パゴダ野菜を一口食べてみると、その背後にあるフラクタルの秘密がわかります...

暖かくなってきたので、厚手の綿素材の服を片付けて、薄手の春服を着るようになりました。しかし…厚手の服でカバーしないと、春節の間に偶然に増えた全身の脂肪が特に目立つようになってしまいました…

新たな姿で春を迎えるために、エディターも「全身の脂肪層の無痛除去」を始めました。しかし、トレッドミルで走りながら、ダイエットのために昼に食べたエンジュの野菜のことを思い出し、突然、大きな謎に巻き込まれたような気がしました。なぜこの野菜の形は、考えれば考えるほど奇妙になっていったのでしょうか。 ? ?

画像出典: Tuchong Creative

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編集者はよく考えた結果、一生懸命考えることで「全身の脂肪を痛みなく除去する」という目標を達成できると信じ、毎日の運動を毎日のエンジュ野菜の思考に置き換えました... 意外にも、小さなエンジュ野菜の背後にある物語はとても魅力的です...

予測可能性

幼少期から大人になるまで知識を学ぶ数学や物理の授業では、世界が秩序に満ちていることを徐々に感じます。表現と定義域がわかっている関数の曲線の方向は予測可能です。反応物と反応条件がわかっていれば、化学反応の生成物は予測可能です。移動する物体の初期位置と運動法則は既知であり、その後の任意の時点での速度と位置は予測可能です...

科学がもたらすこの「予測可能性」についての私たちの印象は、ガリレオ・ガリレイとアイザック・ニュートンによる振り子の揺れの研究に一部由来しています。

1581年、ガリレオはシャンデリアの揺れを観察したとき、揺れの現象が予測可能なパターンに従っていることに気づきました。しばらく観察した後、ガリレオは、振動の振幅は異なっていても、シャンデリアを前後に振るのにかかる時間は同じであることを発見しました。

この興味深い現象をさらに調査するために、ガリレオは異なるサイズだが同じ長さの振り子を使って振動周期を測定する実験を行い、自分の脈拍を使って時間を計りました。

最終的に、振り子の振動の持続時間は、振り子の大きさや位置ではなく、長さのみによって決まることが証明されました。ガリレオの研究によって、振り子の揺れは予測可能になりました。

ガリレオの後、ニュートンは微分方程式を使用して、振り子の長さ (l) と周期 (T) の間の正確な数学的関係を導きました。

これにより、「予測可能性」が大きく進歩し、振り子の揺れの運動パターンを定性的にだけでなく、定量的にも正確に予測できるようになりました。

ニュートンが多くの現象の背後にある法則を発見し、宇宙の基本法則を理解するのに役立つ強力なツールとして微積分などの数学的手法を発明したことは知られています。

その中でも、私たちが最もよく知っているニュートンの 3 つの法則は、マクロな物体の運動の法則を簡潔かつ簡潔に説明しています。また、運動現象の背後にある法則を数式、特に微分方程式で記述すると、運動が時間の経過とともにどのように変化するかを正確に記述できること、つまり予測可能であることもわかります。

予測可能性は間違いなく魅力的ですが、よく考えてみると、すべての現象は「予測可能性」に基づくこの科学的アイデアによって説明できるのでしょうか?

カオス

「予測可能かどうか」という問いから出発して、長期天気予報や動物の個体数の変化など、私たちの日常生活に非常に近い例を数多く考えることができます。これらの例には、さらに魅力的な「予測不可能性」が隠されているようです。

微分方程式を通じて大気の動きに関する正確な情報を得ることはできません。これらの例は、「振り子の揺れ」などの例とどう違うのでしょうか?

