指導教官のために本を書いたのですが、予想外に博士論文になってしまいました…

大学院生の中には、自分で研究テーマを見つけるのが苦手で、「ご飯が炊けるのを待つ」という人もいます。南ミシシッピ大学数学科の教授であるディン・ジウ氏は、研究、論文のテーマの選択、執筆における特別な経験を振り返った。

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

COVID-19パンデミックの発生前に、学術訪問のために中国に戻り、教授たちとコミュニケーションをとったとき、大学院生の中には自分で研究テーマを見つけるのが苦手で、授業でテスト用紙を配るのと同じように指導教員が研究テーマを割り当てるのを待っている人もいると話していました。 「同情心から出された食べ物」は、ビュッフェで食べるのほど楽しいものではありません。農家が放し飼いで育てた鶏は、集団で飼育されたブロイラー鶏よりもおいしくてジューシーだということは、誰もが知っています。ブロイラー鶏は米だけを食べ、食生活が単調であるのに対し、放し飼いの鶏はどこでも餌を探し回って栄養が豊富だからです。そのため、放し飼いの鶏の市場価格はブロイラー鶏の市場価格よりもはるかに高くなります。子どもの頃、私は両親の学校職員寮に住んでいました。雨が降る前に、私は遊び場に行って、大きなほうきで短距離を飛ぶトンボを捕まえて、鶏に餌をやるのが楽しかった。鶏は私たちが食べるための卵を産んでくれたから。勉強するときと同じように、視野は教科書の小さなページに限定されるべきではありません。論文の研究テーマを選ぶときも、注意を払い、率先して取り組むことが最善です。私にとっては、博士論文のテーマは偶然に選ばれたものであり、指導教官の李天炎教授（1945-2020）も事前に考えていなかったかもしれませんが、それは「注意を払うところすべてに学ぶ」結果です。実は、渡米後に私が最初に書いた研究論文は、南京大学の旧友である魏沐生博士の先駆的な研究の恩恵を受けたもので、指導教官が携わっていたいくつかの分野とはまったく関係がありませんでした。その論文は博士論文には含まれていませんでしたが、その執筆のきっかけは、後の博士論文の執筆のきっかけと似ていました。

正確さを保つために、この記事ではいくつかの数学的な概念を紹介します。読者が数学を完全に理解していなくても、概念を説明するために、初等言語や幾何学言語、比喩や類推を使用します。せっかちな読者は、物語のドラマと感動がさらに読書への欲求を刺激してくれることを期待して、読み続けることを思いとどまる必要はありません。

「炊くための米を探す」

博士課程での最初の研究は、階数落ち行列の最小二乗解の摂動理論に関するものでした。最小二乗法の創始者の一人であるカール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）は、わずか18歳のときにこの方法のアイデアを思いつきました。ゲッティンゲン大学天文台の所長として天文観測データを研究する中で最小二乗法を発明した。これは、平面上の実験データ ポイントを曲線に当てはめることに幾何学的に関連しています。たとえば、ある実験結果の 10 セットのデータと見なせる点が直交座標平面上に 10 個あるとします。通常は一直線上には並びません。しかし、これらの点からの「垂直距離」の二乗の合計が最小になるように直線を描くことはできるでしょうか?これは「最小二乗問題」の簡単な例です。答えは「はい」です。その解決策は「最小二乗法」です。最小二乗問題は、行と列に配置された数値の集合である行列によって定義されます。 「フルランク」行列（つまり、行列の「ランク」が行数と列数の小さい方に等しい行列）の場合、最小二乗の理論とアルゴリズムはすでに非常に成熟しており、計算数学のサブ分野である数値線形代数の一部を構成しています。

私の大学の同級生である魏沐生は、1977年の江蘇省大学入学試験で数学の成績で省内1位となり、主問題と補足問題の両方で満点を獲得しました。大学卒業後、米国ブラウン大学に公費留学し、1986年に博士号を取得。博士論文は散乱波計算に関するもので、最小二乗問題が求められた。しかし、この時点で行列はフルランクではなく、「不足ランク」、つまり行列のランクが行列の行数と列数よりも小さくなります。彼は、参照できる文献の中に、ランク落ち問題に対する既成の摂動理論を見つけることができませんでした。かつて、ある学術会議で、魏木生は数値代数の専門家であり、米国科学アカデミーと米国工学アカデミーの会員であり、スタンフォード大学のコンピューターサイエンスの教授であるジーン・ハワード・ゴルブ（1932-2007）と出会い、アドバイスを求めた。相手方の答えは彼を驚かせた。そのような問題をまだ誰も真剣に研究していないのだ。そこで魏沐生は自らこの新しい分野に最初の基礎を築くことを決意した。 1989 年、ランク落ち行列の最小二乗摂動理論に関する最初の論文が「Linear Algebra and Its Applications」誌に掲載されました。

