神秘的なπは100兆桁まで計算されました。その背後にはどれだけの秘密が隠されているのでしょうか？

円周率（π と略記）は、数学において最も神秘的でありながら最も馴染みのある数字の 1 つです。建築、工学、航空宇宙、物理学など、あらゆる分野でπは重要な役割を果たします。簡単に言えば、円周率は円の円周と直径の比です。この番号を取得するのは簡単そうです。円周率を求めるには、円の円周を測り、それを直径で割るだけです。

しかし、難しいのは、この円の円周を非常に正確に測定するにはどのような定規を使用できるのかということです。古代から何千年も経ちましたが、この厄介な問題は完全には解決されていません。その結果、円周率は無理数となり、小数部は無限で、終わることがなく、繰り返しパターンもありません。

では、小数点以下は何桁あるのでしょうか?誰も知りません。なぜなら、これまでのところ、人々が知っているのは、それが無限であり、無限とは終わりがないことを意味するだけだからです。何千年も前、古代の人々は円の正確な円周を手作業で測定しようとしました。彼らは定規と幾何学的手法を使ってπを手作業で計算し、最終的に小数点以下9桁、つまり3.141615926という正確な数値を得ました。これは私たちの祖先である祖崇志が得たものであり、私たちは誇りに思うことができます。

現在では科学の進歩により、スーパーコンピューターはπを100兆桁まで計算していますが、これはあくまでも近似値であり、まだ計算し尽くされていないということを意味します。 100兆ビットの概念とは何ですか?人が生まれたときから数え始め、飲食せずに24時間数え続け、平均して1秒間に2つの数字を数えると、158万年以上かかります。つまり、原始時代の猿人の祖先から始めて、世代を超えて計算し続けると、現在に至るまで計算が終わらないのです。

それで、円周率には本当にそんなに多くの桁があるのでしょうか?人類はどのようにして最初にそこにたどり着いたのでしょうか?一緒に調べてみましょう。

古代の知恵: 円分割法による π の計算

西洋でも東洋でも、古代にはすでに円周率に興味を持ち、それを研究し始めた賢者のグループが存在していました。東洋と西洋のアプローチを組み合わせることで同じ結論に至り、円周率のおおよその値が得られました。具体的には、次のような代表的なものがあります。

アルキメデスの「多角形近似」

π を体系的に計算した最初の数学者の 1 人は、古代ギリシャのアルキメデス (紀元前 287 年 - 212 年頃) でした。彼の考えはシンプルです。

1. 円を描き、その円の内側に正六角形を描き、円の外側にもう一つ正六角形を描きます。
2. これら 2 つの六角形の周囲を計算すると、π の上限と下限が得られます。
3. 次に、六角形の辺の数を 2 倍にして 12 角形にし、周囲の長さを再度計算します。
4. これを 2 倍にして 24 角形、48 角形などになり、最終的に円の真の円周に近づきます。

この方法を使用して、アルキメデスは π の値が 3.1408 から 3.1429 の間であると推定しました。これは、計算ツールのない時代には驚くべき成果でした。

祖崇志：世界より1000年先を行く精度の計算

祖崇之は、南北朝時代（西暦 5 世紀）の古代中国の数学者でした。彼は正円を 24,576 辺に分割することで円分割法を改良しました。彼はこれら 24,576 個の多角形を測定および計算することで、アルキメデスよりも高い精度で π のおおよその値 3.1415926 ～ 3.1415927 を得ました。この精度は世界より1000年先を行っていたのです！

しかし問題は、円を二乗して π を計算するのは非常に遅いということです。より正確なπの値が必要な場合は、より多くの辺を持つ多角形を描く必要があり、計算量が指数関数的に増加し、最終的には耐えられなくなります。そのため、祖崇志の後の1000年間、πの精度はもはや向上できませんでした。近代では、数学者たちはより効率的な計算方法を模索し始め、πの計算速度は大幅に向上しました。

