深遠な問い：平等とは何でしょうか？

私たちが実際に数学に触れる前に、両親の教育と人生経験によって平等の概念をすでに理解しており、この理解は生涯にわたって私たちに付きまといます。しかし、数学的等式には、特に特定の問題においてはより深い意味があり、数学者はもはや数字が等しいかどうかだけに焦点を当てるのではなく、数学的構造が同等であるかどうか、さらにはより高次の等式も考慮します。高階カテゴリの同値性をより便利に議論するために、数学者は新しい数学も提案しました。

執筆者：イェ・リンユアン

2 つの数学的オブジェクトが等しいのはいつですか?この問題は見た目ほど平凡なものではありません。実際、数学におけるほぼすべての質問は、2 つの数学的対象が等しいかどうかを尋ねています。この記事は、明らかに実用的な数学の問題を解決することを目的としているのではなく、現代数学における「平等」の概念の発展について議論することを目的としています。

19 世紀後半、哲学者ゴットロープ・フレーゲ (1848-1925) は、方程式 A=B を書くとき、A と B は両方とも、表現したい実際の数学的オブジェクトの記号であり、等式は、2 つの名前で参照される実際の数学的オブジェクトが一貫していることを意味すると信じていました。言い換えれば、等式関係とは、私たちが使用する数学記号間の関係であり、2 つの記号が同じ実際の数学的オブジェクトを参照する場合にのみ、それらの記号は等しくなります。このようにして、2 + 3 = 5 などの数学的な記述を理解するのは簡単になります。

しかし、現代数学が進化するにつれ、このように理解された等式は、必ずしも数学者が関心を持っている問題を真に反映するわけではありません。過去 10 年ほどの間に、一部の数学者と論理学者の指導の下、平等という最も基本的な概念に関して概念革命が起こりました。物理学における重力と時空という最も基本的な概念におけるニュートンとアインシュタインの革新が新しい物理学をもたらしたのと同じように、この記事では、数学における平等の概念の革新がどのように新しい種類の数学をもたらすことができるかについてお話ししたいと思います。

カテゴリ数

おそらく哲学的な議論とは異なりますが、現代数学に役立つ等式の概念を得たいのであれば、等式の概念を事前に決定し、すべての数学者が私たちが定義した概念言語でアイデアを表現することを期待するのではなく、常に私たちが関心を持っている数学の問題から始めるべきです。このセクションで説明したいのは、数学的な対象が異なれば、関心のある等式の問題も異なる可能性があるということです。

数学的な対象を分類する 1 つの方法は、いわゆるカテゴリ番号を使用することです。カテゴリ番号は 0 から無限大までの任意の数値になります。カテゴリ数の大きさは、必ずしもその中の数学的オブジェクトの構造の複雑さや豊かさを表すわけではなく、むしろ、異なるカテゴリ数の数学的オブジェクトに対して私たちが関心を持つ等式の問題が異なることを表します。以下の説明では、カテゴリ番号 n を持つオブジェクトを n 構造と呼びます。

カテゴリー番号0

0 構造、つまりカテゴリ番号 0 を持つ数学的オブジェクト。最も典型的な例は、自然数、有理数、実数などの数です。2 つの数、つまり 0 構造の場合、それらの間の等式関係は、私たちがよく知っているもの、つまり 2 つの数が同じかどうかです。非常に深遠な数学定理の多くは、2 つの数が等しいかどうかに関係しており、これは数学で遭遇する最も一般的な等式の概念でもあります。

カテゴリー番号 1

現代数学の発展により、私たちは数だけでなく、代数的対象の群、環、体などのより一般的な数学的構造にも関心を持つようになりました。または多様体などの幾何学的オブジェクトなど。この種のオブジェクトの場合、数学者は、記述された 2 つのグループが (一般的な意味で) 等しいかどうかではなく、それらのグループ間に同型性があるかどうかを実際には気にします。

ある意味では、最も単純な 1 構造は単なる集合です。それらは、自明な構造を持つ数学的構造として見ることができます。集合の場合、通常、2 つの集合が同型であるかどうかが重要であり、2 つの集合にまったく同じ要素があるかどうかは重要ではありません。たとえば、集合間の直積が可換かつ結合的であると言う場合、A×B が実際に B×A に等しいという意味ではありません。集合論の構成によれば、これらは 2 つの異なる集合だからです。ただし、それらは互いに同型です。

カテゴリー番号2

驚くべきことに、数学の世界は、カテゴリ番号 0 または 1 を持つ数学的対象に限定されません。古典数学の長期にわたる訓練を受けた人々にとって、数学的構造のカテゴリ番号より 1 桁高い数学的対象が何であるかを想像するのは簡単ではないかもしれません。しかし、再帰的に推測することはできます。

