的に同等) であるという事実は、よりきれいで、より洗練された用語である同相写像で説明できます。しかし、それについては語るべきことがたくさんあります。表現を簡潔にするために、ここでは「位相的同値性」という用語を使い続けます。

図2 位相的な意味での射影平面

1851 年、リーマンが関数の理解を助けるために博士論文で複雑な自己交差面を使用したことは、位相的思考の発展におけるもう一つの要因でした。これらのリーマン面を注意深く研究した後、ジョーダンは、リーマン面の中に埋め込まれた閉じた経路を観察して何が起こるかを調べるというアイデアを思いつきました。より直感的に理解できるように、ここでは「空間」ではなく「表面」を使用します。

たとえば、球体を想像し、球体上の点を選び、その点から出発して、原点に戻るまで円を描いて歩きます。先ほど歩いたパス上で非トポロジカルな操作を一切行わず、サーフェスを離れない場合、パスは開始点まで完全に縮小されますか?スムーズに連続的に収縮しますか?はい、できます。球面上のどのパスでもこれを行うことができます。

トーラスの場合はそうではありません。図 3 に示されているパス a もパス b もポイント P に縮約できませんが、パス c はポイント P に縮約できます。したがって、これらのパスを調べると、表面のトポロジーについて何かわかるかもしれません。

図3 トーラス上の閉回路

閉回路の人々はグループを形成できますか？

1895 年、パリのエコール・ポリテクニークの優秀なフランスの数学者、アンリ・ポアンカレ (1854-1912) が、これらのアイデアを代数的に定式化しました。ポアンカレは次のように述べました。「表面上のすべての可能なジョルダン閉経路、つまり開始点と終了点が同じすべての経路を考えてみましょう。」この基点を固定したまま、すべての閉回路を複数のファミリに分割します。閉回路が別の閉回路にスムーズに変換できる場合、2 つの閉回路は同じファミリーに属し、つまり位相的に同等です。家族の数に関係なく、これらの家族について考えてみましょう。 2 つのファミリの構成は、次のように定義されます。最初に最初のファミリを通るパス、次に 2 番目のファミリを通るパス (どちらのパスが選択されるかは関係ありません)。

これで、クロージャを要素として持つコレクションと、2 つの要素を別の要素に結合する方法ができました。これらの要素 (つまり、閉包) はグループを形成できますか?ポアンカレはそれが確かに群であることを証明し、こうして代数的位相幾何学が誕生しました。

任意の曲面の基本群というアイデアに到達するには、もう 1 つの小さなステップが必要です。つまり、特定の基底点に対する閉包の依存性を取り除く必要があります (実際、それらは私が定義した正確な Jordan 閉包である必要はありません)。このグループの要素は、表面上のパスです。 2 つのパスを合成するルールは次のとおりです。最初に最初のファミリからのパスを通過し、次に 2 番目のファミリからのパスを通過します。球面の基本群は、実際には 1 つの要素のみを持つ自明な群です。すべての閉じたパスはこのベース ポイントにスムーズに折りたたむことができるため、パスのファミリは 1 つだけになります。

球面の基本群は、要素が 1 つだけの自明な群であると述べました。しかし、この事実自体は普通のことではありません。

基本群が 1 つの要素のみを持つ自明な群である任意の 2 次元表面は、位相的に球面と同等でなければならないことがわかります。さて、通常の 3 次元空間に埋め込まれたおなじみの 2 次元球には、高次元空間にも類似物が存在します。たとえば、球体に似ているが 4 次元である曲がった 3 次元空間は、超球体と呼ばれることがあります。 3次元球体とも呼ばれることがあります。しかし、少なくとも数学者以外の人にとっては、この用語を視覚化することは困難です。 「3次元球面」とは、通常のボールを3次元空間に湾曲させて配置した2次元面を意味しますか？それとも、4 次元空間で湾曲した超球面の想像を絶する 3 次元表面を指しているのでしょうか?数学者にとって、3 次元球面は後者を指します。なぜなら、リーマンは多様体の内部から多様体の空間を考えるように言っているからです。しかし、数学の専門家でない人は通常、3 次元空間で 2 次元の表面を観察するため、前者にはある程度の意味があります。

問題は、4 次元空間において、自明群を基本群とする任意の 3 次元曲面空間も、この超球面と位相的に同等であるかということです。

1904 年、ポアンカレは有名なポアンカレ予想を提唱し、上記の質問に対する答えは「はい」であると主張しました。 2005 年末時点で、この推測は証明も反証もされていませんでした。 2002年と2003年に発表された一連の論文で、ロシアの数学者グリゴリー・ペレリマン（1966年-）はそれが正しいことを証明した。私がこの本（2006 年 5 月に英語版が出版された）を執筆している現在も、数学者たちはペレルマンの研究をまだ見直しているところです。これらのレビュー報告書の非公式な報告に基づいて、ペレルマンが実際にその予想を証明したというコンセンサスが高まっていった。ポアンカレ予想はミレニアム賞の対象となっている7つの問題のうちの1つであり、そのうちのいずれかを解くと、マサチューセッツ州ケンブリッジのクレイ数学研究所から100万ドルの賞金が授与される。

