最も普遍的な公式: 「すべてを分解する」フーリエ変換方程式

そんな不思議な方程式があるんです。見た目は洗練されていてエレガントですが、習得するのは大変です。かつては数え切れないほどの学生がその抽象性と理解の難しさに憤慨していましたが、最終的にはその魔法の力によって変容し、世界観が変わりました。

最初に作成されたときは、熱問題における複雑な数学的計算を簡素化することを目的とした問題解決方法でした。宣伝後、その名声が、当初解決していた困難な問題を覆い隠してしまった。

幅広い用途にご利用いただけます。画像処理や星空の解釈、倒壊しにくい住宅の建設などが可能で、金融データ分析にも深く関わることができます。混合信号でも複雑な畳み込みでも、その魔法によって制御され、明確かつ簡潔で効率的なものになります。

これが偉大なフーリエ変換です。科学の歴史が方程式を使って書かれるなら、フーリエ変換は間違いなくその位置を占めるでしょう。それは、フーリエ変換自体が優れているだけでなく、他の優れた方程式と密接に関連しているからです。

1. フーリエはあらゆるものを分解する

フーリエ変換はなぜ便利なのでしょうか?あらゆるものを分解するのに最適なツールだからです。

科学や工学の分野では、物事を探求する場合も、問題を解決する場合も、研究対象の数学モデルから始めることが多いです。音、振動、イメージ、星の光...それらの機能的な具体化を見つけるには、表面を剥がして骨格を見る必要があります。

フーリエ変換はこれらの数学的な骨組みを分解します。その中心となる考え方は、空間と時間におけるあらゆるパターンは、異なる周波数の正弦波パターンの重ね合わせとして見ることができるというものです。信号が時間の経過とともにどのように変化するかの関数を提供すると、フーリエ変換によってその中に隠された周波数情報を見つけるのに役立ちます。地震に含まれるさまざまな振動を取得したり、オーディオ クリップからノイズを除去したり、宇宙マイクロ波背景を解釈したり、画像を処理して圧縮したりできます。

19 世紀初頭にこの変換を提案したとき、フーリエは宝物を見つけたとわかっていたものの、その影響力と重要性はおそらくフーリエ自身にも衝撃を与えたであろう。当時、フランス科学アカデミーはこの業績に対して複雑な態度を示していた。彼らは関連する公式を賞賛したが、フーリエの受賞した回顧録の出版を拒否した。

激怒したフーリエは1822年に検閲を回避し、フーリエ変換を『熱分析の理論』の中で発表した。 2年後、フーリエは科学アカデミーの事務局長として復帰し、却下された回顧録をアカデミーの権威ある雑誌に掲載した。

フーリエ変換は、公式出版から現在まで 2 世紀にわたって進化してきました。歴史的な観点から見ると、2 世紀はそれほど長い期間ではありませんが、新しい成果は常に古い成果に基づいて構築されます。フーリエ変換を最も直接的に分解することで、フーリエ変換が初めて登場した 19 世紀を超えて、さらに遠い過去まで遡ることができます。

2. 誰もが微積分が好き

フーリエ変換について語るとき、微積分は避けて通れない話題です。これは、変換自体に積分が含まれるからというだけでなく、フーリエがもともとこの変換をこのような方程式を解くために提案したからでもあります。

u(x, t)は、時刻tにおける位置xの金属棒の温度を表し、定数αは熱拡散率です。この式は温度の変化に焦点を当てていることがわかります。

現代的な観点からすると、変化を研究するために導関数を使用するのは自然なことです。もちろん、これは微積分が私たちの生活に完全に浸透しているからです。しかし、これ以前の長い間、学者はまず異なる期間における平均的な状態を推定し、次に物体の状態の全体的な変化の法則を推測する必要がありました。

17 世紀の微積分の誕生は理性の時代の到来と一致し、偉大な科学者の奇跡の年が到来しました。当時、ペストから身を隠していたニュートンは、故郷の農場で世界を揺るがす物理学の研究をいくつか成し遂げた。これらの問題を解決する過程で、彼は変化の表現と計算に限界の概念を導入するための高度な数学的ツールを発見しました。

微積分学も出版後論争に巻き込まれたが、今回の論争の最大の焦点は「これが機能するかどうか」ではなく「誰がこれを発明したか」であった。同じ頃、もう一人の偉大な科学者、ライプニッツも別の方法で同じ方法を発見しました。それ以来、「微積分の父は誰か」という問題は火薬庫の導火線となり、激しい口論に発展する可能性が高まった。

