魔法のワームホールは単なるSFではない

「ワームホール」という言葉は、時空を旅するSFの世界から、あるいは理論物理学の最前線で神秘的で素晴らしいと思わせる学術ニュースから、多くの人が聞いたことがあると思いますが、ワームホールとはいったい何なのでしょうか？それはどのようにして空間と時間をつなぐ構造になるのでしょうか、それは物理学者のための単なるおもちゃなのでしょうか?実際、近年の量子重力の研究では、ワームホールにはまだ発見されていない深遠な意味が隠されていることが明らかになっています。

著者 |アン・ユセン

ワームホールは魔法の時空構造です。同時に、物理学の研究では、ワームホールが量子論と重力理論を結びつける鍵であることがますます証明されてきました。この記事では、ローレンツ ワームホール (時間と空間を含む) とユークリッド ワームホールという 2 つの側面から、ワームホールの基本概念と理論物理学におけるその役割を紹介します。

ローレンツワームホール

まず、ローレンツワームホールを紹介します。ローレンツワームホールは、時空に存在する可能性のあるワームホール構造であり、実際の物理的物体です。

洞窟に関する最も初期の研究は、カール・セーガンの小説『コンタクト』に触発されたものであり、この小説はロバート・ゼメキス監督による同名の映画『コンタクト』にも採用され、高い評価を受けた。小説の原案では、作者は時空トンネルを実現するためにブラックホールを使用していた。しかし、彼の良き友人であるキップ・スローン氏は懸念を表明した。一般相対性理論の研究者として、彼はブラックホールが時空トンネルのような構造になることはほとんどあり得ないことをよく知っていました。しかし、これがキップ・スローンの研究への興味を刺激し、ドラゴンの穴に関する最初の一連の研究につながりました。

ワームホールとエネルギー条件

タイムトラベルは SF ファンの永遠の関心事であり、通行可能な洞窟はそれを実現する良い方法であるように思われます。したがって、ドラゴンホール研究の重要な側面は、その通過可能性を研究することです。一般相対性理論の研究では、物質の分布を知り、この物質分布が与える時空の形状を研究します。しかし、ワームホール研究において物理学者の目標は特定の時空形状を実現することであるため、モリスとスローンはその逆のこと、つまり最初に時空構造に制限を与え、次にアインシュタインの場の方程式を通じて物質分布を解くことを検討しました。

初期計算は球対称座標系で実行されました。彼らは、特定のホール空間時間構造が満たされるためには、必要な物質の分布がエネルギー条件に違反しなければならないことを発見した。簡単に言えば、異質な負のエネルギー物質を導入する必要がある[1]。これは、測地シンクの方法を通じて自然に確認できます。一般に、一般相対性理論では、時空のいくつかの特性を調べるために、アインシュタインの方程式を解かずに測地線収束の変化を通じていくつかの結論を導き出すことができます。たとえば、2 つの異なる時空領域を接続して移動を可能にするためにワームホール構造が必要な場合、そこを通過する光は、まずワームホールの喉部 (つまり、ワームホール構造の最も狭い部分) に収束し、次に喉部から放射される必要があります。一般相対性理論では、光の収束または発散は、光のような測地シンクの膨張によって与えられます。これを説明する方程式は通常、Ray-Chaudhuri 方程式と呼ばれ、次のようになります。

回転とせん断の両方が 0、σ=ω=0 を満たすラインシンクを選択できます。穴を通過するラインシンクの特性に基づいて、穴の喉部で dθ/dλ=0 となる位置が存在するはずであることがわかっており、これは次の式を意味します。

一般相対性理論によれば、

これにより光のようなエネルギー状態が破壊されるため、ドラゴンホールが存在するには、その喉に負のエネルギーの異質物質を導入する必要があります。

この異常物質の導入により、穴の構築は極めて困難になります。光のようなエネルギー条件に違反するこの種の物質は、一般に量子論でのみ許容され、通常は非常に小さいものです。同時に、穴の条件が通り抜けられるようなものであれば、穴の潮汐が人体に与える影響も考慮する必要があります。人体が潮汐力に耐えられるという条件の下では、理論上は穴は非常に大きくなると予測されており、そのような巨大な空間をエキゾチックな物質で支えるのはさらに困難です。しかし、おそらく、SF小説「三体問題」で想像されているように、無限に発達した文明は、物理法則の範囲内で、技術的な障壁に制限されることなく、何でもできるだろう。ドラゴンホールを建設することなどは、まだ想像の範囲内である。

