物理学の非存在よりも恐ろしいのは円周率です丨円周率の日おめでとう

『三体』では、自殺する前にヤン・ドンは恐怖に駆られて自分自身に問いかけました。

「自然って、本当に自然なの？」

どう思いますか？

もう一度考えてみましょう

この質問

あなた

怖いですか？

...

1

プロポーズの日

これは私が今まで見た中で最もユニークな提案です。

本日、3月14日。

数学科の男子生徒が突然ひざまずき、彼女を愛情深く見つめながら、…を取り出した。

……アップルパイ？

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よく見てみると、このアップルパイは完璧な三角形のスライスで、上から見た図は次の式の輪郭と完全に一致していました。

彼の提案はそういう意味なのだと突然私は気づいた。

この数式がわからない場合は、スライスをリセットしてみましょう。

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さて、その形は円に似ていませんか?

直径がわずか 1 cm のミニパイを焼く場合は、その円周が今日の主な焦点になります。

π。

子どもの頃、数学の先生に覚えるように言われた円周率の公式を覚えていますか?

3.141592653..

今日。

3月14日、国際円周率の日。

すぐに気づくでしょう:

これらの数字の背後には、

含まれるもの、

宇宙全体。

2

さまざまな不満を治療することに特化

思い出してみると、大学入試が近づく５月になると、みんな落ち着かなくなっていた。

ある日、数学の先生が黒板に次の式を書きました。

「大きな問題には完全な計算プロセスが必要だと何度も強調してきましたが、結果はどうでしょうか? 答えだけを書きたいですよね? さて、この式の答えが何であるかを教えてくれるのは誰ですか?」

教室は静まり返っていた。

先生は定規で黒板を叩きながら、「πも分からないのに、何をそんなに自慢しているの？」と言いました。

その後、大学の微積分学の授業で、これが 1655 年にジョン・ウォリスが発見したウォリス積であり、ヨーロッパで発見された円周率の 2 番目の無限項式であることを知りました。

ウォリス積の簡単な証明プロセス

当時は答えられなかったのも無理はありません！

これは次元削減攻撃であり、裸の次元削減攻撃です。

しかし、数学の先生のこの技は学ぶ価値があると思います!

次回、相手の深度をテストしたいときは、次の式の値を尋ねることもできます。

相手が黙っている場合は、真剣にこう言うことができます。「あなたはπさえ知らないのだから、もっと本を読むべきだ。 」

結局のところ、これはライプニッツの π の公式であり、十分な項を与えると、合計はゆっくりと π に近づきます。

ただし、このシリーズの収束速度は非常に遅く、π の小数点第 5 位まで正確になるまでに 500,000 項目かかります...

しかし、どんな不満もπが解決してくれるのです！

3

無限非ループ

小学校の算数の問題を復習してみましょう。

下の式が別の近似式になるようにマッチ棒を動かしてください。

回答を見る

質問の中で「近似式」が強調されているのは、π が無理数であり、2 つの整数の比として表すことができないからです。 π を近似するために 22/7 などの分数がよく使用されますが、実際には π は無限の循環しない小数です。

ただし、すべての無理数は連分数の形で表現でき、π も例外ではありません。たとえば、次のようになります。

任意の時点で切断すると、π のおおよその値が得られます。 2 行目で切断すると、22/7 になります。 4 行目で切り捨てると、355/113 になります。

これら 2 つの値は、歴史的に円周率の近似値として注目されてきたため、注目されています。

紀元前 250 年、アルキメデスは論文「円の測定について」の中で次のように提案しました。

彼は円切断法を使用しました:

円切断法の模式図、出典[1]

円の円周は、外接多角形と内接多角形の間にあります。多角形の辺の数を増やしていくと、円周の差を小さくすることができます。したがって、多角形の円周を計算することで、π値の上限と下限をある程度の精度で求めることができます。

古代中国では、円周率の探求にも長い歴史があります。

我が国最古の天文学と数学の本『周壁算経』には、「数の法則は円と四角から来る」という一文があります。三国時代の数学者趙爽は、「円の直径は1で、円周は3である」とコメントしました。これは、直径が 1 の円の円周がおよそ 3 であることを意味します。

当時、私たちが使用した円周率のおおよその推定値は 3 であったことがわかります。

西暦462年、祖崇之は著書『慧書』の中で、彼が計算した円周率のおおよその値は355/113であると記録しました。小数に展開された値は 3.1415929203 です...

