数学の歴史におけるこの偉大な功績はアラブ人によるものなのでしょうか?

この記事では、「代数学」という言葉の由来、「九章算術」における代数学の内容、9 世紀のアラブの数学者アル・フワーリズミーと彼の「代数学」の主な内容と影響など、代数学の初期の発展について簡単に紹介します。豊富な歴史資料を通じて、代数学の初期の歴史をより包括的に理解することができます。

郭元元（中国科学院自然科学史研究所）著

代数学は数学の最も重要な基礎分野の一つです。代数学は発展の順序によって初等代数学と抽象代数学に分けられます。初等代数学は、19 世紀前半以前の方程式の理論を指します。主に、ある方程式（方程式群）が解けるかどうか、方程式のすべての根（近似根を含む）をどのように見つけるか、方程式の根のさまざまな性質について研究します。 19 世紀の終わりに、代数学は方程式の理論から代数演算の研究へと移行し、抽象代数学への序章が開かれました。

代数学はどのように始まったのでしょうか?算術は代数学より前に存在していました。代数と算数の主な違いは、代数では未知の変数を導入し、問題の条件に基づいた方程式を立て、その方程式を解いて未知の値を見つける必要があることです。古代エジプト、バビロン、古代ギリシャ、古代中国などの古代文明には散発的に代数的な内容が見られますが、代数と算術は長い間一緒に存在してきました。代数学が数学の独立した分野として発展したのは中世のアラブ人によると言われています。最も古い代数学の著作は、9世紀初頭のアラブの数学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル・ホワリズミー（780年頃 - 850年頃）による『簡約と相殺の書』（略称は『代数学』、820年頃）であり、初等代数学の誕生を象徴するものである。

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「代数」という言葉の起源

実際、今日の中国語の「代数学」という言葉は、古典的な中国の数学から来ているのではなく、アル・フワーリズミーの『還元と消滅の書』（kitāb al-jabr wa-al-muqābala）のタイトルに由来しており、その中で「al-jabr」は「還元」を意味します。アル＝フワーリズミーはこれを、方程式の片側で減算された量が方程式のもう一方の側に移され、加算された量になる演算として定義しました。たとえば、5x+1=2-3x は 8x+1=2 となり、これは「削減」プロセスです。タイトルの「al-muqābala」は、方程式の両辺にある類似の正の項を消去することを意味します。たとえば、8x+1=2 は 8x=1 になり、これは「消去」プロセスです。その後、アラブの数学者たちは「簡約と相殺」の代わりに「簡約」という用語を徐々に使い始め、それがゆっくりと今日の方程式の簡略化における項の移動や同類項の結合へと進化していきました。その後、アラビア代数学がヨーロッパに導入され、「reduction (al-jabr)」という単語が英語の「algebra」という単語に進化しました。

16 世紀末にヨーロッパのイエズス会宣教師が中国にやって来て、明朝末期から清朝初期にかけて西洋の学問が東洋に広まり始めた。康熙帝の治世51年（1712年）頃、イエズス会宣教師ジャン＝フランソワーズ・フーケ（1665-1741）が中国に初めて記号代数を導入し、康熙帝のために『代数の新法』を著しました。 「Algebara」はalgebraの音訳です。さらに、この単語は「アル・ジュバール」、「アル・ジェバダ」、「アル・ジェバラ」とも翻訳できます。上記の中国語訳について、清末の『中西新聞記』には次のように記されている。

アラブの国に「Ala Rebalai Ala Mogabala」という数学の本があります。名前の意味は補完法であり、また除去法でもあります。 [Ala はそれの、Rebalai はエネルギー、そして分数を整数に変換するアルゴリズムを意味します。モガバラは相対的、比較、平等を意味し、互いに交換することを意味します。年月が経つにつれ、お互いを補い合うようにアルジェバラと呼ばれるようになりました。

