なぜ物理学は新しい数学を生み出すのにそれほど強力なのでしょうか?

20 世紀の物理学の発展は数学的ツールの応用による恩恵を受けましたが、数学は独自の進歩を遂げてきました。弦理論が数学の発展を直接促進し、科学の創成期に戻るかのように数学と物理学が手を取り合って進歩したのは、20 世紀後半になってからのことでした。数学が物理学の進歩の基礎となり得ることは誰も否定しませんが、逆に物理学はなぜ新しい数学を生み出すこともできるのでしょうか?チートは現実世界に存在するかもしれない。

著者 |アナニョ・バッタチャリヤ

翻訳| 1/137

画像出典: Tuchong Creative

数学は長い間、物理学の進歩の基盤となってきました。 1915年、アインシュタインは、半世紀以上にわたる純粋数学の研究が重力理論における空間と時間の構造を完璧に記述していることを発見し、一般相対性理論を数学の「真の勝利」と称賛した。彼は後に、応用を全く考慮せずに考え出された数学が、どうして「現実の対象にこれほど見事に適合」することができたのかと驚嘆した[1]。

今日では、物理学に数学を活用することは当然のこととみなされることが多く、これは数学の起源に根ざしています。結局のところ、数学は物理的な世界を測定し、定量化し、理解するために発明されました。メソポタミアでは、シュメール人が計算システムを開発し、掛け算表を記した粘土板を残しました。彼らの目的は何ですか?商品や財産の在庫を管理するために使用されます。その後の数千年の間に、政府と商業の運営を円滑にするツールとして始まったものが、やがて独自の発展を遂げました。数学は、何年もの訓練を経て初めて習得できるほど難解な抽象領域にまで拡大しましたが、物理学における偉大な進歩の基盤であり続けました。

しかし、最近状況は変わりました。今日、物理学からの洞察と直感は、予想外に数学のブレークスルーにつながっています。 20 世紀の大半を独自の道を歩んで過ごした後、数学者たちはインスピレーションを得るために自然界の規則性やパターンにますます注目するようになりました。何十年も停滞していた分野が次の世代を待っています。ある哲学者が大胆に述べたように、物理学が数学において「理由もなく機能する」ことが示されている理由について、哲学者でさえも掘り下げ始めている。問題の核心は、宇宙の行動を支配する法則と人間の心の最も抽象的な思索との間に、ほとんど認識されていない不可解で深遠なつながりがあるということである。

リンゴや電子など、世界に存在する現実の事物を理解することに根ざした物理学が、なぜ数学における最も難しい問題のいくつかを解くのにこれほど効果的な手がかりを与えてくれるのでしょうか。これらの問題には、関数や方程式などの捉えにくいものが関係しています。

「物理学者は数学者ほど厳密な証明に関心がない」とコレージュ・ド・フランスの数学者でフィールズ賞受賞者のティモシー・ガワーズ氏は言う。時には、これによって「物理学者は数学者よりも速く数学の領域を探求できる」と彼は言う。数学者が全体像の小さな部分を詳細に調査する傾向があるのに対し、物理学者は、ほとんど知られていない広範囲をざっとざっと調べる傾向がある。この観点から、物理学者は偶然に新しい強力な数学的概念や関連性を発見することができ、数学者はこれらの概念や関連性に立ち戻って、それらを証明（または反証）しようとすることができます。

物理学が数学に与える栄養

実際、物理学が数学にインスピレーションを与えるプロセスは、科学そのものと同じくらい古いものです。古代ギリシャの数学者であり発明家であったアルキメデスは、力学の法則が彼の最も重要な数学的発見のいくつかにどのような影響を与えたかを説明しています。ニュートンと、彼と同時代のドイツの博学者ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツがいました。ライプニッツは、落下する物体の運動を理解しようとしながら、まったく新しい種類の数学、微積分学を開発しました。

しかし、20 世紀半ばまでに、物理学から新しい数学が生まれることはほとんどなくなりました。物理学者も数学者も、反対側で何が起こっているのかにはあまり興味がありません。数学においては、ブルバキ学派として知られる影響力のある若いフランスの数学者のグループが、数学を可能な限り正確にしようと努めました。彼らはこの分野全体をゼロから再構築するために努力し、将来の数学的発見を促進することを期待して共同研究を発表しました。同時に、物理学者たちは標準モデルなどの画期的なアイデアを熱心に開発しました。標準モデルは、今でも物理学者による原子および原子以下の世界に関する最高の理論となっています。彼らの多くにとって、数学は単なる便利な道具であり、ブルバキ学派が提唱する真剣な数学的ビジョンには興味がなかった。