ほぼ 800 年間、これが π の最も正確な推定値であり続けました。

実際、円周率の推定は古代において非常に直接的な実用的な意味を持っていました。

例えば、当時、庶民も王侯貴族も、いつ雨が降るのか、どれくらい降るのかということに非常に関心を持っていました。

このため、宮廷の役人は円の計算を含む暦を改訂する必要がありました。もしπのおおよその値に大きな誤差があったら、一年の四季を正確に予測することは不可能となり、最終的には国全体の人々の生活に直接影響を及ぼしてしまうことになります。

355/113 の精度は、次の例を見ると具体的に感じられます。

円の直径を 10,000 メートルと仮定すると、それを使用して計算された円周は、実際の値よりもわずか 3 ミリメートル未満大きいだけです。

そのため、祖崇志の業績は当時の庶民にとっても、後世の研究の進歩にとっても大きな意義を持っています。

4

針をランダムに投げてπを求める

今日は国際円周率の日なので、パイを食べながらちょっとしたゲームをしてみませんか?

紙の上に 4 cm 間隔で平行線を引き、長さ 2 cm のつまようじを n 本用意して紙の上にランダムに投げ、最後につまようじが平行線と交差する回数 k を数え、n/k の値を計算します。

ランダムトス

統計の結果、n/k の値が π に非常に近いことがわかりました。

これは実は有名なビュフォンの実験です。

距離 a の平行線の集合があり、投げられたつまようじの長さが l であると仮定すると、つまようじが直線と交差する確率は次のように簡単に計算できます。

簡単な概略図

つまようじADが直線MNと交差し、Bがつまようじの中点、つまようじと直線の間の角度がθ、点Bから直線MNまでの垂直距離がsであると仮定します。つまようじが直線と交差するには、s≤lsinθ/2 を満たす必要があります。

つまようじが直線MNと交差する角度θは0からπまで変化し、sの範囲は0からa/2まで変化します。簡単な図は次のようになります。

図の曲線は s = lsinθ/2 であり、網掛け部分はつまようじと直線の交点を表しています。この長方形の面積は投げたボールの総数を表すので、交差確率は次のように計算できます。

上記のゲームでは、パラメータ a=2l を選択したので、n/k=π になります。

理論的には、投げる回数が増えるにつれて、より正確な π の値を得ることができます。歴史上、多くの人がこの実験を行ってきました。

過去の実験データの表、出典[2]

よく観察すると、π の値の精度は投げる回数に比例していないことがわかります。

ルドルフはサイコロを 5,000 回投げたのに対し、ラズリーニは 3,408 回しか投げなかったが、彼が得た π の値はルドルフのものよりはるかに正確だった。

この点に関して、多くの学者はラズリニのデータが偽造されているのではないかと疑っている。

しかし実際には、この投げる実験には、最適な停止問題、つまり、より良い解決策を得るために何回投げて停止するかという問題も含まれています。

これらすべてを脇に置いておくと、ビュフォンの実験は確率の問題を幾何学的な形で表現した最初の例でした。決定論的な数学の問題を扱うためにランダムな実験が使用されたのは初めてのことでした。これはモンテカルロ法の原型となっただけでなく、積分幾何学の誕生も促進しました。

しかし、忘れないでください。このすべては、π の値を見つけたいという私たちの願望から始まったのです。

何かが私たちを引っ張っているようです。円周率を絶えず探求する過程で、私たちはより広大で無限の世界に触れてきました。

5

スーパーコンピューティングのウォームアップ演習

円周率の探究は何千年にもわたり続けられており、一度も止まったことはありません。時計の針を回してこの時代に進むと、円周率の物語には新たな登場人物が登場します。

スーパーコンピュータ。

2021年8月、スイスの科学者たちはスーパーコンピューターを使って円周率を小数点以下62兆8千億桁まで計算し、108日と9時間を要して世界記録を更新した。

予想外にも、半年余り後に、記録は再び破られました！

2022 年 3 月、Google Cloud は100 兆桁の小数点以下をすべて計算しましたが、これには 158 日もかからず、100 兆桁目の小数点以下はちょうど 0 でした。

円周率の最後の100桁を小数点第100位まで表示したもの。出典[3]

実際、実際の測定の観点から見ると、円周率が 39 桁の精度であれば、観測可能な宇宙の円周を原子の大きさまで正確に計算することができ、現在のほとんどの宇宙論の計算ニーズを満たすことができます。

そうなると、小数点以下何兆桁も計算する意味がどこにあるのでしょうか?

