「水素爆弾の父」ウラム：私の友人ジョン・フォン・ノイマン |ジョン・フォン・ノイマン生誕120周年記念（第1部）

2023年12月28日は、ハンガリー生まれの数学者、物理学者、コンピューター科学者、エンジニアであるジョン・フォン・ノイマンの生誕120周年にあたります。彼はその伝説的な生涯において非常に多くの貢献をしたため、彼の重要な業績を列挙し、簡単に説明するだけでも、普通の専門家の能力を超えています。フォン・ノイマンが亡くなったとき、アメリカ数学会の会報は記念号を出版し、その中で有名な数学者であり「水素爆弾の父」であるウラムがフォン・ノイマンの生涯と業績を時系列で紹介する長い記事を書いた。全文を翻訳しました（2つの記事に掲載）。おそらくウラムの物語から、フォン・ノイマンがなぜこれほど多くの貢献をすることができたのか理解できるだろう。私はこの記事を、この偉大な万能の学者を記念して捧げたいと思います。

スタニスワフ・ウラム著

翻訳 |元元

1957年2月8日、ジョン・フォン・ノイマンが亡くなりました。数学界は、最も独創的で洞察力に富み、多才な人物の一人を失いました。科学界は万能の天才と数学のユニークな解釈者を失った。彼は最新の（そして潜在的な）方法を導入し、それを物理学、天文学、生物学、新技術に応用しています。多くの著名人が彼の貢献を語り、称賛しています。この記事の目的は、25 年にわたる私たちの知り合いとして、彼の生涯と仕事について簡単に概要を説明することです。 （編注：本文で紹介した論文番号は、筆者がまとめた付録リストの番号であり、文末に注記として記載しています。）

略歴

ジョン・フォン・ノイマン（米国ではよく知られているニックネーム「ジョニー」）は、1903 年 12 月 28 日にハンガリーのブダペスト（当時はオーストリア＝ハンガリー帝国の一部）で、3 人兄弟の長男として生まれました。彼の家族は裕福でした。彼の父親マックス・フォン・ノイマンは銀行家だった。ジョニーは幼い頃から私立の教育を受けていました。 1914年に第一次世界大戦が勃発したとき、彼はまだ10歳で、ルーテル系の高等学校に入学した。

第一次世界大戦の前後の20年間、ブダペストは科学的な才能を育む豊かな土壌であることが証明されました。なぜこれほど多くの優れた才能がここで生まれたのかは、科学史家が解明し、説明する必要がある (彼らの名前は、今日の数学と物理学の記録のいたるところに見られる。編集者注: 「この目立たない小さな国は、科学史上最も優れた人々を輩出した」を参照)。ジョニーはこの科学者グループの中で最も輝く星かもしれない。この統計的にあり得ない現象の原因は何かと問われると、彼は、中央ヨーロッパ地域の社会全体に対する外圧、深い個人的な不安、そして何か特別なものを生み出さなければ絶滅するしかないという必要性など、正確には説明できない文化的要因の偶然の一致だと答えるだろう。第一次世界大戦は既存の経済および社会のパターンを混乱させました。かつてオーストリア・ハンガリー帝国の第二の首都であったブダペストは、現在では小さな国の主要都市です。多くの科学者は、より制限の少ない遠隔地へ移住し、そこで生計を立てなければなりません。

クラスメイトのフェルナー1によると、ジョニーの並外れた能力は、初期の教師であるラースロー・ラーツの注目を集めた。彼はジョニーの父親に、学校でジョニーに従来の方法で数学を教えるのは無意味であり、数学の個人指導を受けるべきだと伝えた。そこで、ジョニーは、ヨージェフ・キュルシャック教授の指導の下、当時ブダペスト大学の助教授であったマイケル・フェケテ氏の指導を受けて、さまざまな数学の問題を学びました。

1921 年にマトゥーラに合格した頃には、ジョニーはすでにプロの数学者として認められていました。彼の最初の論文はフェケテとの共同研究で、彼が18歳になる前に完成しました。その後 4 年間、ジョニーはブダペスト大学で数学の学生として在籍していましたが、ほとんどの時間をスイスのチューリッヒ工科大学とベルリンで過ごしました。チューリッヒ工科大学では「化学技術者」(Diplomingenieur in Chemie) として学士号を取得しました。

各学期の終わりには、彼はブダペスト大学に戻り、コースの試験に合格しました（講義には出席しませんでしたが、これは多少規則に反していました）。彼はチューリッヒで化学の学位を取得し、ブダペストで数学の博士号を取得した。チューリッヒ滞在中、彼は余暇の多くを数学の問題の解明に費やし、論文を執筆したり、数学者と文通したりした。当時、ヘルマン・ワイルとジョージ・ポリアはともにチューリッヒにおり、ジョニーは彼らと連絡を取っていました。かつてワイルが短期間チューリッヒを離れていたとき、ジョニーがその間彼のレッスンを引き継ぎました。

一般的に、ヨーロッパでは若い天才が独創的な数学的研究を生み出すことは珍しくないことは注目に値します。米国と比較すると、専門教育には少なくとも 2 ～ 3 年のギャップがあるようですが、これは米国の高校と大学の間の教育システム (準備コース) がより集中的であるためと考えられます。しかし、天才児たちの中でも、ジョニーは目立っていました。彼は学生時代にオリジナルの作品を作り始めた。 1927年に彼はベルリン大学の私講師となり、ほぼ3年間その職を務めた。その間、彼は集合論、代数学、量子論に関する論文によって世界中の数学者に知られるようになりました。 1927 年に彼が数学者の会議に出席するためにルヴフ (当時はポーランドの一部) に来たとき、数学と集合論の基礎に関する彼の研究はすでによく知られていたことを私は覚えています。私たち学生グループは、彼の作品を若い才能の作品の例として使いました。

1929年に彼はハンブルク大学に赴任し、私費講師として働き続けた。 1930年、彼はプリンストン大学の客員講師として初めてア​​メリカを訪れた。ドイツの大学では現在も将来も空席がわずかしかないにもかかわらず、近い将来教授になることを志す講師がまだ 40 人から 60 人いるとジョニーが私に話していたのを覚えています。ジョニーは、いつものように合理的なやり方で、「3年間で」教授に任命される見込みの人数は3人であるのに、（候補の）講師は40人いると計算しました。彼はまた、今後の政治的出来事によって知的な仕事が非常に困難になるだろうとも感じていた。

1930年に彼はプリンストン大学の客員教授に就任し、学年の一部を講義し、夏にヨーロッパに戻った。彼は1931年にプリンストン大学の常任教授となった。1933年にプリンストン高等研究所（IAS）に教授として招かれ、同研究所最年少の終身在職権を持つ職員となった。

