なぜ彼は現代のコンピュータの父と呼ばれるのか?丨 ジョン・フォン・ノイマン生誕120周年を記念して

この記事は、フォン・ノイマン生誕120周年を記念した記事の後半です。最初の部分では、有名な数学者ウラムが主にフォン・ノイマンの数学、特に数理論理学、集合論、ヒルベルト空間、作用素理論に関する研究を紹介しました。第二部では、理論物理学、ゲーム理論、数値計算、コンピュータ理論、マンハッタン計画への彼の貢献について紹介します。フォン・ノイマンは、非常に幅広い分野で徹底的な調査を行ったため、彼の研究には一貫した流れがあるのだろうかと疑問に思わずにはいられません。問題解決者として、彼が実際的な問題に対処した方法から、彼のより深い目的と理想、そして彼が現代のコンピューターの父となることができた理由がわかるかもしれません。

スタニスワフ・ウラム著

翻訳 |元元

理論物理学

レオン・ファン・ホーヴェ教授は、フォン・ノイマンの量子論への貢献の中で、理論物理学における自身の研究について説明しています。

前述の米国科学アカデミーのアンケートで、フォン・ノイマンは量子論の数学的基礎とエルゴード定理を（前述の作用素理論とともに）最も重要な科学的貢献として選びました。この選択、あるいはむしろ制限は、ほとんどの数学者にとって奇妙に思えるかもしれませんが、心理学的には興味深いものです。これは、おそらく彼の主な願望と最も強い動機の一つが、理論物理学における概念レベルでの数学の役割を再確立することであったことを示しているようです。第一次世界大戦の終結以来、抽象的な数学の研究と理論物理学の主流の考え方との間の分離は否定できないものとなっている。フォン・ノイマンは、物理学における問題やアイデアの急激な増加に数学が追いつけないかもしれないという懸念をしばしば表明した。ある会話の中で、私は、ある種のマルサスの乖離、つまり物理科学と技術が幾何級数的な速度で成長するのに対し、数学は算術級数的な速度で成長するという可能性があるという懸念を表明したのを覚えています。確かにそうなのかもしれないと彼は言った。しかし、その後の議論で、私たちは二人とも、数学的手法が正確な科学において長い間概念的な影響力を維持するだろうという希望を持ち続けました。

論文 [7]2 は、von Neumann、Hilbert、Lothar Nordheim の共著です3。その序文によれば、それは1926年の冬にヒルベルトが量子論の新しい展開について行った講義に基づいており、ノルトハイムの助けを借りて完成された。序文によれば、この論文の重要な数学的な部分と議論はフォン・ノイマンによって行われた。

この論文の目的は、古典力学の厳密な関数関係ではなく、確率関係を導入することです。また、ジョーダンとディラックのアイデアを、かなりシンプルでわかりやすい方法で提示しています。 30 年経った今日でも、フォン・ノイマンの論文とその後の研究の歴史的重要性と影響は、決して過大評価されることはありません。ヒルベルトの偉大な公理化プログラムは、ここでもう一つの重要な応用、すなわち物理理論とそれに対応する数学体系との間の同型性を見出しました。論文の序文では、理論の形式化と物理的な解釈が明確かつ完全に分離されていなければ、理論を理解することは難しいと明確に述べられています。この分離がこの論文の目的ですが、現時点では完全な公理化は不可能であることが認められています。

ここで付け加えておきたいのは、相対論的に不変な量子論の完全な公理化と、その核現象への応用は、まだ達成されていないということだ。 4 この論文では、物理的観測量に対応する作用素計算の概要を説明し、エルミート作用素の特性について説明します。これらは、量子力学の数学的原理（量子力学の数学的原理）の序文を構成します。

量子論と測定問題における統計力学の役割に関するフォン・ノイマンの明確で正確な考えは、彼の論文[10]5に記載されています。彼の有名な著作『量子力学の数学的基礎』では、公理的扱い、測定理論、統計について詳細に議論されています。

