それは人類にとって未だに解明されていない謎です。

π は数学において非常に重要な数字です。円周率（円の円周と直径の比）の意味は皆さんご存じだと思いますが、円周率の値を計算する方法はご存知ですか？家庭にある普通の針やキビを使って円周率を計算できることをご存知ですか?

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円周率を計算する古典的な方法

古代の人々は、円の円周と直径の比率は一定であることをずっと昔に認識し、この値を大まかに測定しました。測定方法は、円の円周と直径を別々に直接測定し、それらを比較するというものでした。

しかし、古代に描かれた円は完全な円ではなく、測定精度も不十分であったため、この方法で得られるπの値には大きな誤差が生じます。唐代の楊璋は『訓天賦』の中で「三つの円の円周は一つで、その直径は天の極と異なり、東井と南北星は曲率と直線性において天の川と異なる」と記している。古代の人々はπ=3であると信じていたことがわかります。

実際、三国時代のすでに中国の数学者劉徽は、円周率を正確に計算する方法、つまり円を分割する方法を発明していました。これは、中国数学史上初めて、円周率を任意の精度で数学的に計算する反復アルゴリズムでもあります。

円分割法の原理：緑は六角形、青は十二角形です。正十二角形の面積は円の面積に近いことがわかります。辺の数が増え続けると、面積は円に近づきます。

画像出典: wikipedia

劉慧の円分割法は、円面積の計算式 S=πR² に基づいています。

劉徽は円を分割する方法において、限界の考え方を適用しました。彼は、上図のように円を多角形に分割した場合、分割が細かくなるほど多角形の辺の数が増え、多角形の面積は円の面積にどんどん近づいていき、最終的には差がなくなると考えました。次に多角形の面積を計算すると、πの値が得られます。

南北朝時代の有名な数学者、祖崇志は、劉徽の円を12,288の多角形に11回分割する方法を用いて円周率π=3.1415926という値を導き出しました。これは、ほぼ1000年にわたって世界で最も正確な円周率の値でした。

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円周率を計算するこれらの方法は非常に興味深い

幾何学的な方法を使用するだけでなく、前の記事で述べたように、針やキビを使用して円周率を計算するなど、円周率を計算する興味深い方法もいくつかあります。

18 世紀、数学者ビュフォンは次のような疑問を提起しました。平行かつ等間隔の木目で敷き詰められた床があるとします (下図参照)。今度は木目間の距離よりも短い長さの針をランダムに投げます。針が木目と交差する確率はどれくらいでしょうか?これはビュフォンの針問題です。

ビュフォンの針問題 画像出典: Wikipedia

ビュフォンの針投げパズルを解くには、確率論と微積分に関する一定の知識が必要です。この記事では導出プロセスについては詳しく説明しません。針の長さが l、平行線間の長さが t で、t>l の場合、針とテクスチャが交差する確率は次のようになります。

実際の針投げの過程では、針を n 回投げて、そのうち h 回だけがテクスチャと交差するとします。この時点で、実際に投げられる針の数が増えるほど、計算される π の精度が高くなることがわかります。

π の値を計算するこの方法では、針を何度も投げる必要があるため、危険である可能性があります。そこで、次に紙とキビだけを使ってπを計算するリスクのない方法、円の面積の公式を使ったモンテカルロ法を紹介します。

辺の長さが 1 の正方形の紙があるとします。正方形の 1 つの頂点を中心とし、正方形の辺の長さを半径として、紙の上に四分の一円を描きます。では、正方形上の点をランダムに選択した場合、その点が四分の一円の内側にある確率はどれくらいでしょうか?

賢明な読者の皆さんはすでにこの質問の答えを出していると思います。つまり、円の 4 分の 1 の面積は正方形の面積に等しい、つまり P = π/4 です。 n 個の点を投げて、そのうち h 個が四分の一円内にある場合、次のことがわかります。

ランダムに点を投げてπの値を推定する 画像ソース: wikipedia-nicoguaro

しかし、十分に正確なπの値を得るためには、投げる回数nを非常に大きくする必要があるので、この実験は通常コンピュータ上で実行されます。この実験にキビと紙を使用すると、キビを数えるのに長い時間がかかるかもしれません（もちろん、視力にも負担がかかります）。

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パイ、どこにでも

円周率は数学において非常に重要な意味を持ち、円の面積を計算するためだけに使われるのではありません。予想もしなかった問題に π が突然現れることはよくあります。たとえば、数学でよく知られている問題にバーゼル問題があります。