数式の威力：πは描画しなくても正確に計算でき、円を切る方法よりもはるかに高速です

古代人は円をその形状で近似して π を計算しましたが、現代の数学者は公式を使用して π を直接計算します。この方法は、円を分割する方法よりもはるかに高速かつ正確です。より代表的な式は次のとおりです。

18世紀: マシンの公式

1706 年、イギリスの数学者ジョン・マシンは π を素早く計算する公式を提案しました。

π=16tan⁡−1(1/5)−4tan⁡−1(1/239)\pi = 16 \tan^{-1} (1/5) - 4 \tan^{-1} (1/239)π=16tan−1(1/5)−4tan−1(1/239)

この式により、数学者は円を分割する古代の方法の代わりに級数展開を使用して π を素早く計算できます。 18 世紀から 19 世紀にかけて、数学者は次のような公式を改良し続けました。

• ジョン・W・レンチらは、πを808桁まで手作業で計算し（1946年）、当時の世界記録となった。
• π の 100 桁の値を手動で計算するには数か月かかり、エラー率も高くなります。ガウス・ルジャンドルアルゴリズム - 精度を2倍にする
• まず、円の半径を表す数値と多角形の周囲を表す数値の 2 つを選択します。
• これら 2 つの数値は、π の真の値に近づくように、数式を使用して常に調整されます。
• この方法は、計算するたびにπの精度を2倍にすることができ、円を分割する方法よりも計算速度がはるかに速くなります。しかし、現代のコンピュータが登場する前は、より優れた公式があっても、π を計算する精度と速度は円を二乗する方法よりもはるかに速く、従来の手計算は依然として非常に複雑で遅いものでした。 1948年になってようやくイギリスのファーガソンとアメリカのレンチが共同で808桁の10進数の円周率を発表し、これが人工的に計算された円周率の最高記録となった。現代のコンピュータの出現により、π の計算は質的に飛躍的に進歩しました。

1970 年代までに、数学者は精度を飛躍的に高める方法を発見しました。

• まず、円の半径を表す数値と多角形の周囲を表す数値の 2 つを選択します。
• これら 2 つの数値は、π の真の値に近づくように、数式を使用して常に調整されます。
• この方法は、計算するたびにπの精度を2倍にすることができ、円を分割する方法よりも計算速度がはるかに速くなります。

しかし、現代のコンピュータが登場する前は、より優れた公式があっても、π を計算する精度と速度は円を二乗する方法よりもはるかに速く、従来の手計算は依然として非常に複雑で遅いものでした。 1948年になってようやくイギリスのファーガソンとアメリカのレンチが共同で808桁の10進数の円周率を発表し、これが人工的に計算された円周率の最高記録となった。現代のコンピュータの出現により、π の計算は質的に飛躍的に進歩しました。

**πのコンピュータ計算: ****1949年に、πの最初のコンピュータ計算が実行され、**効率が飛躍的に向上しました。

1949年、アメリカ人のジョン・フォン・ノイマンとニコラス・メトロポリスは電子計算機を使って初めてπを計算しました。彼らが使用したコンピューターは ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) で、2037 桁の計算が可能となり、人類史上のすべての手作業による計算記録を破りました。

計算効率の改善の比較:

• π の 808 桁を手作業で計算するには数か月かかりますが、ENIAC は 2037 桁を 70 時間で計算し、速度を数百倍向上させました。
• ENIAC は 1 秒あたり 5,000 回の加算を実行でき、手作業による計算をはるかに超えていました。この計算は、コンピューターを使用した数学計算における最初のブレークスルーとなり、π の計算を現代のコンピューター時代に導きました。

1960年代～1980年代: コンピュータの円周率の計算が100万桁を超える

コンピュータ技術の発展に伴い、数学者はガウス・ルジャンドルのアルゴリズムなどのより効率的なアルゴリズムを使い始めました。これにより、π の計算速度が飛躍的に向上し、計算効率は、1949 年に ENIAC が 2037 ビットを計算するのに 70 時間かかっていたのが、1982 年に CRAY-1 が 800 万ビットを計算するのにわずか 5 時間へと 10 万倍以上も向上しました。