量子力学の歴史において、少なくとも 2 つの数学的貢献が重要です。ディラックの数学的処理は、必ずしも数学的厳密さの要件を満たしているわけではありません。たとえば、すべての自己随伴演算子は対角化できると仮定すると、対角化できない演算子に対しては、ディラックの有名な「異常」関数を導入する必要があります。フォン・ノイマンが述べたように、演繹的には、当時のニュートン力学が無限小の逆説的な計算を必要としたのと同様に、量子論は無限に多くの変数の分析の新しい形式を必要とするように思われた。フォン・ノイマンの研究は、そうではないことを示しました。つまり、変換理論は、ディラックの方法に詳細に従うのではなく、ヒルベルトの演算子のスペクトル理論を展開することによって、明確な数学的基礎の上に置くことができるのです。特に、これはヒルベルト、フリジェシュ・リース、シュミットなどの古典理論を超えた、無限演算子に関する研究を通じて達成されました。

2 番目の貢献は、彼の本の第 5 章と第 6 章の大部分を占めています。これは量子論における測定と可逆性の問題に関連しています。ハイゼンベルク、シュレーディンガー、ディラック、ボルンのアイデアが初めてセンセーショナルな成功を収めた当初から、人々は理論における非決定性の役割について疑問を投げかけ、将来発見されれば理論のより決定論的な説明につながる可能性のある「隠れた」パラメータ（潜在変数）を仮定することで非決定性を説明することを提案しました。フォン・ノイマンは、理論によって記述される統計的特徴は、測定を実行する観察者の未知の状態によるものではないことを示しました。観察対象と観察者のシステムは、観察者の正確な状態を受け入れたとしても、不確定な関係につながります。これは、物理量がヒルベルト空間内の演算子とどのように関連付けられるかという一般的な性質に関する先験的な仮定の結果であることが判明しました。 6

この研究は間違いなく最初の、そして最も重要な貢献であり、数学者に優しく技術的にも興味深い形で新しい量子理論のアイデアを提示しています。なぜなら、この本はもともと物理学者によって考案された理論を合理的に提示しようとするからです。物理学者は、誰もが理解できるわけではない直感に頼っていました。それはまた大きな教育的価値も持っています。この研究が、後に発見されたより不可解な物理現象に対して新しい物理的アイデアを導入したかどうかは断言できないが、結局のところ、当時シュレーディンガー、ハイゼンベルク、ディラックらによって構築された量子論はまだ不完全な理論的骨組みにすぎなかったが、フォン・ノイマンは少なくとも、その厳密な取り扱いのための論理的かつ数学的に明確な基礎を提供した。

解析、数値計算、流体力学

フォン・ノイマンは初期の論文[33]7で、変分法におけるラドーの基本補題を単純な幾何学的構成によって証明した。 (補題は、関数 z = f(x, y) が定数 Δ に対して Lipschitz 条件を満たすのは、与えられた関数によって定義された表面の境界と 3 点以上で交差する最大傾斜角 Δ よりも大きい最大傾斜角 Δ を持つ平面が存在しないときである、と述べています。) この論文は、その証明方法に直接的な幾何学的視覚化が含まれているという点でも興味深いもので、これはフォン・ノイマンの出版された著作では珍しいことです。

論文[41]9は、過去四半世紀における数学的解析における最も注目すべき成果の一つである。それは、統計力学におけるエルゴード仮説の厳密な扱いという、この分野全体で初めての正確な数学的結果をもたらしました。フォン・ノイマンは、ハミルトン力学系の研究をヒルベルト空間の演算子の研究に還元できることを発見したバーナード・クープマン10 に触発されました。フォン・ノイマンはクープマンの表現を用いて、現在では弱エルゴード定理と呼ばれる定理を証明した。これは、測度空間上の反復された測度保存変換の関数の平均が測度において収束することを述べている。この定理はすぐに GD バーコフによってほぼどこでも収束する形で補強され、古典統計力学の最初の厳密な数学的基礎を提供しました。この分野におけるその後の発展と、これらの結果の多くの一般化はよく知られているため、ここでは説明しません。繰り返しになりますが、この成功は、フォン・ノイマンが集合論における解析的手法を熟知していたことと、ヒルデスハイム空間上の作用素に関する独自の研究が組み合わさったことによるものでした。

