ノーベル賞受賞者はこの直感に反する現象を誤解したが、NBAスターは正しかった

バスケットボールの選手、コーチ、ファンのほとんどが、選手には信じられないほどのホットハンド効果があり、一度タッチが効くと、その選手のシュートはまるで神のようだと信じている。しかし、学界では長い間、これは非常に大きな、そして一般的な認知的錯覚であると信じられてきました。近年になってようやく、新たな研究によってホットハンド効果の存在を裏付ける強力な証拠が提示されました。

著者 |ジアウェイ

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熱い手で行きましょう。

——バスケットボールファンの合言葉

3 月の記事「かつては失明していたかもしれない少年が数学で最高の栄誉を獲得」には、確率がいかに直感に反するかを示す質問があります。

後でコインを 100 回投げると、表 (H) と裏 (T) が連続して出ることがあります。

ここで、ポイントルールを選択するオプションがあります。

ルール A: シーケンス内の各 HH ごとに 1 ポイントを獲得します。 HT ごとに、対戦相手は 1 ポイントを獲得します。

ルール B: 逆に、シーケンス内の各 HH ごとに、対戦相手は 1 ポイントを獲得します。 HT ごとに 1 ポイントを獲得します。

たとえば、HHHT のシーケンスでは、ルール A に従って、あなたは 2 ポイントを獲得し、相手は 1 ポイントを獲得します。

Q: 相手よりも多くのポイントを獲得するには、どのルールを選択する必要がありますか?言い換えれば、2 つのルールの勝利確率は同じですか?

記事の最後で、著者は答えは B であると指摘しています。HH と HT の数学的期待値は同じですが、スコア分布が異なるためです。このとき、前者は集中しすぎているため（H が 3 つで 2 ポイント）、勝率が低くなります。

さまざまなプラットフォームのコメント欄のフィードバックから判断すると、多くの読者がこの結果に懐疑的です。これは実際理解できます。

3月18日、トロント大学数学科の助教授ダニエル・リット氏は、ソーシャルプラットフォームX（旧Twitter）に上記の質問を投げかけるアンケートを投稿した。わずか 2 日間で、アンケートは 100 万回の閲覧と 500 件近くの再投稿を獲得しました。ダニエルはインターネットの有名人ではないことを知っておくべきです。彼は通常、数学愛好家や同僚と交流し、比較的ハードコアな数学コンテンツ、つまりほとんどのネットユーザーがまったく読みたくないコンテンツを共有しています。そのため、彼の投稿には通常、リポストやコメントが1桁しかありませんが、この投稿の人気はまったく予想外でした。

転送と議論に参加した人々の中には、チューリング賞受賞者のヤン・ルカン氏や、金融確率科学に関するベストセラー本「ブラック・スワン」の著者であるナシム・ニコラス・タレブ氏など、著名な学者も含まれていた。多くの人が独自の分析をしています。

24時間後、投票者数は5万人に達したが、正しく回答したのはそのうちの10％だけだった。

トロント大学数学科の助教授ダニエル・リット氏が開始した確率に関する質問への投票のスクリーンショット |出典: [email protected].

もちろん、この確率の問題に対して厳密な数学的議論を提供することはできますが、残念ながら、ほとんどの読者が「見たい」のはそれではないと思います。さらに、この問題の本当の背景を隠蔽することは、本当に目障りです。結局のところ、NBA や NCAA の試合における選手の状態を使用して数学モデルを理解する方がはるかに鮮明で興味深いです。

『ブラック・スワン』の著者ナシム・ニコラス・タレブは、コイン投げの結果をシミュレートするようにプログラムされています |出典: nntaleb @twitter.com

マーチマッドネスとホットハンド効果

4月9日、NCAAマーチマッドネス全国選手権決勝戦で、コネチカット大学がパデュー大学を75対60で破った。コネチカット大学のバスケットボールチームは、NCAA 決勝に 6 回進出し、6 回の優勝を果たしました。

NCAA（全米大学体育協会）は、米国とカナダの 1,000 を超える大学が参加するスポーツ協会です。バスケットボール、フットボール、野球、アイスホッケー、陸上競技、体操、レスリングなど、さまざまなスポーツのリーグが開催されます。その中でも最も注目されるのは、毎年3月に開催され、通称「マーチ・マッドネス」として知られるNCAA男子バスケットボール・ディビジョンI選手権だ。このイベントは多くの観客と選手を魅了し、アメリカの大学生にとって最も重要なイベントの一つとなっています。 NBA を含むイベントのライブ放送は、マーチマッドネス期間中は重要なイベントを避けます。中国にも毎年このイベントを観戦するファンがたくさんいます。