しかし、故レバノン系イギリス人幾何学者マイケル・アティヤ氏の主導により和解が進行中である。フィールズ賞受賞者でもあるアティヤは、稀有な直感と少しの幸運により、後に理論物理学者たちの興味を引くような分野にしばしば注目した。

「1970年代半ば、彼は理論物理学が新しいアイデアの最も有望な源であると信じるようになった」と、アティヤと共同研究したオックスフォード大学の数学者で名誉教授のナイジェル・ヒッチンは2020年に書いている。「その時から、彼は数学者と物理学者の交流の促進者となり、物理学者が提起した数学的な課題に応え、物理学のアイデアを使って純粋に数学的な結果を証明し、彼が重要だと考えながらも物理学者には馴染みのない現代の数学的内容を物理学者に提供した。」

数理物理学者のエドワード・ウィッテンはアティヤの長年の協力者の一人で、二人が初めて出会ったのは1977年だった。アティヤより20歳以上年下のウィッテンは、標準モデルの粒子ではなく、小さな1次元の振動弦が宇宙の基本的な構成要素であるとする弦理論の先駆者となった。

弦理論は当初、量子論とアインシュタインの重力理論を統合する可能性のある「万物の理論」として歓迎されたが、今日まで物理学よりも、代数幾何学や微分位相幾何学など数学の最も抽象的な領域のいくつかに大きな影響を与えてきたと言えるだろう。これらの分野では、ウィッテンと他の弦理論家たちは、数学者によってようやく証明された正確な推測を導き出すことができました。

たとえば、1991 年に物理学者のフィリップ・カンデラス、クセニア・デ・ラ・オッサ、およびその同僚は、弦理論を数十年来の列挙幾何学の問題に適用しました。数え上げ幾何学は、幾何学的な問題に対する解の数を数える数学の古代の分野です。最も単純な質問は、「平面上の 2 点を通る直線は何本ありますか?」のようなものです。 （１）あるいはアポロニウスの有名な質問、「3 つの与えられた円に接する円はいくつ描けるか？」 （８）

カンデラス氏とその協力者たちは、弦理論のツールを使って、可算幾何学における特に厄介な問題、つまり弦理論の核心である奇妙な6次元形状であるカラビ・ヤウ多様体における特定の種類の曲線の数を数える問題を解決することに成功した。彼らの研究結果は、数学者が何十年もの間、無関係であると信じて個別に研究してきた「シンプレクティック幾何学」と「複素幾何学」という2つの幾何学を結び付けるものである。無関係だと思われていた 2 つの分野を結びつけるこのような進歩は、数学における「深い」成果であると考えられています。つまり、ある分野のツールを突然別の分野の問題の解決に使用できるようになり、数学の進歩を可能にし、加速させるのです。

厄介な問題：物理学者フィリップ・カンデラスと共同研究者は、弦理論のツールを使って、数え上げ幾何学における厄介な問題、すなわちカラビ・ヤウ多様体（写真）におけるある種の曲線の数を数える問題を解決した。これらの奇妙な6次元形状は、弦理論の核心です。丨画像ソース: Wikimedia Commons

わずか数年後の 1995 年に、ウィッテンは弦理論の 5 つの異なるバージョンを提案しました。それぞれ 10 次元を必要とし、すべてが彼が「M 理論」と呼ぶ単一の 11 次元概念化の異なる側面でした。 M 理論は未だ証明されていないものの、異なる理論間の対応関係をマッピングすることで、驚くべき数学的発見がもたらされました。 「弦理論は毎月、これまで見たことのないような新しい構造を数学者に提供しているように感じます」とロンドンの数理科学研究所の数理物理学者ヤン・フイ・ヘ氏は言う。

弦理論は、2 つの数学的世界間の予期せぬ関係、つまり「双対性」の豊富な情報源であり、今日でも数学者を魅了し続けています。彼と、同じくロンドン研究所の弦理論学者で共同研究者のフェデリコ・カルタは、最も単純なタイプのカラビ・ヤウ多様体であるK3面を研究していたときに、その面の「ホモトピー群」（形状を分類するために位相幾何学で使われる）とマシュー24と呼ばれる対称群との関係に偶然たどり着いた。この2人の発見は、純粋数学の2つの異なる分野、つまり形状の研究である位相幾何学と、物体が持つ対称性のタイプを扱う群論と呼ばれる現代代数学の分野との間に、予期せぬつながりがあることを明らかにした。

何洋輝氏は、物理学がなぜこれほど興味深い数学を生み出すのか、それは「深い問い」であると語った。数学者が研究すべきパターンや構造は無数に存在するが、「現実から生まれたものは、ある程度は我々が直感的に理解できるもの」だ。