一般的な意味で現代の分析を使用して非常に正確に研究できる数理物理学の別の領域があります。この場合も、最初は大きな進歩がありましたが、もちろん、物語はまだ終わっていません。統計力学の基礎を数学的に扱うことは、古典力学に関する限り、まだまだ十分ではありません。エルゴード定理と計量的に推移的な変換11 の存在についての知識は非常に重要ですが、これらの事実は主題の基礎にすぎません。フォン・ノイマンは会話の中で、この分野の将来の進歩は、この主題のその後の部分を満足のいく数学的処理を与えるような定理にかかっているという気持ちをしばしば表明していた。ボルツマン方程式には完全な数学理論が必要であり、システムが平衡に近づく速度には正確な定理が必要でした。

フォン・ノイマンの論文[86]14は、おそらくその知名度ほど高くはないが、近似問題と数値計算に対するフォン・ノイマンの関心の高まりを示している。私の意見では、それはかなりの教育的価値があると思います。彼は、N が大きい場合の有限個の N×N 行列の特性と、N 次元複素ユークリッド空間上のすべての線形演算からなる空間の挙動を研究しました。この記事は簡潔で、序論では、極限ケース（つまり、無限次元ユニタリ空間、つまりヒルベルト空間）を研究するためのこの漸近的方法が、通常の方法に比べて不当に無視されてきたことが明確に指摘されています。 （奇妙なことに、この発言は彼が著書『量子力学の数学的基礎』の序文で述べている見解とほぼ正反対である。）

要約すると、この論文では次の質問について議論します。m が N に比べて小さく、N の因数である場合、N 次行列のどの行列が m 次行列のように動作するか、または近似的に動作するか。近似動作の概念は、行列空間内の特定のメトリックまたは疑似メトリックの下で正確になります。この論文の基本的な議論の特徴は賞賛に値するが、ヒルベルト空間の研究においては必ずしも明らかではないことを付け加えておきたい。

フォン・ノイマンのアイデアは、バレンタイン・バーグマンとディーン・モンゴメリーとの共著論文[91]15で引き継がれました。この記事には、線形方程式を解くためのさまざまな方法が記載されており、フォン・ノイマンが当時すでに利用可能であった電子機器を使用して計算を実行する可能性を検討し始めていたことがわかります。

戦時中は、応用解析問題に対する迅速な推定と近似結果の必要性が生じましたが、それらは往々にしてそれほど「明確」ではありませんでした。つまり、数学的には「非均質」であり、計算される物理現象の主なプロセスに加えて、多くの外部摂動が関与し、その影響は無視できず、追加変数で分離することさえできません。このような状況は、今日の技術的な問題でよく発生し、少なくとも初期段階では数値手法を使用せざるを得なくなります。これは、高精度の結果が必要というわけではなく、単に定性的な分析を実現するためです。その頃までにフォン・ノイマンの数値解析への関心は大きく高まり、数学の純粋主義者にとっては少々残念なことかもしれないこの事実に気づいた。

HHゴールドスタイン[94]16との共著論文では、高次行列の数値逆行列の問題を研究し、厳密な誤差推定を試み、約150次の逆行列の計算で達成可能な精度に関する興味深い結果を得ました。見積りは「通常の状況下」で得られたものです。 （「一般的に」とは、統計に関する信頼できる仮定の下で、これらの推定値が、確率の低い少数のケースを除いてすべてに当てはまることを意味します。）