ワームホールとタイムマシン

ドラゴンホールは宇宙の 2 つの遠い地点を結ぶ近道として考えることができるため、ドラゴンホールはタイムマシンに変換できる可能性があります。 [2] タイムマシンの議論では、いくつかの詳細を無視し、穴を単に時空内の2点(t, 0)と(t, L)を接続する機械と見なします。穴の入り口は(t, 0)に対応し、出口は(t, L)に対応します。出口を入口に対して高速で移動させると、特殊相対性理論の時計の減速効果（双子のパラドックスなど）に従って、出口と入口の間に時間差 T が形成されます。次に、空間距離 L を 0 に短縮し、出口と入口をある点に戻すと、入口から出口まで T の時間ジャンプが発生し、過去または未来への移動操作が完了します。これは洞窟を通るタイムマシンの建造の非常に簡略化されたバージョンです。

人生は常に後悔に満ちているため、タイムマシンは人々にとって穴場よりも興味深いものかもしれない。人は老齢になると、さまざまな後悔を抱くようになります。タイムマシンは人々に人生をやり直し、後悔を埋め合わせるチャンスを与えるかもしれない。したがって、このような背景から、数え切れないほどの感動的なラブストーリーが展開される可能性があります。

しかし、タイムマシンの出現は多くの因果関係の問題を引き起こすため、ほとんどの場合、タイムマシンは真剣な科学的研究テーマではなく、単なるゲームとしてしか見なされていません。おそらく「自然はタイムマシンを嫌う」のであり、物理学者がしなければならないことは、タイムマシンが作れないことを証明するために、対応する物理原理を見つけることだけである。

ワームホールと量子もつれ

1997 年、マルダセナは独自の AdS/CFT 論文を発表し、理論物理学界に衝撃を与えました。それ以来、ますます多くの学者が重力のホログラフィック特性を研究し始めました。 [3] その後、マルダセナの2001年の論文[4]の結論に基づいて、ラームスドンクは、スパイダーホールと量子もつれの間に本質的なつながりがあること、すなわちER=EPR予想があることを単純な議論を通じて初めて発見しました。 [5]（ER=EPRという名称は、2013年にサスキンドとマルダセナによって、ブラックホールのファイアウォール問題を解決することを目的として正式に提案されました[6]。）ERは、2つのブラックホールを結ぶ領域であるアインシュタイン・ローゼン橋を指し、スパイダーホール研究の前身とみなすことができます。しかし、それは通過可能ではなく、アインシュタイン・ローゼン橋を渡ろうとする試みは必然的にブラックホール特異点に落ち込むことになります。 EPR は量子もつれを意味します。

アインシュタイン・ローゼン橋 |画像出典: arXiv: 2110.14958

この見解を簡単に紹介しましょう。 2001年、マルダセナの研究により、量子場理論における熱場二重項TFDが

対応する AdS シュワブ ブラック ホールに対応して、そのペンローズ図は、シュワブ ブラック ホールの最大解析拡張のペンローズ図と一致します。もちろん、ペンローズ図の特定の空間断面を見ると、中央のドラゴンホール構造によって接続された 2 つのブラックホールとして理解できます。

熱場ダブレットとシュバイツァーブラックホールの対応 |画像出典: arXiv: 1005.3035

この熱場二重項状態はエンタングルメント状態であり、温度（ここではβ）を調整すると、左右のエンタングルメントを調整することに相当することが発見されました。温度が非常に低い場合、上記のエンタングルメント状態はエンタングルメントのない直積状態になります。温度が非常に高くなると、最大限に絡み合った状態になります。研究では、温度が高温から低温に変化すると、ワームホール構造の中央の喉部が徐々に狭くなり、ついには壊れてしまうことが判明した。したがって、境界理論の観点から見ると、エンタングルメントを減少させる操作は、2 つのブラックホール間の接続ホールのサイズを減少させることに対応することがわかります。したがって、これは量子もつれとドラゴンホールが深く関連していること、あるいは本質的に同じものであることを示唆しています。

温度が下がるにつれて穴の形は徐々に狭くなります。画像出典: arXiv: 1005.3035

ER=EPR 予想は、時空の起源が量子もつれから来る可能性を示唆しています。量子エンタングルメントを説明するために通常使用される指標はエンタングルメント エントロピーですが、ER ブリッジの成長時間は熱平衡時間を大幅に超えるため (また、エンタングルメント エントロピーは熱平衡後に一定値に近づくため)、エントロピーの概念では ER ブリッジの体積の変化を説明するのは難しいようです。これに基づいて、物理学者は、エントロピーとは異なる特性を持ち、穴の体積に関連する物理量、つまり計算の複雑さを提案しました。その物理的な意味は、一連の動作ゲート、つまり初期状態から最終状態までの準備に必要な動作ゲートの最小数を指定することです。

