国際数学の日 |円周率は単なる無理数ではなく、数学の「合理的な」歴史でもある

2019年11月26日、ユネスコは第40回総会において、3月14日を「国際数学の日」とすることを宣言しました。国際数学デーが3月14日に制定された理由は、「3.14」が円周率に最も近い数字であるため、この日を「国際円周率デー」と呼ぶ人も多くいます。今日は、世界中の円周率の背後にある数学的な歴史について、一緒に楽しくお話ししましょう。

π (ギャラリーからの著作権のある画像、転載は著作権紛争を引き起こす可能性があります)

01 古代エジプト：円を四角にしたピラミッド

何千年もの間、人類は円周率の真の値を探し求めてきました。

世界中の古代文明は、遅くとも青銅器時代から円周率を計算し始めました。紀元前1650年頃に書かれたリンド・パピルスは、有名な古代エジプトの数学書です。この本の質問50は、「直径が9の円の面積はいくらですか？」というものです。答えは、直径の 1/9 を引いて、それを二乗します。つまり、円の面積は64です。この答えから、当時の円周率はおよそ3.16であったと推測できます。

しかし不思議なことに、この本より約 900 年前に建てられた古代エジプトのクフ王のピラミッドでは、すでに工学設計において円周率のより正確な数値が使用されていました。クフ王のピラミッドは現存する最大の古代建築物で、紀元前 2560 年頃に建てられ、元の高さは 146.59 メートル、基部は 1 辺の長さが 230.37 メートルの正方形でした。このような建物の寸法は何らかの比率の規則に基づいていますか?この謎を解くには、古代エジプトの測定単位である「キュビット（手首とも呼ばれる）」に戻る必要があります。キュビットの長さは、成人の肘から中指の先までの距離に基づいています。今日発掘されたエジプトのキュビット石器によれば、その長さは約52.35cmである。

クフ王のピラミッド（ギャラリーからの著作権画像、転載は著作権紛争を引き起こす可能性があります）

クフ王の大ピラミッドの高さと底辺の長さは複雑に見えるかもしれませんが、キュビットで表すと、ちょうど 280 キュビットと 440 キュビットという 2 つの美しい整数になります。整数単位に加えて、辺の長さをタワーの高さの 2 倍で割ると、正確に 3.1416 になります。したがって、ピラミッドの高さを半径とする円の円周は、正方形の底辺の円周と正確に等しくなります。これは「円を四角にする」の円周バージョンとも言えますが、実に巧妙ですね！

しかし、一部の学者は、π/2 の比率は単なる偶然ではないかと疑っています。なぜなら、前述のように、古代エジプト人は円周率が 3.16 であることを知っていたからです。しかし、一部の学者は、リンド・パピルスは古代エジプトの数学的文書の1つに過ぎず、エジプトがすでに円周率のより正確な近似値を持っていた可能性も否定できないと考えています。そしてエジプト人は何十ものピラミッドを建てました。一歩引いて他のピラミッドを見てみると、大きさは異なるものの、全体的なデザインはほぼ同じで、底辺と高さの比率は通常は円周率に近いものの、クフ王のピラミッドほど正確ではないことがわかります。

エジプト人と同時期に生きていた古代ブルネイ人も円周率を理解していました。紀元前 1900 年のバビロニアの石板には、円周率 = 25/8 = 3.125 と明確に記録されています。紀元前 800 年から 600 年の間に書かれた古代インドの宗教的傑作「悟りへの道」には、円周率の値は分数 339/108 に等しく、およそ 3.139 であると記されています。しかし、これらは明らかに大まかな人生経験値であり、厳密な計算の結果ではありません。

02 古代ローマ：最後の瞬間、アルキメデスは「円」のことだけを考えていた

紀元前 250 年頃、古代ギリシャの数学者アルキメデスは円周率を近似する最初のアルゴリズムを提案しました。単位円から始めて、アルキメデスはまず内接正六角形を使用して円周率の下限が 3 であることを見つけ、次に外接正六角形とピタゴラスの定理を使用して円周率の上限が 4 未満であることを見つけました。その後、より多くの辺を持つ正多角形に内接し続け、96 辺の内接正多角形と 96 辺の外接正多角形にたどり着きました。最終的に、彼は円周率の下限と上限がそれぞれ 223/71 と 22/7 であることを発見し、その平均である 3.141851 を円周率のおおよその値としました。

アルキメデスは生涯を円周率の研究に捧げ、死ぬまで円周率を計算し続けていた。伝説によれば、紀元前212年にローマ軍がギリシャに侵攻したとき、アルキメデスは地面にひざまずいて円周率の計算に集中していたそうです。突然、一人の兵士が駆けつけ、ローマの将軍から、彼をローマに仕えるために連れ去るよう命じられました。その結果、数学に没頭していたアルキメデスは、「私が描いた円を踏まないように」とだけ言い、兵士たちを追い払った。ローマ兵は激怒し、将軍が学者に危害を加えないようにと命令したにもかかわらず、アルキメデスを殺害した。アルキメデスは円周率の歴史を自らの血で染め、自らの命で円周率の尊厳を守った。円周率に対する彼の多大な貢献を記念して、後世の人々は円周率を「アルキメデスの定数」とも呼んでいます。