数学、物理学、工学における問題を素早く見つけて答える必要性から、高速電子コンピュータが開発されました。副産物として、人々はさらに楽しい仕事をする機会を得られます。ある程度、興味深い整数列に対する人々の好奇心を満たします。最も単純な例は、e と π の小数点以下数万桁以内（無限かつ重複しない）に現れる特定の数列の頻度です。高等研究所の機械で実行されたそのような計算の 1 つでは、連分数展開の最初の 2000 個の部分商として 2 の 3 乗根が得られました。ジョニーは、問題がどんなに単純なものであっても、常にそのような実験的な作業に興味を持っていました。ロスアラモスでこれらの問題について議論しているとき、彼は連分数形式を計算できる「興味深い」数字を求めました。 4次の無理数yが与えられます。これは、方程式y=1/(x+y)で与えられます。ここで、x=1/(1+x)です。拡張すると奇妙なパターンが現れる場合があります。他にも多くの数値を計算する計画がありましたが、この小さなプロジェクトが実際に実行されたかどうかはわかりません。

ゲーム理論

ゲーム理論は、今日急速に発展している数学の分野における新たな章となっており、本質的にはフォン・ノイマンによって開拓されました。この分野における彼の基礎研究は、この雑誌の同号に掲載されるAW TuckerとHW Kuhnによる論文で発表される予定である18。これらの研究は彼の最も豊かで影響力のある仕事を反映していると言っても過言ではないでしょう。

1921 年、エミール・ボレルは Comptes-Rendus のノートで、2 人のプレーヤーのゲーム戦略に関する数学的スキームを初めて提案しました。この学問分野の実際の確立は、フォン・ノイマンの論文[17]19に端を発すると考えられている。この論文でフォン・ノイマンは基本的な「ミニマックス」定理を証明し、n 人のプレイヤー (n ≥ 2) 間のゲームの一般的なスキームを定式化しました。これらのソリューションは、経済学などの分野における実用的なゲームへの重要性と応用に加えて、純粋に数学的な意味で多数の新しい組み合わせ問題も生み出しました。 Min Max = Max Minという定理と、多変数関数の鞍点の存在に関する系は、1937年の論文[72]20に記載されている。これらは、ブラウワーの不動点定理と次の幾何学的事実の一般化であることが示されています。S、Tを2つとします。

閉じた部分集合Sの各要素xに対して、集合Q(x)={y:(x, y)∈V}が空でない凸閉集合であると仮定する。同様に、T の各要素 y に対して、集合 P(y)={x:(x, y)∈W} が空でない凸閉集合である場合、集合 V と W には少なくとも 1 つの共通点があります。この定理は、後に角谷静夫、ジョン・ナッシュ、ジョージ・W・ブラウンらによってさらに発展させられ、「良い戦略」の存在を証明する上で中心的な役割を果たしました。

ゲーム理論は、現在の無限ゲームの研究（1930 年頃にポーランドのスタニスワフ・マズールによって初めて提唱）を含め、急成長を遂げています。ゲーム理論への貢献[102;113;114]21の3巻に収録されている研究を一目見るだけで、この分野の思想の豊かさ、つまり純粋に数学的な意味での独創的な表現の多様性と重要な応用の増加が十分にわかります。簡単に述べられているが未解決の問題も数多くあります。

経済

オスカー・モルゲンシュテルンとジョン・フォン・ノイマンの古典的な論文「ゲーム理論と経済行動」[90]22は、ゲーム理論を純粋に数学的な形で解説し、実際のゲームへの応用を詳細に説明しました。また、経済行動や特定の社会学的問題に対するさまざまなアプローチを紹介し、経済理論におけるいくつかの基本的な問題についても議論しました。プリンストン大学時代のフォン・ノイマンの長年の友人であった経済学者オスカー・モルゲンシュテルンは、経済状況のあらゆる側面、特に2人以上の間での商品の交換、独占、寡占、自由競争の問題に興味を持っていました。これらのプロセスの数学化を議論する試みの中で、理論は現在の形を取り始めました。