1986年から1987年にかけて、Wei Mushengはミネソタ大学の数学および応用研究所で博士研究員として勤務しました。 1987 年の秋、私が博士号取得のために勉強していたミシガン州立大学の数学科に、博士研究員としての研究を続けるために Wei Musheng 氏がやって来ました。李天炎教授は、クーラント数学研究所の偉大な数学者であるピーター・ラックス教授（1926年 - ）が強力な推薦状を書いたため、6、7人の応募者の中から彼を選んだ。ラックスさんに手紙を書かせることができた人物は、普通の人ではないに違いない。実際、魏沐生氏がこの栄誉を受けたのは、博士論文でラックス散乱波理論のモノグラフの観点を覆したからである。学年を通して、私たち二人の旧友は家族と一緒に車で買い物に出かけたり、一緒に楽しい時間を過ごしたりしました。その秋学期に、私は魏沐生が書いたいくつかの記事を読み、とても興味深いと感じました。

魏木生博士の先駆的な研究は、本質的には、階数落ち最小二乗問題の摂動解の誤差の上限を推定することによって、一般最小二乗解の「上半連続性」を証明することです。水が連続的に流れるなど、自然界の多くの現象は連続的です。 「解の連続性」とは、おそらく、解く問題のデータがわずかに変化しても、解はそれほど変化しないことを意味します。行列理論における有名な「特異値分解定理」を適用するには、100年前のドイツの数学者フロベニウス（フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス、1849-1917）にちなんで名付けられた行列ノルムを使用する必要がありました。このノルムは、m 行 n 列の行列のすべての要素を mn 個の要素を持つベクトルに配置し、ベクトルのユークリッド ノルムを計算することによって計算されます (つまり、すべての要素の二乗を合計して平方根をとります)。記事全体を読んだ後、すぐに強い感想が頭に浮かびました。記事の結論は自然で美しく、数学的分析も非常に洞察に富んでいますが、このノルムの使用は、最小二乗問題自体の定義で使用されるベクトルユークリッドノルムほど自然ではありません。そこで私は率先してエネルギーを集中し、一生懸命考え、すぐにヒントを得ました。ユークリッドノルムのみを使用して、比較的単純な摂動境界を取得しました。

これは私がアメリカに来て初めて書いた記事なので、書き終えたときはとても興奮しました。私は修士論文を出版のために提出したことが一度もありません。一方で、当時妻は妊娠中だったので、私は責任を果たさなければなりませんでした。その後、留学が忙しくなり、準備する時間がなくなってしまいました。その一方で、私はもうその仕事に価値を感じなくなっていました。アメリカに来てから、三角測量に基づく単純な固定小数点アルゴリズムに関する国際的な研究は静かになり、1970 年代から 1980 年代初頭ほど人気が​​なくなったことに気づきました。しかし、微分位相幾何学の考え方に基づく現代のホモロジーアルゴリズムは常に非常に活発に活動してきました。私の同級生の何人かの博士論文は、この方法と密接に関係しています。その後、ホモトピー接続法の考え方を最適化研究にも応用しました。

興奮した私は、論文の初稿を、当時京都大学数理解析研究所の教授であった私の指導者である李天燕に送り、アドバイスを求めました。李天燕教授はすぐに返事をくれて、3ページにわたる手紙の中で私の論文の主要な定理について具体的な意見を述べ、研究を読む方法論について啓発的なコメントをくれました。普段は生徒を面と向かって褒めることはないのですが、今回は熱心に励ましてくれました。勉強に関しては「ご飯が炊けるのを待つ」のではなく「ご飯が炊けるのを待つ」のです。彼の意見では、これは大学院生の「義務」です。