しかし、両者のこれまでの研究をさらに見ていくと、人類は古くから無限と限界に興味を抱いてきたことがわかります。 1656 年までに、ウォリスの『無限数の算術』は微積分学の前身を提案し、フェルマーは 1679 年に『曲線の接線について』で微積分学に密接に関連する重要な問題を提起しました。微積分の誕生は差し迫っており、歴史はニュートンとライプニッツを同時に選んだのかもしれません。これは偶然であり、必然でもありました。

3. 非伝統的な虚数

フーリエ変換においてもう一つ重要な要素は虚数単位 i です。

多くの人の印象では、虚数は比較的新しい概念です。結局のところ、その定義は型破りなパンク スタイルを明らかにしています。これは実際には負の数の平方根を取った結果です。

実際、虚数は歴史的に見ると少々幽霊のような概念です。学者たちはずっと昔に、負の数も二乗できると仮定すれば、行き詰まっている方程式のいくつかは抜け道を見つけることができることを発見しました。その後、実用性と好奇心から、人々は虚数の使用を試み始めました。しかし、デカルトやニュートンを含む初期の数学者は、虚数を問題に解法がないことの兆候として解釈しました。虚数に大きな期待を抱いていたライプニッツでさえ、虚数が何であるかを知らなかった。

17世紀から19世紀初頭にかけて、状況は徐々に変化しました。数学者は、虚数と実数が同じグラフ上に表示される複素平面を提唱しました。それはもはや無形の概念ではなくなりました。

もちろん、もっと重要なものがあります。それは、18 世紀半ばに発表されたオイラーの公式です。

z=π のとき、式はさらに驚くべきものになります。

したがって、虚数 i は、数学で最も有名な 2 つの数である e と π を 1 つのエレガントな方程式に組み合わせます。すべてが突然明らかになり、後に物理学者ファインマンはそれを「我々の宝物」および「数学における最も驚くべき公式」と呼んだ。

虚数は何百年も科学界の裏で漂っていたが、ついに主流に受け入れられ、19 世紀に普及し始め、微積分と組み合わせて使用​​することで予期せぬ結果を生み出した。今日、複素関数と積分変換は、多くの理系の学生にとって頭痛の種となる必須科目となっています。

4. 古代と現代の三角関数

フーリエ変換には、虚数や微積分と同じくらい重要な別の部分があります。それは何ですか？小学生でも知っている三角関数です。

フーリエ変換の中心的な考え方に戻ると、空間と時間内のあらゆるパターンは、異なる周波数の正弦波パターンの重ね合わせとして見ることができます。ここでは三角関数が分解されたコンポーネントとして機能し、小さく、精巧で、簡潔で、明確です。もちろん三角関数は数学の世界でも宝物です。長い歴史があり、決して時代遅れになることはありません。

まず、三角関数が存在する理由についてお話ししましょう。直角三角形は次の規則に従うからです。

これはピタゴラスの定理であり、少なくとも 2000 年以上前に提唱されました。学者が要約して書き留める前から、この法律は職人の間ですでに広まっていたという証拠さえあります。これは三角法の基礎であり、三角関数の基礎です。

古代人が三角法の研究に熱心だった主な理由は、巨大な物体の大きさを推定するのに三角法が役立つと知っていたからです。代表的な用途としては、天文学、測量、地図作成、ナビゲーションなどがあります。古代ギリシャ、古代インドから後のアラブ世界、ヨーロッパに至るまで、三角法は普及と発展の過程で文明の興亡を目の当たりにしてきました。

しかし、従来のアプリケーションでは、三角法は特定の幾何学的問題に限定されることがよくあります。三角関数をより幅広い分野で役立てるには、より柔軟な定義が必要です。

解析幾何学と解析の出現により、人々の視点は変化し始めました。最終的に、18 世紀にオイラーは「無限解析入門」を出版し、直交座標系の単位円を使用して三角関数を再定義することを提案しました。次に、これらの長年の概念が複素数と連携して連続して現れるようになり、話は前述のオイラーの公式に戻り、もちろん、話題に尽きないフーリエ変換にも戻ります。

フーリエ変換については興味深いことが数多くあります。たとえば、フーリエの熱方程式とダランベールの波動方程式は非常に似ていますが、大きく異なります。たとえば、フーリエ変換のさまざまな形式。たとえば、フーリエやウェーブレットなどです。

実際、それぞれの方程式は歴史の糸に張られた真珠なのです。それらはすべて宝物であり、他の宝物を見つけるためのヒントです。科学の発展は密接に結びついており、世界を変える多くの方程式は密接に結びついています。それらを理解するプロセスは、物語を読んだり事件を解決したりするようなものです。手がかりが集まり、未来を指し示すとき、言葉では言い表せない素晴らしさを実感します。