学部生が休暇中にアルバイトをして、この有名な数学的予想を覆した。

学部生と大学院1年生が休暇中に指導教員のプロジェクトを手伝いました。 1か月も経たないうちに、彼らの研究は最先端の数学における有名な予想を覆した。これまで、この分野のほぼすべての学者は、この推測が正しいと信じていました。唯一の問題はそれをどのように証明するかでした。今、信仰は崩壊し、新たな章が始まりました。

著者 |ジアウェイ

休暇を取りたいという欲求は人間に共通する性質であり、学歴や専攻分野などとは関係ありません。コロラド大学ボルダー校の数学科の大学院1年生サマー・ハーグさんと同級生のクライド・カーツァーさんは、今年5月から早くもこの夏休みを楽しみにしていました。まだ学部生であるカーツァーさんは、夏の間サッカーを少しして、その後大学院への出願書類を慎重に準備する予定だ。ハーグさんは休暇中にリラックスして、大好きなスポーツである登山を始めることを楽しみにしている。

しかし、彼らの指導者である数論の専門家キャサリン・スタンジが半日の夏季研究プログラムを発表したと聞いて、彼らは葛藤の末、最終的に数学研究への情熱が休暇への欲求を上回ったと判断し、2人とも参加を申し込むことにしました。

スタンジ氏は「単純に見えても構造が豊かな問題」に興味を持っています。彼女のチームが今回ターゲットにしている数学的対象は、数学の歴史上最も古い幾何学的構造の一つである。スタンジ氏の一般的な研究スタイルは、コンピューターで大規模なデータセットを生成して、数論における難解な未解決問題を解決することです。プロジェクトチームの最年少メンバーである Haag 氏と Kertzer 氏は、主に比較的単純な「肉体労働」を担当しました。つまり、数学者 James Rickards 氏のアルゴリズムと初期コードをグループ内で拡張し、プログラムを書き、大量のシミュレーションデータを生成し、最後に数学的構造がより複雑になったときの数値的発展の傾向を視覚化する作業です。

誰もが驚いたことに、ハーグとケルツァーがプロジェクトチームに参加してから 1 か月も経たないうちに、彼らの研究は数論分野全体を驚かせました。大量のデータは、スタンジのチームが当初証明しようとしていた推測が実際には間違っていたことを示唆した。これまで、この分野のほぼすべての学者はそれが正しいと信じていました。唯一の問題はそれをどのように証明するかでした。

この推測は、最も古いコンパスと定規の作成問題に由来し、ルネッサンス時代にデカルトの素晴らしい定理を通じて初めて明らかにされました。途中、ノーベル化学賞受賞者の知見もあり、現在では最先端の数論の分野にまで進出しています。その起源と発展は、数学のミニチュア史を貫く経度と緯度のようなものです。出発点は2000年以上前の古代ギリシャでした。

古代ギリシャ: アポロニウスの接線円

ペルガのアポロニウスは、2,200年前に小アジア（現在のトルコ）のペルガで生まれ、ユークリッドに次ぐ古代ギリシャ幾何学の第二の巨匠でした。彼が書いた『円錐曲線』全 8 巻は数学史上の真の古典であり、ギリシャ幾何学の最高傑作を表しています。

ペルガのアポロニウス |出典: 百度百科事典

しかし、ここで取り上げるのは彼の別の著作「接触または接線について」です。

『接触について』の原本は失われてしまったが、後世の数学者による引用や注釈を通じて、その内容の一部を理解することができる。最も重要な記録は、アレクサンドリア学派の「最後の偉大な幾何学者」として知られるパップスによって約 500 年後に編纂された『シナゴーグ』という本にあります。

アポロニウスは古代の偉大な数学者の一人と考えられています。彼の著作（ここでは 9 世紀のアラビア語訳を参照）は、約 1 世紀前のユークリッドの幾何学的アイデアをさらに発展させたものです。 |画像出典: ボドリアン図書館/オックスフォード大学