同時に、前述のアインシュタイン・ローゼン橋は通過不可能であるにもかかわらず、この通過可能な穴を実現するための対応するモデルを構築できることは興味深い。つまり、境界に二重トレース変形と呼ばれる操作を導入し、次の演算子摂動を導入する。

。この操作は、背景の時空に負のエネルギーの流れを導入することと同じです。そのエネルギーは重力による青方偏移によりブラックホールの事象の地平線付近で非常に大きくなり、背景に大きな反応を引き起こし、事象の地平線の位置に影響を与え、ブラックホールの事象の地平線を内側に縮小させます。したがって、一方の境界から放出され、もともと特異点に落ちていた光子は、事象の地平線の外側を走り、再びもう一方の境界に到達します。つまり、トンネルは通過可能です。

ER = EPRの考え方によれば、このプロセスは量子テレポーテーションの重力バージョンに相当し、二重トレース変形は古典的なチャネルに似ています。量子テレポーテーションでは、量子ビットが量子もつれを通じて別の場所で再構築されるようです。しかし、重力のイメージの下では、それは2つの場所を結ぶ龍穴を通して伝達されるという全く新しい理解を持つ[7]。

通過可能な穴の物理的なイメージ |画像出典: arXiv: 1704.05333

ユークリッドワームホール

上記では、時空の穴が物理的な物体として成り立つために必要な条件とそれに対応する物理学について紹介しました。しかし、近年の量子重力の研究では、ユークリッドワームホールという新しいタイプのワームホール構造がより大きな関心を集めています。

ユークリッドワームホールとは何かを紹介する前に、まず理論物理学の研究でよく行われるユークリッド演算について紹介しましょう。量子場の理論における経路積分と統計物理学における分配関数の類似点を分析すると、時間に対して次のウィック回転操作 t=iτ を実行すると (ウィック回転の詳細については、「温度と不思議な虚数時間 | 不思議への扉」を参照)、つまり時間座標を虚数にすると、量子場の理論と統計物理学の問題を同一視でき、結果として得られるユークリッド経路積分が得られることがわかります。ユークリッド経路積分では時間の方向はなく、ある時間平面上の物理学として捉えることができます。 （もちろん、ユークリッド経路積分とローレンツ経路積分を組み合わせることもできます。）

ユークリッド経路積分は、多くの理論物理学の問題を研究するための非常に効果的なツールです。後ほど、ユークリッド経路積分を使用してブラックホールのホーキング放射の微細エントロピーを具体的に計算すると、これまで発見されていなかったワームホール構造が現れるということを紹介します。このホール構造は、ブラックホールの情報損失問題など、多くの難しい問題を理解するのに役立ちます。

コピーワームホールと情報損失

ブラックホール情報問題は、ブラックホールの時空における量子力学と一般相対性理論の間の最も深刻な矛盾です。純粋物質がブラックホールに崩壊し、その後放射されることを考えると、純粋状態から混合状態への非正規進化が見られますが、これは量子力学では許されません。ブラックホールの情報問題は、金の卵を産むガチョウとして、物理学者たちの無限の創造力を刺激してきました。

最近、ホログラフィックエンタングルメントエントロピーにヒントを得て、重力におけるホーキング放射のエントロピーを正確に計算する方法が発見されました。これは「島の公式」と呼ばれています。 (「ブラックホール情報パラドックスの謎、ホーキングの最後の疑問は解決されたか?」を参照) この計算によって得られた正確なエントロピーは、ペイジ曲線を魔法のように満たし、さらに量子力学の正値性も満たします。ホログラフィックエンタングルメントエントロピーの RT 式は当初は半ば仮説的な作業であったが、後に重力経路積分によって正確に証明されたことがわかっています。ここで得られた島の公式は重力経路積分によって証明できますか?もしそうなら、それは重力経路積分のどの部分から来るのでしょうか?