ヒッチン氏も同意した。 「数学の研究は真空中で行われるものではない」と彼は言う。 「新しい理論を発明するために、ただ発明するわけにはいきません。調査すべき何かがそこにあると信じる必要があります。新しいアイデアは、現実についての何らかのアイデア、あるいは誰かのアイデアを中心に据える必要があります。」

このことから、物理学は単に探究心を高め、数学者のエネルギーの集中を促すことによって数学を育むのかどうかという疑問が生じます。数学者は、世界がどのように機能するべきかという直感と一見もっともらしい終点に導かれて、時には他の方法よりも速く問題を解決できることがあります。

これはまた、「悪い」物理学が時には良い数学につながることがあるという興味深い事実を説明するかもしれません。

たとえば、渦理論は、ケルビン卿としても知られるイギリスの数理物理学者ウィリアム・トムソンが、原子の種類が比較的少ない理由を説明するために考案した初期の試みでした。彼は、原子を回転する輪として想像し、それが複雑な結び目に結ばれ、それぞれの結び目が異なる化学元素に対応していると考えた。電子の発見後、この理論は放棄されましたが、その数学は結び目理論の発展につながりました。それ以来、結び目理論は純粋数学者による探求の肥沃な土壌となり、流体力学や DNA のような絡み合った分子の理解において驚くべき応用が見出されました。

宇宙は数学でできているのでしょうか？

アティヤ氏にとって、物理学と数学の神秘的な関係はすべて人間の脳に帰着します。 「人間は長い進化の産物であり、大きな脳が有利だった。そのような脳は物理的な世界で進化したので、進化の成功は生理学的な成功によって測られる」と彼は2018年のインタビューで説明した。 「つまり、人間の脳は物理学の問題を解決するために進化したのであり、そのためには脳が正しい数学を発達させる必要があったのです。」これを実現するには、脳が自然界の数学的パターンを認識し、理解できるように適応する必要があります。アティヤ氏は2014年の脳画像研究にも協力し、数学的な美しさを体験すると、美しい音楽、芸術、詩と同じ脳の部分が刺激されると結論付けました。これは物理学が数学者にとって導きの光となり得る理由を説明するかもしれない。現実を研究することで生み出される数学は、私たちの脳が好む種類の数学である傾向があるからだ。

2010年、ヒッチンと当時プリンストン大学にいたオランダの理論物理学者ロバート・ダイクグラーフと共著した論文の中で[2]、アティヤは物理学の数学への応用の成功をさらに強調した。しかし、それ以来、この現象を理解しようとする研究はほとんど行われていません。

この疑問を最近再考した人物の一人は、ボローニャ大学の哲学者ダニエーレ・モリニーニです。彼は2023年に『英国科学哲学ジャーナル』[3]に発表した論文の中で、ノーベル物理学賞受賞者のユージン・ウィグナーが1960年に執筆した頻繁に引用される論文「自然科学における数学の不当な有効性」に反応した。しかし、モリニーニの率直な反応は、「数学における物理学の不合理な有効性」を探求することだった。彼は驚くべき答えを出した。物理法則の中には数学の定理と同じくらい議論の余地のないものがあるかもしれない、と。 「我々は現実世界に関するいくつかの原則を根本として受け入れなければならない」と彼は語った。

哲学者は一般的に、数学的真理はすべての可能世界において真実でなければならないという点で「必然的」であることに同意しています。しかし、自然の真実や経験的事実の場合は違います。それらは状況に依存します。光は一定の速度で進みますが、別の宇宙ではそうではない可能性もあります。つまり、数学的な真実は、何があっても常に真実であり続けるということです。

同じように「避けられない」物理法則はあるのでしょうか?モリニーニは論文の中で、保存則がそのような法則である可能性があると主張している。物理学では、エネルギーや運動量など、システムの特定の特性は変化しません。たとえば、坂道をフリーホイールで下る自転車乗りは、重力による位置エネルギーを運動エネルギーに変換しますが、自転車乗りと自転車が持つエネルギーの合計は同じままです。

モリーニは、この保存が「必然的な産物」であるならば、アルキメデスが機械的な思考を通じて幾何学的証明の真実をうまく推論できた理由を説明できるかもしれないと考えている。そうでなければ、この偉業を説明するのは難しいでしょう。この場合、物理学と数学は表裏一体であり、どちらも同じ基本原理に従っているため、どちらも正しいのです。