アポロニウスは「接線について」の中で難しい幾何学の問題を提起しました。平面上に 3 つの円があり、それらの位置関係に特に制限がない場合、定規とコンパスを使用して 4 番目の円を前の 3 つの円に接するようにするにはどうすればよいか、という問題です。これは有名なアポロニウスの問題です。

アポロニウスはグラフィカルな方法を発見し、最も一般的なケースでは合計 8 つの解が存在することを指摘しました。

上の図は、8 つの解のうちの 1 つを示しています。一般的な位置にある 3 つの黒い円に対して、紫色の円はそのうちの 1 つを含み、すべての円に接しています。紫色の円には、1 つの円、2 つの円、すべての円、またはまったく円が含まれていない可能性がありますが、すべての円に接しています。 |画像ソース: wiki アポロニアンガスケット

明らかに、比較的特殊な位置にある 3 つの円の構成の場合、それらすべてに接する可能性のある 4 番目の円は 8 つ未満である可能性があります。たとえば、3 つの円が互いに接するように制限されている場合、4 番目の円には 2 つの可能性しかありません。

上の図に示すように、3 つの黒い円が互いに接している場合、同時に接している赤い円は、3 つの黒い円を包含するか、3 つの円の間の領域に位置します。 |画像出典:
https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

3 つの小さな円を囲む大きな円を選択した場合は、定規とコンパスを使用した作図を続けて、平面上の既存の 3 つの円 (描画済み) に接するように大きな円の内側に円を描画するという操作を実行できます。明らかに、このプロセスは無限に続く可能性があり、円の間の隙間がどんどん小さくなっていきます。効果は以下のとおりです。

画像出典: アポロニアンガスケット - Wikipedia

これらの大小の円盤はガスケットのようなものなので、上の写真の幾何学的構造は「アポロニアンガスケット」と名付けられています。これがこの記事の「主人公」です。

アポロニウスは、問題を解く過程で、一見明白な結論を使用したようです。接点が一致しない場合、平面上に最大で 4 つの円を描くことができ、そのうちの 2 つが接することになります。つまり、半径のサイズと位置をどのように調整しても、それぞれが他の 4 つの円に接する 5 つの円は存在しません。

しかし、現代数学の公理体系によれば、「それぞれが他の 4 つの円に接する 5 つの円は存在しない」という命題は証明可能であり、証明されるべきである。皆さんに考えていただくための質問としてここに残しておきます。

ルネサンス：デカルトの素晴らしい定理

ルネッサンスまで、後の数学者たちはパップスの接線の要約を使ってアポロニウスの当初の発見を再現しようと試みた。しかし、アポロニウスの精神を真に受け継いだのはルネ・デカルトでした。彼は、平面上の座標軸と実数に対応する点を導入することで幾何学の問題を代数の問題に変換する直交座標系を導入しました。この画期的なアイデアはその後の数学の発展への道を開いた。

さらに興味深いのは、特にアポロニウスの問題に関しては、あたかも後継者としての地位を示すかのように、アポロニウスの後に最も重要な発見をしたのがデカルト自身であったということである。それは「壮大な」デカルトの定理である。

この美しい定理を導入するには、必然的に曲率の概念を取り入れる必要があります。簡単に言えば、曲率とは、さまざまな場所での曲線の曲率の度合いを測る指標です。

まず、直線を想像してください。曲がっていないので、曲率はゼロです。次に、円について考えてみましょう。円のどこを見ても、その曲率は同じです。円の曲率は一定であるように見えます。しかし、放物線を見ると、さらに興味深いことが分かります。放物線の曲率は均一に曲がっているわけではないので、場所によって異なります。

曲率は、直感的な物理的なイメージを通じて理解することもできます。たとえば、カーブに沿って車が動いているところを想像してください。車が曲がるときは、中心点に向かって力を加える必要があり、これを向心力と呼びます。この向心力の大きさは、車の速度と曲がるときに描く円弧の半径によって決まります。曲がる半径が小さいと、向心力が大きくなり、その点ではカーブがより曲がります。