ジョニーは 1930 年にマリエッタ コベシと結婚しました。彼らの娘マリーナは 1935 年にプリンストンで生まれました。研究所が設立されて最初の数年間、ヨーロッパから訪れた学者たちは、研究所が非常にカジュアルでありながら、非常に強い科学的雰囲気を持っていると感じていました。研究所の教授陣はファインホール（プリンストン大学の一部）にオフィスを構えており、研究所と学校のさまざまな学部には著名人が集まっています。いつの時代も、ここは数学と物理学の分野で才能が最も集中している場所の一つとなるでしょう。

私は1935年後半、ジョニーの招待で初めてアメリカに来ました。オズワルド・ヴェブレン教授とその妻は楽しい社交活動を企画し、フォン・ノイマン（とジェームズ・ワデル・アレキサンダー）の家はさまざまなパーティーの中心地になったようでした。当時は不況の時代でしたが、研究所のおかげで、地元や海外から来たかなりの数の数学者が比較的心配のない生活を送れるようになりました。

ジョニーの最初の結婚は離婚で終わった。 1938 年の夏、彼はブダペスト旅行中に再婚し、2 番目の妻であるクララ・ダンをプリンストンに呼び戻しました。彼の家は今でも科学者たちの集まる場所となっている。彼の友人たちは、彼のもてなしと、知恵と機知に満ちたその場の雰囲気を覚えているだろう。クララは後に、電子計算機用の数学の問題を記述する最初のプログラマーの一人となり、この芸術の初期の技術のいくつかを開発しました。

ヨーロッパで戦争が始まると、ジョニーの研究所外での活動は活発化し始めました。役職、所属団体等については本記事末尾に記載しております（編集部注：次回記事にて公開予定）。このリストだけでも、ジョニーが政府内外のさまざまな科学プロジェクトで行った広範な仕事がわかります。

1954年10月、彼は大統領により米国原子力委員会に任命された。彼はプリンストン大学を休学し、ICBM委員会の委員長を除く全ての役職を辞任した。原子力委員会の委員長であり、ジョニーの長年の友人でもあるルイス・ストラウス提督は、委員会に空席があることを知ると、すぐにジョニーの指名を推薦した。ジョニーの委員会での短い任務について、彼は次のように書いている。

「ジョニーは、就任から 1955 年の晩秋まで、非常に役立っていました。彼は、最も困難な問題を構成要素に分解して非常に単純なものにする、非常に貴重な能力を持っていました。誰もが、なぜ彼が答えをはっきりと見出せないのかと不思議に思っていました。このようにして、彼は原子力委員会の仕事を大いに促進しました。」

ジョニーは常に健康だったが、1954年頃から非常に疲れた様子を見せ始めた。 1955 年の夏、彼は X 線検査を通じてこの致命的な病気の最初の兆候を発見しました。長く厳しい病気が徐々に彼のすべての活動に終止符を打った。彼は53歳でワシントンのウォルター・リード病院で亡くなった。

友人たちの目から見たジョン・フォン・ノイマン

ジョニーの友人たちの記憶では、彼はいつも独特の姿勢で黒板の前に立ったり、家庭内の問題を話し合ったりしていた。どういうわけか、彼の身振り、笑顔、そして目の感触は常に彼の考え、あるいは議論されている問題の本質を反映していました。彼は中肉中背で、若い頃はかなり細身だったが、だんだん太っていった。彼は小刻みに歩いたが、決して速くはなかったが、むしろランダムに加速した。問題が論理的または数学的なパラドックスの特徴を示すたびに、彼の顔には笑みが浮かんだ。抽象的な知恵を好むことに加え、彼はより現実的なコメディやユーモアも高く評価し、渇望しています。

彼の心は、矛盾していないとしても少なくとも独立した能力の集合体であるように思われた。それぞれの能力は集中力と記憶力を必要とするため、同じ人間にそれらが備わっていることはめったにない。これらの能力とは、代数形式に基づいた集合論的な方法で数学的なアイデアを理解する能力です。古典的な数学的解析と幾何学の本質的な内容に関する知識と理解。理論物理学における既存および新しい問題に対する現代の数学的手法の潜在的な応用に対する鋭い感覚。これらすべては、現代の科学思想の非常に広い領域を網羅する彼の傑出した独創的な作品によって具体的に実証されています。

科学的な事柄について友人と会話をすると何時間も続くこともあり、たとえ数学的でなくても話題に事欠くことはなかった。

ジョニーは人々に強い関心を持ち、噂話が大好きです。まるで統計調査を準備するかのように、人間のさまざまな特徴を記憶から収集しているような感覚をしばしば感じる。彼はまた、時間の経過によってもたらされる変化にも注目しています。彼は若い頃、創造的な数学的能力は26歳くらいから衰えていくが、経験を積むにつれて培われるある種の平凡な知恵と機知が、少なくともしばらくの間は、徐々に失われていく能力を補ってくれると信じていると、私に何度も話していました。その後、年齢制限は徐々に引き上げられていった。

彼は会話の中で時々他の科学者についてコメントし、一般的に彼の見解は非常に寛容ですが、またしばしば他の科学者を褒めたり批判したりもします。実際、彼は自分の判断を表明する際には非常に慎重で、他人について最終的な意見を述べることには消極的でした。「ラダマンティスとミノスに判断させよう...」かつてこのことについて尋ねられたとき、彼はエアハルト・シュミットとワイルが、特に初期の研究の技術的な側面において、自分に大きな影響を与えた数学者であると考えていると述べました。

ジョニーは多くの人から優秀な委員長（特に現代的な活動）であると考えられています。彼は技術的な意見を力強く主張しますが、個人的な問題や組織的な問題に関しては簡単に譲歩します。

彼は素晴らしい能力を持ち、それを十分に認識しているが、ある程度の自信が欠けている。ジョニーは、自分自身では到達できない最高レベルの資質を彼らが備えていると信じ、数人の数学者や物理学者を大いに尊敬していました。彼にこのような感覚を与えたのは、新しい真実に対する直感、比較的単純な精神的能力だったのではないかと思います。あるいは、新しい定理の表明や証明に対する一見非合理的な洞察力の才能かもしれません。

彼は、数学的研究の価値基準がある程度純粋に美的基準に基づいていることをよく理解していました。彼は、現在の文明社会では抽象的な科学的成果の価値が下がるかもしれない、人間の興味が変わるかもしれない、現在の科学的探究心がなくなるかもしれない、人間の思考が将来まったく変わるかもしれない、という懸念を表明している。会話の中で、技術の進歩と人間の生活様式の変化の加速するペースにより、私たちは人類史上の根本的な特異点に近づいており、それを超えると私たちが知っているような人間の営みはもはや継続できないのではないかという印象を受けた。

