この一般化逆行列は、ペンローズが 24 歳のときに再発明されました。 Nワード大まかな線形代数

多くの学生は、初めて線形代数を学習するときに混乱したり苦痛を感じたりして、そのコースの実際的な重要性を理解できません。これは主に、浅いところから深いところへ段階的に進むために、教科書は基本的な抽象的な概念から始めなければならず、本当に直感的な部分は後のサブフィールドや具体的な応用まで待たなければならないことが多いためです。そのため、初心者は結果はわかっても理由はわからないことがよくあります。彼らは木しか見ず、森を見ない。この記事が皆さんの視点を変え、リラックスした興味深い日常的な視点から線形代数を違った方法で見る助けになれば幸いです。

この記事は、「N テキストにおける線形代数の大まかなガイド」と題された一連の記事の 5 番目です。前回の記事では、線形方程式系に解が存在しない、または解が無限に存在する状況に対処する方法について説明しました。 Aがフルランク正方行列のとき、線形方程式

著者 |呉金元

この本の最後の章では、ある日朝食を買うために階下の朝食店に行った近視眼的なオタクの話が語られました。メガネを家に忘れてしまったので、黒板に書かれた値段が見えません。そこでオタクは、前に並んでいる客が購入した朝食の品数と、店員が報告する合計金額を聞きながら列に並び、これをもとに朝食の各品の単価を計算した。

オタクは朝食を買って、考えながら食べた。正方行列、つまり行と列の数が同じ行列だけが逆行列を持つことができることはわかっています。ただし、正方行列であっても必ずしも逆行列が存在するわけではありません。行列に逆行列が存在するためには、行列が正方であることに加えて、フルランクでなければならないからです。しかし、現実の世界では、正方行列ではない行列や、(列) フルランクではない行列に遭遇することがよくあります。このような状況で、私たちはただ何もせずにただ見ているだけでいいのでしょうか？

この質問自体が本当の問題です。線形方程式系を解くとき、方程式の一意の解を見つけることはできないかもしれませんが、この方程式系を通じて未知数間の関係を理解し​​たいと考えています。これには、任意の行列の一般化逆行列を見つける必要があります。

（１）偽の美術教師が教える本物の数学

任意の行列Aについて、それが正方行列であるかどうか、またその階数が完全であるかどうかに関係なく、条件AGA = Aを満たす行列Gが存在する場合、 GはAの一般化逆行列と呼ばれます。条件AGA = AとGAG = G の両方が満たされている場合、 G は再帰的一般化逆行列と呼ばれます。以下の例について説明しましょう。

行列の役割は座標変換によって説明できます。実際、絵画や写真は座標変換とみなすことができます。もちろん、私がこんなことを言うと芸術家たちがほうきを持って私を追い出すでしょうから、ここでは私のような偽の美術教師について話すことに限定する必要があります。例えば、ある日、私はリンゴを描きました。

私の絵のスキルは非常に低いですが、訓練された画家が下図のような絵を描くのであれば、それほど難しいことではないはずです。

この写真は実際にはフォトショップで加工されており、画家によっては実際に同じように描ける人がいることを示すために使用されています。

写真はマトリックスとして考えることができます。A .その機能は、物理的なオブジェクト ( x ) または絵画 ( v ) を写真 ( u ) に変換することです。

オブジェクトが写真になる: u = Ax

絵画が写真になる: u = Av

同様に、図を行列Gとして考えることができます。その機能は、実際の物体や写真を絵画に変えることです。

物体が絵画になる: v = Gx

写真が絵画になる: v = Gu

現場では、絵画と実物が大きく異なっていることに気づくのは難しくありません。同様に、写真と実物、写真（ある角度で撮影した写真）と絵画も異なります。

ただし、次のことは可能です。

この過程で、写真1と写真2が同じであれば、絵画行列Gは写真Aの一般化逆行列とみなすことができます。なぜなら、それらはAGA = Aを満たすからです。

同様に、次のことも実行できます。

図 1 と図 2 が同じ場合、 GAG = G となります。

ここで強調しておかなければならないのは、絵画は明らかに写真の逆マトリックスではないということです。なぜなら、写真から本物のリンゴを描くことはできず、リンゴの三次元モデルさえも描くことはできないからです。しかし、絵画は写真の一般化された逆行列です。なぜなら、写真が絵画によって絵画に変わり、さらに写真によって絵画が写真に変わると、2 枚の写真は同じになるからです。