教師は説教する

李天燕教授自身の研究経験は、博士課程の学生がどのように研究を行っているかを示す最良の例です。 30歳になるまでに彼が残した3つの主要な学術的貢献は、8ページのエッセイ「第3期はカオスを意味する」で、「カオス」の概念を初めて正確に数学的に定義したこと、彼は、現代のホモトピー接続法の先駆的な研究であるブラウワー不動点を計算的に構築した最初の人物でした。彼は計算エルゴード理論におけるウラム予想を歴史上初めて証明した人物です。これらの著作の中で最も有名なのは、博士論文指導教官のジェームズ・ヨーク（1941-）との共同研究の結果であり、現在までに5,900回以上引用されています。これは、一般的に実験科学や工学の論文に比べて引用数がはるかに少ない数学論文の中では、最も高いランクの論文の 1 つです。 2番目の論文の著者にはヨークに加えて、ブルース・ケロッグ（1930-2012）も含まれていました。彼が単独で完成させた3番目の作品が、私の博士論文のインスピレーションとなりました。

まず最初に、彼がいかにして「幸運にも」現代のホモトピー接続法を使ってブラウワー不動点を計算する世界初の論文を執筆できたかを振り返ってみましょう。オランダの数学者にちなんで名付けられたこの位相幾何学における偉大な定理は、最も単純な 1 次元の場合における初等微積分学の中間値定理です。誰もがその幾何学的特性を理解しています。直線の両側の点を結ぶ連続曲線は、必ずその直線と交差します。 2 次元における Brouwer の不動点定理は、閉じたディスク (つまり、範囲がドメイン内に含まれる) 上の任意の連続的な自己マッピングには必ず固定点があり、つまり、その点はそれ自身にマッピングされるというものです。李天炎は1968年に台湾の新竹にある国立清華大学を卒業しました。1年間の兵役の後、米国メリーランド大学数学科に進み、ヨーク教授の指導の下で博士号を取得しました。 1973年、卒業の1年前に、彼はケロッグ教授の「非線形方程式の数値解法」の講義を受講しました。授業中、教授は、カリフォルニア大学バークレー校数学科のモリス・ハーシュ教授（1933年～）が10年前に発表したブラウワーの不動点定理の新しい証明について話した。

この簡潔な背理法による証明の背後にある考え方は、固定点が存在しないと仮定すると、位相幾何学の特定の定理と矛盾が生じるというものです。この後者の定理は、円周上のすべての点が静止したままになるような、閉じた円盤からその円周への滑らかな写像は存在しないことを述べています。位相幾何学におけるこれらの興味深く深遠な定理は、髪の毛が生えていない頭頂部に渦巻き状の部分がある理由を説明することができます。考えることが大好きな李天炎は、このような斬新な証明を聞いたとき、突然あるアイデアを思いつきました。このアイデアを使えば、定理によって存在が保​​証されている不動点を計算できるのです。閉じた円板は 2 次元の領域であり、円周は 1 次元の曲線にすぎないため、ヒルシュが考えた円板から円周へのマッピングでは、領域は範囲よりも 1 次元多くなり、円周上の点から始まり、元のマッピングの固定点セットで終わる「逆像」曲線が存在します。この「ホモトピー曲線」を数値的に追跡できれば、不動点を計算することができます。積極的かつ独立した思考が、このような素晴らしい新しいアルゴリズムを生み出します。創造的思考は、定義、定理、証明を暗記して読む人にとっては想像もできない奇跡です。しかし、ルーツをたどり、独創的なアイデアを見つけることを好む探検家にとっては、これが最も自然な結果です。

李天燕がヨークに自分の考えを伝えると、ヨークは全面的に支持して進めた。他にも研究プロジェクトを抱えていたが、先見の明のある指導者はこのテーマの価値を理解していた。 2か月のプログラミングと計算を経て、李天炎のアルゴリズムのアイデアがついに実現しました。薄い紙に印刷された紙に、史上初の現代的なホモロジーアルゴリズムの数値結果が記録されたのです。クレムソン大学で開催される不動点アルゴリズムとその応用に関する会議の組織委員会は、彼らが、1967年にイェール大学の経済学教授ハーバート・スカーフ（1930-2015）が開拓した単体分解と組み合わせ技法に基づく単体不動点アルゴリズムの道をたどるのではなく、微分位相幾何学の考え方を使用して新しいホモトピック不動点アルゴリズムを構築したと聞いて、すぐに彼らに2枚のチケットを提供し、会議に出席して論文を発表するよう招待しました。その後、会議の議事録の序文で、スカーフはケロッグ・リー・ヨークの論文の新しいアイデアを賞賛した。それ以来、現代のホモトピー拡張法は計算数学の大きな舞台に登場しました。