オペレーションズ・リサーチ、コミュニケーション問題、およびアブラハム・ウォルド23 の統計的推定理論における現在の多くの応用は、このモノグラフで提案されたアイデアや概念から派生しているか、またはそれらを利用しています。この記事では、これらの調査の範囲を概説することすらできません。興味のある読者は、レオニード・ハーヴィッツ24 の著書「経済行動の理論」25 とジェイコブ・マーシャク26 の著書「ノイマンとモルゲンシュテルンの静学的経済学への新しいアプローチ」27 でこれらの問題に関する説明を読むことができます。

力学、連続体力学、気象計算

S.チャンドラセカールとの共著2つの論文[84と88]28では、次のような問題が検討されました。星団や星雲内の多くの星のように質量の中心がランダムに分布しており、これらの巨大な物体が運動して互いに引き合っていると仮定します。問題は、重力場の変動の統計的結果を探り、さまざまな局所分布の変化によって影響を受ける個々の質量の動きを研究することです。最初の論文では、彼らは巧みな計算によって重力の分布関数の変動率の問題を解き、確率分布の一般公式 W(F, ƒ) を得ました。ここで、F は重力場の強度であり、関連する変化率 ƒ は時間に関する F の導関数です。得られた結果には、次の定理が含まれます。弱い磁場の場合、特定の瞬間に作用する磁場の変化の確率は、初期磁場の方向と大きさとは無関係です。一方、強い磁場の場合、初期磁場の方向が変化する確率は、垂直方向が変化する確率の 2 倍になります。

2 番目の論文は、恒星の重心が周囲の恒星に対して速度 V で移動するときに、恒星に作用する重力の単位質量あたりの変動率の統計分析に焦点を当てています。この問題は、星が均一なポアソン分布を持ち、局所的な速度が球状であるという仮定の下で解決されました。彼らはまた、異なる質量の一般的な分布についてもこれを解き、非常に近い2点に作用する重力の式を与えました。この方法は、空間相関の漸近的な挙動を与えます。

フォン・ノイマンは長い間、乱流現象に興味を抱いていた。 1937 年にナビエ-ストークス方程式の統計的処理の可能性について議論があったことを覚えています。この処理により、これらの偏微分方程式を、ラグランジアン関数のフーリエ展開におけるフーリエ係数が満たす無限の数の全微分方程式に置き換えることで、流体力学の解析が可能になりました。 1949 年にフォン ノイマンが海軍研究局のために執筆した謄写版印刷のレポート「乱流に関する最近の理論」は、ラース オンサーガーとアンドレイ コルモゴロフのアイデアや当時の他の研究に対する洞察に満ちた明確な入門書です。

第二次世界大戦の勃発とともに、フォン・ノイマンは圧縮性気体の運動によって生じる問題、特に衝撃波などの不連続な挙動によって生じる不可解な現象を調査しました。

この分野における彼の研究の多くは、国家防衛活動で生じる問題を解決することを目的としていました。これらはレポートの形で公開されており、その一部は付録に記載されています。 （編集者注：元の記事を参照してください。）

この分野における彼の豊かで多様な業績を要約することは不可能ですが、その多くは彼の鋭い分析力といつも明快な論理を反映しています。衝突衝撃相互作用の理論に対する彼の貢献は特に注目に値する。その結果、彼は爆発過程、すなわち衝撃によって引き起こされる燃焼過程に関するチャップマン・ジュゲ仮説を初めて厳密に実証しました。

衝撃波反射の理論に関する最初の体系的な研究もフォン・ノイマンによるものでした (衝撃波理論の進捗報告書、NDRC、Div.' 8、OSRD、No. 1140、1943 年; 衝撃の斜め反射、海軍省、爆発物研究報告書第 12 号、1943 年)。

