ただ楽しむためにエクササイズをしていますか?歴史上有名な「役に立たない」数学研究のレビュー

編集者注:

2024年の「阿里数学コンテスト」では、江蘇省連水中等職業学校の江平さんが93点の高得点で世界12位にランクインした。江蘇省出身のこの17歳の技術系中学生の投稿は一夜にしてインターネット全体を席巻し、数学に関する議論も活発になった。

ほとんどの人にとって、数学は愛憎関係です。では、数学者の視点から見ると数学の世界はどのように見えるのでしょうか?数学を勉強すると何の役に立つのでしょうか？特に理論的な研究を主とする基礎数学者たちは、みんな「無駄な」研究をしているのでしょうか？

今日は、数学者の視線を追い、2000年の数学の歴史を振り返り、長い時間の流れの中で数学者達を想い出し、一緒に数学の魅力を感じてみましょう。

最近は皆さんも「役に立つ数学」についてよく教わるようになったと思いますが（私たちも書きました）、理論的な研究が中心の基礎数学者など、一見「役に立たない」研究をしていたように思える数学者もいます。

パート1

有名な「役に立たない」研究

基礎数学者の世界は合理性と無邪気さに満ちた楽園であり、思考と才能で築かれた宮殿です。基礎研究に専念する数学者は皆、自分の人生をかけて自分自身の精神的な建造物を建設しているのです。しかし、この楽園への扉は誰にでも開かれているにもかかわらず、このような美しい精神世界はほとんどの人を魅了しません。一方で、基礎的な数学の入門のハードルは高く、訪問者が深いフラストレーションを感じてしまう可能性も高くなります。同時に、基礎数学が存在する理想の王国と現実世界との間のギャップも、世代の選択に影響を与えています。基礎数学者が互いにコミュニケーションをとるために使用する用語や、彼らを魅了する問題を詳しく調べると、彼らが一般の人々と並行する2つの世界に生きているように見えることに気づくのは難しくありません。

1. ゴールドバッハの予想

「2 より大きい任意の偶数は、2 つの素数の和として表すことができる...」ドイツの数学者ゴールドバッハが 1742 年に提唱したこの予想は、後世の無数の優れた数学者たちを幽霊のように悩ませてきました。現在までに、この問題に関して最も重要な成果を達成した中国の数学者陳景潤は、徐其のルポ「ゴールドバッハの予想」によって有名になった。しかし意外なことに、陳景潤の個人的なイメージも、世間では数学者のレッテルとしてみなされている。

厦門大学の陳京潤の銅像（出典：Wikipedia）

勇敢に頂点を目指す科学者の一例として、陳景潤氏の物語は数世代にわたる中国人の心に響いてきたが、一般の人々が彼の研究成果や意義を理解するのは難しい。 「『1+1=2』を証明する意味は何ですか？」のような質問をよく目にします。 「ゴールドバッハ予想」を「『1+1=2』を証明せよ」のような問題だと誤解している人も少なくありません。人々が最も話題にしているのは、陳景潤の矛盾だ。彼は数学の最高レベルの問題を研究する並外れた知恵を持っているが、人生における基本的な常識が欠けている。厳しく困難な環境の中でも、彼は初心を心に留めて懸命に努力を続けています。

しかし、この過程で、大衆は無意識のうちに陳景潤、ゴールドバッハ予想、さらには数学者コミュニティに対して深い誤解を抱くようになった。数学者の豊かな知恵と不屈の闘争心は、部分的にこのような呼び名に凝縮されている。数学者とは、最高の知性と才能を無駄な、あるいは退屈な研究に浪費する人々の集団である。同時に、彼らは世俗から離れており、世俗的な事柄を気にしません。

熱い知識

ゴールドバッハの予想: 2 より大きい任意の偶数は、2 つの数の和に分解できます。そのうちの 1 つは素数であり、もう 1 つも素数です。

2. 「42」

2019年、宇宙の究極のコードとして知られる「42」が数学者によって解読されました。これは数学ゲームに似たリレー競争です。数学者の推測: 9n±4 型の自然数を除いて、100 以内のすべての自然数は、3 つの整数の 3 乗の和として表すことができます。例えば：

図: 1、2、96はすべて3つの整数の3乗の和として表すことができます

9n±4 型自然数とは、4、5、13、14 などの数を指し、100 個のうち 22 個存在します。数学者は、多大な努力の末、42 を除く 9n±4 以外のすべての自然数が上記の予想を満たすことを発見しました。 42 という数字だけは、肯定または否定の回答がされたことがありません。 42 は解読不可能な究極のコードであると信じている人さえいます。そのため、数学者の間では冗談めかして「宇宙の真理」と呼ばれています。 42 が 3 つの整数の 3 乗の和として表せることを数学者がようやく発見したのは 2019 年になってからでした。

図：42は3つの整数の立方の合計として表すことができます

驚き、困惑、当惑、さらにはめまいといった感情が、再び人々の繊細な神経を襲った。多くの数学者が頭を悩ませ、やる気をなくしている問題は、単なる数学的なゲームであるというのは本当でしょうか?彼らの知性と才能は、単に夕食後の会話を提供するためだけのものなのでしょうか?数学者は無邪気なのか、それとも退屈なのか?