「強い意志を持って」

前述のように、李天炎教授の学術的経歴の中で最も有名で傑出した 3 つの作品はすべて博士課程在籍中に完成されました。 「ウラムの予想」に関する 3 番目の論文は彼によって独自に完成され、1976 年に American Journal of approximation Theory に掲載されました。この論文はどのようにして生まれたのでしょうか? 1973年、ヨークと彼の協力者でポーランド科学アカデミー会員のアンジェイ・ラソタ（1932-2006）は、アメリカ数学会誌に、今ではエルゴード理論の古典となっている論文を発表し、その中で絶対連続不変測度に関する存在定理を証明した。これは、区間上で定義された区分的に引き伸ばされた自己マッピングのクラスに対して、「不変密度関数」が存在することを主張します。密度関数は確率論でよく登場する数学的な対象です。これは、負でない値を持ち、全体の積分が 1 である関数です。つまり、そのイメージの下と間隔の上にある「曲線の長方形」の面積は 1 に等しくなります。不変密度関数の存在を確認した後、Li Tianyan はそれを計算する方法について検討し始めました。言い換えれば、それを数値的に効率的に近似する方法です。彼は区分定数関数を用いた近似を提案し、ロスダとヨークが検討したタイプの区間マッピングに対するアルゴリズムの収束を証明した。名前が示すように、区分定数関数は、ドメイン区間を分割するサブ区間で定数値を取ります。

しかし、李天炎は、アメリカの水素爆弾の父、ポーランドの優れた数学者スタニスワフ・ウラム（1909-1984）が、1960年に出版されたわずか150ページの小さな本「数学の問題集」の中で、不変密度関数を計算するこの方法をすでに提案していたことを知らなかった。記事が書かれた後、李天炎は、これが10年以上前から存在していたウラム法であることを知った。そしてウラムは、不変密度関数が存在する限り、アルゴリズムは収束すると本の中で推測しました。 「ウラム予想」は「計算エルゴード理論」という分野を生み出し、物理学と工学において重要な応用価値を持っています。李天炎氏の論文とウラム氏の方法の間の「歴史的な偶然の一致」により、論文のタイトルも変更され、「ウラム氏の推測に対する解答」が追加された。計算エルゴード理論の分野におけるこの画期的な研究は、最終的に「フロベニウス-ペロン演算子による有限近似: ウラムの予想の解決」と題されました。

何年も後、李天燕教授は私に、この傑作にたどり着いた経緯を思い出し、感慨深げにこう言った。「フォン・ノイマンと同レベルの数学者であるウラムでさえ、このアルゴリズムの収束を証明していなかったと事前に知っていたら、私はこの挑戦に敢えて挑まなかったかもしれない。」しかし、若い頃の李天炎は、「虎は怖くないが、生まれたばかりの子牛は怖かった」という勇敢な戦士だった。彼自身によれば、「何事にも粘り強く取り組み、決して簡単に諦めない」という。彼は、大物が問題を解決できないからといって、小物が解決できないということにはならず、大物が問題について考える方法が必ずしも唯一の解決方法ではないと信じています。学びの道においては、独立心と自由な思考を持ち、他の人よりも1分でも長く考えることができれば、一見難しい問題の真相にたどり着くことができます。