前述したように、2 次元または 3 次元での圧縮性媒体の動きの定性的な分析でさえ、現在の明示的な分析の能力を超えています。さらに悪いことに、そのような物理現象を記述する理論の数学的基礎はまだ確立されていない可能性がある。フォン・ノイマンの視点は[108]29のコメントでよく表現されています。

「数学的推論によって発見された解が実際に自然界に存在するかどうか、また、良い特徴または悪い特徴を持つ特定の解の存在を事前に排除できるかどうかは、かなり難しく曖昧な問題です。この問題は、古典的な文献と最近の文献の両方で研究されてきましたが、厳密さ、さらにはアプローチの粗さにおいて大きく異なります。つまり、この分野で何かを確信することは非常に困難です。数学的に言えば、解の存在と一意性を求める一般的な定理は一度も証明されておらず、その見かけの形で間違っている可能性が高いため、私たちは常に不確実な状態にあります。」

彼は次のように書いた。

「したがって、不連続性を考慮し、合理的な熱力学的挙動を要求するなど、流体力学にはさまざまな数学的可能性があります。合理的に述べられたすべての問題に 1 つの解しかない条件セットが存在する可能性があります。ただし、それが何であるかは推測することしかできません。その解を探すには、ほぼ完全に物理的な直感に頼る必要があります。したがって、どの点についても確信を持つことはできません。また、どれだけ自信を持っても、得られた解が自然界に存在するはずの解であるとはほとんど言えません。」

これらの困難な問題に対する経験的な洞察を得るためだけにでも、特殊な条件下での数値作業に頼らなければなりません。一連の報告書の中で、フォン・ノイマンは最適な数値手順、差分スキーム、計算スキームの数値安定性などの問題について議論しました。特に注目すべきは、ロバート・D・リヒトマイヤーとの共著論文[100]30である。この論文では、衝撃条件や不連続性を特に扱わないようにするために、純粋に数学的な架空の粘性を導入し、衝撃運動について明示的な仮定を立てることなく、通常の流体力学方程式に従って衝撃運動を段階的に計算することを可能にした。

地球の大気の動きを支配する流体力学方程式によってもたらされる困難な数学的問題は、フォン・ノイマンを長い間魅了してきました。コンピュータの出現により、問題の少なくとも簡略化されたバージョンについて詳細な数値研究を実施することが可能になり、彼は大規模なプロジェクトに着手しました。プリンストン高等研究所に気象研究グループが結成され、大気の真の性質にどんどん近づくモデルを使用して、数値的な気象問題を徐々に解決していくという計画が立てられました。現在、真の 3 次元運動の数値研究は、最先端の電子コンピュータであっても非現実的です。 （これは、たとえば 5 年後には当てはまらなくなるかもしれません。編集者注: この記事は 1958 年に執筆されました。）

フォン・ノイマンによって始められた最初の高度に様式化された計算は、主にいわゆる地衡近似を用いた 2 次元モデルを扱っていました。その後、異なる高度や圧力レベルの相互作用に対応する 2 つまたは 3 つの 2D モデルを想定することで、いわゆる「2 + 1/2」次元の流体力学計算を実行できるようになりました。この問題は、それ自体が数学的な興味の対象であるだけでなく、解決が成功すれば莫大な技術的影響をもたらす可能性があるため、彼にとって非常に重要な問題であった。彼は、コンピューターの発達と、大気のプロセスを制御する力学に関する理解によって、天気予報のレベルに近づいていると考えています。彼はまた、人類が気候に影響を与えるプロセスを理解し、計算し、そして最終的には制御し、変えることができると信じていました。

彼は論文[120]32の中で、近い将来、既存の膨大な原子力エネルギー資源を利用して「地球そのもの」と同じ規模の大気循環の変化を生み出すことが可能になるだろうと推測した33。すでに物理現象の理解を可能にしているこのような問題では、将来の数学的解析によって人類が自然を制御する能力を大幅に拡大できるようになるかもしれません。

