一枚の紙を半分に折ることは何回できますか？ 7回以上やるのは本当に大変です！

私たちは長年紙を扱っており、数え切れないほどの紙を折ってきましたが、さまざまなパターンに折ることもできます。しかし、あなたは別の折り紙チャレンジに挑戦したことがありますか?

通常の A4 用紙を 1 枚取り、半分に折り、さらに半分に折ります。半分に折るのは何回までだと思いますか？

推測ですが、12 回ほど折りたたんでも問題ないはずですよね?

しかし、試してみると次のことがわかります。

A4用紙を7回折ったもの |著者提供の写真

普通のA4用紙を7回折り曲げるのは実は難しい！

折り紙チャレンジの制限は本当に7回ですか？この制限は克服できるでしょうか?実際、これは簡単な数学の問題です。

01折り紙の数学的説明

紙の元の長さ、幅、厚さをそれぞれ a、b、t とすると、n 回折りたたんだ後の 3 つの寸法の変化は次の表のようになります。

A4用紙を折る回数と用紙サイズの関係 |著者提供の画像

表からわかるように、半分に折るごとに長さや幅は半分になり、厚さは 2 倍になります。それらの間には2^n のべき乗関係があり、これはサイズ関係が非常に急速に変化することを意味します。多くの物語には 2^n の累乗が関係します。たとえば、給与の問題では、初日に 1 ポイントが付与され、2 日目以降は毎日 2 倍になります。 1ヶ月後には給与総額が1000万元を超えることになります。もう 1 つの例は、チェス盤上の米粒の王様の問題です。最初のマス目には米粒が 1 粒あり、後続のマス目ごとにその数は 2 倍になります。 64 個のマス目がすべて埋まると、王国全体、さらには世界全体が空洞化します。

チェス盤上の米粒の増殖の関係 |著者提供の写真

折り紙の問題に戻ると、n 回目に折ると、紙の厚さは元の厚さの 2^n 倍になります。 A4用紙の厚さは約0.1mmです。 23回折ると厚さは約839メートルになります。地球上で最も高い建物であるブルジュ・ハリファの高さはわずか828メートルです。

世界で最も高い建物 |出典: フォトネットワーク

42回折ると紙の厚さは439,805キロメートルに達し、これは地球と月の平均距離（384,403.9キロメートル）を超えます。 58 回折り畳まれ続けると、その厚さは太陽系の直径 (約 300 億キロメートル) を超えます。 83 回折りたたまれると、天の川銀河 (直径約 16 万光年) から抜け出すことができます。

いつか折り紙で太陽に到達したり火星に着陸したりできるようになるかもしれません😜小さなA4の紙で数学的に宇宙を見下ろすことができます。このままでは嫦娥6号は必要なくなるだろう。しかし、このような明らかな大きなバグは、当然「宇宙のルール」によって制限されることになります。このルールとは、力学と材料です。

02折り紙の宇宙的ルール - 力学と材料

実際には、通常の A4 用紙は、通常 7 回しか半分に折ることができません。紙を 7 回折ると、理論上の紙のサイズは次のようになります。

長さ: 18.6 mm

幅: 26.3 mm

厚さ: 12.8 mm

この時点で厚さ寸法は最小となり、さらに半分に折るのも難しくなさそうです。しかし、さらに半分に折ると厚さは25.6mmとなり、長さや幅よりもかなり大きくなります。現時点では、簡単には曲がれないのは理解できます。しかし、現実には「宇宙の法則」が先に介入したのです。 7回折った後、折り紙全体が非常にねじれて見え、多くの場所で反りが生じ、紙の層間の隙間が大きくなっていました。この時点で、8回目に半分に折るのは非常に難しくなります。これはどう説明できるでしょうか?

理由1: 力の支配

折り紙の枚数が増えると、紙の大きさはどんどん小さくなりますが、厚みはどんどん厚くなります。機械的な観点から見ると、物体のサイズが小さく、厚くなるほど、それを曲げるのに必要な力が大きくなります。

一方、サイズが小さくなると、力によって発生する曲げモーメントが小さくなり、紙を曲げるのにより大きな力が必要になります。一方、厚みが増すとラミネート紙はより硬くなり、変形しにくくなります。

曲げ力の比較 |著者提供の写真

I は慣性モーメント、b は断面幅、h は断面高さです。理由2: サイズが重要

賢い学生たちは、いくつかの手がかりを発見したかもしれません。A4 用紙が薄くなると、折りたたんだ後の紙も薄くなるということです。すると、力の法則によれば、ラミネートされた紙が薄いほど剛性が低くなり、曲がりやすくなります。確かに薄手のナプキンを使えば、8回折り曲げるのは比較的簡単です。ただし、紙の厚さを無制限に薄くすることはできないため、より大きなサイズの紙を選択することでこの問題を解決することもできます。いつの間にか、折り紙が難しくなっていました。

最も古い折り紙の記録は2002年に樹立されました。当時、米国カリフォルニア州のブリトニー・ギャリバンという高校生が、一枚の紙を12回連続で半分に折ることに成功し、ギネス世界記録を樹立しました。

出典: 科学工学技術

2012年、米国テキサス州のセントマークス高校の生徒たちは、長さ4キロメートルを超える紙を13回折り曲げました。最終折り返しでは多くの補助設備が使用されたため、この記録はギネスに認定されませんでした。

認識されないレコード 13 件 |出典: 白家曉

有名な「MythBusters」チームは、紙を55×75メートルの大きなシートにまとめ、ローラーを使って最終的に11回半分に折りました。

怪しい伝説のチームが 11 個の折り紙を完成させました |出典: YouTube

理由3: 構造上のルール

紙のシートを半分に折り、重ねてラミネートのような構造を形成します。層間の結合がないこの構造を曲げると、内層はほとんど変化せず、外層が伸びます。紙が厚くなると、外層が引き伸ばされるため、より大きな外力が必要になります。各層が完全に独立しており、摩擦だけに頼っていると、曲げ力に抵抗するには不十分で、曲げた後に層間ずれが発生しやすくなります。一枚の紙が完成すると、折り目は互いにつながっていきます。この接続力と層間の摩擦により、層がスライドしにくくなり、曲げ力を克服するためにより大きな力が必要になります。

紙が十分に厚い場合でも、曲げによって紙の外側の層にかかる引っ張り力が引張限界を超え、紙が破れてチャレンジが失敗します。さらに、通常の A4 用紙の単層にも一定の構造強度があるため、柔らかいナプキンはより多くの回数、半分に折ることができます。同じく柔らかく薄いシルクであれば、7回折り曲げることも簡単にできます。

薄くて柔らかいシルクを8回折り畳む｜著者提供

折り回数の掛け算の関係はあなたの想像を超えるかもしれません。 100 回ほど折りたたむだけで、天の川を簡単に突き抜けて宇宙を見下ろすことができます。しかし、宇宙の法則により、A4 用紙の折り畳み限界は制限されます。折り目数が増えると、力アームの減少と折り目接続力の増加により、必要な外力が大幅に増加します。もっとたくさん折りたい場合は、より薄く、柔らかく、より大きな平らな素材が必要です。

急いで紙を取り出して半分に折ってみてください。一生懸命頑張れば、折り紙の新しいギネス世界記録保持者になれるかもしれません！

著者：王永建、南京農業大学准教授、江蘇省機械学会科学普及委員会副事務局長、江蘇省科学技術コミュニケーション専門家

企画・編集：リトルダンデライオン

表紙画像出典: TED-Ed