1987 年の初夏までに、2 つの外国語 (英語と中国語は外国語とは見なされていませんでした) の試験に合格した後、私はまったく新しい分野である線形計画法の内点アルゴリズムに積極的に取り組みながら、引き続きコースを受講しました。これは、私が南京大学で取得した最適化の修士号に関係しています。この学位は、1984 年にインドの Narendra Karmarkar (1956-) が発表した先駆的な論文から始まりました。この分野は当時すでに国際的な最適化コミュニティで人気を集め始めており、多くの研究者がその後を追うために集まっていました。線形計画法の効率的な計算方法を初めて提案したソ連の数学者レオニード・カントロヴィッチ（1912-1986）のように、カルマカールが前世紀の終わりまでにノーベル経済学賞を受賞するだろうと予想した人も多かった。しかし、この予測は実現しませんでした。私の主な分野が数理プログラミングであることを考慮して、李教授は、内点アルゴリズムの急速な発展に遅れないようにすることを提案しました。最適化理論の著名な日本の学者である小島正和教授（1944年 - ）など、学術交流のある友人の中には、このテーマに関する論文のプレプリントを彼に送ってくれる人もいます。スタンフォード大学のオペレーションズ・リサーチ博士であるイェ・インユ氏を含む数人の中国人学者も登場し始めた。私はこれらの最新の研究成果についてさらに学び、徐々に学術の最前線に近づくよう努め、線形相補性問題に対する内点アルゴリズムに関するいくつかの論文を完成させました。幸運なことに、指導教官と共同で執筆した最初の論文は、1991 年にアメリカ応用数学協会が新たに設立したジャーナルである SIAM Journal on Optimization の創刊号に掲載されました。この資料を博士論文にするつもりでしたが、結果は予想外のものでした。

西海岸ツアー

1989年3月、私の3歳の娘が祖母と一緒にアメリカに来ました。私たちが父と娘として会うのはこれが初めてだったが、デトロイトの空港で彼女に会ったとき、彼女は純粋な揚州弁で「お父さんは写真で見たことがあるわ」と言った。その年の6月上旬に春学期が終わり、学年も終わりを迎えました。李教授の3学期コース「[0, 1]のエルゴード理論」も成功裏に終了しました。当時の彼の主な関心はもはやカオスやエルゴード理論ではなく、行列固有値や多変数多項式方程式のホモロジー解に移っていましたが、彼の弟子である私たちはより多くの知識を得て視野を広げ、1980年代半ばまで彼の研究成果をより明確に理解することができました。実際、指導者の過去の仕事について何も知らないとしたら、どんな生徒になるでしょうか?良い生徒になるには、家庭教師の現在の仕事を理解するだけでなく、家庭教師が過去に何をしてきたかを知る必要があります。そうでないと、役に立たない生徒と呼ばれる可能性があります。これは科学の歴史を扱う方法と同じ原則です。偉大な万能数学者アンリ・ポアンカレ (1854-1912) はかつてこう警告しました。「数学の未来を予見したいのであれば、この科学の歴史と現状を研究するのが適切なアプローチだ。」この文章は、有名な数学史の本『古代と現代の数学思想』の著者であるモリス・クライン（1908-1992）の序文の冒頭に置かれました。歴史は鏡であるため、歴史を理解することと現在の状況を理解することは同様に重要です。ドイツの数学者ダフィト・ヒルベルト（1962-1943）の最も優れた弟子であるヘルマン・ワイル（1885-1955）は、かつて「数学の歴史を教えるのが好きだ」と述べたことがありますが、それは非常に理にかなっています。

会議のために北カリフォルニアに滞在していた間、私と家族は6月にアメリカ大陸の西海岸を旅行する計画を立てていました。これは私がアメリカに来て以来初めての長距離旅行になります。

ミシガンからサンフランシスコまで旅行した一か月間、私たち家族は道中の多くの場所に足跡を残しました。 NTU時代の多くの同級生や知り合いと再会しました。旅の最初の目的地であるイリノイ大学アーバナ・シャンペーン校で、私は偶然大学の同級生である胡卓欣と出会い、一晩中おしゃべりをしました。私はまた、南京大学化学部の1978年卒業生で、博士号取得のために米国行きの飛行機に私と同じ便で乗っていた李喬英とも再会した。それから私の家族はカンザスシティに行き、そこで韓国人の先輩である李洪九さんとその家族に温かく迎えられました。リー・ホンジュウはミズーリ大学カンザスシティ校で教鞭をとっています。モルモン教の拠点であるソルトレイクシティに到着した後、ユタ大学の博士課程の学生であるイン・グアンヤンさんが私たちを車で連れて行って、ソルトレイクの景色を見せてくれました。今、彼と私の元同級生だった他の2人の「江蘇省大学入試チャンピオン」は、「美しい夕日」の退職後の風景を楽しみ始めています。