コンピュータ理論と実践、モンテカルロ法

フォン・ノイマンの数値計算への興味はさまざまな源から生まれました。一方では、それは数理論理学と集合論における形式主義の役割に関する彼の初期の研究に由来しており、若い頃の彼の研究は数学を有限のゲームとして見るヒルベルトのプログラムを広範囲に扱っていました。もう一つの同様に強い動機は、古典物理学におけるエルゴード理論の純粋に理論的な研究や量子論への貢献など、数理物理学の問題に関する研究から生まれました。流体力学や原子力技術におけるさまざまな種類の連続媒体力学の出現により、計算上の問題に直接つながる実用的な問題がますます多く反映されています。

フォン・ノイマンの乱流問題、連続媒体の一般力学、気象計算への関心について簡単に説明しました。ロスアラモス プロジェクトの初期段階で、分析作業だけでは定性的な回答を得るのにさえ不十分であることが明らかになったことを私はよく覚えています。多くの問題では、デスクトップ計算機を使用したとしても、手作業による数値計算では解決に許容できないほど長い時間がかかります。この状況がフォン・ノイマンにとって最終的な動機となり、彼はコンピューターに電子機器を使用する研究に専念することになったようです。

フォン・ノイマンは数年にわたり、流体力学の多くの問題、つまり衝撃波の挙動と伝播、および非線形偏微分方程式で記述される現象が大きな変位を伴う場合（つまり、真の記述に近づくのに線形化が不十分な場合）には、将来の理論に経験的材料を提供するために数値的な作業が必要であると主張していた。

この究極の必要性から、彼は電子機械による計算の問題を基礎から研究せざるを得なくなり、1944年から1945年にかけて、一連の数学的手順をコンピューターのコマンド言語に変換するという、現在使用されている基本的な方法を編み出しました。当時の電子コンピュータ (ENIAC 34 など) には、数学の問題を処理するために現在利用できる柔軟性と汎用性が欠けていました。大まかに言えば、機械が所定の操作を所定の順序で実行できるようにするには、それぞれの問題に特別で異なる配線システムが必要です。フォン・ノイマンの大きな貢献は、「フロー図」と「コード」という概念を提案したことです。前者は、マシンの接続や回路を固定的でありながら非常に一般的なものにします。後者は、この固定接続のセットを使用してさまざまな問題を解決できるようにします。後から考えれば、そのような取り決めを思いつく可能性は数理論理学者にとっては明らかだったかもしれないと言えますが、当時の電子技術を考えると、そのような一般的なアプローチを実装して実行することは決して容易ではありませんでした。

これらの方法が登場してから 10 年が経った今日でも、数理物理学の問題から生まれたこのような理論的実験によって切り開かれる大きな可能性を過小評価するのは簡単です。この分野はまだ新しいため、予測を立てるのは危険に思えますが、流体力学、電磁流体力学、量子論計算など多くの分野では、膨大な理論実験が蓄積されており、これらの計算から満足のいく包括的な理論が得られることが期待できます。

コンピュータのエンジニアリング設計は主にフォン・ノイマンによるものです。マシンの論理的構成、メモリの相対的な役割、動作速度、基本的な「コマンド」の選択、現在のマシンの回路はすべて、彼のアイデアによって深く特徴づけられています。フォン・ノイマンは、プリンストン高等研究所で電子コンピュータの構築を自ら監督し、関連する工学的問題に精通し、新しい実験のためにこのツールを習得しました。マシンが完成する前（予想よりも時間がかかりましたが）でも、彼はロスアラモスの問題のいくつかをマシンに設定し、大量の計算を実行しました。そのうちの 1 つは、10 億を超える基本的な算術演算と基本的な論理コマンドを含む、熱核反応のプロセスに関する問題です。この質問は、実際には、反応伝播の問題に対して「はい」または「いいえ」の答えを出すことです。最終的なデータが完全に正確であるかどうかは気にしませんが、元の質問に対する答えを得るには、すべての中間計算と詳細な計算が必要であると思われます。実際、問題のいくつかの要素の動作を推測し、手計算と組み合わせることで、最終的な答えを明らかにするのに大いに役立ちます。この直感的な推定値の信頼性を高めるには、大量の計算作業を実行する必要があります。この状況は、数理物理学や現代技術における特定の新しい問題を解決する際に非常によく見られるようです。これらの現象を説明するのに天文学的な精度は必要ありません。場合によっては、行動が「最大 10%」の精度で予測できれば、人々は十分に満足します。しかし、計算プロセスでは、各ステップを可能な限り正確に保つ必要があります。基本的なステップの数が膨大であるため、最終結果を推定する際の信頼性の問題、および数学的手法とその計算実行の固有の安定性の問題が生じます。