上記の物理的なイメージに基づいて、曲率を次のように定義できます。曲線上の点 A の曲率は、点 A で曲線に接する最大の円の半径の逆数です。

曲率定義における接線円は「最大の円」でなければならないことに注意してください。当然ですが、曲率が大きいほど、曲線はより曲がります。円の場合、円周上の各点の曲率は、その点自身の半径の逆数です。直線の場合、その直線に接する円の半径は任意の大きさにすることができるため、直線の曲率は無限大の逆数、つまり 0 になります。

曲率の概念を使用すると、接円を研究する際のデカルトの発見を表現することができます。偉大な哲学者は、4 つの円が互いに接している限り (接点が一致しない)、それらの曲率は次の単純な関係を満たしているはずだと主張しました。

すべての曲率の二乗の合計は、曲率の合計の二乗の半分に等しくなります。

4つの接円の曲率がそれぞれa、b、c、dである場合、上記の定理は代数的に次のように表すことができます：2（a2+b2+c2+d2）=（a+b+c+d）2

デカルトの定理の発見は数学における画期的な出来事であり、代数と幾何学の融合、そして幾何学の問題を解く際に代数ツールを巧みに使用したことを示しています。別の観点から見ると、解析幾何学の父が接円の幾何学的構造における美しい代数的関係を最初に発見したのは当然のことのように思えます。

さらに、2 つの追加のコメントが必要です。

まず、デカルトの定理を使用する場合、何らかの理由で曲率の符号を人為的に定義する必要があります。円が他の 3 つの円に外接する場合、各円の曲率は正になります。しかし、下の図に示すように、大きな円には 3 つの内接円が含まれているため、大きな円の曲率は負の数として定義されます。このように、4 つの接円の曲率はそれぞれ a、b、c、d になります。 a、b、c がわかっている場合、d の値は正または負になります。

2 番目に、前のセクションでこの命題について言及しました。「接点が一致しない場合、平面上に最大 4 つの円を描くことができ、そのうちの 2 つが接することになります。」ステートメント内の「接点が一致しない」という条件が必要です。下の図のように、複数の円が一点に接している場合、前節の命題は成立せず、デカルトの定理も成立しません。

画像出典: https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

20世紀：ノーベル化学賞受賞者による数学の賛歌

フレデリック・ソディ FRS は、放射化学と原子物理学に重要な貢献をしたイギリスの化学者でした。彼はアーネスト・ラザフォードとともに、元素の転換が放射能につながるメカニズムを説明した。彼はまた、特定の元素の放射性同位体の存在を実証した。 1921年、彼は「放射性物質の化学的知識への貢献」によりノーベル化学賞を受賞した。

ソディは数学、特に円や球に関する問題にも非常に興味を持っていました。

1936年、彼は前節のデカルトの定理を独自に発見した。ソディがアポロニウスの円をどのように埋めるかをさらに調査するうちに、彼はすぐに、200 年以上も数学者たちに無視されてきた現象に気づきました。円が小さくなり、曲率が大きくなるにつれて、平方根や無限小数を持つ複素数が得られると予想されたのです。ただし、最初の 3 つの接線円の曲率が整数である場合、後続のすべての円の曲率も整数になります。これはデカルトの定理のかなり単純な帰結ですが、何百年もの間注目されませんでした。