1990年代から現在: スーパーコンピュータがπを計算する

1987 年、数学者のチュドノフスキー兄弟は超高速計算法を提案しました。

1π=12∑k=0∞(−1)k(6k)!(545140134k+13591409)(3k)!(k!)3(640320)3k+3/2\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)! (k!)^3 (640320)^{3k+3/2}}π1=12k=0∑∞(3k)!(k!)3(640320)3k+3/2(−1)k(6k)!(545140134k+13591409)

この式は複雑に見えますが、計算が非常に速いという利点があります。

• 計算するたびに、π の精度は 100 万桁増加します。

• これは、コンピューターを使用して π を計算する際に最も一般的に使用される方法です。 21 世紀に入ってから、数学者はより効率的なアルゴリズム (チュドノフスキー法など) やスーパーコンピュータを使用するようになり、π の計算速度と精度がさらに向上しました。 π の 1,000 桁を手作業で計算するには数か月かかりますが、コンピューターでは数秒で計算できます。数式の最適化とコンピュータの継続的なアップグレードにより、計算速度はますます速くなり、計算効率が向上しています。

• 1949 年には、ENIAC で 2037 桁の円周率を計算するのに 70 時間かかりましたが、2022 年には、スーパーコンピューターで 100 兆桁を計算するのにわずか 157 日しかかかりません。

• 計算ビット数は2,000兆から100兆に増加し、50億倍に増加しましたが、計算時間は1,000倍程度しか増加しておらず、コンピューターの計算能力が大幅に向上したことがわかります。現代では、π の値の手作業による計算はコンピュータによって完全に置き換えられています。 2023年現在、スイスの研究チームはスーパーコンピューターを使用してπを100兆（10¹⁴）桁まで計算し、歴史記録を更新しました。今日、π を計算する際の主なボトルネックは、もはや数式ではなく、コンピューター ハードウェアの速度とストレージ容量です。将来的には量子コンピューティングの発達により、πの計算がより効率的になる可能性があります。

π の桁をこれほど多く計算する意味は何でしょうか?

実際、日常生活で私たちが使うπは通常3.1416を超えることはありません。 NASA が宇宙船の軌道を計算するときも、15 桁 (3.14159265358979) しか使用しません。しかし、π を非常に高い精度で計算することには依然として大きな関心が寄せられています。

• スーパーコンピュータのパフォーマンスのテスト: π の計算には大量の計算リソースが必要であり、コンピュータの処理能力と安定性をテストできます。
• 数学的研究: 数学者は、π の微小部分が本当に完全にランダムなのか、それとも隠された数学的パターンが存在するのか疑問に思ってきました。
• 科学と工学：一部の精密科学研究（量子コンピューティングやブラックホールシミュレーションなど）では、π値の超高精度が求められます。円周率の 100 兆桁すべてが必要になることはないかもしれませんが、円周率を計算するプロセスによって、数学、コンピューター サイエンス、エンジニアリングの分野が進歩しました。

πの正確な値の計算はまだ進行中であり、終わりは見えない。

π は無理数であるため、小数点は無限で重複しません。つまり、π の正確な値の探索は決して終わらないということです。アルキメデスの円分割法からスーパーコンピューターのチュドノフスキーアルゴリズムまで、人類のπの追求は2,000年以上続いています。現在、πの計算精度は実用的なニーズをはるかに超えていますが、科学者たちはπを計算するだけでなく、数学やコンピュータサイエンスの発展を促進するためにも、依然として限界に挑戦し続けています。

したがって、π は単なる数学定数ではなく、人類の知恵と技術の進歩の象徴なのです。将来、人類はより高度な方法を使ってπをさらに計算し、おそらくそのより深い秘密を解明するでしょう。

これはSpace-Time Communicationからのオリジナル記事です。著者の著作権を尊重してください。読んでいただきありがとうございます。