ボールのようだけどボールじゃない？数学界を30年間悩ませてきた「非常に基本的な問題」がついに解決された

5 人の数学者が高次元幾何学の難問を解決しただけでなく、これらの神秘的な高次元幾何学的物体がどのようなものかを数学界に初めて垣間見せました。これらの形状は定義するのは簡単ですが、驚くほど神秘的です。今、研究者たちはついに、かつてはまったくアクセスできなかった幾何学的宇宙の一角にアクセスできるようになりました。

著者 |ジアウェイ

三角形の車輪が付いた自転車を見たことがあるでしょうか。はい、乗り心地は滑らかで、ゴツゴツしていません。

エンジニアのセルギイ・ゴルディエフが三角車輪の自転車を発明した

2 本の平行線の間に、その線に接するように円を配置します。すると、円をどのように回転させても、2 本の平行線の間の距離は同じままになります。このプロパティを定数幅と呼びます。

ただし、平面上で一定幅の曲線は円だけではありません。正三角形の 3 つの頂点を円の中心とし、辺の長さを半径とすると、正三角形を囲む 3 つの弧によって形成される図形は、円形ではない一定幅の曲線になります。実際、円以外では最も単純で最も有名な一定幅の曲線は、ルーローの三角形です。

ルーロー三角形の作成

ルーローの三角形は幅が一定なので、「円以外にマンホールの蓋にどんな形が作れるか」という質問に対する答えの 1 つです。興味のある方は、固定幅プロパティを検証してみてください。

上のアニメーションの自転車のタイヤの形状はまさにルーローの三角形です。幅を固定すると自転車はスムーズに走行できますが、実際の工学的および機械的な理由により、ルーローの三角形のタイヤは現時点では実用的ではありません。しかし、これはルーローの三角形が短いビデオのギミックとしてのみ機能することを意味するものではありません。後でさまざまな産業用途を紹介しますが、ルーローの三角形は数学の重要な研究対象でもあります。

しかし、最も恥ずかしいことは、ルーローの三角形や歴史上の他の定幅曲線を徹底的に研究すればするほど、3次元および高次元ユークリッド空間における定幅幾何学について私たちがいかに知らないかが明らかになることです。

エルサレム・ヘブライ大学の数学名誉教授であるギル・カライ氏は、現代の組み合わせ論の分野におけるリーダーの一人です。 10 年以上前、彼は数学コミュニティ MathOverflow で次のようにコメントしました。「一定幅の集合 (球を除く) は、バナッハ空間のノルムとして選択されるほど幸運ではなく、バナッハ空間理論の有力な専門家を集めて大規模次元での漸近特性を研究することはできなかった。」そのため、数学界では高次元空間における定幅幾何学の研究は脇に追いやられてきました。しかしその後、彼は口調を変えた。「...しかし、それら（高次元固定幅幾何学）は非常に刺激的で、これは非常に根本的な問題のようです。」

ここでの「非常に基本的な質問」とは、1988 年にプリンストン大学で博士号取得のために勉強していた Oded Schramm (Kalai 教授の元学生) が提起した、一見単純な質問を指します。球よりも指数関数的に小さい任意の次元で、固定幅の幾何学的物体を構築できますか?

この非常に基本的な疑問は、30 年以上にわたって数学界を悩ませてきました。今年5月までに5人の研究者が答えは「イエス」であると報告した。

彼らは高次元幾何学の難問を解いただけでなく、数学界にこれらの神秘的な高次元幾何学的物体がどのようなものかを初めて垣間見せた。これらの形状は定義するのは簡単ですが、驚くほど神秘的です。今、研究者たちはついに、かつてはまったくアクセスできなかった幾何学的宇宙の一角にアクセスできるようになりました。

