物理学には本当の「魔法」があり、それは量子資源の一種である

確かに物理学には「魔法」が存在するが、ここで紹介する魔法は物理学における魔法のような現象を指すのではなく、普遍的な量子コンピューティングや量子優位性を実現するために必要な非古典的なリソースである量子リソース理論における概念を指す。近年、量子多体系における魔法の役割を探ることに重点を置いた研究が多く行われていますが、高次元かつ大規模な非積分量子多体系に対する効果的な研究ツールはまだ不足しています。このギャップを埋めるために、本論文では、多体マジックを計算するための効率的なアルゴリズムを紹介します。

著者：ディン・イーミン、ヤン・ジェン（ウェストレイク大学物理学科）

リソース思考

牛乳以外のすべての食材が無尽蔵にある素晴らしい世界に住んでいると想像してみてください。この世界では、牛乳は現実世界の石油と同じで、非常に貴重な資源です。したがって、牛乳を含む食品は「資源食品」と呼ばれ、牛乳を含まない食品は「自由食品」と呼ばれます。

優れたグルメとして、あなたは非常に鋭い味覚システムを持ち、料理が無料の食べ物なのかリソース食品なのかを瞬時に見分けることができます。それだけでなく、食べ物に含まれる牛乳の量を正確に測定することもできます。さらに一歩進んで、食品中のミルクの分布と構造を分析し、これらの構造が食品の色、香り、味にどのように影響するかを理解することもできます...

この「リソース概念」を量子情報の分野に導入することで、量子リソース理論[1]が得られます。

量子資源理論では、食物を分割するのではなく、量子状態を分割します。私たちは量子特性を標準として選択し、それを量子リソースとみなします。量子状態を準備またはシミュレートするために、量子リソースを導入する必要がない場合、この状態は「自由状態」と呼ばれ、そうでない場合は「リソース状態」と呼ばれます。

簡単な例を挙げると、量子エンタングルメントを量子リソースと見なすと、自由状態は分離可能な状態（純粋状態の場合は直積状態）であり、リソース状態はエンタングルメント状態です。このとき、リソース構造は局所相互作用ハミルトニアンの基底状態における面積法則（エンタングルメントエントロピーはエンタングルメント境界とともに線形に増加する）として現れ、その補正は縮退、ゴールドストーンモード、共形場中心電荷、位相秩序などの重要な量子多体特性を反映することができる[2]。

魔法と量子状態の複雑さ

この記事の主人公である魔法または非安定化は、極めて重要な量子リソースです。この文脈では、マジック状態または非スタビライザー状態はリソース状態であり、フリー状態はスタビライザー状態です。魔法を量子リソースとして見る動機は、有名なゴッテスマン・ニル定理[3]に由来しています。クリフォード量子回路の下では、古典的なチューリングマシン上の多項式リソースを使用して、任意の安定状態を準備し、シミュレートすることができます。普遍的な量子コンピューティングや量子優位性を実現するには、安定した状態を準備するだけでは不十分です (すべての安定状態は完全なヒルベルト空間のサブスペースのみを構成します)。これを実現するには、量子 T ゲートなど、魔法のようなことを実現できる量子演算を導入する必要があります。驚くべき事実は、高度に絡み合った量子状態の多くは魔法の状態ではないということです[4]。

古典システムが多項式リソース内で別の量子システムの動作全体を完全にシミュレートできる場合、この量子システムは依然として十分に「量子」なのでしょうか?この質問に対する答えはまだ未解決です。複雑性理論の難しさにより、P（古典的コンピュータで簡単に解ける）、NP（古典的コンピュータでは解くのが難しいが検証は簡単）、BQP（Pの量子バージョン）、QMA（NPの量子バージョン）などの複雑性クラス間の厳密な関係はまだ明らかにされていませんが、これは量子状態の複雑性を、エンタングルメントと同様に重要な物理的特性の1つと見なすきっかけとなっています。あらゆる量子システムは過去のある時点での些細な初期状態から進化していると見ることができるため、量子複雑性は、起こりうる歴史的進化の結果として、エンタングルメントを超えたいくつかの重要な特性を特徴付ける可能性を秘めています。この見解は、ブラックホール物理学を研究する際に「エンタングルメントだけでは不十分」という2014年のレナード・サスキンドの発言と一致している[5]。