康熙帝以後、アルジェバラの教えは「東洋の方法」と誤解されて広く流布され、「西洋の学問は東方発祥」という理論の基礎となった。同時に、康熙帝は台州の進士である陳厚堯（1648-1722）の「数学に関する本を編纂して世に役立てる」という提案を受け入れた。康熙帝の治世51年（1712年）、彼は孟阳寨（西洋では中国の皇室書院として知られている）を開設する勅令を出した。また、梅文迪（1633-1721）の孫である梅玉成（1681-1763）に居人という爵位を与え、『孟羊斎』の編纂者に任命した。彼は雲之、雲禄らとともに『算理精髄』の編纂に着手し、康熙帝61年（1722年）に完成させた。この本は、明代末期に中国に導入された西洋の数学知識をまとめたもので、当時の中国の数学者の研究成果も取り入れています。 『数学の真髄』第 2 巻の第 31 巻から第 36 巻には、「平方比例への根の借用」が収録されており、多項式の加算、減算、乗算、除算の規則を紹介し、プラス記号、マイナス記号、等号、転置などの概念を紹介して、代数的手法を使用して高次方程式の解を求めます。第31巻には、「借根・借平方とは、根数と平方数を使って実数を求める方法である」とあります。 「ルート数」は未知の数であり、「平方数」はルート数の正の指数乗です。梅居成は、「結根坊」の西洋名「阿礼八達」は「東方から伝わった方法」であると信じていた。これは宋代と元代の「李天元儀」の技法の産物であり、西域に広まり、その後再び広まりました。このように、明清時代に導入された西洋の代数学「解元方」は、乾隆・嘉慶時代の学者たちに宋・元時代の数学古典の探究を促し、アレクサンダー・ワイリー（1815-1887）などの西洋の学者たちに中国と西洋の数学文化を比較し、交流し、お互いに学ぶ機会を提供しました。

1720年代以降、宣教師たちはアヘン戦争後に港を開くことを余儀なくされるまで、本土での布教を禁じられていた。西洋数学の導入は基本的に中断され、1850年頃まで続きました。1847年、イギリス人のアレクサンダー・ワイリーが中国語を学ぶために上海に来ました。 1853年、彼は西洋数学を紹介するために中国語で『数学啓蒙』を執筆した。 **アレクサンダー・ワイリーは「数学入門」の序文でこう述べています。「代数学や微分積分学に関する本は数多くある...」中国語の「代数学」が数学の分野名として使われたのはこれが初めてでした。 **1859年、李山蘭（1811-1882）とアレクサンダー・ワイリーは『微分積分学への十段階』と『代数学』を英語に翻訳した。 『代数微積分十段階』のベースは、アメリカの数学者E.ルーミス（1881-1889）が1851年に書いた『解析幾何学と微積分』です。『代数学』の原典は、イギリスのオーガスタス・ド・モーガン（1806-1871、翻訳名は古い書物から取られ、現在ではド・モーガンと訳されることが多い）が1835年に書いた『代数学原論』です。中国語に翻訳された際に『代数学』と名付けられました。これは私の国で「代数学」と名付けられた最初の本です。 **本書では、「代数」という言葉は「文字を使って数を表す」こと、つまり、A、B、C、Dの要素を使って既知の数を表し、天、地、人の要素を使って未知の数を表すことを意味すると指摘しています。翻訳における代数用語は中国の伝統的な代数学『天元書』に由来しているが、「借根法」が「東洋法」であることを否定している。 『代数学』の出版から10年以上が経過したが、中国における記号代数の普及は順調ではなかった。 1872年になってようやく、華恒芳（1833-1902）とジョン・フライヤー（1839-1928）による『代数学の原理』の翻訳が出版され、西洋の記号代数学が人気を博し、普及しました。

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アル・フワーリズミー以前の代数学

数値間の算術演算と比較すると、初等代数の巧妙な点は、未知数の問題を扱うプロセスが通常機械化されている点にあります。まず、未知数を「何か」または「量」（今日では一般的に x として設定）として設定し、方程式を確立します。そして、方程式を標準形式に簡略化する過程で、この「何か」または「量」は、既知の数値のように、「項の転送」、「マージ」、「キャンセル」などの操作に参加することができ、人間の脳が本来実行する必要がある複雑な条件分析プロセスを置き換えることができます。これは算盤を使って算術演算を実行するようなものです。そろばんの形状、公式、機械的なビーズを使用することで、人々は多くの頭脳労働を代替し、長期間にわたって正確な計算を行うことができます。