3. その他

ロシアの数学者ペレリマンは、世界の7大数学問題の一つである「ポアンカレ予想」を解決したことで、メディアから天才として称賛された。 2010年、この天才は再び数学者としての反抗的な一面を見せ、数学界最高の栄誉であるフィールズ賞と賞金100万ドルを放棄することを公表した。理解しにくいのは、ペレルマン氏がこの決断を下した当時、彼はまだ「窮屈な」生活を送っていたということだ。ペレルマンの異例の行動は、数学者に対する世間の印象を改めて裏付けるものとなったようだ。

実際、歴史を通じて多くの数学者がペレルマンと同様の動きをしてきました。 「代数幾何学の法王」として知られるフランスの数学者グロッセンディークは、若く元気だった頃、山奥に隠棲したことがある。数学者の物語は、常に無用さ、奇妙さ、偏執狂、不可解さに満ちているように思われる。なぜこれほど多くの数学者が、世間に誤解されてもトラブルに巻き込まれない道を選ぶのでしょうか?なぜ彼らはいわゆる「役に立たない数学」に執着するのでしょうか?

画像出典: veer gallery

パート2

数学：世界の理解から宇宙の理解へ

イスラエルの歴史家ユヴァル・ノア・ハラリは『サピエンス全史』の中で、人間は想像力を持つ唯一の生き物であるという見解を提唱している。人類が文明の過程を継続的に繰り返すことができるのは想像力のおかげです。人類文明の初期においては、生存が最優先事項でした。天文学、暦、作物の種まきと収穫、物体の数え上げ、富の蓄積など、すべてに数学の助けが必要です。したがって、数学は人類が世界を理解し変革するための第一歩と自然に一体化しています。人類の数学の集大成がゼロから始まり、徐々に高みへと成長していったのもこの時代からでした。この過程で、数学は、数え上げや計算といった人間の単純な日常的なニーズを満たすことから、宇宙の基本原理を理解するまで徐々に発展してきました。古代の人々は、空は丸く、地球は四角いと信じていました。また、古代ギリシャの人々は、数学者プトレマイオスの大圏法が太陽系の惑星の運動軌道をほぼ完璧に説明していたこともあり、「天動説」を固く信じていました。

それから1000年以上経ったルネッサンス時代の天文学的観測により、「地動説」が惑星の運動の観測上の偏差につながることが初めて発見され、コペルニクスは「地動説」を提唱しました。ニュートンは、ケプラーの星の観測データと彼が提唱した「惑星運動の3つの法則」に基づいて、「太陽中心説」を微積分学の誕生と極めて正確な理論的予測と統合した「空間と時間の絶対的な見方」を展開した。

それから200年以上経ち、マクスウェル方程式によって明らかにされた光速度不変の推論を解くために、アインシュタインは画期的な「相対性理論」を提唱しました。そして、その理論は「相対性理論」のもとでの宇宙の怪物、特異点のビッグバン下のブラックホールを生み出しました。同時に、黒体放射の暗雲を払拭するために、プランクは「量子力学」の幽霊の扉を破った。今日まで、弦理論によってもたらされた多次元宇宙と並行宇宙の概念は、テクノロジー王国の「パンドラの箱」を開けてしまった。

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人類は常に宇宙の謎を解明しようと努め、一歩一歩今日まで来ています。宇宙観のあらゆる進歩と転覆は、人類を宇宙の究極の真実に近づけます。数学は概念のあらゆる飛躍に​​おいて重要な役割を果たします。しかし、人類が大きな技術的変化の前夜まで遡ったとしても、当時の数学は貴族たちの役に立たないゲームに過ぎなかったと人々は考えるだろう。ある日、過去の偉大な思想家によって生み出されたこれらの数学的なツールとアイデアが、人類が世界を理解するための新たな扉を開きました。

数学者の関心と使命の 1 つは、世界の最も基本的な秩序と法則を探求し、それらの背後にある原理を解釈し、現実世界の複雑な現象に対する最も単純で最も重要な対応戦略を見つけることです。自然科学の急速な進歩が数学理論の予言的な予測から恩恵を受けることが多いのは驚くべきことです。

パート3

「役に立たないもの」はやがて「役に立つもの」になる

21 世紀に入り、数学理論の成果はますます多岐にわたってきました。かつては「役に立たない」と考えられていた多くの分野が、今では現代科学技術の最も強力なツールとなり、その発展の原動力となっています。かつては棚上げされ、片隅に置かれていた数学の研究は、今や人々の手の中で強力なツールとなり、物質世界の探究における障害を打ち破り、人々にますます多くの思想的動機と創造の源泉を提供しています。微積分の誕生は、ニュートンの宇宙に対する機械的な見方の偉大な時代の到来を告げました。