同様に、写真は絵画の逆行列ではありませんが、絵画の一般化された逆行列です。

どちらも互いの一般化された逆であり、どちらも反射的です。

（２）信頼できる一般逆行列を求める

さて、数学の先生を変えて、別の角度から議論してみましょう。一般化逆行列はどのような条件を満たす必要がありますか?前述のように、行列Aに対して、条件AGA = Aを満たす別の行列Gがある場合、 G はAの一般化逆行列です。 一般化逆行列の定義を説明するために、近視眼のオタクが朝食を買う例を引き続き使用します。

例えば、次の表に示すように、オタクの前に顧客が 2 人しかいないとします。

これら 2 つのトランザクションは線形方程式システムを形成し、行列乗算を使用して次のように記述できます。

明らかに、ここでは未知数は 3 つありますが、方程式は 2 つだけです。制約が不十分であり、一意の解は存在しません。係数行列から判断すると、この行列は短く太く、明らかにフルランクではないため、この行列には対応する逆行列はありません。しかし、この行列の一般化逆行列を定義することはできます。

この定義は次の図のように描くことができます。

朝食店には3種類の食べ物があり、3つの単価がベクトルxを構成します。 2 人の顧客が購入したさまざまな種類の食品の数量は、2 行 3 列の行列Aを構成します。 2 人の顧客の合計買い物価格は、2 つの要素を持つベクトルyを構成します。合計価格の計算プロセスは行列乗算Ax = yであり、図の最初の行に示されています。

2人の顧客の合計買い物価格yから始めます。 3 つの食品の正確な単価を計算することはできませんが、上の図の 2 行目に示すように、一連の可能な単価u を計算することは完全に可能です。このアルゴリズムは最終的にyの 2 つの要素を取り、線形結合を作成します。この線形結合は行列の乗算として考えることができます: u = G y 、ここでGはAの一般化逆行列であり、 Aから計算できます。この計算は比較的複雑ですが、ここでは説明しません。ここで計算される可能な単価u は、事前にわかっている単価xとはまったく異なる可能性がありますが、この可能な単価のセットは信頼できるはずです。

しかし、「信頼できる」とはどういう意味でしょうか?これを上の図の 3 行目を通して説明します。簡単に言えば、 Au = yです。つまり、この新しい可能な単価のセットを、事前にわかっている実際の単価の代わりに使用して最初の 2 人の顧客の合計購入価格を計算すると、結果は変わらないはずです。具体的には、この例では、揚げケーキが 3 元、茶葉卵が 4 元、豆腐プリンが 7 元という単価が事前にわかっています。一般化逆行列を使用することで、揚げケーキが 3 元、茶葉卵が 5.5 元、豆腐プリンが 5.5 元など、別の可能な単価セットを計算できる可能性があります。この可能な単価のセットは、明らかに事前にわかっている実際の単価ではありませんが、この可能な単価のセットから計算された 2 人の顧客の合計買い物価格は変わりません。実際、茶卵の単価と豆腐プリンの単価を足すと11元になる場合、常に同じ結果が得られます。

（３）一般化逆行列は複数存在する場合がある

一般化逆行列が「信頼できる」こと、つまりAGA = Aであることが求められますが、これは非常に緩い条件です。この条件は非常に緩いため、行列Aに対して、条件を満たす行列Gが無限に存在する可能性が十分にあります。したがって、行列には​​無限の一般化逆行列が存在する可能性があります。

