美しくも「役に立たない」メビウス反転が物理学の問題を解決する [パート 1]

「数論は私たちに無尽蔵の興味深い真実を提供してくれます。それは孤立した真実ではなく、密接に関連した真実であり、私たちの知識が増すにつれて、真実の間に新たな、時にはまったく予想外のつながりが絶えず発見されるでしょう。」

- ガウス

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

読者の皆さん、紙を円筒状に丸め、鉛筆の頭を見つけて、鉛筆の先が円筒に対して垂直で外側を向くように、鉛筆の底を円筒の外側に近づけてください。 2 つを垂直に保ちながら鉛筆を円筒の周りで動かすと、またはより一般的には、鉛筆を円筒に対して垂直に保ちながら境界円を越えない円筒上の任意の閉曲線に沿って動かすと、鉛筆の先端の方向が連続的に変化し、最終的に元の位置に戻ることがわかります。鉛筆の先端の下部を紙の筒の内側に当てて同じように円を描くと、同じ結果が得られます。これは、円筒面が「両面」であり、内側と外側があることを意味します。 2 つの辺のうちの 1 つの固定辺を指定することにより、サーフェス上の任意の閉じた曲線の方向 (前方または後方) が「右手の法則」によって決定されます。これはすべての子供が理解できる幾何学的現象です。

表面積分を学んだ読者は、積分領域として機能する表面が確定的でなければならないことを知っています。そうでなければ、表面積分は問題外です。 1980 年代、ミシガン州立大学数学科で私の博士論文指導教官を務めた Tianyan Li 教授は、当時中学生だった息子に基本的な位相幾何学の概念を教える際に次のように教えたそうです。細長い紙を用意し、上図のように 2 つの短い対辺を接着して短い円筒面を形成するのではなく、まず短い辺の 1 つを 180 度ねじってから、もう 1 つの短い辺に接着します。これも紙の表面になります。それから彼は息子に前の段落と同じ実験をするように頼みました。鉛筆が長い反対側の辺とほぼ一致する方向に閉回路をたどり、曲面に対して垂直を保ちながら連続した円を描いたとき、鉛筆の先端が終わる方向は最初の方向とまったく逆であることが分かりました。もちろん、閉回路が表面上の点の周りの円に収まるほど小さい場合には、この現象は発生しません。しかし、「方向の反転」異常を引き起こす閉回路の存在は、この奇妙な表面が通常の円筒表面とはまったく異なる位相特性を持っていることを十分に証明しています。

この奇妙な表面は「片面」であり、微積分棟の表面積分室の警備員によって立ち入りが禁止されています。しかし、それは視覚的に直感的であるだけでなく、意味合いも豊かです。その専門的な名称は「メビウスの帯」であり、発見者の一人であるドイツの数学者で天文学者のメビウス (アウグスト・フェルディナント・メビウス、1790-1868) にちなんで名付けられました。数か月前にこの発見をしたもう一人の人物は、ドイツの数学者ヨハン・ベネディクト・リスティング（1808-1882）でした。メビウスの帯は、一目見ただけで理解できるため、メビウスの生涯で最もよく知られている数学的発見です。しかし、メビウスの反転公式につながった、あまり知られていない彼の数学的研究が、この記事の主題です。

メビウス反転

メビウスの反転公式の元々の考え方は、おなじみの級数の部分級数や級数の一般級数と似ています。

メビウス反転公式には多くの一般化とバリエーションがありますが、最も有名で単純なものは「古典的」と呼べるもので、数論や組合せ論で多くの用途があります。この元の式を理解するには、いくつかの基本的な用語を導入する必要があります。まず、いわゆる「反転」は、高校の代数学における逆関数の概念を一般化したものです。関数y=f(x)が

メビウス関数<br /> 反転公式においてメビウス関数 μ が果たす重要な役割を考慮して、その基本的な特性を調べてみましょう。まず、メビウス関数値シリーズの最初の 12 個の数値について理解しましょう: μ(1)=1、μ(2)=-1、μ(3)=-1、μ(4)=0、μ(5)=-1、μ(6)=1、μ(7)=-1、μ(8)=0、μ(9)=0、μ(10)=1、 μ(11)=-1、μ(12)=0。この関数の最初の基本的な特性は、乗法性があることです。つまり、2 つの自然数 m と n が互いに素である (1 以外の正の共通因数を持たない) 限り、式 μ(mn)=μ(m)μ(n) が成り立ちます。実際、