2Dから3Dへ、そしてその先へ

３次元空間内の固定幅の幾何学的オブジェクト（以下、固定幅ボディという）を定義する方法は、前述の固定幅曲線を定義する方法と同様である。唯一の違いは、曲線は 2 本の平行線の間に挟まれ、一方、立体は 2 本の平行平面の間に挟まれることです。 3次元物体がどのように動いても平行面間の距離が変化しない場合、その3次元物体を3次元定幅物体と呼びます。

同様に、固定幅のボリュームは一般的な n 次元空間で定義できます。唯一のことは、平面を n-1 次元の超平面に置き換えることです。

3次元空間の球と、n次元空間の半径1のn次元単位球（Bnと表記）は、最も簡単に考えられる固定幅の物体です。しかし、固定幅の物体はボールだけなのでしょうか?

歴史を通じて数学者もこれを解明しようとしてきました。彼らは、ルーローの三角形を構築する方法を模倣して、3 次元空間にルーローの四面体を構築しました。アイデアは、正四面体の頂点を中心とし、辺の長さを半径として 4 つの球殻を構築することです。 4 つの球殻で分割された球で囲まれた空間がルーローの四面体です。

当初、ルーローの四面体は、3 次元空間における非球形の固定幅の立体であると推測されていました。しかし残念ながらそうではありません。これを計算して検証してみることもできます。

ルーロー四面体

嬉しいことに、局所的な「手術」で固定幅ボディに変えることができます！これで、最初の非球形の 3 次元一定幅の物体、マイスナー体が完成しました。

読者の皆さんもお気づきかと思いますが、3次元空間に固定幅の物体を構築すること自体がかなり難しく、さらに高次元空間となると想像を絶するほど困難です。さらに、シュラム氏が提起した問題を解決するためには、次の点も確保する必要があります。

1未満の正の数qに対して、nが十分に大きいとき、幅2のn次元の固定された広い物体Knが常に存在し、その体積はV(Kn)＜q^n·V(Bn)です。ここで、V(*) は物体の体積を表します*。

数学者は高次元の固定幅の物体を直接構築する方法を理解できないため、既存の経験に頼ることしかできません。 2 次元および 3 次元での成功パスに従って、一連のポイント (「シード」と呼ばれる) から開始し、各シードを中心に高次元の球を構築します。すべての球で包まれるオブジェクトを見つけて、その幅が一定かどうかを確認します。

しかし、高次元の世界では、シードのサブセットがどのような形につながるかを把握することは非常に困難な作業です。

ウクライナの数学者4人、アンドリー・アルマン、アンドリー・ボンダレンコ、ダニロ・ラドチェンコ、アンドリー・プリマックは、さまざまな種を使って実験し、最終的に特定の表面を発見しました。彼らは、表面が、一定幅の十分に小さい物体を含む領域を区切ることを知っています。しかし、彼らは固定幅のボディがどのようなものか知りたかったのです。

答えを探しているうちに、アルマンさんはMathOverflowで2022年の投稿を見つけ、ケント州立大学のフェドール・ナザロフ氏にたどり着いた。後者はシュラムの問題に独自に取り組んでおり、彼もまた問題に直面したものの、彼のアプローチはウクライナチームのものと非常に似ていた。ウクライナチームは彼をチームに招待した。そのとき、ナザロフは他の誰もが見逃していたことに気づきました。彼らのシードによって与えられた形状には、単に固定幅のボディが含まれているわけではないのです。固定幅ボディでした！

左から右へ：アンドリー・アルマン、アンドリー・ボンダレンコ、ダニーロ・ラドチェンコ、ヒョードル・ナザロフ、アンドリー・プリマック。 |出典: Andrii Arman、Andriy Bondarenko、Fedor Nazarov、Andriy Prymak、Danylo Radchenko が一定幅の小型ボディを構築 |組合せ論など (wordpress.com)

その瞬間、すべての問題が解決しました。彼らの研究は、十分に大きな次元nに対して、幅2の固定幅の物体Knが存在し、V(Kn)＜0.9^n·V(Bn)を満たすことを示しています。