実際、魔法は、私たちが議論している量子複雑性と厳密には同等ではありません。なぜなら、すべての魔法の状態が多項式リソースを持つ古典的なコンピューターによって準備できないわけではないからです。たとえば、符号問題のないハミルトニアンの基底状態はモンテカルロ法で効率的にシミュレートでき、通常は非ゼロのマジックも持ちます。さらに、量子状態の魔法サイズは基底の選択とは独立ではありません (符号問題と同様)。それにもかかわらず、量子多体複雑性の重要な「戦場」として、魔法の研究は極めて重要かつ緊急です。近年、多体魔法の研究に専念する研究者が増えています。臨界性、量子カオス、AdS-CFT などの分野では、魔法に関する多くの重要な結果が出ています。しかし、高次元かつ大規模な非積分量子多体系に対する効果的な研究ツールはまだ不足しています。最近の研究はこのギャップを埋めるものです。私たちは多体魔法値とその導関数を計算するための効率的なモンテカルロアルゴリズムを提案し、それを使って臨界性、体積分率（魔法値はシステムサイズとともに直線的に増加します）、非局所魔法を研究しました[6]。

横方向磁場イジング模型の安定エントロピーと微分

量子もつれを特徴づけることができる物理量が多数あるのと同様に、魔法を特徴づけることができる量も多数あります。ここで考慮する魔法量は2次の安定エントロピーであり、これはクリフォードスキーム[7]の下で単調性を満たす純粋魔法の優れた尺度である。ランダム級数展開と虚時間経路積分の言語では、これは次の多様体に対応します (図 1)。

図 1: 上の図には 4 つのレプリカがあります。各レプリカでは、垂直軸は空間の自由度（最初のグリッドポイントなど）を表し、水平軸は時間的な自由度を表します。各格子点の状態は、ハミルトニアンに関連する演算子やその他の演算子で構成されるパウリ弦によって順次作用され、時間軸上で進化します。時間軸上の左矢印と右矢印は、時間が周期的であること、つまり、すべての演算子によって進化した最終状態が初期状態と同じであることを示します。

実際、そのような多様体をシミュレートすると、いくつかの符号問題（負の確率）が発生します。私たちの研究の核心の一つは、パウリ群の対称性を利用して、上記の多様体のシミュレーションを、縮小された配置空間で縮小されたパウリ弦をサンプリングする問題に変換し、それによって符号を除去し、さらに安定エントロピーの値と導関数を計算することです。

この研究では、主に 1D および 2D 横方向磁場イジングモデルの基底状態について議論します。

パラメータ J の動作とグリッドポイントの数 N が変化すると、図 (デフォルトの左のサブ図は 1D 結果、右のサブ図は 2D 結果) が表示されます。 1D モデルの場合、魔法は相転移点で最大値に達しますが、これは多くの従来の物理量と同様です。読者は、最大値は相転移における相関長の発散によって生じると考えるかもしれませんが、2D システムをさらに研究した結果、最大値は相転移点ではなく強磁性相内に存在することがわかりました。これは非常に興味深い結果であり、相転移点を古典的なマシンでシミュレートすることは、いくつかの単純な相をシミュレートすることよりも必ずしも難しいわけではないことを示しています。一方、同じ物理フェーズ（同じ対称性を破る）であっても、いくつかの詳細の変更がシミュレーションリソースに大きな変化をもたらす可能性があることもわかります。

図 3: 1D (左) と 2D (右) におけるパラメータ J に関する安定エントロピー密度の 2 次導関数の挙動。

実際、システム自体は二次相転移を持ち、自由エネルギーによって寄与される安定エントロピー密度の部分は自然に特異点に寄与するため、システムの多体魔法が臨界性と直接関係しているかどうかを判断することは困難です。幸いなことに、私たちのアプローチでは、魔法にもっと密接に関連する固有関数の寄与 (Q 部分) を残して、自由エネルギー (Z 部分) から些細な寄与を分離することができます。驚くべきことに、1D および 2D の横方向磁場イジングモデルの両方の非自明な Q 部分には特異点があることがわかりました (図 4 を参照)。さらに、安定エントロピー密度の 2 次導関数の特異性は、部分的特異性と部分的特異性の複合効果の結果です。