これは（I）を証明します。

算術関数fから算術関数gの関数値g(n)までは、定義と反転公式(I)が有限和の形でしか表現されていないので、メビウス関数の因数と式(1)のみを用いて「初等的に」メビウス反転公式(I)を証明する。同じ方法で、fとgが(I)を満たす場合、(*)も満たすことを証明できます。 g は f のメビウス変換と呼ばれ、f は g の逆メビウス変換と呼ばれます。英語の数学用語には「メビウス変換」もあり、中国語にも翻訳されていることに注意してください。これは、複素数を複素数にマッピングする線形分数変換 w=(az+b)/(cz+d) を指します。

メビウス変換で f と g をそれぞれ In f と In g に置き換えると、(*) と (I) は乗算形式で次のメビウス反転公式を意味します。

ディリクレ畳み込み<br /> フーリエ変換を学んだ読者であれば、関数間の畳み込み演算に馴染みがあるでしょう。 2 つの関数 f と g の畳み込み f*g は、反射とシフト後の 1 つの関数と他の関数の積の積分として定義され、1 つの関数の形状が他の関数によってどのように変化するかを示します。 fとgのドメインが全体である場合

f*g=g*f、つまり畳み込み演算が交換法則を満たすことを証明するのは簡単です。フーリエ解析における畳み込み定理によれば、F と G がそれぞれ f と g のフーリエ変換である場合、F と G の積の逆フーリエ変換は f と g の畳み込みになります。工学数学でよく使われるラプラス変換にも同様の畳み込み定理があります。

では、畳み込みの考え方や手法は「メビウス反転」にも関係があるのでしょうか?もちろん！これは数論で算術関数に使用されるディリクレ畳み込みであり、その概念は単にメビウス反転を直接一般化したものです。その定義は、メビウス反転公式（I）の右側の式と非常に似ていますが、メビウス関数μが一般関数に置き換えられています。fとgを算術関数とすると、fとgのディリクレ畳み込みは算術関数です。

さらに、ディリクレ畳み込みは、整数乗算と同様に結合法則と分配法則も満たします: (f*g)*h=f*(g*h) および f*(g+h)=f*g+f*h。ディリクレ環に関する限り、算術関数 f がディリクレ逆関数を持つのは、f(1)≠0 を満たす場合のみであり、つまり、f*f-1=ε となる算術関数 f-1 が存在する場合に限られます。特に、定数関数 1 のディリクレ逆関数はメビウス関数 μ であり、これは次の議論で必要な関係 1*μ=ε を保持します。ここでは自然数集合を表すために1を使用しています

ディリクレ畳み込みの文脈では、古典的なメビウス変換の表現は次のようになります。

g=f*1 であるのは、f=g*μ の場合に限ります。

理工系の学​​生のほとんどは、フーリエ級数や偏微分方程式の境界値問題でドイツの数学者グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ (1805-1859) の名前を知っているでしょう。しかし、ディリクレが、今日のほぼすべての数学者が 1 つの分野にしか精通していないように、「解析数学」のみを専門としていると誤解しないでください。彼は数論の巨匠でもあり、解析数論の分野を開拓した。関数の現代的な定義も彼に由来しており、今日世界中の中学生がこの最も合理的な定義の恩恵を受けることができます。

メビウス逆変換は単位算術関数1のディリクレ逆がメビウス関数μであるという事実と同義語であるため、元のメビウス変換の二重公式(*)と(I)は、次の一般的な逆変換公式に直ちに一般化できます。算術関数αにディリクレ逆があると仮定すると、

上記の 2 番目の等号は、mn=k でグループ化し、合計の順序を並べ替えるためです。

離散的な場合に対応する一般式（＃）、（**）、（Ⅱ）の一般化された形は次のようになる。

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