サンフランシスコ湾岸地域に到着すると、博士号を取得したクラスメイトの張燕寧に会いました。スタンフォード大学で統計学の学位を取得。北京生まれの彼は大学で優秀な成績を収め、長距離走を愛していた。彼は中国科学院計算機センター大学院に入学し、さらに勉強するために海外へ渡りました。私がアメリカに留学した後、アメリカの昔の同級生から受け取った最初の手紙は、彼の熱意あふれる「歓迎のハガキ」でした。 2通目の手紙では、私の生まれたばかりの娘に「易志」と名付けたことを褒め、「君の文学的才能は素晴らしい」と書いてありました。その後、仕事で成功を収めた張燕寧は長距離走への情熱を失わず、有名なボストン国際マラソンを含むいくつかのマラソンに参加しました。

私は南京大学の7、8年生の数学の天才、戴江剛にも会いました。彼は現在、スタンフォード大学数学科で博士論文を執筆中です（現在はコーネル大学のオペレーションズリサーチおよび情報工学学部の教授、香港中文大学（深圳）のデータサイエンス学部の学部長を務めています）。 3月上旬、彼はサンフランシスコ国際空港まで私を迎えに行き、母と娘をデトロイト行きの搭乗ゲートまで連れて行ってくれました。私たちは美しいスタンフォード大学のキャンパスを散策し、この世界的に有名な大学を見学しました。母はキャンパスの中心にある有名な大聖堂の前で写真を撮りました。これは、1885年に彼女とともにこの学校を共同設立した鉄道王である夫を偲んでスタンフォード夫人が設立したものです。それから四半世紀後の2013年の感謝祭の前に、私はすでにそこで働いていた娘を訪ねました。雲ひとつない青空の下、私たち二人はこの美しい教会の前で写真を撮り、85歳の母に再びスタンフォードの壮大な建築を見せてあげました。

原稿の閃光

旅に出発する前に、李天燕教授は私に、彼がちょうど終えたばかりの講義の既成の講義ノートを基にした中国語の本の初稿を完成させるのを手伝ってほしいと頼みました。台湾の学術財団が彼にこの本の出版を依頼した。昨年、彼は日本のパデュー大学数学科の莫宗建教授（1940年～）と面会し、この講座開設の当初の目的の一つであったこの問題について議論した。リー教授は、私が授業に気を取られることなく本の執筆に集中できるよう、国立科学財団から授与された夏季研究助成金の一部を私に与えると約束してくれました。もちろんそうするつもりです。これは私が学んだ知識を統合する素晴らしい機会であるだけでなく、将来の学術論文執筆のための訓練の場も提供してくれます。

ミシガンに戻った後、私はすぐに仕事に慣れ、指導教官から割り当てられた本の原稿を書き始めました。本の基本的な枠組みはすでに形ができており、あとは予備知識として基礎的な部分を追加し、文章表現や言語記号を統一していくだけです。私は2か月間、休みなくデスクで働きました。これは私にとって、知識を再編成し、学術的な文章を書く練習をするプロセスでもあり、将来自分の本を書く練習をする素晴らしい機会を与えてくれます。さらに重要なことは、絶対連続不変測度を計算するための Ulam 法に関する章を執筆しているときに、偶然ひらめきが起こり、それが新しい研究の機会を生み出したことです。

李教授が出版を計画している中国語の本は、エルゴード理論で広く使用されている正の演算子の一種であるフロベニウス・ペロン演算子について主に解説しています。これは、積分を変えずに非負関数を非負関数にマッピングする線形演算子です。前者のプロパティは、「正の演算子」の定義です。この演算子の名前は 2 人のドイツの数学者から借用したものですが、実際には彼らとは何の関係もありません。この無限次元演算子が非負行列の優れた特性をいくつか継承し、1907 年にオスカー・ペロン (1880-1975)、続いて 1912 年にフロベニウスが非負行列の一般理論を確立したため、ウラムは著書『数学の問題』の中で、この演算子に彼らの名前を借用しました。 「他人の頭に間違った帽子をかぶせる」という現象は、数学の歴史では珍しいことではありません。たとえば、非線形方程式を解くニュートン法は、ニュートンによって正式に提案されたものではありません。彼は単にそれを多項式方程式の根を近似するために使用しました。ニュートン法の収束理論の体系的な研究は、20 世紀のロシアの数学者カントノビッチによるものとされています。微積分における不定極限を求めるロピタルの規則は、まさに「世界を欺き、名を盗む」結果である。この法則は、ギヨーム・ド・ロピタル（1661-1704）が1696年に著した本に掲載されていますが、実際にはスイスの数学者ヨハン・ベルヌーイ（1667-1748）によって発見されました。不変密度関数はフロベニウス-ペロン演算子の固定点です。 Li 教授の本の最初の数章は、演算子の不動点の存在定理と特性に関するもので、その計算は「フロベニウス-ペロン演算子の有限近似」と題された最後の章でのみ取り上げられています。内容は、Ulam の方法と、Li Tianyan による Ulam の予想と Losuda-York 区間写像族の収束の美しい証明です。