読者の中には興味を持つ人もいるかもしれません。 2,300 年前には古代ギリシャの数学者ユークリッド (紀元前 330 年頃 - 275 年頃) が著書『原論』の中で複雑な図形の問題を解決し、今日の幾何学の基礎を築きました。上記の一見「単純な」代数的アイデアはなぜ西暦 9 世紀初頭までしか遡れないのでしょうか?実際、上記の基礎的な代数の内容は、古代ギリシャ、古代インド、古代中国の初期の数学文明に多かれ少なかれ見出すことができます。以下は、中国古典数学の『九章算術』の方程式の章を例に挙げます。

漢代に書かれた『九章算術』第八章に示された方程式法は、現在の線形方程式を解く方法に相当し、『九章算術』の最も優れた数学的成果の一つである。この章の最初の質問では、章全体の概要となる方程式の方法を紹介します。この章の 18 の問題はすべて方程式法を使用して解く必要があります。 2 番目の質問は、方程式を書く方法である損益計算法に関する質問を提起します。 3 番目の質問は、消去法のプロセスで、または方程式自体が現れるときに負の数を処理する方法である、正法と負法の問題を提起します。これは方程式法に必要な補足です。

x、y、z が『九章算術』の最初の質問の実際の斗の数を表す場合、次の線形方程式系が得られます。

次に、直接除算を使用して変数を除去します。いわゆる直接除算法は、行全体から行全体を減算する方法です。ここでの方程式の立証と消去変換は位置システムを採用しています。各数字は、それがどの項目の係数であるかを示す必要はなく、その位置によって表されます。これは、現代数学の分離係数法と一致しています。 「九章数学術」における方程式の表現は、その拡張行列をリストすることと同等であり、消去プロセスは行列変換と同等です。たとえば、質問 1 の消去プロセスは、拡張行列変換と同等です。

損失と利益の方法は、「数学の芸術に関する九章」で方程式を確立するときに使用される重要な方法です。方程式の章の 2 番目の質問は、「損失はゲインと呼ばれ、ゲインは損失と呼ばれます」というものです。 「損して得を得る」とは、関係の一方がある金額を失うと、もう一方が同じ金額を得るということである。同様に、「得ることは損失と呼ばれる」とは、関係の一方側が一定の金額を得ると、もう一方が同じ金額を失うことと同じであることを意味します。損益法は、現在の方程式内の項を等号の一方の側からもう一方の側に移動し、項を移動した後に符号を変更することと同じです。たとえば、2 番目の質問の元のタイトルは次のとおりです。現在、上の穀物は 7 束あり、穀物は 1 斗減らされ、下の穀物は 2 束追加され、穀物は現在 11 斗です。上層と下層の粒子がそれぞれ x と y であると仮定すると、これは (7x-1)+2y=10 という関係を与えることに相当します。損益法を使用すると、この式は 7x+2y=11 に変換できます。 『九章算術』の方程式の章では、負の数も紹介され、正の数と負の数の加算と減算の規則も提案されていますが、これは今日の方法と変わりません。負の数の導入は数体系のもう一つの重要な拡張であり、古代中国の重要な功績です。

『九章の数学術』の方程式の章における「損失と利益」

古代中国の数学者の業績に驚嘆すると同時に、私たちは、古代の数学知識が文明間で普及し、進化していく過程が、通常、一つの「マイルストーン」から次の「マイルストーン」へと進む「ホイッグ史」的な過程ではなく、非常に複雑で多様な過程であることを認識すべきです。これまでのところ、上記の古代中国の代数的思想がアル・フワーリズミーに影響を与えたという証拠はない。同様に、アル・フワーリズミーの『代数学』には、ユークリッドの『原論』やディオファントス（246年頃 - 330年）の『算術』など古代ギリシャの数学書に見られる代数学の痕跡は見られません。アル・フワーリズミの『代数学』は、いくつかの個別の問題においてインド数学の特徴を反映しているものの、言語表現、章の構成、アイデアの提示の点でその独創性がより顕著に表れています。