もちろん、行列Aがフルランクの正方行列である場合、一般化逆行列は 1 つだけ存在し、この一般化逆行列は、これまでに学習した逆行列です。

AGA = Aでは、積 ( GA ) が単位行列に少し似ているのは事実です。これは、これを Aと乗算すると、 A : A ( GA ) = Aも得られるからです。ただし、 ( GA ) は通常、単位行列ではなく、通常はAのみを復元でき、他の行列を復元することはできません。

（４）一般化逆行列における選択

AGA = A を満たす行列Gは「信頼できる」一般化逆行列ですが、一般にこの条件を満たす行列Gは無数に存在します。前の例と同様に、行列G が茶卵の単価と豆腐プリンの単価の合計が 11 元に等しいことを計算できる限り、一般化逆行列として計算できます。

当然、選択する一般化逆行列の範囲を、できれば 1 つに絞り込むことができるかどうか疑問に思うでしょう。

私たち人間は昔からこうなのです。私たちは何も持っていないと不安になりますが、あまりにも多くのものを持っている場合も不安になります。たとえば、裕福な女性が婿を選ぶとき、まずその婿は背が高くなければならないという条件を出します。条件を満たす人が多い場合、彼女は次に婿は裕福な家庭出身でなければならないという条件を提示し、次に婿はハンサムでなければならないという条件を提示します。

実は、一般化逆行列の範囲を狭めるという考え方も同じです。制限を加えることで達成できないものは何もありません。うまくいかない場合は、条件をいくつか追加してください。

最も簡単に思い浮かぶ状態はGAG = Gであり、これは外見上AGA = Aと対称的です。それが何を意味するかは、次の図で説明できます。

朝食を購入する前の例では、2 人の顧客の支払い金額y'に基づいて、一般化逆行列を使用して 3 つの食品の単価を計算できます。この単価は実際の単価と同じではありませんが、貴重な情報を提供することができます。例えば、論理的に考えると、2 人の顧客の今日の支払額が昨日よりも低ければ、今日は割引があり、料理の単価が下がったと推測できます。

私たちが持っている多くの一般化逆行列の 1 つを使用すると、近視眼的なオタクでも、上の図の最初の行に示すように、今日の食品の単価u = Gy'を計算できます。もちろん、この単価設定は必ずしも正しいとは限りません。この単価セットを使用して、ウェイトレスは 2 人の顧客の支払い金額を計算できます。上の図の 2 行目に示すように、 Au = yです。近視眼的なオタクが聞いたこの支払い金額yと y' のセットは異なる可能性があることに注意してください。さて、近視眼的なオタクが、上の図の 3 行目に示すように、食品の単価u = Gyを逆に計算すると、通常は同じ結果は得られません。しかし、一般化逆行列は一般に無数に存在するため、最初にGAG = G を満たす適切な一般化逆行列 G を選択すると、上図の 1 行目と 3 行目の 2 つの計算で同じ単価が得られます。

AGA = AとGAG = G の2 つの条件は対称であり、この 2 つの条件を満たす行列AとGのペアは互いの一般化逆行列であり、互いに反射的であることがわかります。いくつかの文献では、条件AGA = Aを満たす行列G はAの内部逆行列と呼ばれます。条件GAG = Gを満たす行列GはAの外逆行列と呼ばれる。

AGA = AとGAG = Gという 2 つの条件により、両方の条件を満たす一般化逆行列の数は明らかに減少しますが、厄介なのは、一般行列Aの場合、 G が依然として無数に存在する可能性があることです。これにはさらに制限を追加する必要があり、これについては後で詳しく説明します。

（５）唯一の一般化逆行列を選ぶ

制限を追加すると、検索範囲が狭まる可能性があります。選択された条件が適切であれば、無数の一般化逆行列から一意の一般化逆行列を選び出すことができると考えられます。もちろん、設定する条件が厳しすぎないように注意する必要があります。厳しすぎると、すべての条件を満たす一般化逆行列が存在しないという困った状況が発生する可能性があるためです。幸いなことに、一般化逆行列を 1 つだけ選択することを保証する条件セットが少なくとも 1 つあります。