興奮したソディは数学についての詩を書くことを思い立ち、それをネイチャー誌に直接投稿した。彼はデカルトの定理の内容を詩的な言葉で説明した。

この詩のタイトルは「The Kiss Precise」です。以下は翻訳からの抜粋です。

2 組の唇にキスをさせるには、三角法は必要ないかもしれません。

しかし、4 つの円がキスをするときは、それぞれが他の 3 人のパートナーに同時にキスをしなければなりません。

4 つの円の曲率の合計は、それらの平方の合計の半分に等しくなります。

サイズを知りたい場合は、私の方程式を解いてください。

…

彼らはユークリッドに対して秘密を隠していたが、経験に基づく必要はなかった。

曲率ゼロは直線になる / 凹曲率は負の符号でマークされる必要がある。

もう一度言いますが、4 つの曲率の二乗の合計は、それらの合計の二乗の半分です。

…

しかし、いずれにせよ、ソディは数学の美しさと詩の芸術に対する愛情を示しただけでなく、後の研究のための重要なツールも提供しました。

デカルトの定理が古代ユークリッド幾何学の問題から最も核心的な代数関係を容易に抽出したのに対し、ソディの「漏れ」発見は、この関係に豊富な算術的性質が含まれていることを指摘した。

算術は数論です。

啓蒙時代と理性の時代: ガウスの時計カウンターと二次の相互法則

数論は基礎数学の中で最も古く、かつ最も新しい分野です。

最も古い数論の命題はユークリッドの『原論』に含まれており、その矛盾によって証明されたため、素数は無限に存在すると言われている。

また、古代ギリシャのディオファントスは数学パズルである『ディオファントスの墓碑銘』を残しており、このパズルは最も有名な不定方程式（未知数として整数しか使えない整数係数の多項式方程式）として知られています。まさにこの起源から、不定方程式はディオファントス方程式とも呼ばれます。

数論が新しい分野だと考えられるのは、その後の2000年の数学の歴史において、フェルマー、オイラー、ルジャンドルなど数論の発展を推進した巨人が数多くいたものの、この数学の分野を真に厳密かつ体系的にしたのは数学の王子として知られるカール・フリードリヒ・ガウスであったからです。

ガウスの『算術研究』の第 1 章では、合同の概念が紹介されています。彼は、算術における最も基本的な言語であり、最も深遠なアイデアを包含するツールでもあるモジュラー算術を明確に表現した最初の数学者でした。

以下のテキストを理解しやすくするために、モジュラー操作について簡単に説明します。

整数の中で最も基本的な関係は割り切れるかどうかです。整数 m と n の場合。 m = k × n となる別の整数 k が存在する場合、n は m を割り切ると言います。たとえば、2 は 4 を割り切れますし、7 は 56 を割り切れます。

ガウスは、二次の相互性と呼ばれる算術定理を証明しました。ガウスは個人的に、二次の相互法則を算術理論の宝石として称賛した。これは「数論の母」とも呼ばれ、数論において非常に高い地位を占めています。

残念ながら、二次の相互法則は比較的複雑なので、この記事で紹介するのは適切ではありません。

現代：学部生の研究が最先端の数学における有名な予想を覆す

モジュラー演算を習得することは、この数学の旅の終わりにようやく到達したことを意味します。

イギリスの化学者ソディが、最初の 3 つの接円の曲率が整数であれば、後続の円の曲率もすべて整数になるという詩的な洞察を提供して以来、数論学者は古代の幾何学的構成の算術的性質を研究してきました。

デカルトの定理の式 2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2 を考えてみましょう。 3 つの既知の数がすべて整数である場合、それは明らかにディオファントス方程式になります。

たとえば、曲率が 11、14、15 の 3 つの円がある場合、それらの数値をデカルトの定理で与えられた式に代入して、それらの間に入る円の曲率を計算できます (86)。

数論の専門家は、このディオファントス方程式の解に関する情報を知ることに非常に興味を持っています。たとえば、大きな円をアポロニウスの円で連続的に埋めていくと、円の半径がどんどん小さくなるにつれて、曲率はどんどん大きくなり、隣接する 4 つの円はデカルトの定理によって制約されます。このとき曲率の整数値はどのようなパターンを示すでしょうか？