数学理論は、推測を生み出し始めると活性化し始めます。位相幾何学は、1895 年にポアンカレの著書「位置の解析」が出版されたことで誕生しました。位相幾何学が発展した最初の数十年間は、位相幾何学は「位置解析」と呼ばれることが多かったです。 「トポロジー」という用語がこの分野を表すために一般的に使われるようになったのは 1930 年代になってからでした。これについてはソロモン・レフシェッツ（1884-1972）に感謝すべきだと思います。

数学的思考の「矛盾」

ポアンカレが現代位相幾何学の創始者になったというのは少し奇妙です。

数学者は、トポロジーには実際には 2 つの種類があると考えています。1 つは幾何学からインスピレーションを得たもので、もう 1 つは解析からインスピレーションを得たものです。ここでの「解析」とは、数学的な意味での解析、つまり連続性に関連する関数、極限、微分、積分などを研究する数学の分野を指します。先ほど何度か触れた滑らかで連続的な変形を振り返ってみると、この位相的な意味でのつながりがわかるでしょう。ある意味では、滑らかさ、連続性、ある場所から別の場所への微小な動きといった基礎概念、つまり分析的な考え方がなければ、トポロジーは意味をなさないでしょう。

数学用語では、分析の反対は組み合わせ性です。組合せ論では、1、2、3 など、間に数字がなく数えられるものを研究します。隣接する整数の間には整数がないため、ある整数から別の整数へのスムーズなパスは存在せず、ギャップを飛び越える必要があります。解析数学は首尾一貫しており、連続した空間をスムーズに移動できます。一方、組合せ数学は不連続であり、ある整数から別の整数へ直接ジャンプします。

今日、トポロジーはおそらくすべての数学的研究の中で最も首尾一貫した研究である。なぜなら、ゴムの表面は滑らかに連続的に曲げたり伸ばしたりできるからである。しかし、最も初期の位相不変量は穴の数を表す整数であり、表面の環状の穴の数を測定するために使用されます。これは、1813 年にスイスの数学者シモン・ルイリエ (1750-1840) によって発見されました。次元は別の位相不変量 (位相的な意味では、靴ひもをパンケーキにしたり、パンケーキをレンガにしたりすることはできません) であり、整数でもあります。ポアンカレが発見した基本群も、リー群のような連続群ではなく、可算離散群です。これらのグループは無限である可能性がありますが、その要素は 1、2、3 のように数えることができます。連続群の要素は数え切れないほどあります。したがって、トポロジーにおいて興味深いものはすべて連続的ではなく、離散的であると思われます。

逆説的ですが、ポアンカレは解析学を通じて、より正確には微分方程式のいくつかの問題を研究しているときに位相幾何学に入りました。しかし、彼の発見と位置分析におけるすべてのアイデアは組み合わせ的です。分析的観点からの位相幾何学の研究（現在では通常、点集合位相幾何学と呼ばれる）は、彼にとってあまり魅力的ではなかった。

同じ矛盾は、代数位相幾何学におけるポアンカレの最も重要な後継者であるオランダの数学者ブラウワー（1881-1966）の場合にもさらに明白です。 1910 年に次元が位相不変量であることを証明したのはブラウワーでした。現代数学においてさらに重要なのは彼の不動点定理です。

ブラウワーの不動点定理

n 次元球面からそれ自身への連続写像には、必ず固定点が存在します。

n 次元球は、n 次元空間における立体単位円板 (原点からの距離が 1 単位を超えない平面上のすべての点) の概念、または立体単位球 (原点からの距離が 1 単位を超えない 3 次元空間内のすべての点) の概念を一般化したものです。 2 次元の場合、この定理は、単位円上のすべての点を他の点に滑らかに移動し、非常に近い点を同じくらい近い点に移動すると、移動後も同じ位置に残る点が常に存在することを意味します。

不動点定理とその直接的な一般化には多くの結果があります。たとえば、カップの中のコーヒーを注意深く、そして着実にかき混ぜると、コーヒーの一滴、あるいは分子は、最終的には元の場所に落ち着きます。 (位相的に言えば、カップの中のコーヒーは 3 次元の球体であり、それをかき混ぜると、コーヒーの中のすべての分子がこの 3 次元の球体上の X 点から Y 点に移動します。これが、「空間をそれ自体にマッピングする」という意味です。) もう 1 つのあまり知られていない例は、テーブルの上に紙を置き、マーカーでその輪郭をテーブルに描くことです。次に、紙をくしゃくしゃにしますが、破らずに、描いた輪郭に合わせます。しわくちゃの紙の上には、描かれた紙の輪郭のこの点の真上にある点が (少なくとも) 1 つあります。