アルマン氏は、結論の背後には複雑な考えがあるものの、その構成は学部生でも検証できるほど単純であると述べた。実際、彼らの論文はわずか7ページ（参考文献[6]を参照）であり、構築形状の3D図解は提供されていない。幾何学の論文には幾何学的対象の図がまったくなく、多くの数学者から苦情が出ていました。

カーネギーメロン大学のデジタル幾何学者でコンピューターサイエンスとロボット工学の准教授であるキーナン・クレイン氏は、論文の方法に従って3次元の固定された広い物体の画像を作成し、元の論文には添付画像がなかったため、自分で作成したと特に指摘した。

3 次元空間で一定の幅を持ち、体積が球よりも小さい物体。丨画像提供: キーナン・クレイン、カーネギーメロン大学デジタル幾何学者、コンピューターサイエンスおよびロボティクス准教授

2Dに戻る

Arman らによる研究では、一般的な n 次元空間における固定幅の物体の漸近特性を明らかにしましたが、本質的にはまだ「スキンアンドスキン」の段階にあります。 2 次元の一定幅曲線と比較すると、高次元の一定幅ボディの詳細についてはほとんどわかっていません。

先ほど紹介したルーローの三角形以外にも、一定幅の曲線は数多くあります。実際、奇数辺を持つすべての正多角形は、円弧を描くことによって一定幅の曲線を生成できることを数学的に証明できます。このような一定幅の曲線はルーロー多角形と呼ばれます。ルーロー三角形は最も単純なルーロー多角形です。

ただし、ルーロー多角形の辺はすべて円弧です。エッジが円弧ではない一定幅の曲線はありますか?

答えはイエスです。

非円弧接合、より滑らかな代数定幅曲線があります。たとえば、次の多項式のゼロは、一定幅の非円形の滑らかな代数曲線を形成します。

曲線の次数は 8 で、これは一定幅の非円形曲線を定義する多項式で可能な最小の次数です。

すべての一定幅の曲線に対して、バルビエの定理が成り立ちます。つまり、一定幅の曲線の周囲は、その形状に関係なく πw (w は一定の幅) です。

さらに、非常に重要なブラシュケ・ルベーグの定理によれば、ルーローの三角形は同じ幅のすべての定幅曲線の中で面積が最小になります。多くの数学者が三次元における最小の一定幅の物体を見つけようと試みましたが、成功しませんでした。

アルマン氏の5人からなるチームは、シュラム氏の問題を解決した後、ここ数ヶ月、上記の問題に取り組んできました。しかし、成果が上がらなかったため、彼らは最近、研究を断念し、以前の研究に戻ると発表した。

ルーローの三角形の歴史と応用

結局のところ、私たちは三次元の世界に住んでおり、高次元幾何学の最先端の研究が現実の生活に与える影響は限られていることが多いのです。アルマン氏によると、より高次元では、彼らが発見した固定幅の物体が、高次元データセットを分析するための機械学習手法の開発に役立つ可能性があるという。

しかし、ルーローの三角形は、さまざまな生活や産業のシナリオで間違いなく使用されてきました。 19 世紀のドイツのエンジニア、フランツ・ルーローは、ある動作を別の動作に変換する機械の研究における先駆者でした。彼はデザインにルーローの三角形を使用しました。名前の由来はここにあります。しかし、その歴史はもっと古く遡ります。

ルーローの三角形の初期の応用は、1514 年頃にレオナルドダヴィンチによって描かれた世界地図に由来しており、その地図では地球の球面が 8 つの部分に分割され、各部分がルーローの三角形の形に押し付けられていました。

レオナルドダヴィンチが 1514 年頃に描いた世界地図 |出典: ルーローの三角形 - Wikipedia

しかし、一定幅の曲線の存在を認識し、ルーローの三角形が一定幅の性質を持つことを観察した最初の人物は、おそらくレオンハルト・オイラーであった。オイラーは、1771 年に出版され、1781 年に改訂された論文『三角形の曲線について』の中で、曲線三角形と、準円と呼んだ一定幅の曲線について研究しました。