古代の数学知識のこの非線形特性は、文明間の普及と進化の過程で多くの例が見られます。たとえば、15 世紀初頭、ペルシャの数学者アル・カーシュ (c. 1380-1429) は、3 次方程式の数値解法を使用して sin1° の任意精度値を取得し、正弦表の精度を向上させましたが、このアルゴリズムはヨーロッパには導入されませんでした。 16 世紀半ば、オーストリアの数学者レティクス (1514-1574) は、高精度の正弦表を解く研究を始めました。ドイツの数学者ピティスカス（1561-1613）が、1595年に出版した著書『三角法』で、200年近くも前のカシーの業績を達成したのは、それから半世紀後のことでした。1631年に、ドイツ人宣教師ジャン・テレンツ（1576-1630）が『三角法』に基づいて『大算』を編纂して中国に紹介したとき、彼は『大算』に上記のアルゴリズムを含めませんでした。中国の数学者が独自に上記のアルゴリズムを研究し習得したのは1722年の『数学要』で初めてでしたが、この時点ではカシーが問題を解決してから300年が経過していました。

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アル＝フワーリズミーの生涯と代数学の主な内容

アル＝フワーリズミーの生涯については情報がほとんど残っていないが、これは有名な古代数学者の間では珍しいことではない。例えば、古代ギリシャの数学者ユークリッド、古代中国の数学者劉徽（紀元3世紀）、賈仙（11世紀）の生涯に関する情報もほとんどありません。アル・フワーリズミーのフルネームはムハンマド・イブン・ムーサー・アル・ホワーリズミーです。アラブ人の名前の特徴によれば、彼の名前はムハンマドであるはずです。 「ベン」は息子を意味するので、「ベン・ムサ」は彼の父親がムサと呼ばれていたことを示しています。最後の単語は彼が中央アジアのホラズム地方から来たことを示しているが、彼の父親やその先祖がいつバグダッドに来たのかについては何も分かっていない。私たちが知っているのは、彼がバグダッドに住んでいて、他の場所には行かなかったということだけです。アル＝フワーリズミーは、数学、天文学、年代学、地形学、歴史など、幅広い分野を網羅した 12 の著作を執筆しました。彼の数学の著作には「代数学」のほかに、「インド算術書」という本もあり、アラブ世界で初めてインドの十進法と関連する計算方法を体系的に紹介した。

9世紀初頭にアラブ地域にアル・フワーリズミーのような偉大な科学者が現れたのは偶然ではありませんでした。それは政治、経済、文化など多くの要因が複合的に作用した結果でした。アル・フワーリズミーは西暦8世紀の最後の10年間に生まれ、当時学問が盛んだったバグダッドで教育を受けたと推定されています。アッバース朝の第7代カリフ、アル・マムーン（813-833）は、バグダッドに「知恵の家」を建設し、「翻訳の世紀運動」を開始しました。この期間中、アル＝フワーリズミーは「知恵の家」で働くよう招かれ、「代数学」を完成させ、その本の序文でマムーンへの尊敬と感謝の意を表した。アル・フワーリズミーは、第9代ハラファーのアル・ワスィク（在位842-847年）が亡くなった西暦847年まで生きていました。

1983年に発行されたアル・フワーリズミの記念切手

アル・フワーリズミーの『代数学』の本文は、二次方程式の理論、貿易問題（三率法）、幾何学的測定問題、継承問題の 4 つの部分に分かれています。この本は、根 (つまり線形項)、平方 (つまり二次項)、および数 (つまり定数項) で構成される 6 種類の標準方程式の紹介から始まります。

1. 平方はルートに等しい (ax^2=bx)