「不確実性」について考えるとき、私たちはその概念に馴染みがなく、漠然としていると感じるかもしれません。科学的研究の観点から、不確実性は「前後の異なる時点におけるシステム間の一定のランダムな関係であり、統計的には主に現在と未来の因果関係として現れる」と定義されます。

「不確実性」は研究者の注目を集め、徐々に「カオス」という新たな分野へと発展しました。

カオスは、アンリ・ポアンカレが天体力学の三体問題を研究した 1880 年代後半から、科学研究のテーマとなってきました。

1963 年になって初めて、MIT の気象学者ローレンツが決定論的な予測可能性は幻想であると示し、現在でも盛んに研究されている分野であるカオス理論を生み出しました。

カオス理論では、最も単純な方程式（ランダムな要素なし）であっても、操作中にわずかな偏差があれば、結果は元のアイデアとは大きく異なるものになると考えられています。

バタフライ効果 - 敏感な依存

当時、天気を予測する方法は 2 つありました。1 つは線形計画法を使用して天気を予測する方法で、明日の天気は今日の気象特性の明確に定義された線形結合であるという前提に基づいています。 2 つ目は、大気の流れをシミュレートする流体力学方程式を使用して、天気をより正確に予測することです。

2つの計算方法を比較したところ、ローレンツはコンピューターシミュレーションで得られた2か月後の気象データが以前のものとは大きく異なっていることを発見しました。しかし、ローレンツは、この計算における「誤差」は実際にはシミュレーションプロセス中の初期値の丸めによって生じたものであることを発見しました。

このことから、ローレンツはカオスの特徴的な特性、つまり初期値に対する敏感な依存性を発見しました。ここで、下の図の球はローレンツ方程式の反復を表しています。

1972 年、ある会議で、ローレンツは「予測可能性: ブラジルの蝶の羽ばたきがテキサスで竜巻を引き起こす可能性はあるか?」と題するプレゼンテーションを行いました。

彼は、天候の進路を変えてしまう可能性のある、一見取るに足らない小さな変動、いわゆる「バタフライ効果」の比喩として蝶を使いました。

これを読んだ後、当然次のような疑問が湧くでしょう。コンピューター シミュレーションでは通常、ある時点で丸め誤差が生じ、この誤差はカオスによって増幅されますが、ローレンツの解は実際のカオスの軌跡を反映できるのでしょうか。

答えは「はい」です。これはシャドウイングと呼ばれる特性によるものです。つまり、与えられた初期条件に対して数値軌道は正確な軌道とは異なりますが、その正確な軌道が所定の期間の数値軌道によって近似される初期条件が常に近くに存在するのです。

カオスアトラクター

カオスシステムの研究を通じて、ローレンツは 1963 年にローレンツ方程式を正式に提案しました。その典型的な軌跡は、上図に示すように、非整数境界構造に収束することが多く、これをカオスアトラクターと呼びます。

カオスアトラクターを導入すると、カオスシステムの軌道が初期値に敏感に依存するため、いつ「カオス」になるかを理解するのに役立ちます。

まず、アトラクター上の軌道は線形システムとは異なるカオス的な動作を示します。さらに、アトラクターの領域内の任意の点も、アトラクターに収束するカオス的な軌道を生成します。

カオスアトラクターの存在により、単純な振り子の周期軌道とは異なり、カオス系には周期軌道が存在しない、または周期軌道が発散していると言えます。

これはカオスの本質的な特徴でもあります。非周期性は敏感な依存性を意味し、敏感な依存性は非周期性の根本的な原因です。

上記の概念を理解した後、すでに少し混乱していませんか?大丈夫ですよ、パゴダ野菜はもうすぐ届きますよ！

カオスについて話すとき、私たちは常に別の概念、つまりフラクタルについて言及しなければなりません。前述の抽象的な概念と比較すると、フラクタルはより具体的であり、日常生活の中にも多くの例があります。

上記の 3 つの図から、フラクタルとは小規模から大規模までのグラフィックの類似性を指していることがわかります。では、フラクタルの正確な定義は何でしょうか?

フラクタル構造またはフラクタルプロセスは、大まかに言えば、スケール全体にわたって一定に保たれる特徴的な形状、つまり自己相似性を持つものとして定義できます。

構造の小規模な形状が大規模な形状に類似している場合、その構造はフラクタルです。

よく考えてみると、エンジュ菜が私たちに与える不思議な感覚はフラクタルから来ているようです。その形状は、私たちが普段目にする幾何学的形状とは異なります。

カオスからフラクタルへ

上記では、カオスとフラクタルについてそれぞれ紹介しました。両者の関係はどのようなものですか?