図4 Brouwer |画像出典: MacTutor

直観主義

ブラウワーの位相幾何学における根本的な矛盾は、彼が得た結果が彼の哲学的考えと矛盾しているということである。普通の数学者にとってはこれは重要ではないかもしれないが、ブラウワーは非常に哲学的な数学者だった。彼は形而上学的思考（より正確には、反形而上学的思考）と数学の健全な哲学的基礎の探求に魅了されていました。

この目的のために、彼は直観主義の教義を創始し、すべての数学を人間の継続的な思考活動に根ざそうとしました。数学的な記述は真実ではない、なぜならそれは私たちの肉体的な感覚を超えているが、私たちの脳が何らかの形で理解できるプラトン的な高次の実体に対応しているからだ、とブラウワーは言った。また、これは、ブラウワーの時代の論理学者や形式主義者（ラッセルやヒルベルトなど）が主張したように、言語表記法の規則の一部に従っているため、真実ではない。それは、私たちが適切な精神的構築をいくつか行い、その正しさを段階的に体験することができるため真実です。ブラウワーによれば、数学を構成する材料は（非常に大まかに言えば）私たちの知覚を超えた世界のどこかの保管庫から取られるものではなく、また単に規則に従って機能する紙の上の言語や記号でもありません。それは思考であり、究極的には時間に対する私たちの直感に基づいた人間の活動であり、人間の本能の一部です。

これは、膨大な文献を生み出した直観主義の最も単純な要約にすぎません。この哲学に精通している読者は、カントとニーチェの影響に気づくでしょう。

実際、この考え方の先駆者は決してブラウワーだけではない。同様の考えは、カント以前、少なくともデカルトの時代まで遡る、数学の近代史に流れています。四元数の発見者であるハミルトンは直観主義者であると考えられると思います。 1835年、彼は論文「純粋時間の科学としての代数学」の中で、「直観」と「構成」に基づく幾何学に基づくカントの数学的概念を代数学に導入しようと試みた。

19 世紀後半、レオポルド・クロネッカー (1823-1891) は、ゲオルク・カントール (1845-1918) が集合論に「実無限」を導入したことに強く反対しました。クロネッカーは前直観主義者と呼べるでしょう。クロネッカーは、このような無数集合は数学に属するものではなく、数学はそれらなしでも発展できると主張し、それらは、数え上げ、アルゴリズム、計算に根ざすべき数学に、無用で不必要な形而上学的負担をもたらしたと主張した。

ブラウワーがこの学派の思想を 20 世紀に持ち込み、アメリカの数学者エレット・ビショップ (1928-1983) などの後代の数学者に広めました。ブラウワーの教義は「直観主義」と呼ばれ、ビショップの教義は「構成主義」と呼ばれます。これらの考え方は現在「構成主義」と呼ばれており、米国ではクーラント数学研究所のハロルド・M・エドワーズ教授（1936年 - ）が提唱している。エドワーズ教授は、2004 年の著書「Essays in Constructive Mathematics」でこのアプローチを非常にわかりやすく説明しています (他の著書でも同様です)。

エドワーズ教授は、高性能なコンピュータが利用できるようになったことで構成主義は成熟し、人々が考え方を変えれば 1880 年以降に達成された数学的成果の多くは誤解に思えるようになるだろうと考えています。私はこの予言を判断する資格はありませんが、個人的には、その特徴を考えると、構成主義的なアプローチは非常に魅力的だと思います。

つまり、ブラウワーが30歳くらいの頃、代数的位相幾何学の研究は彼の哲学的見解と矛盾していたに違いない。 10年後、同胞のファン・デル・ワールデンが彼のもとで学ぶためにオランダのアムステルダムにやって来ました。ファン・デル・ワールデンはアメリカ数学会の会報に次のように語った。

ブラウワーの最も重要な研究貢献は位相幾何学の分野であったが、彼は位相幾何学の講座を一度も教えたことがなく、常に直観主義の基礎講座のみを教えていた。彼は、直観主義の観点からすると位相幾何学における自分の結果が間違っていたため、もはやそれを信じていないようだった。彼は自身の哲学によれば、これまで行われたことはすべて、たとえ彼の最大の業績であっても、間違っていたと信じていた。彼は非常に変わった男で、自分自身の哲学に夢中になっていた。

著者について

ジョン・ダービーシャーはイギリス生まれのアメリカ人のシステムアナリスト、作家、評論家で、数学と言語学を学んだ。彼は米国のナショナル・レビュー紙のコラムニストだった。彼の著作は「素数の愛」や「クーリッジを夢見て」など、幅広いテーマを扱っています。

この記事は、『代数学の歴史：人類の飽くなき未知への追求』（人民郵政出版・チューリング新知識、2021年4月）の第14章「代数学はどこにでもある」から抜粋することを許可されており、小見出しは編集者によって追加されています。

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