2. 平方は数 (ax^2=c) に等しい。

3. 根は数に等しい (bx=c)。

4. 平方根と平方根の合計は (ax^2+bx=c) に等しい。

5. 平方数と数の合計は平方根に等しい (ax^2+c=bx)。

6. 根と数の合計は平方に等しくなります (ax^2=bx+c、ただし a、b、c＞0)。

アル＝フワーリズミーは方程式を構築する際、正の根を持つ方程式のみを考慮しました。簡略化された標準形式の方程式は、いくつかの正の項の合計が他の正の項の合計に等しくなければなりません。正の根の存在を保証するという前提において、上記の 6 つの方程式は、現代の二次方程式 ax^2+bx+c=0(a, b, c∈R) の標準形と同等です。最初の 3 種類の方程式の解は比較的単純です。最後の 3 種類の方程式については、アル・フワーリズミーはまず二次項の係数を 1 に減らし、次に根を求める公式を言葉で詳しく説明しました。たとえば、5 番目のタイプの方程式は次の式と同等です。

アル・フワリズミー代数 (1342 年版)

上記の 6 つの方程式は標準形式ですが、質問に応じてリストされる方程式は通常異なる形式になるため、アル・フワーリズミーは方程式を簡略化する方法、つまり多項式演算の簡単な規則を示しました。この本の第 2 部と第 3 部 (貿易問題と幾何学的測定問題) は非常に簡潔です。この本の後半では、本質的には複雑な線形方程式であるイスラムの相続法に関連する 58 の相続問題について説明します。最も簡単な最初の質問を例に挙げてみましょう。

ある男が二人の息子を残して亡くなり、全財産の3分の1を他人に遺贈した。彼は10ディルハムの遺産を残しましたが、息子の一人は父親に借金があったため、10ディルハムの分け前を受け取ることができませんでした。

息子は父親に借金がある。息子の負債がxであるとします。それを父親の残した財産と合わせて分配すると、相続財産の総額は10+xになります。息子の相続財産は、彼の元々の負債と相殺されます。

見知らぬ男は5ディルハムを受け取り、息子の一人は5ディルハムを受け取り、借金を抱えていたもう一人の息子は元々の借金と相殺された遺産を受け取りました。イスラムの相続法に規定されている複雑な遺産分配問題を代数的に解く行為は、当時の数学と宗教の良好な共生を反映しています。実際、この共生関係は中世を通じてイスラム数学の発展の黄金時代を通じて続いています。同様に、信者が祈るときにメッカの街を向く正確な方向を求めた際に生じたキブラの問題は、アラビア三角法の急速な発展につながりました。宗教における重要な問題は数学の発展に刺激を与えると同時に、数学に高い名声と地位を与えており、これらはすべて数学の発展過程における多様な文化的特徴を反映しています。

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アル・フワーリズミーの代数学の広範な影響

アル＝フワーリズミの『代数学』を初めて読む読者にとっては、目から鱗が落ちるような感覚は与えないようです。これは大きな作品ではなく、少し薄い小冊子です。この本には難しい問題はなく、現代の中学生でも問題なく読むことができます。この本には代数記号がなく、すべてがテキストで表現されているため、人々に「原始的」な感覚を与えます。しかし、方程式の考え方、実用的な価値、公式な背景が明確に説明されているため、この本はすぐに大きな注目を集めました。アル＝フワーリズミーと同時代およびそれより少し後の多くの数学者が代数学の詳細な議論に参加しました。例えば、同時代のイブン・トルコ（9世紀）は、二次方程式の根を求める公式の正しさについてのアル・フワーリズミーの幾何学的証明を補足しました。少し後に登場したサビト・イブン・クルラ（826-901）は、ユークリッドの『原論』とアル・フワーリズミーの『代数学』の徹底的な比較研究を行った最初の人物である。アブー・カーミル（850年頃-930年頃）は、アル・フワーリズミーの代数的思想を完全に継承し、発展させた。一方では、イブン・トゥク、タビー・イブン・クラ、カミルらの研究により、アル・フワーリズミーの代数的概念がさらに明確化され、後のアラブの数学者に、簡略化と方程式の解法の分野におけるより広い研究視点とより豊かな研究内容がもたらされた。一方、上記の数学者の名前が数学史の「功績書」に刻まれたのは、まさに彼らがアル・フワーリズミーの『代数学』の研究に参加したからこそである。

