統計物理学における100年来の謎とその解決

新しい理論は、実験で確立された結果をもたらすだけでなく、新しい結果を予測することもできます。この結果の物理的な合理性と独創性は、自然の配置によるものとしか考えられません。

著者：劉全輝（理論物理学博士、湖南大学物理学・マイクロエレクトロニクス科学学院教授）

難しい物理学の問題と難しい数学の問題には大きな違いがあります。何世紀も前からある難しい数学の問題に遭遇することは珍しいことではありません。例えば、フェルマーの最終定理の提案から証明までには 358 年かかりました。ゴールドバッハの予想には 280 年かかりました。興味深いことに、難しい数学の問題を解くたびに、金の卵を産むガチョウを殺していることになります。物理学には100年も昔から存在する問題もあり、それを解くたびに、金の卵を産むガチョウを発見するようなものです。これらの疑問は、なぜ氷は滑りやすいのかといった小さなものから、宇宙の構造やその進化といった大きなものまで多岐にわたります。気候変動のような複雑なものから、ハトが巣に戻ることなど具体的なものまであります。この記事の有限サイズ効果の問題は物理学の教科書にも書かれており、歴史上継続的に研究論文が発表されてきました。それは数学と物理学の間の小さな問題です。

1つ

有限サイズ効果問題

すべての統計分布の中で、最も可能性の高いものを見つけることが、統計学の入門知識です。しかし、統計は大規模なサンプルを扱います。稀なケースは統計の範囲を超えています。統計物理学でも最も確率の高い分布を求めますが、システムは熱貯蔵庫や粒子貯蔵庫と接触することが多く、システム内に粒子が 1 つしか存在しないこともあります。つまり、統計物理学では、粒子が 1 つ現れたとしても、分布が現れるのです。単一原子熱機関は近年、たった 1 つの粒子の統計分布を扱う研究のホットスポットとなっています。従来の熱力学では、多数の粒子を含むシステムを扱いますが、数学的にはそれらの粒子は無限の数として扱われます。同時に、システムの体積も無限大とみなされますが、粒子の数の密度は変化しません。これがいわゆる熱力学的限界です。熱力学的限界のもう一方の端には、小さなシステム、つまり粒子の数が少ないシステム、または有限サイズのシステムがあります。ここで現れる新しい効果は、有限サイズ効果または少数粒子効果と呼ぶことができます。

しかし、1 世紀半以上もの間、何十万人もの統計物理学の学者たちは、最も可能性の高い分布を求める中で、次のような問題に悩まされてきました。関連する理論を適用するには多数の粒子が必要であり、この条件が満たされた場合にのみ、成熟した数学的ツールの助けを借りて統計分布を与えることができるのです。もちろん、粒子の数が非常に多い場合も、これらの結果は正しく、実験によって厳密にテストされています。では、粒子の数が非常に少ない場合、分布はあるのでしょうか?配布形式はどのようなものですか？数学的には、この問題は対数 lnx をどのように扱うかということになります。変数 x と積 x!そしてその微積分では、変数 x は粒子の数、x=0,1,2、… として理解できます。例えば、x が 1 から 10 の間である場合、それはいわゆる小粒子系です。

統計物理学では、lnx! の次のスターリング公式が使用されます。よく使われるのは lnx! ≈xlnx-x。この式は、x の値が非常に大きい場合に非常に正確になります。しかし、x が小さい場合、たとえば x が 1 から 10 の間である場合、この式の精度は非常に低くなります。しかし、物理的にはこれが唯一の摂取方法です。それ以上でもそれ以下でもありません！主な理由は、この方法でのみ、熱力学システムのエントロピーの広がりが保証されるからです。より正確な近似を使用すると、拡張プロパティは必然的に破壊されます。言い換えれば、正確なスターリングの公式によって与えられた最終結果が正しければ、それはいわゆる少数粒子効果または有限サイズ効果であるはずですが、それはおそらく間違っています。

x が粒子の数のとき、lnx!自然な離散関数です。近似式 lnx!≈xlnx-x を使用する重要な目的は、lnx! を変換することです。微積分演算のための連続関数に変換します。ただし、x が小さい場合、lnx! の処理の精度は低下します。連続関数として扱うのは非常に貧弱であり、離散関数としてのみ扱うことができます。この時、差動dlnx！ lnxの！微分Δlnx!に置き換える必要があります。ただし、差 Δlnx! の定義は多数あります。たとえば、前のステップの差 Δlnx!= ln(x+1)!- lnx!=ln(x+1)、次のステップの差 Δlnx!= ln(x)!- ln(x-1)!=ln(x)、最初の 2 ステップの差、次の 2 ステップの差、...、中心差、偏心差、... などです。非常に多くの定義があり、それらがもたらす物理的な結果も異なります。いずれか 1 つを選択することは、新しい仮説を導入することと同じです。それでも、得られる結果は信頼できない可能性があります。

したがって、lnx!統計物理学に現れる場合、厳密な処理が 2 か所で必要になります。1 つは lnx! の正確な表現であり、もう 1 つは厳密な離散計算です。

二

最も安定したソリューションを見つける

関数 lnx! のスターリング公式の正確な表現を求めることにおいて、物理学者は数学者に敵いません。数学者が発見した結果をここに移動するだけです。したがって、問題は正確なスターリングの式を使用するかどうかではありません。問題は機能の差別化において生じるはずです。多くの試行錯誤を経て、私たちはついにこの問題を解決するための狭いながらも独創的な方法を発見しました[1]。この方法ではスターリングの公式をまったく使用する必要はありません。