多くのファンは、2008年のNCAAでのステファン・カリーの超人的なパフォーマンスを覚えているに違いない。彼は、下位のデイビッドソン大学を勝利に導き、後半ではほぼ独力で強豪ゴンザガ大学を破った。若きカリーを今日の彼にしたのは、彼の技術だったのか、幸運だったのか、それともあの日彼に何か特別なことがあったからなのか？

バスケットボールの選手、コーチ、ファンのほとんどが、一部の選手が不思議なホットハンド効果を持っていることに同意するだろう。これは現在ではゾーン状態やフロー状態としてよく知られていると考える人もいる。

ホットハンドとは、基本的に、プレーヤーがスキルとビジョンが最高潮に達し、ショットが神から啓示された特別な状態に入ることを意味します。歴史的に、バスケットボールの解説者は、クレイグ・ホッジスが練習中に19本の連続3ポイントシュートを決めたり、ゴールデンステート・ウォリアーズのポイントガード、ステフィン・カリー選手が練習中に105本の連続3ポイントシュートを決めたりした瞬間を、「タッチが来た」とか「手が熱くなった」ことのせいにすることが多かった。

NBA 選手の言葉を言い換えると、身体が協調し、精神が集中し、感情に自信が持てるようになると、成功は必然となり、バスケットにボールを入れるのは楽になるということです。

しかし、NCAA の公式ウェブサイトでも、ホットハンド効果に対する長年の説明は、「ホットハンド効果は存在しない」というものです。それは単なる錯覚です。なぜなら、私たち人間は、ちょっとしたランダム性を固有のパターンと勘違いする傾向があるからです。実際、行動と意思決定を研究する科学者たちは、過去 30 年間この見解を維持してきました。

つい最近亡くなったノーベル経済学賞受賞者のダニエル・カーネマンはかつて率直にこう言った。「ホットハンド効果は巨大で広範囲に及ぶ認知的錯覚である。」

ダニエル・カーネマンは行動経済学の父として知られています。彼のベストセラー本『ファスト＆スロー』は、数え切れないほどの人々に自分自身の意思決定方法や思考パターンについて考えさせる啓蒙書です。カーンマンほど高名な学者は決して怠け者ではない。彼の主張は、1985年に心理学者のトーマス・ギロヴィッチ、ロバート・ヴァローネ、エイモス・トヴェルスキーが発表した画期的な論文「バスケットボールのホットハンド：ランダムシーケンスの神話」[1]に基づいています。この論文は、3 人の著者の頭文字である GVT で参照されることもあります。

GVT は、過去の NCAA の射撃データを研究した結果、射撃が成功して失敗した順序は、コインを繰り返し投げたときの表と裏の順序と区別がつかないことを発見しました。

ギャンブラーがコインを投げたときに連続して表が出ることがあるのと同じように、バスケットボール選手もバスケットボールをシュートしたときに連続してゴールを決めることがあります。 GVT は、ホットハンドは「認知的錯覚」であると結論付けました。人々はランダム性の中にパターンを「認識」し、完全に典型的なランダム現象を非ランダムとして解釈する傾向があります。

それ以来、学界ではホットハンド効果を「ホットハンド誤謬」と呼んでいます。

さらに重要なことに、GVT は、プロの実践者 (NBA の選手やコーチ) が認知錯覚の被害者であるだけでなく、ホットハンドに対する彼らの信念が頑固であることを発見しました。 NBAの重要な試合では、コーチや選手は調子が良さそうな選手にシュートチャンスを与える傾向がある。

GVT の結果は、心理学者や経済学者が情報に基づいた意思決定についてどのように考えるかに大きな影響を与えます。 GVT の結果がバスケットボール以外にも応用されるにつれ、ホットハンド誤謬は文化的なミームになりました。これは金融投資からeスポーツまであらゆるものに反映されています。

しかし、本当にそうなのでしょうか?

