なぜ車はバニラアイスクリームに触れると始動しないのでしょうか?

本当の話だが、少々不条理な話：

ポンティアックの所有者は、バニラアイスクリームを買うと車が始動しなくなることに気づいた。そこで顧客はGMに苦情のメールを2通書き、2通目のメールを送信した後、車とアイスクリームの関係の謎を無事に解いたのです。

画像出典: Tuchong Creative

顧客苦情メール

この顧客の家族には、毎日夕食後に車でアイスクリームを買いに出かけ、毎晩さまざまなフレーバーのアイスクリームを買うという伝統があります。しかし、アイスクリームを買いに行ったとき、彼は問題を発見しました。バニラアイスクリームを買うと車は始動しないのですが、他のフレーバーのアイスクリームを買うと車は問題なく始動するのです。

自動車会社の経営者は、その件の真偽については懐疑的だったが、それでも問題を調査するためにエンジニアを派遣した。

エンジニアは車の所有者と会い、一緒にバニラアイスクリームを買いに行くことに同意しました。彼らが店に到着してアイスクリームを買ったとき、車が本当に始動しないことに気づきました。

エンジニアたちはその光景を再現しようと全力を尽くし、3夜連続でアイスクリームを買いに出かけた。

初日の夜、チョコレート味を買って車が始動しました。 2日目の夜、ストロベリー味を買って車が始動しました。 3日目の夜、バニラ味を買ったのですが、車が始動しませんでした。

何が起こっているのか？エンジニアたちは、慎重な調査と分析の結果、バニラアイスクリームを購入するのにかかる時間は他のフレーバーを購入するのにかかる時間よりもはるかに短いことを発見しました。

バニラアイスクリームは一番売れている商品です。お店の入り口のすぐ近くに置いてあるので、探す必要はなく、手に取って支払うだけです。

購入時期と車の始動にはどのような関係がありますか？エンジニアが顧客の車を検査したところ、「エアロック」の問題を発見した。空気の詰まりは通常、エンジンが熱いときに発生します。車の燃料供給システムに空気の詰まりが発生すると、エンジンが燃料を吸い込むときに燃料供給が断続的になり、車が始動しなくなったり、走行中にエンストしたりします。

このお客様が購入したポンティアックにはエアロックの問題がありました。他のフレーバーのアイスクリームを買うのにかかる時間は、エンジンが冷えて車がスムーズに始動するのに十分です。しかし、お客様がバニラアイスクリームを購入すると、時間が短すぎてエンジンが熱くなりすぎ、空気抵抗が時間内に消えないため、車は始動できません。

エンジニアは顧客の車のエアロックの問題を解決し、顧客はどんな味のアイスクリームを買っても車が始動しないという問題に二度と悩まされることはなくなりました。

上記の物語を読んでほとんどの人が学ぶことは、時には問題は解決不可能に思えるが、冷静に考えてみると、実際には説明できることが分かるということです。数学的な観点から深く分析すると、この物語には条件付き独立性という数学的な概念が含まれていることがわかります。

独立して考え、混乱を避けることを学ぶ

条件付き独立性は条件付き確率に関連しています。まず条件付き確率とは何かを紹介します。条件付き確率は通常、P(A|C) の形式で表されます。これは、イベント C が与えられた場合にイベント A が発生する確率です。

たとえば、雨の日には、人々は通常、タクシーで通勤することを選択します。この例では、C は「雨の日」、A は「タクシーに乗る」、P(A|C) は 1 に近い確率値です (人々は通常、雨の日にタクシーに乗ります)。 C が雨の日であるという条件を除けば、P(A) は通常の状況下でタクシーに乗る確率です。 P(A|C)とP(A)が異なることは明らかです。

条件付き確率が何であるかがわかれば、条件付き独立性の定義を与えることができます。数学的には、イベント A と B がイベント C に関して条件付きで独立している場合、次のようになります。

P(B|A,C) = P(B|C) です。

P(A|B, C) = P(A|C)

P(B|A, C) は、イベント A とイベント C が同時に発生した場合にイベント B が発生する確率であり、P(B|C) は、イベント C が発生した場合にイベント B が発生する確率です。この式は、条件付き独立の場合、2 つの確率が同じであることを示しています。

少し抽象的なので、例を見てみましょう。

ロンドンのタクシー運転手がジャケットを着用するたびに、事故の可能性が大幅に高まることが調査で分かった。ジャケットを着用すると運転が不便になり、事故率が上がるのではないかと推測する人が多い。その後、慎重に調査したところ、雨の日でもドライバーはジャケットを着用することが多く、雨が降ると交通事故が発生する確率が高くなることが判明しました。