ジョニーの友人たちは彼の素晴らしいユーモアのセンスが大好きでした。彼は、科学者仲間の間では、空集合にのみ当てはまるような生来のユーモアを発揮しながら、数学者らしく歴史的または社会的現象について啓発的な（しばしば皮肉な）コメントをすることができた。これらは通常、数学者によってのみ評価されます。もちろん、彼は数学を神聖視していたわけではありません。ロスアラモスで、数学的議論にエルゴード変換と不動点の存在が使われた物理学の問題について議論したことを覚えています。彼は突然笑って言いました。「現代数学は結局応用できるんだ！ 事前には分からないけど、もしかしたら…」

科学以外での彼の主な関心は歴史の研究であり、古代史に関する彼の知識は信じられないほど詳細でした。たとえば、彼はエドワード・ギボンの『ローマ帝国衰亡史』に出てくる逸話をすべて覚えていて、夕食後の歴史談義に参加するのが大好きでした。アメリカ数学会（AMS）の会議に出席するため、南のデューク大学へ旅行した際、私たちは南北戦争の戦場近くを通りましたが、彼がその戦いの細部までよく知っていることに驚きました。この百科事典的な知識は、一種の「分析的拡張」を通じて、将来の出来事の展開に対する彼の見解を形作りました。第二次世界大戦に至る政治的出来事や戦争中の軍事的出来事についての彼の推測のほとんどは驚くほど正しかったと証言できます。しかし、戦後、彼はすぐに災害が起こる可能性が高いと考え、幸運にも彼の懸念は間違っていたことが証明されました。おそらく彼には、歴史的出来事をあまりにも純粋に合理的な見方で捉える傾向があるが、それは過度に形式化されたゲーム理論的アプローチによるものかもしれない。

ジョニーは他の業績の中でも特に優れた言語学者でした。彼は学校で習ったラテン語とギリシャ語をよく覚えていた。彼は英語に加えて、ドイツ語とフランス語も流暢に話します。アメリカにおける彼のスピーチは文学的な質の高さで有名だった（彼の友人のうち、彼の特徴的な「integhers」などの間違った発音を聞くのが好きな人はほんのわずかだった。翻訳者注：integers は「integers」のはず）。ロスアラモスとサンタフェ（ニューメキシコ州）の間を頻繁に行き来していたが、彼のスペイン語の知識は完璧とは言えず、メキシコ旅行中は、英語の単語に接頭辞「el」と適切なスペイン語の語尾をつけた、彼独自の創作言語である「ネオカスティーリャ語」を使って自己表現しようとした。

戦前、ジョニーは夏をヨーロッパで過ごし、講義を行っていた（1935年にケンブリッジ大学、1936年にパリのアンリ・ポアンカレ研究所）。彼は、緊張した政治的雰囲気のせいで、そこで科学的な研究をするのはほとんど不可能だとよく言っていた。戦後、彼は必要なときだけ海外へ旅行した。

彼は米国に到着して以来、ここでの機会に感謝しており、ここでの科学研究の将来に大きな期待を抱いています。

フォン・ノイマンの偉大な業績

フォン・ノイマンの関心と業績を時系列で振り返ることは、大部分において、過去 30 年間の科学全体の発展を振り返ることでもあります。彼は若い頃の研究で、数理論理学や公理的集合論だけでなく集合論そのものの本質にも焦点を当て、測度論や実数論において興味深い結果を得た。

この時期に彼は量子論、すなわち量子力学における測定と新しい統計力学の数学的基礎に関する代表的な研究も始めた。ヒルベルト空間上の作用素に関する彼の徹底的な研究もこの時期に遡ることができます。彼の研究は物理理論の直接的な必要性をはるかに超えたものでした。例えば、彼は独立した数学的意義を持つ作用素環（訳者注：フォン・ノイマン代数）の詳細な研究の先駆者でした。連続幾何学の研究もこの時期に始まりました。

フォン・ノイマンは、他の数学者によって得られた結果と、そこに秘められた可能性を認識していたが、それは驚くべきものだった。フォン・ノイマンは、初期の研究において、エミール・ボレルのミニマックス特性に関する論文に触発され、論文「社会ゲームの理論について」2[17]を執筆しました。このアイデアは、後に彼の最も独創的な研究の1つであるゲーム理論に結実しました。関数空間上の演算子を介して古典力学の問題を扱う可能性についてのバーナード・クープマンのアイデアは、数学におけるエルゴード定理の最初の厳密な証明を与えるきっかけとなった。アルフレッド・ハールの群における測度の構成は、ヒルベルトの第 5 問題の独創的な部分解決のインスピレーションとなり、コンパクト群に解析パラメータを導入する可能性を実証しました。

1930 年代半ば、ジョニーは流体力学における乱流問題に魅了され、非線形偏微分方程式の背後にある謎に気づきました。第二次世界大戦以降、彼の仕事は流体力学方程式と衝撃理論の研究にまで及びました。これらの非線形方程式によって記述される現象は解析的に解くことはできず、現在の方法では定性的な理解さえも不可能です。彼の見解では、数値計算はそのようなシステムの挙動を理解するための最も有望なアプローチであるように思われた。これにより、彼は最初から「電子機械」でのコンピューティングの新たな可能性を調査するようになりました。彼は計算理論の研究を始め、現在も開発が続けられているオートマトン理論の研究を始めました。これらの研究中に、彼は神経系の動作原理と生物の体系的性質に強い関心を抱き、この目的のために多大なエネルギーを注ぎました。

数学科学の多くの分野を巡るこの旅は、落ち着きのなさの結果ではありません。これは、新規性の追求でも、少数の一般的な方法を多くの異なる特殊なケースに適用したいという願望でもありません。理論物理学とは異なり、数学はいくつかの中核的な問題に限定されません。フォン・ノイマンは、統一の追求が純粋に形式的な基盤に基づくものであるならば、失敗する運命にあると信じていた。この幅広い好奇心は、メタ数学的な動機に基づいており、物理世界、つまり今後長い間形式化されない可能性のある物理現象に強く影響されています。 (編集者注: 「物理学の公理化に関する楊振寧のコメント」を参照)。

数学者は創造的な仕事に着手するときに、しばしば 2 つの相反する動機に直面します。1 つ目は既存の体系に何かを追加することです。既存の問題を解決することで、すぐに認知度を高めることができます。 2つ目は、既存の知識を統合して新しい分野を創造し、新しい道を切り開きたいという願望です。後者のアプローチははるかにリスクの高い取り組みであり、その価値や成功に関する最終的な判断は将来にのみ下されるでしょう。ジョニーは初期の作品では最初の選択肢を選びました。そして晩年、彼は、オートマトンと生物の組み合わせ理論という新しい数学の分野を創造するために、自由に、しかし苦労して取り組むだけの自信を持つようになった。 (編集者注: 「チューリングとフォン・ノイマンの遺産: 生きたコンピュータのアーキテクチャ」を参照) しかし、病気と早すぎる死により、彼はスタートを切っただけだった。