アルキメデスの死（図書館からの著作権画像、転載は著作権紛争を引き起こす可能性があります）

しかし、ローマは古代ギリシャの数学を継承しました。西暦 150 年頃、ローマのプトレマイオスはアルキメデスの研究に基づいて追加の計算を行い、およそ 377/120 という値を導き出しました。これはおよそ 3.14167 に相当します。ローマ人は円形を好みました。現在、イタリアの有名な古代建築物であるコロッセオは、巨大な円形をしています。

03 古代中国：数千年にわたる最も正確な記録

それから100年以上経って、中国の人々は円周率に近づく旅に突入しました。実際、紀元1世紀後半にはすでに、数学の論文『九章算術』で、円周率のおおよその値は3であると提唱されていました。紀元265年、南朝の数学者である劉徽は、円周率を計算する科学的方法である「円分割法」を発明し、円周率はおよそ3927/1250=3.1416で、小数点以下4桁の精度であると結論付けました。

劉慧の「円を分割する方法」はアルキメデスの反復アルゴリズムに似ています。彼は、円に内接する正多角形の周囲の長さを使って円の円周を近似し、円に内接する 96 角形のケースまで計算しました。西暦480年、祖崇志は劉徽のアルゴリズムを使用して12,288個のポリゴンを持つ多角形の面積を計算し、その後、それを24,576個のポリゴンを持つ多角形の面積に拡張しました。彼は秘密の法則 355/113≈3.1415929 を導き出し、これにより小数点以下 7 桁の精度を達成しました。この精度は、今日のほとんどの業界では使用されていません。祖崇志は、1,000 年にわたって円周率の最も正確な値の世界記録を保持しました。

古代中国人は円周率の計算に非常に精通しており、その技術も優れていたため、建築にも自然に応用されていました。北京の天壇から福建省の土楼に至るまで、円形の古代建築物は無数に存在し、それらはすべて古代人が円周率を正確に制御していたことを示しています。

天壇五穀祈願殿（出典：新華社通信）

雲南省紅河州には、清朝の道光年間に建てられ、「ピ塔」という愛称で呼ばれる建水文壁塔もあります。建水文壁塔の高さは31.4メートルです。塔の基部の円周も31.4メートルで、塔の高さと全く同じです。そして、この数字は円周率に非常に近いので、古代人が意図的にこれを行ったのではないかと思わずにはいられません。しかし、一部の学者は、道光帝の時代には現在のメートル法は使用されておらず、明代の1フィートは現在の約31.1センチメートル、清代の1フィートは現在の約32センチメートルであったと指摘しています。建水文壁塔の本来の高さは 100 フィート、つまり 10 丈だったはずで、これが塔の高さの本来の意図だったのかもしれません。

建水文壁塔、通称「ピータワー」 (ギャラリーからの著作権画像。転載は著作権紛争の原因となる可能性があります)

しかし、古代中国建築学者の王南氏は、中国に現存する多くの古代塔の中には、高さと幅の比率が円周率に近いものが多いと指摘した。これは偶然ではなく、古代人の「丸い天と四角い地」という宇宙観を体現した綿密なデザインです。 「空は丸く、地は四角い」という概念は、私の国では非常に早くから現れました。天と地を測る方法を指します。 「空は丸い」というのは、空は「円」の度合い、つまり円周率で測らなければならないという意味です。古代の「三つの天と二つの地」の「三つ」は、円周率のおおよその値を指します。 「平方」とは、地球を「平方」で測らなければならないことを意味し、「2つの地球」は「平方」であり、一辺の長さに一辺の長さを掛ける計算方法を指します。

04 記録を破り続けよう！円周率計算の「国際競争」

円周率の計算に戻ると、中国の「プレイヤー」祖崇志が1000年にわたって記録を保持していましたが、インドの数学者マドハヴァがそれを破ったのは15世紀になってからでした。彼は円周率を小数点以下10桁まで計算したのです。その後すぐに、ペルシャの天文学者ギヤース・アル＝ディンが彼のアルゴリズムを継承し、精度を 16 ビットまで高め、現代の航空宇宙に求められる最高の精度を達成しました。

インドの数値数学はアラブ人を通じてヨーロッパに広まり、明代の宣教師も中国の数学を翻訳してヨーロッパに紹介しました。ヨーロッパの数学は 16 世紀に急速に発展し始め、円周率の連続的な進歩のクライマックスを迎えました。 1706 年、イギリスの数学者ウィリアム・ジョーンズが円周率を表すためにギリシャ文字 π を初めて使用し、その後、偉大なスイスの数学者オイラーも円周率を表すために π を使い始めました。それ以来、π は円周率と同義になりました。

著者: 劉富、ポピュラーサイエンスクリエイター

査読者: 王 洪鵬、中国科学技術博物館研究員

制作：中国科学普及協会

制作：中国科学技術出版社、中国科学技術出版社（北京）デジタルメディア株式会社