数学者の分析: 「直線」は正確にはどのように定義されるのか?丨Unroll

ユークリッドの『原論』には、他の公理とは明らかに異なる公理があります。それは、現在では平行線公理と呼ばれている第 5 公理です。線分が 2 本の直線と交差し、一方の側の内角の合計が 2 つの直角の合計よりも小さい場合、連続的に延長すると、2 本の直線は、内角の合計が 2 つの直角の合計よりも小さい側で交差します。それを「証明」するために、人々は直線の定義自体にさえ欠陥があることを発見しました。数学者たちが2000年近くの時間を費やした結果、直線や空間などの基本的な概念は完全に変化しました。私たちは、この複雑な公理に含まれる知恵である非ユークリッド幾何学という新しい世界を完全に開拓しました。この投稿では、第 5 公準の探求の初期の歴史の一部を紹介し、それ以降、幾何学の深みがどのように明らかにされたかを見てみましょう。

この記事は、『叫ぶ数学：数学の驚くべき美しさ』（湖南省科学技術出版社）の第 6 章「非ユークリッド幾何学の世界」から抜粋することを許可されています。この記事のタイトルとサブタイトルは編集者によって追加されました。この本を購入するには、「Fanpu」の公開アカウントにアクセスし、記事の最後にある「原文を読む」をクリックしてください。 「読む」をクリックして、コメント欄にご意見を投稿してください。 2022年1月2日正午までに、コメントを2件選出し、それぞれに本をプレゼントいたします。

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ウンベルト・ボッタツィーニ著

翻訳：Yu Tingting

1919年11月7日、ロンドンタイムズ紙に「科学革命、宇宙の新しい理論、ニュートンの考えが完全に覆される」と題する記事が掲載されました。いったい何がそんなに革命的な出来事だったのでしょうか?同年5月、天文学者のサー・アーサー・スタンレー・エディントン（1882年 - 1944年）とフランク・ワトソン・ダイソン（1868年 - 1938年、アインシュタインの一般相対性理論の証明に重要な役割を果たした）が、それぞれギニアとブラジルの島に行き、皆既日食を観測した。 11月6日、歴史に残ることになる王立協会の会合で、彼らは観測結果を交換し、太陽の質量によって光が空気中で屈折するという一般相対性理論の予測を裏付けた。世界中のニュースメディアが次々とこのニュースを転載し、アインシュタインは一夜にして有名になった。 「世界史に新たな偉人が誕生！」ベルリンの新聞はアインシュタインの写真の下にこれを書いた。タイムズ紙は、王立協会会長の次の言葉を引用した。「1846年の海王星の発見は、ニュートンの法則とユークリッド幾何学の正しさを強く裏付けるものであり、一般相対性理論は海王星の発見以来最も重要な出来事であった。」

現在、「宇宙を偉大な工場とみなす科学的見解は、人間の思想における最も重要な主張、あるいは最も重要な主張のひとつ」である相対性理論と一致するように変化しなければならない。エディントンは相対性理論を「数学的推論の力を示す最も優れた例の一つ」とみなした。 19 世紀半ばの運命的な瞬間に優れた数学者によって予言された空間観は、2000 年後にニュートンに先立ってユークリッド幾何学の唯一の理論を覆し、幾何学者を解放して創造的な想像力を広げた、感動的な変革のクライマックスを引き起こしました。

直線とは何ですか?

この「宇宙工場」はもはやユークリッド幾何学に従っていないのでしょうか?空間の幾何学は、もはやユークリッドが説明した空間の幾何学と同じではないのでしょうか?光の道は直線ではないでしょうか？どうしてそんなことが可能なのでしょうか?これを信じられないと思うのは当然です。なぜなら、あなたの人生経験から、空間はユークリッドの法則に従い、光は直線的に進むとわかっているからです。しかし、宇宙とは何でしょうか?カントがそれをどのように定義するかについては後で説明します。空間を定義しようとする前に、ユークリッドですらそれをしなかったことを知っておくべきです。ユークリッドは『原論』の中で固体の性質を研究したが、空間の定義は与えなかった。彼は単に、立体とは「幅、長さ、深さを持つもの」であり、3次元であるという意味だと言いました。最初のいくつかの定理は、複数の平面が直線で交差することや、平面上の垂直線などについて述べています。これらの定理から、空間が何を指しているのかを直感的に理解することができます。では直線とは何でしょうか?これは何の質問ですか！直線とは何ですか?私たちは皆、それを学校で学んだと思っていました。それは正しい。

次に、それを自分で定義してみてください。まっすぐなもの（または、曲がっていないもの）の定義がこれに似ている場合は、説明する必要はありません。あなたは数学者ではないと言って自分を弁護するかもしれません。この問題は数学者達も何百年もの間悩ませてきたということを知れば、あなたは安心できるでしょう。数学では、最も明白で馴染みのある概念ほど厳密に定義するのが最も難しいことがよくあります。優れた百科事典学者であり数学者でもあったダランベールは、有名な文章を書きました。彼は 1795 年に次のように書いています。「直線の定義と特性は、平行線の定義と特性と同様に、いわば幾何学の原理に対する障害であり、恥辱である。」だから何！もちろん、ユークリッド幾何学全体がこれらの定義と特性に基づいて構築されているからです。ダランベールにとって、直線と平行線の定義そのものがスキャンダルであったのも不思議ではない。