応用可能性を常に探求し、あらゆる正確な科学に汎用的な数学を求める彼の本能は、オイラーやポアンカレ、あるいはもっと最近ではヘルマン・ワイルを彷彿とさせます。現代の問題の多様性と複雑さは、最初の二人が直面していた問題をはるかに超えていることを忘れてはならない。ジョニーは前回の記事で、純粋数学の分野の知識の 3 分の 1 以上を学習できる脳はおそらく今日存在しないだろうと嘆きました。

初期の研究: 集合論と代数学

フォン・ノイマンの最初の論文は、フェケテと共同執筆されたもので、特定の極小多項式の零点について扱っていた。これは、チェビシェフ多項式の根の位置に関するフェイエルの定理の一般化です。この記事は、フォン・ノイマンが18歳未満だった1922年に完成しました。

10代の頃のもう一つの成果は、均一密度のシーケンスに関する論文（ハンガリー語で書かれ、概要はドイツ語）で、高密度シーケンスを並べ替えると均一密度のシーケンスが得られることを示しました。この研究はまだ彼の数学的アイデアの深さやそれがもたらす技術的な難しさを明らかにしていないが、トピックの選択と証明に使用された手法の単純さは、彼の将来の研究が集合論的直感と代数的手法の組み合わせを伴うことを示唆している。

多くの若い数学者が集合論に注目したことは、その時代における注目すべき特徴でした。ジョージ・カンターの偉大なアイデアは、ルネ＝ルイ・ベール、ボレル、アンリ・ルベーグなどの偉大なフランス人の研究を通じて、実変数理論、位相幾何学、そして後に解析学の分野で表現されました。世紀の変わり目には、これは若い数学者達の基本的な直感の一部ではありませんでした。第一次世界大戦後、これらの考え方が新世代の数学者にとって本能的なものになったことが注目されました。

超限順序数に関する論文[2]3では、集合論を代数的に扱うフォン・ノイマンの独特なアプローチとスタイルがすでに示されています。記事の最初の文は率直にこう述べています。「この研究の目的は、カントールの序数の概念を具体的かつ正確に説明することです。」序文に述べられているように、カントル自身の以前のやや曖昧な記述は、ツェルメロの公理系で与えられた定義に置き換えることができます。さらに、彼は超限帰納法による定義の厳密な基礎を概説しています。論文の序文では厳密な形式主義的アプローチが強調されており、フォン・ノイマンは、... [などについて] という表記法や同様の表現はこれまで存在したことがなかったと誇らしげに述べていた。この順序数の扱い方は、後にカジミエシュ・クラトフスキによっても検討されましたが、抽象集合論における「構築」にとって非常に重要な考え方を導入する上で、これまでのところ最も優れた方法です。フォン・ノイマンの定義によれば、すべての順序数はすべてのより小さい順序数の集合であるため、順序数の理論は非常に簡潔になり、順序型の概念を回避できます。順序型の概念は、公理的集合論において、特定の順序と同型であるすべての順序の集合は集合を構成しない (存在しない) ため、やや曖昧です。

プリファーの理想代数的数論[5]4に関する彼の論文は、彼の将来の研究関心の広さを示唆していた。この論文では集合論の問題と互いに素なイデアルの枝の列挙について扱います。ハインツ・プリューファーは理想数を「無限に生成された合同関係の理想的な解」として導入しました。フォン・ノイマンがこの論文で使用した手法は、ヘンゼルの p 進数に関するキュルシャックとミハイ・バウアーの研究に似ていました。ここで彼は、有限代数上の構成を無限領域（無限可算数と連続体の場合）に一般化する手法の有効性を再び実証しました。これは、その後の数十年間に数学研究で非常に一般的になったことです。彼が代数学に興味を持っていることを示すもう一つの証拠は、ミンコフスキーの線型関数理論に関する短いメモである[39]5。

フォン・ノイマンの初期の著作の多くは、彼のアイデアが 20 世紀初頭の論理学者によって最初に考え出されたものよりも形式的かつ正確であったという意味で、彼の公理的なビジョンを表現しています。 1925年から1929年頃までのフォン・ノイマンの論文のほとんどは、物理理論に対しても公理主義の精神を広めようとするものでした。彼は集合論自体の既存の定式化にさえ満足せず、集合論の公理化に関する論文の最初の文でそれを率直に述べている[3]6：「本研究の目的は、集合論の論理的に反駁の余地のない公理化を与えることである」。次の文は、「まず、本論文の価値を高める公理化の難しさのいくつかについて議論します。」です。

この 1925 年の論文の最後の文が最も興味深いです。フォン・ノイマンは、あらゆる公理的システム形式主義の限界を指摘した。おそらく、これは形式体系には決定不可能な命題が存在するというクルト・ゲーデルの観察を漠然と予見しているのかもしれない。最後の文は、「現時点では、集合論自体に異論があり、現時点ではこれらの困難を回避する方法はないということを述べることしかできない」です。 [おそらくここで私たちは、全く異なる科学分野からの同様の声明を考えているのでしょう。それは、ヴォルフガング・パウリが Handbuch der Physik の記事で相対論的量子論の現状について評価したものです。無限大と発散は場の理論において依然として神秘的な役割を果たしている。

このテーマに関する彼の 2 番目の論文 [18]8 は、「Die Axiomatisierung der Mengenlehre」(1925 年) と題されました。

公理系の単純さは驚くべきものです。第一階と第二階のオブジェクトの導入は、それぞれ素朴集合論における集合と集合の特性に対応します。これらの公理は印刷すると 1 ページ強を占めるだけですが、素朴集合論のほぼすべてを確立するのに十分であり、そこから現代数学のすべてを確立するのに十分です。今日に至るまで、これは集合論的数学における最も優れた基礎の 1 つです。ゲーデルは、選択公理の独立性と連続体仮説に関する偉大な研究において、このアプローチに触発されたシステムを使用しました。重要なのは、集合論の公理化に関するフォン・ノイマンの最初の論文で、彼が、ブラーリ＝フォルティのパラドックス、リチャードのパラドックス、ラッセルのパラドックスを避けるために数学者が取った 2 つの根本的に異なる方向性を明示的に認識していたことです。バートランド・ラッセル、ユリウス・ケーニッヒ、LEJ・ブラウワー、ワイルからなるグループがとったより急進的な見解は、上記のようなパラドックスを防ぐためには、正確な科学の論理的基礎全体を制限する必要があるというものでした。 「彼らの仕事に対する全体的な印象は、ほとんど圧倒的だ」とフォン・ノイマン氏は語った。彼はラッセルが数学全体を疑わしい還元公理の上に置いたことに反対した。彼はまた、数学と集合論のより意味のある側面の多くであると彼が考えていたものをワイルとブラウワーが拒否したことにも反対した。