カオスアトラクターはフラクタルであることが多いです。カオスアトラクターの近くの位相空間内の点の軌跡を考えることができます。カオスアトラクターの影響下では、近くの位相空間内の点は非線形傾向を示します。つまり、カオスアトラクターによってさまざまな方向に伸縮されます。

伸張と収縮の複合効果により、位相空間内の点は「フィラメント」を形成し、軌道が制限されているため、これらの「フィラメント」は自然に折り畳まれます。

このカオスアトラクターの効果が無限に繰り返されると、結果はフラクタルになります。

画像を通じて関連する物理情報を取得できるのと同様に、カオスアトラクターの幾何学的構造は、その動的特性と定量的に関連付けることができます。

カオスやフラクタルなどの概念は非常に抽象的に聞こえます。ローレンツが研究した気象システムと比べて、カオス理論の考え方を反映できる、より鮮明で単純な例はあるでしょうか?

生物学における混沌

カオス理論は生物学の分野と非常に関連があることが判明し、この考えを使って生物学研究を行った科学者、アラン・マシスン・チューリングも編集者を驚かせました。

チューリングは胚の発達の過程について深く考え、この複雑な過程は単純な数式で記述できると信じていました。

最初は、胚内の細胞はまったく同じであり、単純なルールに従って自己組織化されます。自己組織化のプロセスは、ある段階に達すると突然複雑なパターンを呈し、徐々にさまざまな細胞が形成され、最終的にさまざまな器官へと発達するまで継続的に繰り返されます。このプロセスは形態形成と呼ばれます。

チューリングは、数学を使って、生物が自然で均一な状態から不均一で繰り返されるパターンへと徐々に進化していく過程、つまり自己組織化からパターンの出現までのプロセスを説明しようとしました。

一方、有名なベロウゾフ振動実験も、パターンの自発的な形成につながる自己組織化の例です。

彼は、2 つの溶液を混ぜると色のついた液体ができ、それが透明になり、また色づく…というプロセスが何度も繰り返されることを発見しました。

ベロウソフの解によって自発的に生成されるランダムな波紋パターンは、システムが外部条件によって乱されることなく自発的かつ不規則に変化できることを示しています。これはパターン形成につながる自己組織化の例でもあります。

パゴダ野菜のフラクタル

数学と生物学でカオスとフラクタルについて多くを学んだ後も、私たちは当初の願望を心に留めておく必要があります。なぜパゴダ野菜はフラクタルを生やすのでしょうか?

まず、植物の器官がどのように発達するかを理解する必要があります。発達の過程で、植物の分裂組織は定期的に螺旋状、対生状、または輪生状に器官を生成します。

普通のカリフラワーについて考えてみましょう。その特殊な構造は、各分裂組織によって生成された一次花原基が最終的に開花段階まで発達せず、発達過程における「雪崩」効果に似た、より同一の一次花原基を繰り返し生成するという事実に由来しています。

エンジュの構造が自己相似性を持つのは、分裂組織が最終的に花を形成できないにもかかわらず、発育の過程で一次花原基が一時的に「魂浸透」過程を経て、つまり一時的に花の「記憶」を維持するためです。

この短命なプロセスは分裂組織の成長に影響を及ぼし、円錐形構造の形成を誘発する追加の突然変異を生み出し、最終的に自己相似特性、つまりフラクタルを持つ円錐構造を形成します。

普通の仏塔皿の裏に、こんなに複雑な知識ポイントが隠されているとは思いませんでした。最も高度な知識は、それを表現するための最も簡単な方法だけが必要であることがわかりました〜

現在、カオスとフラクタルは物理学、数学、生物学、化学などの分野と徐々に統合され、多くの斬新で興味深い成果を生み出しています。他にどんな興味深い関連現象を知っていますか?

参考文献

[1] 陳露自己組織化構造を持つ超カオス系の制御と同期に関する研究[D]。東北師範大学、2019年。

[2] 王翔分散カオス理論とその応用に関する研究[D]大連理工大学、2021年。

[3] 物理学今日66、5、27（2013）。

[4] カオスの秘密の生活、BBC。

[5] Sean Bailly、L'art fractal du chou romanesco、Pour la Science、9 月 9 日、(10-11)、(2021)。

編集者: ノーマ

出典：中国科学院物理研究所