今度はペンローズが輝く番だ。任意の行列Aに対して、次の 4 つの条件を満たす行列G が1 つだけ存在します。この行列Gは行列Aのペンローズ逆行列と呼ばれます。

これら 4 つの条件のうち、最初の条件は一般化逆行列の定義であり、2 番目の条件は先ほど説明した再帰一般化逆行列との関係であることがわかります。 3 番目と 4 番目の式で、「*」は共役転置を意味します。これは、すべての要素を共役複素数に置き換え、要素の行と列を交換することを意味します。括弧内の行列のすべての要素が実数の場合、共役転置「*」は転置「T」と同等になります。つまり、括弧内の 2 つの行列の積はAGまたはGA対称になります。 (ここで、読者は、 Aは通常は正方行列ではないため、 G も通常は正方行列ではないことに気付くでしょう。しかし、 AGとGA は正方行列であり、これら 2 つの正方行列は通常、一方が大きく、もう一方が小さくなります。) 3 番目の条件では、一般化逆行列が最小二乗解を提供することが求められます。 Gは、最初の条件と 3 番目の条件を同時に満たしており、 Ax = yが自己矛盾を起こして解がない場合に、 Gyを使用して最小二乗解を計算できます。 (元の方程式系が自己矛盾していない場合、 Gy は方程式系の解です)。 4 番目の条件により、一般化逆行列が最小ノルム解を提供できるようになります。元の方程式系が十分に制約されていない場合、無限の解が存在する可能性があることがわかっています。ここで、4 番目の条件の役割は、最小ノルム解を選択することです。

大学の教科書に名前が載っている存命の人物はほとんどいないが、ロジャー・ペンローズは今も健在である。彼はブラックホールに関する研究により2020年にノーベル物理学賞を受賞した。

ロジャー・ペンローズ |ノーベル賞アウトリーチ。写真: ファーガス・ケネディ

ペンローズはペンローズ逆行列を発見し、1955年にその研究を発表しました。実は、この逆行列は30年以上前に先人たちによって発見されていました。しかし、ペンローズは当時このことについて何も知りませんでした。ある意味、彼は車輪を再発明していたのです。

もちろん、ペンローズを責めることはできません。当時、数学界の多くの人々がこのことを知らなかったからです。実際、ペンローズ以前には、スウェーデンの測地学者アルネ・ビャハマーが1951年に車輪の再発明を行っていた。ペンローズが論文を提出した時点では、論文の査読者が以前の研究を知らなかった可能性は少なくとも考えられる。そうでなければ、論文は出版されなかったかもしれない。ノーベル賞受賞者の論文を拒否する編集者がいるだろうかと思うかもしれません。しかし、ノーベル賞受賞者でさえ、時には子供っぽいことがある。ペンローズがノーベル賞を受賞したのはそれから60年以上後のことでした。当時彼はまだ24歳の博士課程の学生だった。

1920 年に一般逆行列を発見した数学者はエリアキム・ヘイスティングス・ムーアでした。彼は、行列の行と列の部分空間への射影を使って自分の発見を表現しました。非常に抽象的で理解しにくいため、勉強を続ける人は多くありませんでした。私は彼の 1920 年の論文の原文を見つけていませんが、後世の人たちによる言い換えを読んだことがあります。記事が理解しにくいと表現する人は、たいてい、単語は全部わかるが意味がわからないと言います。しかし、この記事では、いくつかの文字がわかりません。インターネットでギリシャ語、ヘブライ語、キリル文字のアルファベットを検索しましたが、知らない文字は見つかりませんでした。ついに、その文字が筆記体のラテン文字であることがわかりました。

ムーアウィキペディア

数年後、ペンローズ逆関数とムーア逆関数は同等であることが判明しましたが、ペンローズとムーアの表現は非常に異なっていました。さらに、ペンローズ 4 つの条件を分解して組み合わせることで、一般化逆行列のより新しい特性が明らかになります。そのため、数学界はペンローズ氏の新たな貢献を全面的に認め、現在ではこの逆関数はムーア-ペンローズ逆関数と呼ばれています。これについては後ほどさらに詳しく説明します。 （つづく）

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