この章を書き終え、原稿全体が完成しようとしていたとき、突然、ある疑問が頭に浮かびました。計算数学の観点から見ると、最も単純かつ大まかなアプローチは、区分定数関数を使用して一般関数を近似することです。これを近似するために、区分線形関数や区分二次関数を使用できないのはなぜでしょうか?常識的に考えて、水平線を使用して懸垂線を近似すると、曲線上の 2 つの点を結ぶ線分を使用して近似するよりも精度がはるかに低くなります。それで好奇心が掻き立てられ、私はすぐにペンと紙を手に取って絵を描いたり計算したりしました。私は30年以上にわたり計算エルゴード理論の研究に取り組んできましたが、この千里の道程はここから始まります。これは、私が以前に行った内点アルゴリズムの研究とはまったく関係がなく、まったく異なる 2 つの世界に属します。私はアメリカで純粋数学の一分野であるエルゴード理論の基礎知識を習得し、南京大学で主専攻である計算数学でしっかりとした基礎を築いていたため、思考は比較的明確で、進歩もかなりスムーズでした。 Ulam の方法は、正値性と整数性を保持する構造保存アルゴリズムであると同時に、従来の射影アルゴリズムのカテゴリにも属していることに気付きました。そこで、この2つの方向で推進しました。すぐに、私は区分線形多項式または区分二次多項式に基づく 2 つの新しいクラスのアルゴリズムを構築しました。最初のタイプはガラーキン射影原理に依存し、もう 1 つのタイプは有限次元のマルコフ演算子を使用して構造を保持します。私はそれをマルコフ有限近似法と名付けました。ロシアの数学者にちなんで名付けられたマルコフ演算子は、フロベニウス-ペロン演算子よりも広義であり、非負関数の積分を不変にする正の演算子として定義されます。 ULAMメソッドが収束するLosuda-Yorkタイプ間隔マッピングの場合、新しいアルゴリズムの収束を証明します。高次の数値的手法がより速く収束することを証明するために、私は部門のSun Workstationコンピューター（コンピューター会社Sun Microsystems -Editor's Noteによって開始されたワークステーションを参照）を使用し、書いたFortranプログラムを入力し、計算と比較を実行しました。数値実験結果は、それらがULAMの方法よりもはるかに速く収束することを示しており、ギャップはLu Bu自身とのLu BuのRed Hare Racingと同じくらい大きいことを示しています。その後、2人の中国人教授が理論的には、ピースワイズ線形マルコフ有限近似法の収束率を研究しました。 1998年にLi教授と私が発行した後続の記事とともに、このタイプのアルゴリズムの収束率の理論と誤差の推定を最終的に確立しました。

1989年8月末に、Li Tianyan教授の中国のモノグラフの最初のドラフトを完了しました。副産物として、2つの研究記事も作成されました。私さえ驚いたのは、この本のドラフトを書いていないということでした。各章と各セクションは、基本的にLi教授のコースノートの概要に基づいています。私は最初にそれについて考えて、それを一度に書き留め、それが多くの執筆時間を節約しました。 2か月で、私は中国の本を起草しただけでなく、意味のある研究もしました。原稿を監督者に渡し、論文の最初の草案を提示したとき、彼は最初は驚きましたが、それを読んだ後に満足しました。それ以降、私は再び原稿の運命について尋ねたことはありません。残念ながら、Li Tianyan教授は、多項式方程式の数値解決策に関する壮大な研究プロジェクトで忙しく、基本的に混oticとした動的システムとエルゴジック理論の分野を去りました。その結果、彼はこの本を修正して完成させる時間がありませんでした。それどころか、私がメンターのコースでエルゴジック理論を学ぶことから開発した関心は、このユニークな執筆と研究の経験と相まって、インテリアポイントアルゴリズムを離れ、計算上のエルゴード理論に専念させました。私は長年これを楽しんできました。中国科学アカデミーの計算数学および科学的およびエンジニアリングコンピューティングの研究所からの周aihui博士と協力して、私は中国の大学院の教科書「2006年にティンゥア大学出版局を通じてティニン大学の統計的特性」を発表しました。