アル＝フワーリズミの著書『代数学』に記された「簡約と消去」の方法は、代数学の基本的な特徴として長い間保存されてきました。同時に、この本は、後のアラビア代数学における方程式の簡略化と方程式の解法という 2 つの主要な発展方向を基本的に決定しました。方程式の簡略化の分野で初めて画期的な成果をあげたのは、アル・カラージー（953年 - 1029年頃）でした。彼の研究によって代数学はさらに「独立」したものとなり、それは加算、減算、乗算、除算、比例、平方根といった基本的な算術手法を代数式に体系的に適用することと同等であった。その後の『サマウアル』（1130年頃 - 1180年頃）はカイラージの理論をさらに発展させた。最終的に、方程式を簡略化するプロセスから導き出されたこの基本的な演算手順と簡単な算術方法は、アラブの数学者の努力により、比較的完全な理論へと発展しました。

アル＝フワーリズミー、タビー・イブン・クーラ、カミルなどの数学者は、二次方程式の代数的、幾何学的、数値的解法において比較的完全な成果を達成しました。一般的な高次方程式を解く上で画期的な成果を上げた最初の人物は、オマール・ハイヤーム（1048-1131）でした。ハイヤームの最大の貢献は、ギリシャの数学的知識に基づいて三次方程式の幾何学的解を与えたことであり、これは本質的には円錐曲線の交点を用いた方程式の解の定性的な記述である。一般的な三次方程式の数値解法の分野で初めて画期的な成果をあげたのはシャラフ・アルディーン・アルトゥースィー（1135年頃 - 1213年）であり、この業績は後の数学者が高精度の数値解法を行うための基礎を築きました。

x^3+c=bx に対する Khayyam の解の図解 (放物線と双曲線の交点は方程式の根を表します)

アル・フワーリズミーの代数学は12世紀にラテン語に翻訳され、ヨーロッパに広まり始めました。アル・フワーリズミーのラテン語訳は、後に algorism と algorithm という 2 つの英語の単語に進化しました。前者の単語は「アラビア数字」を意味します。後者の単語は数学において「アルゴリズム」という専門用語となり、特定の問題を解決するための特定の計算手順を意味します。

13 世紀初頭、イタリアの数学者フィボナッチ (1175 年頃 - 1250 年頃) は、カミルの著書の代数的内容を彼の代表作『計算の書』の中で説明しました。 406 ページの欄外注では、二次方程式の解がアル・フワーリズミーから来ていることを明確にするために、マウメト (つまりムハンマド) について言及されています。 13 世紀以来、ヨーロッパの科学的な闘争の起源は、フィボナッチなどの学者の業績を消化し、吸収し、そして凌駕することであった。その後、多くのヨーロッパの数学者もアラビア代数に魅了され、一般的な三次方程式の代数解を見つけることに専念してきました。 1545年、イタリアの数学者カルダーノ・ジローラモ（1501-1576）は、ドイツのニュルンベルクでラテン語の代数学の本「Archaem」を出版しました。一般的な三次方程式と四次方程式の根の公式がついに公開され、ヨーロッパ人がアラブ人から受け継いだ数学のバトンを真に引き継いだことも示されました。ヨーロッパの数学者たちはたゆまぬ努力の末、19世紀初頭についに一般五次方程式には代数解が存在しないことを証明し、現代代数学の研究の道を開きました。 19 世紀初頭、中世アラビアの数学はヨーロッパの数学的歴史家の注目を集め、アル・フワーリズミの『代数学』は英語、フランス語、ロシア語などの言語に翻訳されました。

著者が2020年に出版したアル・フワーリズミの代数学の中国語訳

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