まず、場の理論におけるエンタングルメントエントロピーの計算方法を紹介します。これは、研究対象のシステムを n 回コピーして計算を実行し、最後に解析拡張を実行するレプリカ トリックと呼ばれる方法で計算できます。式は次のとおりです。

上記の最初の等号はエンタングルメントエントロピーの定義であり、2 番目の等号はロピタルの規則を適用して導き出されます。この操作は通常、レプリカ トリックと呼ばれます。

。経路積分の物理的な意味は、初期状態から最終状態までの確率振幅を記述するからです。

したがって、ユークリッド経路積分を使用して波動関数を定義し、さらに密度行列を定義することができます。このユークリッド経路積分の表現によれば、上記のエンタングルメントエントロピーの計算は、上記の最後のステップの式であるコピー多様体上のパーティション関数の計算に変換できます。

上記の考え方に基づいて、ユークリッド経路積分を使用してホーキング放射の密度行列を表すと、そのエントロピー（つまり、分割関数）を正確に計算できます。

考えられるすべてのコピーマニホールド構成を考慮する必要があります。放射線とブラックホールを純粋な状態として考える

計算されるのはホーキング放射のエントロピーなので、ブラックホール部分を追跡する必要があります。

エントロピーの計算では、レプリカ構造を形成する境界として放射密度行列を最初から最後まで順に接続することだけが必要ですが、その幾何学的内部を実際に制限することはできません。したがって、Zn を計算するときは、いくつかの接続された構成を含むすべての可能な内部構成を考慮する必要があります。

簡単な図: 左側は放射密度行列によって形成された境界条件から来ており (実線はトレースが見つかった後のブラックホール境界を表し、点線は放射を表します)、右側は計算に必要な重力構成を表します。最初のグラフは切断された構成を表し、2 番目のグラフは接続されたコピー ホール構成を表します。画像出典: arXiv: 1911.11977

接続構成を考慮しない場合、エントロピーはホーキングの元の計算と一致しますが、これは正確性に違反します。ただし、接続された構成 (通常はコピー ホールと呼ばれます) を考慮すると、エントロピーの動作は正確性の期待と一致します。 （完全に接続された構成を考慮すると、後の段階で島の公式の結果を得ることができますが、実際のコピードラゴンホールの貢献はより豊かになります。）この接続された構成の意味は、ドラゴンホールの意味と非常に似ています。どちらも、接続構造を介して異なる重力領域を接続します (ただし、ここでの異なる領域は、システムでレプリカ トリックを実行することによって取得されます) が、それに対応する物理は、ローレンツ型ドラゴンホールの物理とは非常に異なり、その具体的な物理的意味については、さらに理解と明確化が必要です。

コピーホールの特徴。図から、各境界面上のブラックホールが互いに接続されていることがわかります。画像出典: arXiv: 1911.12333

レプリカホールの計算は複雑です。最も単純なモデルだけが、レプリカホールのあらゆる可能な構成を考慮し、それらを解析的に合計して最も正確な放射エントロピーを得ることができます[8]。しかし、物理学者は、穴をコピーすることで、以前に得られた島の公式（少なくとも 2 次元）の正しさを証明することができました。コピーホールの出現により、ブラックホール情報問題の研究に新たな活力がもたらされました。重力集団の対応問題[9]、量子重力における大域的対称性問題、ブラックホール放射後の残留物[10]など、多くの問題が再議論され研究されてきた。

本当に面白いことはまだ始まったばかりなのかもしれません。今後の龍穴の研究が私たちにさらなる驚きをもたらしてくれることを期待しています。

参考文献

[1] MS MorrisとKS Thorne、「時空内のワームホールと星間旅行への利用：一般相対性理論を教えるツール」、Am。物理学のジャーナル56（1988）395ページ。

[2] MS Morris、KS Thorne、U. Yurtsever、「ワームホール、タイムマシン、および弱いエネルギー条件」、Phys.レット牧師61（1988）1446。

[3] JM Maldacena、「超共形場理論と超重力の大N限界」、Adv.理論。数学。物理。 2 (1998) 231[hep-th/9711200].

[4] JM Maldacena、反ド・シッターにおける永遠のブラックホール、JHEP 04(2003) 021 [hep-th/0106112]。

[5] MVRaamsdonk, 量子もつれによる時空の構築、Gen.Rel.Grav(2010) 2323-2329

[6]J. Maldacena と L. Susskind、「エンタングルされたブラックホールのクールな地平線」、Fortsch。物理。 61 (2013) 781 [1306.0533].

[7] P. Gao、DL Jafferis、AC Wall、「二重トレース変形による通過可能なワームホール」、JHEP 12 (2017) 151 [1608.05687]。

[8] A. Almheiri、T. Hartman、J. Maldacena、E. Shaghoulian、Tajdini、「レプリカワームホールとホーキング放射のエントロピー」、JHEP 05 (2020) 013 [1911.12333]。

[9] G.ペニントン、SHシェンカー、D.スタンフォード、Z.ヤン、「レプリカワームホールとブラックホール内部」、1911.11977。

[10]PS Hsin、LVIlliesiu、Z.Yang、レプリカワームホールによる大域的対称性の破れとブラックホール残骸の運命。 Class.Quant.Grav.38(2021)19,194004.