2010年、現在カリフォルニア大学デービス校の数論学者であるエレナ・フックスは、曲率が特定の関係に従うことを示しました。

各曲率値を 24 で割ると、規則が浮かび上がります。一部の構成では、0、1、4、9、12、または 16 に一致する曲率のみを持ちます。その他の構成では、余りが 3、6、7、10、15、18、19、または 22 の曲率のみを残します。

すぐに、数学者は実際の構造の有限モデルを使用して、アポロニアンパッド構造に、値が互いに素でそれぞれが既知の整数rと合同（mod 24）である曲率セットがある場合、限られた例外を除いて、この曲率セットには次の合同を満たすすべての整数xが含まれているはずだと信じ始めました。

この考え方は、ローカル-グローバル予想と呼ばれます。実際、数学には「局所-大域」と名付けられた推測が数多く存在します。ここでは、アポロニウスの円に関する局所-大域予想について具体的に言及します。

この記事の冒頭に戻ると、コロラド大学ボルダー校の数学科の大学院 1 年生サマーハーグと、4 年生のクライドカーツァーは休暇を放棄して、指導者の夏季研究プロジェクトに参加しました。彼らのアドバイザーであるキャサリン・スタンジは、アポロニウスのパッドサークルに関する局所-全体予想を証明したいと考えています。

彼女は、データに隠されたパターンを見つけるために、大量のアポロニウスパッドサークルを生成するプログラムを書くよう、ハーグとケルツァーに指示しました。 Haag 氏は、多数のシミュレーションを同時にプロットするための Python スクリプトをいくつか作成しました。スタンゲがヨーロッパでの学術会議に出席するために一時的に学校を離れたとき、ハーグは大きな決断をした。

ハーグ氏は、1,000 個の整数が互いにどのように相互作用するかをマッピングしてきました。これは、100 万通りの可能な数字のペアを含むため、思ったよりも大きなデータセットです。次に、パラメータを 10,000 x 10,000 に調整しました。結果として得られたグラフでは、行と列の黒い点が消えませんでした。それは、局所-大域的仮説が予測するものとはまったく似ていないようです。

スタンゲがヨーロッパから戻ると、ハーグとケルツァーは毎週の会議でプロジェクトチームに異常なデータを示すグラフを見せた。二人ともバグがどこで発生したかは知らなかったと認めた。

講師はグラフを見つめ、突然こう言いました。「局所-大域的仮説が成り立たなかったらどうなるでしょうか？」

「興奮しました。本当に驚かされるようなことは滅多にありません」とスタンジ氏は後に語った。「しかし、それがデータの魔法なのです。」

正しい方向性を見つけると、スタンジ氏のチームは数週間以内に、当初証明しようとしていた推測を反証する厳密な証明を手に入れました。

最初の 4 つの円の曲率は (-23、48、49、52) であり、約 15,000 個の円が生成されます。現在の構造では、グローバル-ローカル予想は 24 を法とするどの剰余クラスにも当てはまりません。 |出典：論文
ポロニアン円パッキングの局所的・全体的推測は誤りである

多くの数学者は、経験、美学、さらには哲学的な命題に頼って、たとえ証明方法がわからなくても、推測が正しいかどうかを高い確率で推測できる直感を発達させてきました。たとえば、中国人にはよく知られているゴールドバッハ予想（2より大きい任意の偶数は2つの素数の和として表すことができる）は、現代の数学者ほぼ全員が正しいと信じているが、これまでのところ誰もそれを証明する方法を知らない。

かつて、ほぼすべての数論の専門家は、アポロニウスの円に関する局所-大域予想が正しいと信じていました。彼らの信念を裏付ける類似の結論が数多く知られているだけでなく、これらの専門家にとって、その推測が失敗する原因となる制約が見当たらないのです。その結果、今度は信仰が崩壊した。