最も単純な 1 構造は集合であり、集合はいくつかの 0 構造、つまり要素から構成される数学的オブジェクトです。すると、2 構造の最も単純なクラスは、すべての集合からなるクラス、すべての群からなるクラス、すべての多様体からなるクラスなど、特定の 1 構造からなるクラスとして理解できると推測できます。これらのオブジェクトは、多くの場合、カテゴリと呼ばれます。

より厳密に言えば、カテゴリは数学的オブジェクトのクラスとそれらの間のマッピングで構成されます。集合のカテゴリでは、オブジェクトは集合であり、集合間のマッピングは関数です。群のカテゴリでは、オブジェクトは群であり、群間のマッピングは群準同型です。では、2 構造、つまりカテゴリ間の同値性とは何でしょうか?このような質問に答えることが意味をなすことを示すために、線形代数の学習からの例を示します。

通常、大学で線形代数を学ぶとき、最初に学ぶのは行列の演算です。行列はいくつかの特定の数値で構成される正方配列であり、行列演算（加算、乗算など）には非常に特殊な演算規則があります。そして、線形代数をもっと深く研究すると、線形代数は抽象的な数学言語で完全に表現できることがわかります。線形空間は、特定の演算を伴う代数構造として定義でき、線形空間間の線形マッピングは、特定の代数条件を満たす関数として定義できます。

一見すると、行列と線形空間の間には特に直接的な関係はありません。しかし、線形代数を学んだことのある学生であれば、（有限次元の）線形空間の場合、行列を学ぶことと抽象線形空間を学ぶことは同等であることを多かれ少なかれ知っているでしょう。しかし、この主張は通常、厳密な数学の定理として授業で提示されることはありません。一般的に言えば、これはこれら 2 つの表現を学習した後に得られる印象に過ぎません。つまり、行列に関するあらゆる問題は線形空間に関する問題に変換でき、線形空間に関するあらゆる問題は行列に関する問題に変換でき、これらの相互変換で得られる答えは一貫しているはずです。

しかし、これはあくまでも非厳密な表現です。これら 2 つの数式が厳密な意味で同等であることを示すために厳密な数学言語を使用する方法はありますか?この同値性は直感的には特定の 2 構造間の同値性であることに注意してください。つまり、行列のようなオブジェクトを研究することは、有限次元線形空間のようなオブジェクトを研究することと同等であると主張しています。したがって、次のセクションでは、カテゴリ数 2 のオブジェクトとさらに高いカテゴリ数を持つオブジェクト間の同等性を紹介します。

高階カテゴリカル数オブジェクト間の同値性

前述のように、行列と線形空間の同値性を厳密に記述するためには、それらを 2 つのカテゴリとして認識する必要があり、それによってそれらの間の同値性は 2 つのカテゴリ間の同値性としても理解できるようになります。

新しい数学における等価性

現代数学の発展により、数学者は、高次の数学的対象とそれらの間の同値性が非常に重要な数学的概念であり、高次の構造の研究は複雑な低次の構造を理解するために不可欠である場合があることをますます認識するようになりました。スペースの制限により、この記事では数学における高階構造の応用について包括的な紹介を行うことはできません。しかし、これまでの説明から、異なる数学的対象に対して、数学者は異なる同値な形式を気にしていることは少なくとも理解できます。

ある意味、これはいわゆる「数学の基礎」に新たな課題を提起することになります。結局のところ、等式は非常に基本的な数学的概念ですが、集合論に基づく既存の数学的基礎は、高階オブジェクト間の等式を扱うのに非常に扱いにくいものです。高次の数学オブジェクトをその後の数学的研究に非常に便利に使用したい場合、任意の数学オブジェクト間の等価性を扱うより直接的な方法が必要であることは明らかです。過去10年間で、ホモトピー理論に触発されたユニバレント基礎[1]と呼ばれる新しい数学的基礎が急速に発展しました。この新しい数学の基礎にはさまざまな特徴がありますが、ここでは数学的対象間の同等性をどのように扱うかについて簡単に触れます。

結論

もちろん、この記事は入門的な性質のものであり、厳密な数学的内容として形式化するには、いくつかの詳細をより正確に表現する必要があります。しかし、この記事が、数学における平等という一見普通の概念について、皆さんにもっと考えてもらうきっかけになればと思います。結局のところ、理論科学における真の偉大な進歩は概念の革新から生まれると私は信じています。これらの作品は、技術的には最も印象的なものではないかもしれませんが、人間の思考に最も深い影響を与えているものであることは間違いありません。

参考文献

[1] ユニバレントファンデーションプログラム。ホモトピー型理論: 数学のユニバレントな基礎。 http://homotopytypetheory.org/book、高等研究所、2013年

[2] 数学者ウラジミール・ヴォエヴォツキーの2011年のプリンストン高等研究所でのプレゼンテーションを参照。
https://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/Univalent_Foundations_files/2011_UPenn.pdf

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

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