広大な宇宙がまったく神秘的なものではなく、宇宙空間の物質や現象が私たちが住む惑星の最も深いレベルと一致していることに人々は驚きました。宇宙の深宇宙に隠れた天体でさえ、同じ運動法則に従います。それ以来、ニュートン力学は科学技術の宝を解き明かす鍵となりました。蒸気機関とその原理に基づいて発明されたエンジンは、第一次産業革命の火を直撃しました。

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コンピュータ、携帯電話、インターネットなど、私たちが今日享受している情報化文明は、量子力学の発展から大きな恩恵を受けています。人々の生活を完全に変えたこの科学は、線形代数、行列解析、統計から、五次方程式を解く問題を解決するために数学者によって発明された群論に至るまで、多くの基本的な数学理論の賜物から生まれました。一般相対性理論に基づいて、人類は地球の重力の制約を打ち破ることができる衛星を発明しました。これにより宇宙から地球への通信が可能になり、深宇宙探査や陸海航行の基礎が築かれました。

人々の旅行はますます頻繁になり、位置情報に基づく GPS ナビゲーションなどのテクノロジーが私たちの生活にかつてない利便性をもたらしています。アインシュタインの一般相対性理論は、非ユークリッド幾何学（特にリーマン幾何学）とテンソル解析の応用であり、彼の名声を何世紀にもわたって高めてきました。 1980 年代後半以来、物理学理論におけるユニークな分野であった弦理論は、その大胆かつ前衛的なアイデアにより、当時の科学者から非常に支持されてきました。相対性理論や量子力学の問題を解決すると期待されるこの大統一理論は、主流の科学界に徐々に大きな波紋を引き起こしている。弦理論の急速な発展への道のりにおいて、微分幾何学の確固たる支持を見ることは難しくありません。

2016年、3人の物理学者が最高の栄誉であるノーベル賞を共同受賞しました。彼らは物質のトポロジカル相の発見と、トポロジカル相転移の理論への顕著な貢献により受賞しました。初めて、難解で抽象的な数学的理論である位相幾何学がその地位を確立した。物理学者は数学者によって発明された位相幾何学的ツールを使って、特殊な物質の存在を理論的に予測しました。そこでは、驚くべき異常な量子ホール効果が観察されます。この効果に基づいて発見された材料は、超強力な磁場の助けなしに、室温で特定の方向に自発的にゼロ抵抗を示すことができます。

これにより、コンピュータチップの開発に無限の広大なスペースが生まれ、量子コンピュータや超小型スーパーコンピュータの夢が一歩近づきました。理論数学者の目には、数論は最も基本的かつ重要な分野です。 2000年以上も続いてきたこの数学の主流分野は、貴重な精神的財産を大量に蓄積してきました。ゴールドバッハ予想であれ、フェルマーの最終定理であれ、それを解読するプロセスは非常に創造的なアイデアを生み出してきました。彼らの結論は非常に単純かつ明確ですが、探求への道は非常に曲がりくねっています。また、こうした知恵の成果が現実世界で起こり得る困難をいつ突破できるかも、人々には分からない。

幸いなことに、数論に基づく RSA アルゴリズムは、金融システム、インターネット セキュリティ、オンライン ショッピング、モバイル決済、さらには国防においても強固なセキュリティ ラインを構築しています。フェルマーの最終定理に基づいて発明された楕円曲線は、ブロックチェーン技術などを通じて現在も世界に恩恵をもたらし続けています。量子コンピュータと量子暗号の主要技術の開発に成功すれば、人類は間違いなく新たな時代を迎えることになるでしょう。

世界初の商用量子コンピュータ、IBM Q System One（画像出典：Wikipedia）

基礎数学者が住むこの楽園には、将来の世代に大きな影響を与える可能性のある無数の発明と恩恵があります。歴史は、多くの主要な発明や創造が、数学者が歴史に偶然残した理論的な富から生まれたことを証明しています。数学者が理論レベルで成し遂げた画期的な進歩と革新は、将来の世代が現実世界を変革するための独創的なイデオロギー的ツールを提供します。

数学者は人々が想像するほど孤独ではありません。彼らは一般的に、純粋さ、謙虚さ、忍耐力、勤勉さ、科学に対する畏敬の念など、穏やかな内面的資質を備えています。彼らは、富の騒々しい饗宴の片隅で生き、生涯にわたる知性と才能を世界の普遍的な真実の探求に捧げ続けることをいとわないのです。

制作：中国科学普及協会

著者: 黄一文

プロデューサー: 中国科学博覧会

この記事は著者の見解のみを表しており、中国科学博覧会の立場を代表するものではありません。

この記事は、China Science Expo (kepubolan) に最初に掲載されました。転載する場合は公開アカウントの出典を明記してください