17 世紀初頭にガリレオによって有名に表現され、数学者によってしばしば支持されているもう一つの見解は、宇宙は数学の言語で書かれているというものです。この考えは古くから存在し、少なくともピタゴラスとその追随者たちにまで遡りますが、より最近の極端なバージョンはマックス・テグマークの数学的宇宙仮説です。これは、宇宙そのものが数学によって記述されるだけでなく、数学によって構成されているという考えです。

テグマークの説明によれば、私たちの宇宙は無数の並行宇宙のうちの 1 つに過ぎず、数学の無限の可能性すべて、つまりあらゆる定理、あらゆる証明は、この多元宇宙のどこかで実現されているという。物理学が数学における新たな発見を刺激するのは不思議ではありません。物理学によって記述される現実は、結局のところ数学的なものなのです。 「経験科学と数学の間には密接なつながりがある」と数学と物理学の関係を研究しているシドニー大学の哲学者マーク・コリバン氏は言う。 「私たちが導き出せる一つの結論は、どういうわけか世界自体が数学であるということです。」

しかし、どちらの定式化でも、物理学から生じる数学は非常に豊かなものになるはずです。しかし、既知の物理学によって生み出される数学は、すべての数学のほんの一部にすぎません (そして、そのほとんどはおそらくそれほど興味深いものではありません)。宇宙が完全に数学で構成されているという事実は、この問題を説明できません。

モリニーニは、数学の応用可能性に関する一般的な哲学的説明、すなわち「マッピング」[4]に異議を唱えており、物理学から優れた数学が生まれる理由を説明できないと主張している。マッピング理論によれば、質量や分離などの物理的概念をニュートンの万有引力の法則などの数学的オブジェクトに変換することで、それを使用して何かを計算し、それを物理的特性、つまり 2 つのオブジェクト間の引力にマッピングし直すことができます。しかしモリニーニは、数学が物理学からどのように生まれたかを説明するためにマッピングのプロセスを逆転させようとすると、マッピングのプロセスは機能しなくなると主張している。

哲学者の間では、なぜ数学が経験科学に応用できるのか、なぜ経験科学が数学を生み出すことができるのかという逆の問いに焦点を当てており、この問題に対する関心が高まっていると彼は述べた。

「現代物理学は数学者に数多くの新たなツールと予想外の手がかりを提供してきた」と何洋輝氏は語った。 「将来、純粋数学における最大の問題のいくつかを解決するには、物理​​学と数学がより緊密に協力する必要があるだろう。」

同氏は、1960年代にロバート・ラングランズ氏によって考案されたラングランズ計画は、しばしば「数学の大統一理論」と呼ばれる、そのような分野の一つであると述べた。このプログラムの一分野である幾何学的ラングランズ・プログラムは最近数学者チームによって解決されたと言われており、彼らが提案した証明は5本の論文と800ページに及んでいる（編集者注：「刑務所で生まれた数学の大統一の構想は実現に大きく近づく」を参照）。証明の核心は、弦理論やその他の分野の基礎となる物理学の一分野である共形場理論から得られた洞察に基づいています。何洋輝氏は、数学者は証明の意味を探り、ラングランズ計画の他の側面を進展させるために、より多くの物理学を活用する必要があると考えている。

同様に、数学者たちは物理学を利用して、数学における最も困難な未解決問題であるリーマン予想とバーチ・スウィナートン・ダイアー予想の解決に取り組んできました。何洋輝氏は、これら 2 つの分野を組み合わせることが、最終的にこれらの大きな疑問を解決する鍵になると考えています。

「物理学と数学は、ニュートンとガウスの時代のように再び融合し始めている」と理論物理学者として訓練を受けたが、ますます物理的な考えを純粋に数学的な問題に適用しようとするようになった何氏は語った。

それは魅力的なアイデアです。宇宙の物語は数学の言語で書くことができます。しかし、この話はバラ色に思えるが、物理学者がすでに理解している以上のことを学ぶには、ますます奇抜で複雑な数学的ツールが必要になる兆候があり、その一部はまだ発明されていない。これら 2 つの領域間の障壁を打ち破ることで、双方にとって新たな理解の世界が開けるかもしれません。

著者について

アナニョ・バッタチャリア氏はロンドンの数理科学研究所の主任科学ライターです。アナニョ氏はジャーナリストとしてのキャリアを始める前、カリフォルニア州サンディエゴのバーナム研究所で医学研究者として働いていました。彼はオックスフォード大学で物理学の学位を取得し、ロンドン大学インペリアル・カレッジでタンパク質結晶学の博士号を取得しています。彼は、Nature、Chemistry World、Research Fortnight の上級編集者として、また The Economist の科学記者として勤務してきました。彼はジョン・フォン・ノイマンの伝記『未来から来た男』の著者である。

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