彼は、エルンスト・ツェルメロ、アブラハム・フランケル、アルトゥル・モーリッツ・シェーンフライスを含む、それほど急進的ではない第二のグループについて、よりよく理解していた。フォン・ノイマンは、彼らの研究（そして彼自身の研究）がまだ完成には程遠いことを知っており、その公理がいくぶん恣意的であるように思われることを明らかにしました。彼は、彼らの公理化は形式体系が矛盾をもたらさないことを証明することはできないが、たとえ素朴集合論がこの意味で完全に真剣に受け止められなかったとしても、少なくともそこに含まれるものの大部分は形式体系における証明として言い換えることができ、これらの「形式的な」内容は明確に定義できると述べた。

フォン・ノイマンは、初等幾何学の公理のような単純な論理構造を持つ集合論の基礎の最初の有限公理化を与えました。公理系の単純さと推論の形式的な特徴は、数学を有限のゲームとして扱うというヒルベルトの目標を達成したように思われた。ここで、フォン・ノイマンが将来コンピューターと証明の「機械化」に興味を持つようになったきっかけが分かります。

これらの公理から出発して、集合論の重要な概念のほとんどは驚くべき代数的効率で導き出されます。この処理の経済性は、単純さのための工夫よりも、本質的な単純さの方が重要であることを示しているように思われます。これは、「マシン」または「オートマトン」の概念を使用して有限形式システムの限界を研究するための基礎を提供します9。

奇妙に思えるのは、集合論や関連分野の話題に関する多くの数学的な議論において、フォン・ノイマンの考え方も形式的であるように思われることです。ほとんどの数学者は、これらの分野の問題を議論するときに、抽象的な集合を表すことができる幾何学や図、矢印などに基づいた直感的な枠組みを念頭に置いているようです。フォン・ノイマンは、純粋に形式的かつ順序立てて考えるという印象を与えます。私が言いたいのは、他のより「直接的な」直感と同様に、新しい定理や証明につながる直感に基づいた彼のタイプの直感は、非常に稀であるように思われるということです。ポアンカレが言ったように、数学者は視覚的直観と聴覚的直観の 2 つのカテゴリに分けられるとしたら、ジョニーは後者に属するかもしれません。しかし彼にとって、「聴覚的直感」は非常に抽象的なものになり得る。より正確に言えば、これは形式言語の証明ゲームとこれらの記号の数学的解釈との間の接続と変換を伴います。これは、チェスの動きを代数記法で記録することと、実際のチェス盤を頭の中でイメージすることの違いに少し似ています。

数学の基礎の現状に関する最近の議論の中で、フォン・ノイマンは、彼の見解では、物語はまだ終わっていないと示唆しているようだ。ゲーデルの発見は、数学の話題を完全に終わらせるのではなく、数学における形式主義の役割を理解するための新しい方法を要求するものである。

彼の論文[16] 10は、[2]で非公式の議論の厳密な公理的治療を提供しています。この論文の最初の部分では、SET理論の基本的な操作、同等性、同型、および順序付けの理論的基礎を紹介します。最後に、順序数の処理に基づいて、有限または透過的な誘導定義の可能性が証明されます。 Von Neumannは、彼の論文の紹介の終わりに、輸血誘導が以前の公理的または非軸方向のSET理論システムで厳密に導入されたことはなかったと正しく指摘しました。

おそらく、セット理論の公理に関するフォン・ノイマンの論文の中で最も興味深いのは[23] 11です。この記事では、特定のプロパティを満たすすべてのセットに必要な十分な条件について、新しいセットを形成することについて説明します。条件は、すべてのセットのクラスからこのプロパティを満足させるセットのクラスへの注入が存在しないことです。このセットの存在の原理は、フォン・ノイマンによって公理12として使用され、他のシステムで想定されるいくつかの公理、特に選択の公理はそれから導き出すことができます。今、私たちはまた、その逆も真実であり、これらの他の公理もこのフォン・ノイマン公理につながる可能性があることを証明しました。したがって、通常の公理が一貫している場合、この公理も一貫しています。

Mathematische Zeitschrift [12] 13、「Zur Hilbertschen Beweistheorie」（Hilbertの証拠理論について）における彼の素晴らしい論文は、数学の矛盾を回避する問題を特に扱っています。この古典的な研究は、一般的な数学の形式主義の背後にある元のアイデアを説明しています。元のテキストは、ヒルバートによって開始および開発されたこの複雑な問題と、ポールバーネイズやウィルヘルムアッカーマンなどの他の問題がまだ十分に解決されていないことを強調しています。特に、Von Neumannは、Ackermannの一貫性の証明を古典的な分析に適用することはできず、厳密な有限方法を使用して、そのサブシステムの一貫性を証明することのみであると指摘しました。実際、Von Neumannは（彼はこれを明示的に述べていませんが）、有限因子と有限（すなわち、決定可能な）関係に関する命題接続の論理理論が一貫していることを証明しました。これは、Hilbertの当初の計画を使用して達成できるものの限界からそれほど遠くありません。これは、厳密に有限の方法を完全に使用することでした。しかし、Von Neumannは、すべての分析の一貫性が同じ方法で実証できると推測しました。現在、ヒルバートと彼の学校の作品によって詳述されたアイデアは、そのような正確な方法で開発され、ゲーデルによって完全に革命されていないという印象がまだ終わっていないという印象が残っています。おそらく、私たちは別の偉大なプロセスの真っin中にいます。セット理論の「素朴な」扱いと、無限に関する直観のメタマテマス形式化の試みは、未来の「スーパーセット理論」に向かっています。数学の歴史において、既存の科学的問題についてのトップ数学者の直観、またはより正確には、漠然とした感情を共有することは、その後、元のシステムの本質を含む「スーパーシステム」に正式に組み込まれることは珍しいことではありません。

数学の基本的な問題に対するフォン・ノイマンの関心は、彼の人生の終わりまで続きました。上記の一連の論文が公開されてから25年後、その作品の痕跡は、彼が作成したコンピューターロジックにあります。

数学の基礎を研究している間、フォン・ノイマンは、セット理論自体と、セット理論の問題によって駆動される実際の変数と代数の理論において独自の進歩をもたらしました。たとえば、Von Neumannは、連続体に等量のある実数のサブセットを構築しました。この証明は、選択の公理を使用しません。同じ年[14] 14にBundamenta Mathematicaeで発表された論文で、彼は数値の非重複および合同サブセットに間隔を分解する方法を提供しました（翻訳者の注：実数セットの2つのサブセットは、サブセットの1つが翻訳および対称操作によって取得できる場合にのみ一致します）。この方法は、ヒューゴ・スタインハウスの問題を解決します - 間隔でこのような分解を実行するためには特別な構造が必要です。 Felix Hausdorffによるサークルの対応する分解は、はるかに簡単です。 （これは、円がグループマニホールドであるためです。）