この例では、イベント A は「ジャケットを着る」、イベント B は「自動車事故に遭う」、イベント C はこれらのイベントの共通の原因である「雨の日」です。 3つの関係を図7-2に示します。

つまり、雨の日だとわかれば、交通事故の可能性が比較的高いと自然に推測できますが、運転手がジャケットを着ているからといって、交通事故の可能性をより正確に推測できるわけではありません。

したがって、「ジャケットを着る」（イベント A）と「自動車事故に遭う」（イベント B）という 2 つのイベントの間には因果関係はなく、これらは「雨が降る」（イベント C）に関して条件付きで独立しています。

要約すると、イベント A と B がイベント C から条件付きで独立している場合、イベント A またはイベント B のいずれかが発生するかどうかを知っても、イベント C が発生した場合に、もう一方のイベントが発生する確率をより正確に推測するのに役立ちません。

これが条件付き独立性の中心的な考え方です。

人生における一般的な条件付き独立のケース

ある日、誰も家にいないときに電化製品が燃えたら、両隣の人はそれを見て警察に通報するでしょうが、お互いに警察を通報したかどうかを尋ねることはないでしょう。

この例では、イベント A「隣人 A が警察に電話」、イベント B「隣人 B が警察に電話」、イベント C「家が火事」の 3 つのイベントがあります。これら 3 つのイベントのうち、「家が燃えている」ということがわかれば、「隣人 A が警察を呼ぶ」可能性が非常に高いことがすぐに推測できます。 「隣人 B が警察に通報した」ということがわかっても、「隣人 A が警察に通報した」という確率を推測することはできません。

つまり、「隣人 A が警察に電話する」と「隣人 B が警察に電話する」は、「家が燃えている」という点に関して条件付きで独立しています。

条件付き独立性の別の例を見てみましょう。

心理学には感情のABC理論があります。これはアメリカの心理学者アルバート・エリスが提唱した感情調整法です。ここで、A は活性化イベントを表し、感情と結果 C の間接的な原因となります。一方、結果 C の直接的な原因は、活性化イベント A の認識と評価に基づいて個人が生成した信念 B です。(図 7-5 を参照)

小学生が十分に勉強せず、良い成績を取らなければ、親は当然怒ります。明らかに、十分に勉強せず成績が悪いことが親が怒る直接的な理由です。

しかし、慎重に分析してみると、上記の推論プロセスが完全に正しいわけではないことがわかります。子どもの学業成績が悪いからといって、親が直接的に落ち込むわけではないのかもしれません。親を落ち込ませる推論の連鎖にはもう一つのつながりがあり、それは親の認知です。 「子どもの成績」を知っても、「親のほうがより包括的な理解を持っている」という前提の下では、「親の反応」をより正確に推測するのに役立つわけではありません。

つまり、「子どもの成績」（イベント A）と「親の反応」（イベント C）は、「親の認知」（イベント B）に対して条件付きで独立していることになります。

バニラアイスクリームを買ったのに車が始動しないという問題に戻りましょう。

イベント A は「バニラアイスクリームの購入」、イベント B は「車が始動できない」、イベント C は「購入時間が短い」です。

「車が動かない」根本的な原因は「バニラアイスクリームを買った」ことではなく、「購入時間が短い」ことにあります。 「購入時間が短い」というイベントが発生するという前提では、「バニラアイスクリームを購入する」ということを知っていても、「車が始動できない」という確率をより正確に推測することはできません。

したがって、「バニラアイスクリームを買う」（イベント A）と「車が始動しない」（イベント B）は、「購入までの時間が短い」（イベント C）に関して条件付きで独立しています。

人生における上記の例に基づくと、2 つのイベントが関連しているように見えても、実際には別のイベントとは条件付きで独立していることが非常によくあることが分かるでしょう。このことを理解していないと、「相関関係」を「因果関係」と勘違いしてしまうという間違いを犯しやすくなります。条件付きで独立した数学的思考を学ぶことによってのみ、混乱に陥ることを効果的に回避することができます。

この記事は、中国科学普及-星空プロジェクト（創造と栽培）によって作成されました。転載の際は出典を明記してください。

著者: 劉雪峰、北京航空航天大学准教授、博士課程指導者

査読者: 鄧清泉、華中師範大学数学統計学院准教授