スーパーコンピュータが急速に発展している中、その信頼性、精度、計算速度などの一連の指標をどのようにテストできるか考えたことがありますか?

今度はπがステージに上がる番です！

スーパーコンピュータを使用してπの複数桁の値を計算することは、コンピュータのパフォーマンスをテストし、計算方法を改善するために現在使用されている一般的な方法です。

私たちがエベレスト登山の記録を破り続けているように、スーパーコンピュータにとって、π の値は彼らが登らなければならない山頂です。

簡単に言うと、まずは稼働中のスーパーコンピュータ上でπ値計算プログラムを使用し、複数の実験を行ってプログラムに問題がないことを確認する必要があります。

次に、このプログラムをテスト マシンで使用します。テストマシンが円周率を計算するときにエラーを起こした場合、それはこのスーパーコンピューターのハードウェアに問題があることを意味し、さらなる検査と調整が必要です。

この観点からすると、円周率の無限値はおそらくスーパーコンピュータのためのウォーミングアップ演習であると考えられます。

スーパーコンピュータがπの値の世界記録を破ると、ウォーミングアップは終了し、次のステップは他の研究分野でその優秀さを示すことです。

6

宇宙コード

『三体』では、ヤン・ドンは自殺する前に「自然は本当に自然なのか？」と自問する。

カール・セーガンは小説『コンタクト』の中で、宇宙の創造主がπという数にメッセージを隠していると示唆した。

そのため、多くのπファンにとって、自然は自然ではなく、究極のコードはπの中に隠されているのかもしれません。

たとえば、陽子と電子の質量比は約 1836 で、これは 6π5 の丸められた値と正確に等しくなります。

待ってください、これは本当に単なる偶然ですか?

素粒子の固有の特性は、宇宙のいくつかの幾何学的特徴と密接に関係しているのでしょうか?

今のところこの発言には理論的な根拠はなく、単なる偶然である可能性が高いです...

それに比べて、さらに興味深いのは、 π2 の値が重力加速度 g の値に非常に近いことです。

これは偶然ではありません！これはすべて、長さの単位 m の定義に関係しています。

1660 年、ロンドン王立協会は、地球の表面にある長さ約 1 メートルの単純な振り子は、約 1 秒間に 1 回振動すると提唱しました。

つまり、長さ m の本来の定義は、振動時間が 1 秒である単純な振り子の長さです。

単振り子の周期の式を見てみましょう。

T は往復にかかる時間を表すので、T=2s と置き換え、単位を無視して単純に変換すると次のようになります。

このときの単振り子の長さLを1mと定義しているので、π2とgの値は等しいことがわかります！

つまり、最初はπ2=gです。

その後、単位長さ m の定義を調整し続け、値の変化につながりましたが、その差は大きくなかったため、現在の π2 は重力加速度 g の値に非常に近いですが、完全に等しいわけではありません。

さらに、π はさまざまな物理世界にも現れます。

微細構造定数

ハイゼンベルクの不確定性原理

マクスウェル速度分布関数

実は、πはさまざまな物理式に登場するだけでなく、私たちの日常生活にも深く関わっています。

「パーソン・オブ・インタレスト」には、注意深く検討する価値のある非常に興味深いクリップがあります。

今、3.14ドルのパイを食べています。

π の魔法を詳しく見てみましょう。

それは無理数であり、無限で繰り返されません。

これは超越数でもあり、有理数係数を持つ多項式の根ではありません。

そこには宇宙の無限の可能性がすべて含まれています。

では、プロポーズパーティーを開く意味は…

円周率の名において

「

あなたのような、

それがどこから来たのか分かりません。

すべてを超えて、

無限、

あなたの方へ走ります。

”

なるほど！

どうしてそこに立っているんですか？どうしてまだパイを食べているの？

あなたについて話しているんです！

早く自分の気持ちを伝えに行ってみませんか！

ああ、そうだ！

静かに話し合うことを忘れないでください:

自然は本当に自然でしょうか？

参考文献:

[1] Wikipedia: 円周率

[2] 円周率の法則

[3] Google Cloudブログ

編集者：ミューラーの乳母