卒業と仕事

おそらく1989年10月のある朝、Li Tianyan教授は私のティーチング助教室に来て、親切に言った：「来年卒業したときに、これら2つの最新の記事を博士論文に編集することを検討できます」。私は感謝し、彼の取り決めに同意しました。 1986年1月に米国に来た私を除き、本土から直接採用された博士課程の学生は、1977年のクラスからのものでした（1977年のクラスは、有名な国内大学からのジリン大学を卒業した、Xiamen大学などを卒業しました、そして訪問者から自分自身を変えました。私たち全員が1986年8月に大学に入学しました。彼らよりも早く卒業できるのは当然です。昨年、1977年の北京ノーマル大学でのクラスの私の妹は博士号を取得して卒業しました。また、クレムソン大学の数学科の助教授として大学の教育地位を見つけました。当時、米国経済は依然として比較的強力であり、多くの新しい大学の教育職がありました。

仕事を見つけることの難しさは、経済状況や社会環境でさえ直線的に関連しています。 1957年、ソビエト連邦は宇宙への衛星を立ち上げ、それが米国に衝撃を与えました。トップリーダーの指揮により、アメリカの大学はすぐに拡大し始め、1960年代に新しい博士号が非常に需要があり、それぞれが大学で教育を教えることができました。その結果、その一部は、生来の欠陥または獲得された怠inessにより、非常に競争の激しい学術環境で失敗し、特に研究大学での治療が悪化し続けています。また、ミシガン州立大学の教授の間にはそのような人々がいます。上級教授の間の割合は低すぎません。私は一度覚えていますが、インストラクターは遠くから低い学業の地位の教授の事務所を指摘し、弟子に冗談を言った。 1974年にLi教授が博士号を取得したとき、アメリカの博士号の良い日は終わり、多くの日が仕事を見つけることができませんでした。彼は大学の教育地位を見つけることができて幸運でしたが、彼のような台湾の博士号は家に帰らなければなりませんでした。しかし、多くの人々は後に台湾の経済的ブームのために多くのお金を稼ぎました。彼はまた、彼の最初の博士課程の学生であるZhu Tianzhaoが台湾のZhu Tianzhaoが1982年に学位を取得したとき、状況は再び逆転し、彼はキャンパスのインタビューの機会の数に圧倒されたと語った。 Zhu博士は最終的にノースカロライナ州立大学を選びました。彼の研究パフォーマンスは傑出しており、6年後、彼は完全な教授に昇進しました。

しかし、私が期待していなかったのは、アメリカの大学教育雇用市場で最も深刻な新しいサイクルに間に合うように、1990年に卒業したということでした！幸いなことに、私は正式な助教授の役職を見つけましたが、それは別の話です。

2024年3月24日日曜日に書かれました

ハティスバーグサマーハウス

注：この記事は、2016年にコマーシャルプレスが発行した「アメリカ教育の個人的な経験：30年の経験と反省」の第6章「博士論文」に基づいて変更されています。

謝辞：物語の精度を改善する2つの改訂提案を提供してくれたHuijian Zhu博士に感謝します。

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

特別なヒント

1. 「Fanpu」WeChatパブリックアカウントのメニューの下部にある「特集コラム」に移動して、さまざまなトピックに関する人気の科学記事シリーズを読んでください。

2. 「Fanpu」では月別に記事を検索する機能を提供しています。公式アカウントをフォローし、「1903」などの4桁の年+月を返信すると、2019年3月の記事インデックスなどが表示されます。

著作権に関する声明: 個人がこの記事を転送することは歓迎しますが、いかなる形式のメディアや組織も許可なくこの記事を転載または抜粋することは許可されていません。転載許可については、「Fanpu」WeChatパブリックアカウントの舞台裏までお問い合わせください。