いわゆるバーゼル問題とは、次の級数の合計を求めることです。

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この問題は、1644 年にピエトロ メンゴリによって初めて提案され、1735 年に偉大な数学者オイラーによって解決されました。この数列の合計がおよそ 1.644934 に等しいことは比較的簡単に計算できます。

数学者は、この数列が π とどのように関係するかについて考えたことがありませんでした。しかし、1735 年のオイラーの証明では、この級数の和は であることが示されました。これは数学界に衝撃を与え、オイラーを有名にしました。

この級数は後にリーマンによって一般化され、数学における最大の問題の1つである「リーマン予想」の本質であるリーマンゼータ関数を定義しました。

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円周率を計算する現代的な方法

前のセクションを読んだ後、読者の中には次のように考えた人もいるかもしれません。「この式を使って π を計算できるだろうか?」

結局のところ、自然数の逆数と二乗を計算することは、円を切るよりも簡単で、針やキビを投げるよりも信頼できるようです。この質問に対する答えはもちろん「はい」です。現在では、π の計算は級数法を適用して解決されています。

しかし、級数を使ってπを計算する効果はあまり良くありません。数百の項まで計算されたπの精度は、まだ祖崇志ほど高くありません。この時、一人の天才の出現がこの現象を変えました。彼は数学の天才、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンでした。

彼は直感（または手順を飛ばしたり、数感覚と呼んだり）に基づいて公式を導き出すことに慣れており、証明を好まないが、彼の理論は後になって正しいことが証明されることが多い（学生や友人は彼から学ぼうとすべきではない。そうすると試験で点数が取れなくなる）。

ラマヌジャンは数学に多大な貢献をしましたが、残念ながら32歳という若さで亡くなりました。20歳で亡くなったガロアや26歳で亡くなったアーベルと同様に、彼の早すぎる死は数学界にとって大きな損失です。

なぜ彼は数学の天才だと考えられているのでしょうか？彼が「夢見ていた」と主張するいくつかの公式を見てみましょう。

ラマヌジャンが示したいくつかの公式

ラマヌジャンの研究に基づいて、数学者は円周率を計算するために一般的に使用される公式、チュドノフスキーの公式を提案しました。この式を使用すると、1 つの項を計算すると、π の項が 12 個以上得られます。数学者は現在、この公式を使用して π の 62.8 兆桁を計算しています。

チュドノフスキー式

さらに、ベイリー・ボーウィン・プルーフの公式（BBP 公式）など、円周率を計算するための非常に興味深い公式がいくつかあります。この公式では、16 進数の円周率の任意の桁を前の桁を計算せずに計算できるため、円周率の共同計算が可能になります。

BBP 式

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円周率は完全に計算できますか？

古代から現在に至るまで、数学者は、π が、最後まで計算される、特定の位置の後で繰り返される、またはより単純な代数式として表現されるなどの特別な特性を持つと予想してきました。

しかし、この希望は、前回の記事で述べたガロアが創始した群論によって大きく打ち砕かれました。この理論は、π が超越数であること、つまり、π はいかなる代数方程式の根でもなく、有限の長さの代数的数で構成される代数式の形で表現できないことを示しています。 π の値を正確に表すには、上記の無限級数または積分のみを使用できます。

しかし、数学界はπについて新たな推測を持っています。彼らは、π は「正規数」であり、π に現れる各数の確率が等しいことを意味すると信じています。この推測は証明されていません。

しかし、コンピュータ科学者は徹底的な列挙を通じて、π には 8 桁の数字がすべて含まれていることを証明しました。つまり、誕生日、卒業式、結婚記念日など、すべての日付が π で表示されることになります。あなたの誕生日がπのどの数字に該当するかを今すぐ確認してみませんか?

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円周率を知る必要はありますか?

現在の円周率の計算は、実用範囲をはるかに超えています。数十桁の円周率を使用して冥王星の軌道の半径に等しい円の円周を計算する場合の誤差は、すでに原子核のスケールよりも小さくなります。

現在、円周率の計算は主にスーパーコンピュータの計算能力をテストするために使用されています。メルセンヌ素数や双子素数を見つけるのと同じように、円周率を計算することは、スーパーコンピュータが必ず実行しなければならない「大きなテスト」です。しかし、最も強力なコンピュータでも π を完全に計算することはできません。 π にはまだ人類の探求を待つ無限の秘密が隠されています。

おそらく将来、人類は劉徽、祖崇志、オイラー、ラマヌジャン、その他多くの先人たちに誇らしげにこう言えるようになるでしょう。「我々はπを完全に理解した。」

この記事は中国科学普及協会が作成し、中国科学普及博覧会が監修しています。

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