これらの円の曲率は、デカルトの定理を満たしながらも、予期せぬ形で二次の相互法則（前のセクションで説明した概念）に従うことがわかります。

「多くのシミュレーションを行わずに、運だけでこれを直接発見できたとは考えにくい」とフックス氏は語った。

「それは全くの偶然だった」とハーグ氏は認めた。「データを十分に大きくしていなければ、私たちはそれに気づかなかったでしょう。」

この研究は数論の将来にとって良い前兆となる。多くの数論学者が自分自身を振り返り始めました。たとえば、連分数の分野にはザレンバ予想があり、これは以前は多くの数学者が正しいと信じていました。しかし、ローカル・グローバル仮説が反証された後、人々は自信を失い始めました。「数学の経験的感覚は直感や証明を通じて身に付きます」とスタンジ氏は言う。「そして、それについて考えることに多くの時間を費やすので、それを信じるのです。しかし、データに反論することはできません。」

この時点で、アポロニウスのサークルの話は一時的に終わります。フェルマーの最終定理の証明ほど壮大で深遠ではないかもしれませんが、これらの接線円には数学のどの分野にも劣らない長い歴史があります。これらは、単純でありながら非常に洗練された代数的特徴と、氷山の一角に過ぎない極めて奥深い算術的特性を備えています。

先ほど「それぞれの曲率の値が 24 を法とすると法則が現れる」と述べましたが、24 という数字の出現がとても唐突だと感じるのではないでしょうか。

実際、この24はすでに、私たちが数学の特定の深淵な領域に入ったことを示しています。この数字は理論の最前線のあらゆるところに見られ、さまざまな分野を驚くべき方法で結び付けています。

ようやく理解され始めた一連の「偶然」のおかげで、12 と 24 という数字は数学において中心的な役割を果たしています。この事実の最初のヒントは、オイラーの奇妙な「証明」でした。

1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12。

上記のオイラー方程式は、リーマンゼータ関数を使用して厳密な数学的意味を与えることができ、物理学では、ボソン弦理論が 26=24+2 次元で最もよく機能する理由を説明します。

同時に、1^1+2^2+3^2+…+24^2=70^2 という事実は、弦理論、リーチ格子 (24 次元空間に球を詰め込む最も密な方法、これも 24 です!)、およびモンスターの群れの間に奇妙なつながりを確立します。よりよく知られ、密接に関連した事実は、「モジュラー形式」の理論における 12 周期の現象です。数学者たちは深い謎を解明するために全力を尽くしています。

アポロニウスパッド自体は、実際には双曲空間上で作用するグループ (「アポロニウスグループ」) の軌道に対応しています。実際、アポロ群は特殊相対論で非常に有名なローレンツ群の離散部分群です。スピノルを研究する物理学者にとって、これは馴染み深いものです。しかし、最も難しいのは、この記事で説明されている数論に関する問題です。これは、数学の源泉である古代ギリシャ幾何学と、現代数学の最先端の分野のひとつである保型形式を結びつける、非常に珍しい数学的対象です。

参考文献

[1] 2人の学生が広く信じられていた数学の仮説を解明 |クアンタマガジン

[2].THELOCAL-GLOBALCONJECTUREFORAPOLLONIANCIRCLEPACKINGSIS FALSE、2307.02749.pdf (arxiv.org)

[3]。人気数学古典翻訳シリーズ：素晴らしく興味深い幾何学、デイビッド・ウェルズ著、ユー・インロン訳、上海教育出版社

[4].ONTHELOCAL-GLOBALCONJECTUREFOR INTEGRALAPOLLONIANGASKET、1205.4416.pdf (arxiv.org)

[5]。アポロニウス（古代ギリシャの数学者）_百度百科事典（baidu.com）

[6]デカルトの定理 - Wikipedia

[7]。「線で結ぶ初等数学」張景中著、サイエンス・プレス

[8]アポロニーフラクタル（paulbourke.net）

[9].ソディのヘクスレット - ウィキペディア

[10].Hexlet -- Wolfram MathWorldより

[11]アポロニアン円パッキング：数論 - ScienceDirect