NBA選手のコート上でのパフォーマンスと条件付き確率

科学者が何を言おうと、ほとんどのバスケットボールファンはホットハンド効果を信じ続けており、これは NBA Jam などのビデオゲームにも反映されています。ゲームでは、プレイヤーがボールをバスケットに連続して複数回シュートするように操作すると、ボールが炎で覆われます。

クラブが雇ったスポーツ科学コンサルタントが選手やコーチにGVTの研究結果を説明したところ、多くの選手はそれを無視することを選んだ。ボストン・セルティックスの伝説的コーチ、アーノルド・ジェイコブ・「レッド」・オーバックはかつてこう言った。「この男（GVT）は誰だ？彼は研究をしたが、私には関係ない。」

学界からの反対も同様に強かったが、トヴェルスキー氏とギロヴィッチ氏は、反対する論文の重大な欠陥を指摘しながら、自らの主張をうまく擁護した。したがって、依然として少数の懐疑論者がいるものの、GVT の結果は科学界（バスケットボール界ではない）の総意とみなされています。

この状況は、GVTの古典的な研究とそれに基づくその後の研究には、統計結果に影響を与える小さいながらも重要な選択バイアスがあることを示した画期的な論文[2]が2017年まで変わりませんでした。基本的に、研究チームが筋やホットハンド現象を調べる際にサンプルを選択した方法が、彼らの数学モデルを無効にしてしまったのです。研究者が計算にバイアスを考慮に入れた場合、ホットハンド効果が存在するはずでした。選手が好調なときは、フィールド上で侮れない存在となる。

情報科学、オペレーション、意思決定テクノロジーの分野の研究者 2 人、ボッコーニ大学意思決定科学学部准教授のジョシュア・ミラー氏とアリカンテ大学経済学准教授のアダム・サンジュルホ氏は、GVT の確率モデルを再検討し、各プレーヤーの 100 回のシュート結果の順序がコイントスで決まる場合、得点の連続記録の統計も同じ分布に従うという暗黙の仮定がモデルに設定されていることを発見しました。

驚くべきことに、この直感的に明らかな前提は間違っています。ここで、バスケットボールの試合が本書の冒頭の確率の問題と関連していることに注目してください。

ミラー氏とサンジュルホ氏は、ホットハンド効果の数学的モデルを構築するには、コインをランダムに投げて得られる表 (H、成功したショットに対応) と裏 (T、失敗したショットに対応) のシーケンスだけでなく、表と表 (HH、連続した得点、ホットハンドの兆候) と表と裏 (HT、得点後の失敗したショット) も必要であると考えています。しかし、私が常に強調してきたように、HH と HT の確率は同じですが、前者の方が頻繁に出現します。この事実により、GVT の議論は無効になります。

完全な議論はオンラインで入手可能な[2]に記載されています。ここでの推論は、ブリッジに登場し、新しい情報に応じて信念を更新するための標準的な数学的手順（ベイズ推論と呼ばれる）の背後にある直感的なアイデアである、制限選択原理と呼ばれるものを適用します。ミラー氏と彼の二人の研究結果は、さまざまな確率パズルや統計的偏差に関係しており、問題の最も単純なバージョンは、有名な数学者ポール・エルデシュ氏やその他多くの賢い人々を困惑させた有名なモンティ・ホール問題とほぼ同じです。

この記事の目的は、ミラー氏とサンジュルホ氏が目指していることとはまったく逆のものです。もともと二人はホットハンド効果の数学的モデルを探していましたが、私たちは最初の質問に答えるために、数学的モデルを直感的に理解できる現実のシナリオを探していました。したがって、NBA スターのパフォーマンスを使用して、元の質問の答えが B である理由を解釈できるようになりました。

NBA 選手の調子が不安定で、調子が良いときは（ランダムに、制御不能に）1 試合あたり 80 点を獲得できるが、調子が悪いときはスコアが 1 桁に落ち込むとします。チームメイトの 1 試合あたりの平均得点は同じでも、得点の変動が 1 試合あたり 5 点以内である場合、彼は実際には 1 試合あたりの得点がより均等なチームメイトほどチームに貢献していないことになります。

元の質問のルール A は、運が良ければ非常に高いスコアを獲得できる「プレーヤー」です。このプレイヤーは特定のゲームで高得点をあげて対戦相手を圧倒しましたが、平均スコアだけを見ると、彼のスコアは対戦相手のスコアと等しく、対戦相手が毎回わずかに有利な状態で勝利しています。これは、「シーズン」終了後、ルール A では勝ちよりも負けが多くなることを意味します。

したがって、ルール A を選択した場合は、70 点や 80 点の大差で勝つ可能性が高くなりますが、実際には 50 点でも十分です。より多くのポイントが無駄になります。ルール B を選択した場合、最大スコアは 50 ポイントのみなので、ルール B が勝つたびに、スコアがより均等に分配されます。このゲームを繰り返しプレイする場合（ゲームごとにコインを 100 回投げる）、B を選択すると勝つ可能性が高くなります。