統計物理学において最も可能性の高い分布を求めることは、変化を求めるプロセスとして理解できます。正しい道を歩んでいれば、必ず「怪物や悪魔」に遭遇するでしょう。以下に簡単な例を挙げて説明します。

したがって、差分後のソリューションはより安定します。合理的な説明をしてください。事後差分解を選択できる限り、数学や物理学からの説明でもかまいません。

ここまで踏み込んで、新しい物理原理を通じて最も安定した解を真の解として採用し、非現実的な解を排除する研究者はほとんどいません。

しかし、ここでも物理的な問題は根本的に解決されていません。

三つ

ちょっとした数学のトリック: 非同期差分

少し計算してみると、新しい理論によって得られた結果は 3 つの部分に分けられます。最初の部分では、粒子の数が非常に多い場合、結果は完全に従来の結果に戻ります。これらの結果はその後、実験で繰り返しテストされました。新しい理論が同じ結果をもたらさなかったなら、その理論は間違いなく間違っていたことになります。 2 番目の部分では、システム内にボソンやフェルミオンなどの粒子が 2 つしかない場合、元の分布は引き続き有効です。伝統的な統計物理学における大正準分布がこの結果を示唆しているようです。ただし、提案することは確認を意味するものではありません。統計物理学自体は、グランドカノニカル分布によって与えられた結果が、1 個または 2 個の粒子のみのシステムに適しているかどうかを判断することはできません。 3 番目の部分では、システム内に粒子が 1 つしかない場合、新しい理論では、粒子の量子性が突然消え、すべての粒子が同じ統計、つまりボルツマン統計に従うと考えています。この結果は、理論が最初に結果を与え、それが後から理解されたというものです。これについてもう少し説明させてください。

量子力学では、2 つの粒子がフェルミオンであるかボソンであるかは、交換対称性を満たすシステム状態の結果であると考えています。一方、量子場理論では、スピンと統計の間には単純な一対一の対応関係があると考えられています。新しい理論によれば、システム内に元々 2 つのボソンが存在する場合、ボーズ分布が満たされます。突然、そのうちの 1 つを取り除いて、残った 1 つもまだボソンであるかどうかを尋ねてみましょう。量子力学では、このボソンは他の粒子と交換できないため、この粒子がボソンであるかどうかを言うことは無意味であると考えています。ここで、新しい理論は、粒子がボルツマン統計を満たすはずであるとさらに予測します。この結果はしばらくの間私を非常に不安にさせましたが、その後突然、これが自然の巧妙で避けられない配置であることを理解しました。粒子が 1 つしかない場合、システム全体を局所領域と見なすことができ、この粒子は局所粒子であるため、当然ボルツマン統計を満たすことしかできません。したがって、新しい理論では、粒子が 2 つから 1 つに変化すると、2 つの統計値の間にジャンプが発生し、この時点で新しい熱交換が発生すると予測されています。したがって、論文[1]では、新しい理論は実験的に検証できる結果を提供できるという仮定を立てている。

4つ

結論

明らかに、ここで関係する有限サイズ効果は、適切な数学的ツールが利用できないために困難です。私は自分の肉体的な感覚に導かれ、何らかの物理的な結果が出るはずだと感じました。その後、私は数学に目を向け、非同期の違いを導入することによってのみ問題を解決できることを発見しました。おそらく、数学の誰かが他の分野で非同期微分のアイデアを提案したことがあるかもしれませんが、物理学に導入されたことはありません。

非同期微分は数学の慣習を打ち破っているように見えますが、それでも数学の枠組みの中にとどまっています。非同期差別化は、ほんの一枚の紙の向こう側、私たちの周囲に広がっています。新しい理論は、実験で確立された結果をもたらすだけでなく、新しい結果を予測することもできます。この結果の物理的な合理性と独創性は、自然の配置によるものとしか考えられません。

追記

私は生涯ずっと記事を書いてきましたが、書いた記事の多くを忘れてしまいます。原稿を提出した後、どのジャーナルに投稿したか分かりません。初回の審査は通過したが、タイムリーな対応がなかったために却下された、優れた論文もありました。この記事[1]は違います。これは、20 年以上にわたって「熱力学と統計物理学」のコースを教えてきた私自​​身への説明です。これは、ワシントン大学のQian Hong教授が2020年6月に国際セミナーNanothermodynamicaシリーズを開催して以来、私が提出しようと決めていた課題でもあります。この論文は、Nano-Thermodynamicsシンポジウムの2周年にあたる5月4日の青年の日に正式に出版されました。シンポジウムが今後も盛んに行われることを祈念しております。 Annals of Physics の編集者がこの論文を出版することに熱心だったという事実も、この論文が独創的であることを示しています。しかし、度重なる拒否に私は少しイライラしてしまいました。私は論文の最初の文を「この論文は統計物理学における長年の基本的問題を解決することを目的としている」という宣伝文に書き直しただけでなく、2020-2021年中国物理学秋季会議で報告して宣伝するのが待ちきれませんでした。論文が受理された後も、私はまだ少し信じられませんでした。校正を終えた後、記念に花瓶を買いました。記事が公開された後、私はそれを自慢するためにこの記事を書きました。

学問は公共財であり、専門家、教師、友人からの批判や訂正を心から期待しています。

参考文献

[1] QH Liu、「有限個の粒子による最確分布の非同期有限差分」、Annals of Physics、Vol. 441、2022年6月、168884。https://doi.org/10.1016/j.aop.2022.168884

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