一般的な測定理論[28] 15に関する彼の論文では、フォン・ノイマンは、グループのサブセットで有限の加法測定の問題を解決しました。彼は、ハウスドルフの球形分解のパラドックスと、ユークリッドの空間から一般的な非豊富なグループまで、ステファンバナッハとアルフレッドタルスキーによる3次元球の独創的な分解の関連理論を拡張しました（編集者注：「Mathematician's Magic：2つのことを参照）。平面のすべてのサブセットに対する加法測定の存在に関するバナッハの肯定的な結果は、一般的な整合グループのサブセットに拡張されました。ジョニーはついに、すべての解決可能なグループは「測定可能」であると結論付けました（つまり、そのような尺度をそれらに導入できる）。

この論文は、セット理論のユークリッド空間に関する結論を、より一般的なトポロジーおよび代数構造に拡張しました。これは、同様の問題と方法の最初の例の1つであり、この傾向はそれ以来ますます顕著になっています。 2つのセットの「一致」は、より一般的に、特定の変換グループの下での同等性として理解されています。測定は一般化された添加剤関数です。同様に、この問題の定式化は、Haarの仕事とHausdorff – Banach – Tarski Paradox16の分解の研究を予見します。

1928年の「奇跡年」の間に、フォン・ノイマンはゲーム理論に関する記事も執筆しました。これは、組み合わせ理論の重要な領域になった彼の最初の作品であり、現在は繁栄しており、多くの用途があります。 1927年から上記の作業を完了している間、彼は量子統計理論における量子理論と確率の問題の数学的基盤に関する多数の論文を公開することができ、継続的なグループ表現で重要な結果を得たとは信じがたいです！

実際の可変関数理論、測定理論、トポロジ、連続グループ

ポール・ハルモス教授の記事は、理論を測定するためのフォン・ノイマンの重要な貢献について説明しています。彼の他の貢献を背景に、この分野で彼の作品を簡単に提示します。

紙[35] 17は、有限システムのパワーの積とそれに定義された線形マニホールドの積を考慮して、関数クラスの代表的な要素の選択に関してHAARによって提起された問題を解決しました。線形マニホールド上の2つの関数がゼロメジャーのセットの外側に等しい場合、それらは同等であると定義されます。この問題は、ルベーグの測定以外の措置に一般化されており、同様の問題が明示的に解決されます。

この論文[45] 18は、測定理論で重要な結果を証明しました。2つの測定可能なセット（2つの測定スペース）の間の測定値を測定するブールマッピングは、測定値のポイント変換によって生成されます。この結論は、より一般的な完全に分離可能な測定空間が、ルベーグの尺度を備えたユークリッド空間と同等であることを証明するために非常に重要です。そのため、すべての測定可能なセットのブール代数を通常のLebesgue Measureに簡素化できます。

[51] 19で、フォン・ノイマンは、ハールによって構築されたハールメジャーの独自性を証明しました（数学vol。34、pp。147-169のAnn。を参照）。コンパクトグループの場合、当時はHAAR測定の独自性が証明されていました。 Von Neumannは、Haarのものとは異なる構造を証明に導入しました。この論文は、分離可能なトポロジーグループでのほぼ周期機能の一般的な理論の構築に先行しており、その直交表現理論と互換性があります。

論文[54] 20では、フォン・ノイマンは、以前はメトリックスペースに対してのみ定義されていた完全性の概念を拡張し、線形トポロジスペースに拡張し、同時にメトリックスペースではなく完全なスペースであるスペースの興味深い例を獲得しました。もちろん、この状況には不可分なスペースが含まれます。この論文には、擬似メトリックおよび凸スペースの新しい構造も含まれています。

Pascual Jordan [59] 21と共著した論文で、彼らはRenéMauriceFréchetによって提案された線形メトリックスペースで一般化されたヒルベルト空間を表すという問題を解決しました。この記事では、フレシェの結果を強化し、必要かつ十分な条件を取得します。線形メトリック空間Lは、2次元線形サブスペースごとにユークリッド空間に同型である場合にのみ、ヒルバート空間に等型です。

[35]の結果は、マーシャル・ハーベイ・ストーン[60] 22との共同論文に拡張されました。この論文[35]は、次の問題を扱っています。抽象リングモデルから特定の二国間理想を削除した後、残りのクラスから代表的な要素を選択する方法。この論文には、ブールリングの表現理論に関する一連の結果が含まれています。

ロシアの雑誌Sbornik [64] 23に掲載された論文で、Von Neumannは再びHaar測定の独自性の問題を研究しました。任意の要素を含むものではなく、尺度の一意性を自動的に導き出すHAAR構造以外の方法を使用して、一意性の以前の証明が行われました。このホワイトペーパーは、局所的にコンパクトに分離可能なグループの二重不変外部測定の独自性のための独立した方法を提供します。 [同時に、アンドレ・ウェイは別の証拠を与えました。 】

Kuratowski [69] 24と共著した論文では、輸血誘導によって定義された特定の実数セットの射影性に関するいくつかの正確で強力な結果を得ました。以前にクラトフスキーによって射影クラス3に属していることが証明されていた有名なルベーグセット25は、現在、2つの分析セットの違いであり、したがって射影クラス2に属することが示されています。それらは、より一般的な構造の助けを借りて、セットの分析特性（hausdorffの意味）でより一般的な定理を得ました。この結果は、射影セットの現在不完全な理論に重要な意味を持っているようです。

Compositio Mathematicaに掲載された「Infinite Direct Products」[75] 26というタイトルのレビュー論文には、オペレーターの代数理論とこのシステムの測定理論が含まれています。これは、現代の抽象分析で非常に重要です。 Von Neumannは、機能的演算子の代数に関する以前の研究と、分離不可能なハイパーバートスペースを含む演算子リングのトポロジに関する以前の研究を要約しました。方法論的な観点から、そして実用的な構造の観点から、このペーパーには、現代の代数研究における画期的なコンテンツが含まれており、優れた入門記事でもあります。ベクトル空間から始めて、この記事では、最初に製品を扱い、次にこれらの構造の線形演算子、そして最後にこれらの演算子のクラスを扱い、「最初のレベル」から再び開始して、これらの演算子のベクトル空間としての代数的特性を調べます。 Von Neumannは、この独創的なシステムが量子理論における過量化に類似していることを意図しており、特に紙をカウント不可能な製品の研究のための数学的準備と見なしました。