ダランベールは、直線の通常の定義は 2 点間の最短の線であると付け加えました。よく考えてみると、あなたも彼の定義に同意するかもしれません。しかし、この定義は、独自の概念というよりも、直線の性質のようなものだとフランスの学者は続けた。それが一番短いものだとどうしてわかるんですか？ある地点から別の地点までの最短経路は 1 つしかないと誰が言ったのでしょうか?私たちが直線の概念を受け入れるのは、それがこの事実を暗示しているからに他なりません。直線の満足のいく定義を与えることができないのであれば、平行線の満足のいく定義を与えることもできません。ダランベールの提案は私たちにとって道を示しているように思われます。彼はこう言いました: 直線に平行な線とは、直線の同じ側にあり、直線から等距離にある 2 つの点を結ぶ線であり、直線と同じ平面上にあります。証明なしにそれが真実であると仮定することは、定義の範囲外のことを仮定することになります。私たちは振り出しに戻り、まだ距離の概念について議論しています。要するに、ダランベールは「平行線の理論は幾何学の原理の中で最も克服するのが難しいものの 1 つである」と結論付けました。

厄介な第五公理

紀元前 300 年頃から、数え切れないほどの幾何学者がこの問題を解決しようと懸命に取り組んできました。ユークリッドは『原論』の中で幾何学の原理を確立した。彼が与えた定義によれば、「直線とは、それと一致するすべての点を結んで形成される線である。」この定義は不明瞭であると思われるかもしれません。直線は 2 点間の最短線であるということを省略すべきではなかったが、これを明確に証明したのはアルキメデスだけだった。平行線に関しては、ユークリッドは、平行線は同一平面上に位置し、両端が無限に伸びているが決して交差しない直線であると信じていました。

『原論』の最初の 3 つの公理 (2 つの異なる点の間には 1 本の直線しか引けない、直線の両端は任意に延長できる、中心と半径が与えられれば円を描ける) は、基本的な幾何学図形を描ける可能性を保証します。 4 番目の公理は、すべての直角は等しいということです。第 5 公準、いわゆる平行線公準は、一見すると非常に異なって見えます。同じ平面にある 2 本の直線が 3 本目の直線と交差し、一方の側の 2 つの内角の合計が 2 つの直角の合計よりも小さい場合、2 本の直線は無限に延長された後、必ずこの側で交差します。紙に絵を描けば、はっきりするでしょう。しかし、この公理はまったく明白ではなく、概念的には前の 4 つよりもはるかに複雑であると思われるかもしれません。ダランベールが「幾何学的障害と家族のスキャンダル」と呼んだものは、この仮定を指しています。しかし、正方形の構築、ピタゴラスの定理の証明、そしてそこから導かれるすべての定理は、この公理に基づいているため、この公理は極めて重要です。

西暦 5 世紀、プロクロスは『幾何学原論』の注釈の中で、学者たちは長い間、第 5 公準は他の 4 つの公準、さらにはユークリッドの公準よりも単純で理解しやすい新しい仮説によって証明できると信じてきたと述べています。その後の数世紀にわたって、多くの数学者がユークリッドの公理に異議を唱えたが、彼らは知恵を絞っても証明できなかった。

彼らの中には、平行線の概念は直感的で理解しやすいと考える者もいれば、図形の相似性を使うべきだと考える者もおり、第五公準をプロクロスが提唱した新しい公理、「既知の直線に平行で、かつ直線の外側の点を通らずに二本の直線を引くことは不可能である」に置き換えることを望む者もいた。教科書でこれに相当する公理を学んだことがあるかもしれません。「平面上では、直線の外側の点を通り、既知の直線に平行な直線は 1 本だけ存在します。」しかし、よく考えてみると、18 世紀末にジョン・プレイフェア (1748-1819) が提唱したこの公理は、ユークリッドの平行線公理よりもさらに複雑であることがわかります。これらは同等であり、プレイフェアの公理は第 5 公理から導かれ、逆もまた同様であることを意味します。この問題は、ペルシャの数学者オマール・ハイヤーム (1048-1122) やナスィールッディーン・アルトゥースィー (1201-1274) から、17 世紀後半のジョン・ウォリス (1616-1703)、18 世紀後半のアドリアン・マリー・ルジャンドル (1752-1833) に至るまで、ユークリッド幾何学の多くの「改革者」によって提唱された公理に存在します。

イエズス会のジロラモ・サッケリ（1667-1733）などの他の学者は、背理法による証明を用いて第五公準を証明しようと試みた。背理法による証明は議論の方法の一つです。命題 A の反対命題から A を演繹できる場合、命題 A は真です。サッケリ氏はこう語った。「真実の反対を真実であると仮定することから、驚くべき反論と推論を経て、最終的に真実そのものに戻るというのが、すべての真実の第一の特徴であるように思われる。」サッケリは著書『汚れのないユークリッド幾何学』（1733年）で、2つの直角を持つ二等辺四辺形、つまり∠Aと∠Bが直角でAD=BCであるものを研究しました。

