この数列を前に、人間の計算能力だけでは不十分かもしれない

ドイツの数学者デデキントが1897年に「デデキント数」の定義を与えて以来、数学者は2023年まで9つのデデキント数を発見していません。この数は42桁で、現在利用可能な最も強力な計算能力を使い果たしました。 10番目のデデキント数はいつ見つかるのでしょうか？

張和智著

デデキント数は、ドイツの数学者リチャード・デデキント (1831-1916) にちなんで名付けられ、1897 年に初めて定義された、非常に急速に増加する一連の数です。1991 年に、数学者は 23 桁の長さの 8 番目のデデキント数を発見しました。 30年以上経った2023年、数学者はついにその数列の9番目の数字を計算した。その数字は42桁だった。デデキント数の計算は今日のコンピュータの計算能力に大きく左右されるため、10 番目のデデキント数がいつ得られるかはまだ不明であり、まだかなり先のことと思われます。

デデキント数とは何ですか?

画像はWikipediaより

両方の演算に対して閉じており、分配法則を満たしています。このような代数構造は（分配）格子と呼ばれ、この構造を最初に研究したデデキントは格子理論の先駆者とも考えられています。格子理論は、抽象代数、論理学、理論計算機科学などの分野で非常に重要な役割を果たします。デデキントの死後、彼の格子理論の研究に誰も注目しなくなった。 1930 年代になって、アメリカの数学者ジョージ・デイヴィッド・バーコフが普遍代数学の研究の過程でデデキントの業績を再発見し、それ以降、格子理論は正式に歴史の舞台に登場しました。デデキント自身が発見しなかった第5のデデキント数も、この時期にアメリカの数学者アロンゾ・チャーチによって発見された。

M(5)からM(8)へ

M(9)を求めての長期にわたる

FPGA は Field Programmable Gate Arrays の略で、中国語では「フィールドプログラマブルロジックゲートアレイ」と翻訳されます。簡単に言えば、これはロジック合成などのツールを使用してロジック回路をすばやく焼き付けることができる半カスタマイズされた集積回路であり、独自に設計した並列アルゴリズムを実装できます。 Van Hetum 氏は論文の理論的設計に取り組んでいたときに、FPGA を搭載したスーパーコンピュータを探していました。最終的に手を差し伸べてくれたのは、ドイツのパーダーボルン大学だった。

スーパーコンピュータ Noctua 2 は、パーダーボルン大学のパーダーボルン並列コンピューティングセンターにあります。このコンピュータには世界最大級の FPGA システムが搭載されており、並列コンピューティングセンターの責任者は、Van Hertum 氏と Cosmark 氏の意図を知り、その使用要求を快く受け入れました。彼らにとって、スーパーコンピュータを使用してこのような複雑な組み合わせの問題を解決することは、システムの安定性と信頼性にかなりの要求がかかる非常に困難な作業でもあります。機器をテストする絶好の機会でもあります。数年にわたる開発を経て、このプログラムは昨年ようやく稼働を開始しました。ヴァン・ヘルトゥム氏もルーヴェン大学を卒業し、博士号取得のためにパーダーボルン大学に入学しました。

プログラムは5か月間実行され、2023年3月8日にようやく最終結果が得られました。

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参考文献

[1] イェケル、クリスチャン (2023-04-05)。「9番目のデデキント数の計算」。 arXiv:2304.00895 [math.CO]

[2] ヴァン・ハータム、レナート (2023-04-06)。「FPGAスーパーコンピューティングを使用したD(9)の計算」。 arXiv:2304.03039 [cs.DM].

[3] パトリック・デ・コースマッカーとステファン・デ・ワネマッカー。有限宇宙における集合の反連鎖の数について、2014 年。

[4] ユスン、TJ：デデキント数と関連数列（2008）

[5] 第9デデキント数発見：科学者が数学における長年知られた問題を解決、https://phys.org/news/2023-06-ninth-dedekind-scientists-long-known-problem.html

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

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