Paper [24] 27は、ヒルバートの5番目の問題に由来する一連の問題を研究しています。連続グループでパラメーター変換を実行することにより、グループ操作を分析することができるかどうか。私の意見では、この論文はこの分野で最初の重要な結果です。 N次元空間の線形変換のグループのサブグループを扱い、肯定的な結果を得ます。このような連続グループはすべて正常なサブグループを持ち、局所的に分析パラメーター表現が存在し、そのようなパラメーター表現は有限数のパラメーターに1対1に対応します。

これらの定理は、グループの特性が実際の変数の機能の理論で一般的な「病理学的」可能性を防ぐことを初めて示しました。このホワイトペーパーでは、これらのグループの構造が指数演算子の産物として要素を表現することにより詳細に明らかになり、結果は後にエリー・カルタンによって一般化され、一般的な嘘グループのサブグループに簡素化されました。これらの結果は、線形マニホールドの場合、次の特性を満たしている場合、マトリックスu、vが含まれている場合、整流子UV-vuも含まれていることを示しています。このような線形マニホールドは、グループ全体の無限群です。もちろん、Von Neumann自身の論文[48] 28コンパクトグループに対するヒルバートの5番目の問題を解決しました。

この美しい結果は、HAARが連続グループに不変測定関数を導入したHAAR（同じ号で公開）による論文に基づいています。これに触発されたフォン・ノイマンは、グループ上のピーター・ウェイ・インテグラルに似た定理を採用し、積分演算子の有限数の特徴的な機能の線形組み合わせを使用して機能を近似しました（これはシュミットの博士論文で提案されました）。彼は最終的に、コンパクトなN次元トポロジーグループが有限次元空間の単一マトリックスで構成される閉じたグループに継続的に同型であることを証明しました。

このホワイトペーパーの方法により、このようなN次元グループの無限積のサブグループとして、より一般的なグループ（必ずしもN次元ではない）を表現できます。論文の第2部では、例が示されています。ユークリッド空間に作用する変換で構成される有限次元の非競争グループ。パラメーターがどのように変更されても、これらの変換を分析することはできません。これは、ディーン・モンゴメリーやアンドリュー・グリーソンによる「オープン」（つまり、非コンパクトではない）N次元グループの仕事を含む、ほぼ20年までのヒルバートの5番目の問題の完全な解決策に先行しました。 Von Neumannがこれらの成果を達成するために、彼はセット理論と実際の可変技術に関する深い知識、Brouwerのトポロジカルアイデアの直観、および不可欠な方程式技術とマトリックス計算の真の理解が必要でした。

ヨルダンとユージン・ウィグナー[50] 29と共著した論文では、フォン・ノイマンが抽象的な代数のアイデアを分析技術と見事に組み合わせたことがわかります。この論文は、量子力学の形式化の代数的一般化に関するものです。これは、量子力学理論の将来の一般化の可能性のある出発点であると考えられており、通勤ではあるが非関連性の高い高複製代数を扱っています。基本的な結果は、これらすべての正式に実際の有限の通勤Rnumberシステムは、1つの例外を除いて、単なるマトリックス代数であることです。ただし、この例外は、量子理論が必要とする一般化には狭すぎるようです。

アメリカ数学協会の速報に提出された未発表の抽象（付録2 [14] 30）で、フォン・ノイマンは、3次元の領域上のすべての同性愛のグループに統一定理を提案しました。実際の定理は次のとおりです。2つの同質性AとB（どちらもアイデンティティマッピングではありません）を考えると、製品のコンジュゲートの有限数（23で十分です）が存在します。

ヒルバートスペース、オペレーター理論とオペレーターリング

Von NeumannのHilbert Spaces、Operator Theory、およびOperator Ringsに関する基本的かつ包括的な研究は、フランシスジョセフマレーとリチャードV.カディソン教授との論文にあります。主題に対する彼の最初の関心は、量子理論の厳格な数学的定式化に起因していました。

1954年、フォン・ノイマンは、国立科学アカデミーへのアンケートで、この作品が彼の3つの最も重要な数学的貢献の1つを考慮したと述べました。長さだけで、これらのトピックに関する論文は、彼の公開された作品の約3分の1を占めています。これには、線形演算子の特性の非常に詳細な分析と、無限次元空間における演算子（オペレーターリング）のクラスの代数的研究が含まれています。これらの結果は、彼が彼の著書「量子力学の数学的基盤」（量子力学の数学的基盤）で述べた目的を達成しました。これは、ヒルバートによって最初に提案された数学的アイデアが量子物理学のための十分な基盤を築くことができ、この物理理論のための新しい数学システムを導入する必要がないことを証明することでした。

von Neumannの統一空間の線形特性に関する非常に詳細な分類は、無制限のオペレーターに関する多くの問題を解決しました。それは、高気管変換の完全な理論を与え、数学者の有限次元のユークリッド空間の把握の範囲内でほぼ同じようにヒルバート空間を完全にしました。

Von Neumannは、彼の学歴を通じてこのトピックに興味を持ち続けました。終わりまで、他の研究作業を追求している間、彼は演算子の特性とスペクトル理論に関する結果を得て公開しました。 Paper [106] 31は、1950年にシュミットの75歳の誕生日を祝って出版されました（彼を主題に魅了したのはシュミットでした）。少なくとも統一的な場合とその線形変換では、競争の謎を探求するために、フォン・ノイマン以上の人はいませんでした。この方向での作業は、彼の結果に長い間構築されます。この作品は現在、彼の協力者と元学生（特にマレー）などによって激しく追求されており、線形演算子の特性に関するさらに貴重な洞察を提供することを完全に期待できます。

格子理論と連続ジオメトリ

Garrett Birkhoffの記事「Von Neumann and Lattice Theory」は、格子理論と連続幾何学に関するジョニーの研究を文書化しています。これらの理論に対するVon Neumannの関心は、これらの新しい組み合わせおよび代数構造の量子理論への潜在的な応用にも基づいていました。

1935年頃、BirkhoffはRichard Dedekindの元の定式化から格子理論を開発し、一般化しました。ほぼ同時に、マーシャルストーンは、代数理論とセット理論の観点から、ブール代数の特性を体系的に説明しました。 1935年の夏、ビルホフ、ストーン、フォン・ノイマンは、モスクワでの数学会議から戻る途中でワルシャワに立ち寄り、ワルシャワ数学協会の会議で、これらの分野での新しい進歩について、量子理論の論理の新しい定式化を含む短い講義を行ったことを覚えています。その後の議論は、一般的なブール代数と格子理論の言語における量子理論を説明する潜在的な応用に対する期待につながりました。 Von Neumannは後にこれらの試みに何度か戻りましたが、この方向における彼のアイデアのほとんどは未発表のノートにのみ記録されました。