オタク向けウェブサイトJiandan.netのvevanというユーザーが、この問題をシミュレートし、ゲームを毎回10万回実行するコードスニペットをCodePenオンラインコミュニティで共有しました[5]。ご覧のとおり、HH は約 46,000 回勝利し、HT は約 48,000 回勝利しています。ルール B には若干の利点があります。

ミラー氏も当初の質問に関する議論に参加し、直感的な説明をしました。 |画像ソース: [email protected]

ホットハンド効果の影響

ホットハンド効果の研究は、NBA やバスケットボールの試合そのものに関するものだけではありません (NBA は数十億ドル規模のビジネスでもありますが)。それは、情報に基づく行動の決定や、現実世界における統計ツールの正しい適用に関するものでもあります。

コネチカット大学の経済学准教授レミー・レビン氏は、ミラー氏とサンジュルホ氏の論文を高く評価し、「非常に刺激的で、行動科学で毎年教える私のお気に入りのテーマの 1 つです。非常に興味深く、直感に反する有限サンプルの結果は、条件付き確率の測定方法に大きな影響を与えます。同時に、これは私のお気に入りの科学的成果の 1 つでもあります」と述べました。

さて、GVT のデータに戻りましょう。 GVT は、ショットを 3 回連続 (またはそれ以上) のポイントと 3 回連続 (またはそれ以上) のミスショットに分類し、各カテゴリの分布を比較しました。ミラー氏と彼のチームは、驚くべき数学的結論（これも私たちが考えるべき問題です！）を指摘し、過去のデータでは、連続したショットと得点の後に、次のショットで得点する確率が人々の予想よりも 11 パーセントポイント高いことを発見しました。

連続ショットを打つ場合、シュート精度が相対的に11パーセント向上したことは無視できない。実際、これは NBA の平均的な得点者と最高の 3 ポイントシューターのシュート率の差とほぼ同じです。したがって、GVT のデータは、元の調査結果と比較して、実質的かつ統計的に有意なホットハンド効果を明らかにしました。

さらに、ホットハンド効果を裏付ける証拠は珍しいものではありません。実際、最近の研究では、この効果が NBA の 3 ポイントコンテストやその他の対照研究で確認されています。他の研究者たちは、フリースローや試合データを使ってこれをさらに裏付けています。さらに、「測定誤差」と呼ばれる別の微妙な統計的問題により、ホットハンド効果が私たちの推定よりも重要である可能性が高くなります。

ホットハンド効果の背後にあるメカニズムは間違いなく非常に複雑です。研究によると、プラセボ効果と同様に、プレーヤー自身がホットハンド効果を信じていない場合、通常よりも良い感覚を得ることは難しいことがわかっています。

2022年の研究[3]ではさらに、ホットハンドは選手がコート上のどこからでも突然シュートできることを意味するわけではないと指摘されている。 NBA選手にとって、ホットハンドとは、ゲームの中で利用できる穴（おそらく、自分を守る背の低い選手）を見つけ、特定の種類のシュートをより多く打つことでそれを利用することである。

この仮定は合理的ですが、ホットハンドを引き起こす唯一の要因ではない可能性があります。短期的な神経可塑性、つまり選手の脳がゲームの状況に素早く適応する能力が理由なのでしょうか?集中力や心の準備はどうですか？理由が何であれ、既存の研究はホットハンド効果の存在を裏付ける強力な証拠を提供しています。

だから、NBA スターたちの経験が実はずっと正しいというのは驚きです。本日、NCAA の公式サイトは、ホットハンド効果を認知的誤謬によるものとしたウェブページを削除しました。

参考文献

[1]バスケットボールのホットハンド：ランダムシーケンスの誤解について - ScienceDirect

[2] ギャンブラーの誤謬とホットハンドの誤謬に驚きましたか？ジョシュア・B・ミラー、アダム・サンジュルホ著「少数の法則の真実」:: SSRN

[3] 野生のホットハンド |プロスワン

[4]OSFプレプリント|ホットハンド誤謬に驚きましたか?少数の法則の真実

勢いは魔法ではない ― 連勝の数学で好調さを証明する (theconversation.com)

[5] https://codepen.io/lunar-dark/pen/NWmpKpM

[6] ホットハンドとNBAへの影響：arXiv：2010.15943

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部