ルーローの三角形やその他の一定幅の曲線の存在は、直径の測定だけでは物体が円形の断面を持っているかどうかを確認できないことを示しています。

1986年、スペースシャトル「チャレンジャー」は打ち上げから73秒後に爆発し、有名な物理学者リチャード・ファインマンが事故の原因を調査するために招聘されました。彼は後に、シャトルの固体ロケットブースター部分を接続するはずだった「Oリング」シールが低温のために機能しなくなり、悲惨な結果を招いたことを実証した。しかし、彼は他にも多くの問題を発見しました。これには、NASA が O リングの形状を測定する方法も含まれます。飛行前のテスト中、エンジニアはシールが変形していないことを確認するためにシールの幅を繰り返し測定した。

ファインマンは後に、一定幅の曲線が存在するため、これらの測定は役に立たないと書いた。

円形断面の測定では隠れた危険がありますが、一定幅の曲線の形状には非常に有用な特性もあります。現在、正方形内で回転する能力に基づいて、ルーローの三角形の形状を使用する機械の種類がいくつかあります。

ルーローの三角形は、常に 4 つの辺すべてに接しながら正方形内を転がります。

Watts Brothers Tool Works のスクエアドリルビットは、切削面を作成するために凹状に修正されたルーローの三角形の形状をしています。ドリルの回転中心を固定しない特殊なチャックに取り付けることで、ほぼ正方形の穴をあけることができます。

ドイツのエンジニア、フェリックス・ヴァンケルは、ルーローの三角形を利用して、偏心回転によって圧力を回転運動に変換する内燃機関を設計しました。

ヴァンケルKKMエンジンのストロークサイクル

約50年前、マツダの技術者たちはヴァンケルのロータリーエンジンの商品化に成功しました。ロータリーエンジンは、従来のピストンエンジンよりも小型で軽量であり、優れたパワーウェイトレシオを備えていることで知られています。従来のエンジンとは異なり、ロータリーエンジンには往復運動する部品がありません。ハウジング内で回転する三角形のローターを使用しているため、より静かでスムーズに動作します。この設計により、与えられた排気量に対して優れた性能も得られます。

13Bロータリーエンジンを搭載した最後のモデルであるRX-8は2012年に生産終了となったが、マツダはロータリーエンジンの伝統を守りながら、ロータリーエンジンとその部品の生産を続けている。

ルーローの三角形に基づいたソ連の Luch-2 8mm 映写機のフィルム送り機構。丨画像ソース: ルーローの三角形 - Wikipedia

ルーローの三角形の他の用途としては、ギターのピック、消火栓の不正開封防止ナット、鉛筆型のデザインなどがあります。

始まりの終わり

前述のように、シュラム問題を解決した後、5 人のメンバーからなるチームは離散幾何学の他の分野に目を向けました。しかし、彼らは他の人々が探求できる高次元幾何学の新しい世界を残しました。

2008年、数学のさまざまな分野で大きな進歩を遂げた後、シュラムはハイキング中の事故で亡くなりました。カライ教授は、かつての恩師として、今日の研究者がシュラム教授の学術的遺産を継承し、実りある成果を生み出していることを大変嬉しく思っています。

彼によると、これまでは、高次元では、少なくとも体積特性に関しては、固定幅の物体は球体のように振舞うはずであると考えられていたという。しかし、「そうではありません。つまり、高次元幾何学の理論は非常に豊富だということです。」

2010 年、ギル・カライ氏は、より多くの数学者が「非常に基本的な問題」であるシュラム問題に注目するよう願って、MathOverflow に投稿しました。

今年5月末、カライ氏はこの長らく忘れられていた投稿にこう返信した。「問題は解決しました。」

謝辞: この論文を査読し、改訂してくださったカリフォルニア工科大学数学科の Yi Ni 教授に感謝いたします。

参考文献

[1] 一定幅の曲線 - Wikipedia