図 4: 1D (左) と 2D (右) における安定エントロピー密度の 2 次導関数の自明な Z 部分と魔法に関連した Q 部分の競合。

図 4 の結果は、一般的な量子多体系の場合、魔法が必ずしも (共形) 臨界点で極限に達するわけではないことも示唆しています。その動作は複雑かつ多様であり、相転移の順序と密接に関連しています。

非局所的魔法

量子状態におけるグローバル（システム全体）な魔法について話すとき、それは平凡なものになる可能性があります。例えば、量子状態が N 個の局所魔法状態のテンソル積である場合、魔法の体積比は厳密に満たされ（グローバル魔法はローカル魔法で構成される）、グローバル魔法のサイズを議論することはあまり意味がありません。例えば、次のフェーズGHZ状態を考えてみましょう

このことから、特別で興味深い魔法は非局所的な魔法、つまり、全体的な魔法からすべての局所的な魔法を差し引いた残りの部分であるはずだと想像できます。量子状態に非局所的な魔法がある場合、局所的な非クリフォード量子ゲートを使用してそれを消去することはできません。これは、長距離エンタングルメントが局所的な量子ゲートによって消去できないという事実に似ています。したがって、非局所的魔法は、位相秩序などの物理的位相を検出し、特徴付ける可能性を秘めています。これまでの研究では、一般的には二元系A+B [8]の相互魔法が議論されており、これは

ここで、F は混合状態の魔法のメトリックです。安定エントロピーは混合状態の魔法の有効な尺度ではないため、安定エントロピーに基づいて相互魔法を定義することには限界があります。しかし、先に述べたように、非局所的魔法は安定エントロピーの体積率補正に必然的に反映され、これはこれまでの研究では見落とされてきた重要な点です。熱力学的限界では、あらゆる局所的な魔法の寄与は体積率の係数に吸収されなければなりません。有限サイズでは、両側の結合によってもたらされる魔法構造も異なるため、相転移点の両側での体積率補正は一般に異なります。 1Dモデルと2Dモデルの補正項b1とb2をフィッティングすると、相転移点で極端な値と不連続性の兆候を示しており（図5を参照）、相転移点の両側の魔法構造も異なることがわかります。つまり、グローバル魔法はローカル魔法によって支配されるため、相転移点では最大にならないかもしれませんが、非ローカル魔法は相転移点における相関長の発散によって大幅に影響を受けます。実際、この非局所的な魔法のすべてが、ほんの一握りの量子ゲートだけで実現できるとは想像しがたい。したがって、体積率の補正は、グローバル量子状態の魔法よりもはるかに意味のある物理量であると推測されます。

図 5: 1D (左) および 2D (右) システムにおける安定エントロピーの体積率補正。

結論

過去数百年にわたる探究を通じて、物理学者は、情報は本質的に物理的なものであり、量子多体物理学において重要な役割を果たしていることを徐々に認識してきました。しかし、コンピューティングに関連する物理システムの複雑さ、特に量子複雑さに関する議論は、比較的限られているままです。量子情報科学の継続的な発展により、計算科学の観点から始めることが、将来、複雑で興味深い量子の振る舞いをより深く理解するのに役立つと信じる理由があります。

参考文献

[1] E. ChitambarとG. Gour、「量子資源理論」、Rev. Mod.物理。 91、025001（2019）。

[2] N. Laflorencie、凝縮系における量子もつれ、Physics Reports 646、1 (2016)。

[3] S. AaronsonとD. Gottesman、「安定化回路のシミュレーションの改良」、Phys. Rev.A70、052328（2004）。

[4] MAニールセンとILチュアン。量子コンピューティングと量子情報: 10 周年記念版。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局（2010年）。

[5] L. Susskind、「絡み合いだけでは不十分」、Fortschritte der Physik 64、49 (2016)。

[6] Y.-M.ディン、Z. ワン、Z. ヤン。縮小されたパウリ弦のサンプリングによる多体安定化レーニエントロピーの評価：特異点、体積法則、非局所的魔法。 arxiv:2501.12146

[7] L. Leone、SFE Oliviero、および A. Hamma、Stabilizer Rényi エントロピー、Phys。レット牧師128、050402（2022）。

[8] CD White、C. Cao、B. Swingle、「共形場理論は魔法である」、Phys. Rev.B 103、075145（2021）。

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