ポイントのない連続および幾何学に関する彼の研究は、量子理論の元の概念がそのようなオブジェクトに関係していたという確信に基づいていました。どうやら、「談話の宇宙」は、ヒルベルト空間の同等のポイントのクラスまたは線形多様体で構成されていました。 （ディラックは彼の本でこの点を明示的にした。）

この関連作業のいくつかは、シンポジウムで発表され、プリンストン研究所の講義に掲載されました。いくつかは原稿形式で保存されています。 Von Neumannとこれらの問題を議論する際、私の印象は、1938年頃から、核物理学と新しい発見に既存の問題が完全に異なるタイプの新しい問題を引き起こし、量子理論を策定するための数学的に完全なシステムを主張することはそれほど重要ではないと感じたということでした。戦後、彼はアインシュタインの見解と同様の見解を表明し、核物理学と基本的な粒子物理学の豊かさは非常に困惑しているため、少なくとも当時、一般的な量子畑理論を開発しようとする試みは時期尚早になると主張した。 （つづく）

注記

1。この情報は、ジョニーの初期の研究を思い起こさせる手紙でフェルナーによって伝えられました。

2。[17] Zur Theorie der Gesellschaftsspiele、Math。アン。巻。 100（1928）pp。295-320。

3。[2] Zur Einfiihrung der Transfiniten Ordnungszahlen、Acta Univ。 Szeged Vol.1（1923）pp。199-208。

4。[5] Zur Priiferschen理論Der Idealen Zahlen、Acta Univ。 Szeged Vol。 2（1926）pp。193-227。

5。[39] Zum Beweise des MinkowskischenSatzesüberlinearformen、Math。 Zeit。巻。 30（1932）pp。1-2。

6。[3] eine axiomatisierung der mengenlehre、J。ReineAngew。数学。巻。 154（1925）pp。219-240。

7.この記事に関連して、ヘブライ大学のエルサレム大学のフレンケル教授は次のように書いていますAxiomatisierung der Mengenlehreは、彼の最終的な博士論文でしたが、1928年までMathematische Zeitschriftで公開されていませんでした（Vol。27）、私はすべてを理解するのが難しいと主張していたので、私は賢明であることを認められたことを認められたことを認めました。彼と一緒に、そしてこの高度に技術的な記事を説明する非公式の論文を準備するように強くアドバイスしました、問題への新しいアプローチとその基本的な結果を強調します。彼は「メンゲレの公理」（eine axiomatisierung der mengenlehre）というタイトルの記事を書きました。

8。[18]ダイアシオマチシエルングder mengenlehre、数学。 Zeit。巻。 27（1928）pp.669-752。

9。もちろん、これはまさにライプニッツが念頭に置いていたものです。

10。[16]überdie durch durch trans fignite induktion、und verwandte fragen der allgemeinen mengenlehre、数学。アン。巻。 99（1928）pp。373-391。

11。[23]übereinewiderspruchfreiheitsfrage der axiomatischen mengenlehre、J。ReineAngew。数学。巻。 160（1929）pp。227-241。

12。「この公理の興味深いことは、ヒルバートの完全性の公理に幾何学的な公理に似ているということですこの種のより強い公理の助けを借りて、そのような公理は、ある意味で、または数学の構成主義的な解釈とは反対の、または補完するものです。

13。[12] Zur Hilbertschen Beweistheorie、Math。 Zeit。巻。 26（1927）pp。1-46。

14。[14]AbzâhlbarVieleKongruente TeilmengenのZerlegung des Intervalles、ファンド。数学。巻。 11（1928）pp。230-238。

15。[28] Zur Allgemeinen理論Des Masses、Fund。数学。巻。 13（1929）pp。73-116。

16。最近、RMロビンソンによって最も極端な最小限の形にプッシュされました。

17。[35]代数Reprasententen der Funktionen“ Bis auf eine menge vom uaasse null "J. Reine Angew。数学。巻。 161（1931）pp。109-115。

18。[45] EinigeSâtzeUber Messbare Abbildungen、Ann。数学の。巻。 33（1932）pp。574-586。

19。[51] Topologischen GruppenのZum Haarschen Maass、Compositio Math。巻。 1（1934）pp。106-114。

20。[54]完全なトポロジースペースについて、トランス。 Amer。数学。社会巻。 37（1935）pp。1-20。

21。[59]線形のメトリック空間の内部積。 P.ジョーダンと。アン。数学のvol。 36（1935）pp。719-723。

22。[60]ブール代数の残留クラスにおける代表的な要素の決定。 MH石で。基金。数学。巻。 25（1935）pp.353-378。

23。[64] Haarの尺度の独自性、Rec。 Math（Mat。Sbornik）NS Vol.1（1936）pp。721-734。

24。[69]輸血誘導によって定義されたいくつかの分析セット。 C. kuratowskiと。アン。数学の。巻。 38（1937）pp。521-525。

25。JournaldeMathématiques、1905年章VIII。

26。[75]無限の直接製品、Compositio Math。巻。 6（1938）pp。1-77。

27。 Zeit。巻。 30（1929）pp。3-42。

28。[48] Topologischen Gruppen、AnnのEinfiihrung AnalytischerパラメーターをDie。数学の。巻。 34（1933）pp。170-190。

29。[50]量子機械形式の代数的一般化について。 P.ジョーダンとE.ウィグナーと。アン。数学の。巻。 35（1934）pp。29-64。

30。[14] Zerlegung des Intervalles inAbzâhlbarVieleKongruente Teilmengen、ファンド。数学。巻。 11（1928）pp。230-238。

31。[106] Zur Algebra der Funktional Operatoren und理論der Normalen Operator、Math。アン。巻。 102（1929）pp。370-427。

32。WallaceGivens教授は、プリンストンプレスによってまもなく公開される講義メモを準備しています。 1935年に書かれた連続幾何学に関する別の論文は、数学の年代記に掲載されました。

この記事は、S。Ulam、John von Neumann 1903-1957、Bullから翻訳されたCreative Commonsライセンス（CC BY-NC 4.0）に基づいています。 Amer。数学。社会64（1958）、1-49、元のリンク：

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.PDF

制作：中国科学普及協会

特別なヒント

1. 「Fanpu」WeChatパブリックアカウントのメニューの下部にある「特集コラム」に移動して、さまざまなトピックに関する人気の科学記事シリーズを読んでください。

2. 「Fanpu」では月別に記事を検索する機能を提供しています。公式アカウントをフォローし、「1903」などの4桁の年+月を返信すると、2019年3月の記事インデックスなどが表示されます。

著作権に関する声明: 個人がこの記事を転送することは歓迎しますが、いかなる形式のメディアや組織も許可なくこの記事を転載または抜粋することは許可されていません。転載許可については、「Fanpu」WeChatパブリックアカウントの舞台裏までお問い合わせください。