∠Cと∠Dはどうでしょうか?まずすぐにわかるのは、サイズが同じであるということです。この時点で、3 つの可能性が考えられます。∠C と ∠D は両方とも直角であるか、両方とも鈍角であるか、両方とも鋭角であるかです。これらの可能性（サチェリはこれを仮説と呼んだ）はいずれも普遍的である。つまり、それが特定の 2 つの直角を持つ二等辺四辺形に当てはまる場合、それは他のすべての 2 つの直角を持つ二等辺四辺形にも当てはまる。

直角についての仮定は、ユークリッドが公準と呼んでいるものです。 ABCD は長方形であり、当然第 5 公理を満たします。サチェリは背理法を用いて、「鈍角の仮定は図形そのものを壊してしまうので間違っている」ことを証明した。唯一残っている「敵対的仮説」は鋭角であり、これはユークリッドの公理に違反する唯一の仮説です。サケリはそれを打ち破るために「長いキャンペーン」に従事し、何ページにもわたって難解な推論を書き連ね、最終的にその仮説は「直線の性質に反するため完全に間違っている」という結論に達した。見ましたか？振り出しに戻り、再び直線の「特性」を扱います。この「自然」とは何でしょうか?サケリ氏は、その仮説から導き出された結論が、人々が直線を見たときに最初に感じる感情と矛盾していることを認めるのを避けようとしているのではないだろうか。

この「戦い」で、サッケリは数々の予想外の新しい定理を解説し、証明したため、後世の人々からは非ユークリッド幾何学の「先駆者」と呼ばれるようになった。しかし、サケリはもう一人のコロンブスではない。コロンブスはインドへの新しい航路を探していましたが、代わりに新世界を発見しました。しかし、サケリは鋭角の「敵対仮説」をうまく克服したと固く信じており、自分が到着した場所が「インド」であると確信していた。したがって、ポール・ヴァレリーの「このサッケリ」に対する皮肉な驚きは不適切である。「サッケリは、未来の大胆で革新的な幾何学への扉をわずかに開いたが、それに気づかなかった」というのは、実際は「彼は完全なイエズス会員だった」からである。しかし、サケリは「イエズス会のような」主張をしていたわけではなく、むしろユークリッド幾何学に対する「プトレマイオス的な」信仰を持っていた。いずれにせよ、サッケリは自身の議論に非常に自信を持っていたものの、ユークリッド幾何学から汚点を取り除いたわけではなかった。第五公準がユークリッド宇宙科学の衣服の汚れであるならば、その汚れは残る。しかし、イムレ・トットの適切な言葉を借りれば、「幾何学の純粋さを失わせたのは」イエズス会の努力であった。幾何学をもはや単純なものではなくした、異論の多い第五公準が公に述べられ、世界に認知されるまでには、1世紀以上を要した。

3D以上

ゲッティンゲンにいたゲオルク・シモン・クルーゲル（1739-1812）は、サケリの研究成果を注意深く研究した。 1763年、彼は論文の中でサケリの研究についても論じた。それで彼の結論は何だったのでしょうか? 「当面は」、彼のような「純粋な真実の擁護者」を前にして、少なくとも「正気な人間ならユークリッドの公理を否定することはないだろう」と言える。そうですね、今のところは。クルーガーの論文に触発され、ランバートはサケリの足跡をたどり、『平行法について』（1776年）を出版した。このランバートは、π が無理数であることを証明したランバートと同じ人物です。数学者は角度の大きさを表すためにラジアンを使用します。また、数値 π は直角の度数、つまり 180° を表します。サッケリと同様に、ランバートも鋭角仮説が有効ではないことを証明しようとしたが、最終的には失敗した。今回彼は、3 つの直角を持つ四辺形を考案し、4 番目の角について議論しました。

100年経った今でも、空間の概念は変わっていません。ドストエフスキーの作品の中で、イワン・カラマーゾフは兄のアリョーシャとの長い会話の中でこう言っています。「神が存在し、神が世界を創造したというのが真実であるならば、我々が知っているように、神はユークリッド幾何学に従って世界を創造し、三次元空間の概念のみで人間の心を創造した。」しかし、球面幾何学はユークリッド幾何学の公理に違反しないことは古代から知られており、ランバートの説明もこの点を説明しています。当時、非ユークリッド幾何学のニュースはサンクトペテルブルクにも届いていたはずだ。なぜなら、イワンはこう続けているからだ。「しかし、最も優れた学者を含む一部の幾何学者や哲学者は、全世界、より具体的には全宇宙が​​本当にユークリッド幾何学のみに従って創造されたのかどうか疑問視している。彼らは平行線公理にさえ疑問を呈し、大胆な推測をしている。ユークリッドが決して交わらないと信じていた2本の平行線は、実際には無限に延長された後、ある点で交わるかもしれないのだ。」イワンは混乱した。この類似点を定義する最後の方法は、スタンダールのアンリ・ブリュエルが「古い教理問答」で学んだものですが、有名で物議を醸している第 5 公準とはまったく関係がありません。