Von NeumannがAtomic Energy CommissionのFermi賞を受賞したとき、それは特に、核科学技術の多くの分野で有用な計算を実行するための電子機械の開発への彼の貢献に特に注目しました。

電子コンピューターは、手動の計算よりも数千倍速く計算できます。これは、古典的な意味での数値分析だけでなく、数学分析自体のプロセスの基本原則においても、多くの完全に新しい方法を生じさせています。これをフォン・ノイマンよりもよく理解した人はいませんでした。

小さな例を使用して、いわゆるモンテカルロ法を使用してこれを説明できます。手動計算やリレーのために過去に開発された数値分析方法は、電子コンピューターに必ずしも最適ではありません。たとえば、基本機能テーブルを使用するのではなく、必要な値を直接計算する方が明らかに経済的です。第二に、積分を見つけるために積分方程式を単純化する必要がある問題については、手動で実装することさえできないが、新しいマシンでは完全に実現可能ないくつかの非常に複雑なアルゴリズムを介して解決できるようになりました。

第二次世界大戦後の数年間、フォン・ノイマンは、基本的な代数または超越機能を計算するための「サブルーチン」などの数十のコンピューティング技術を発明しました。補助方程式の解決など。ちなみに、この作業の一部は、数学コミュニティではまだ一般的に知られていませんが、業界や政府プロジェクトでコンピューターを使用する研究者には非常に馴染みがあります。この作業には、マトリックスの固有値と逆マトリックスを見つける方法が含まれています。多変数関数の極値を検索するための簡潔な方法。および乱数の生成。作品の多くは、数学論理と演算子理論の初期の研究の典型的な組み合わせの器用さを示しており、その一部は名手として説明することさえできます。

19世紀に望まれた数学物理学の原則の数学的声明の単純さは、現代の理論では顕著に欠けているようです。基本的な粒子の戸惑う品種と豊かな構造の発見は、数学的な全体性の早期の希望を延期したように思われました。適用された物理学と技術的な問題では、異なるシステムの混合物を数学的に提示する状況に対処する必要があります。たとえば、動作が機械的方程式によって支配されるだけでなく、部分的な微分方程式によって記述された電界を相互作用する粒子のシステムです。または、中性子のシステムに加えて、中性子を生成するプロセスの研究では、システム全体と相互作用するこれらの粒子から分離された他の物質の流体のダイナミクスと熱力学的特性を考慮する必要があります。

組み合わせの観点だけで、部分的な微分方程式と積分方程式を扱う際の分析的な難しさは言うまでもありませんが、現在、閉形型ソリューションを見つける希望がほとんどないことは明らかです（閉形型ソリューション35）。したがって、これらのシステムのプロパティを探索するために、定性的にのみ、人々は実用的な方法を探すことを余儀なくされます。

私たちは、大まかに言えば、電子コンピューターによって処理された「粒子」の架空のシステムによって表される可能性のある数学的パターンで、特定の物理的問題の同性的なイメージを見つけるために、そのような方法を探すことにしました。このアプローチは、多数の独立変数の機能を含む問題に特に役立ちます。このモンテカルロ法の非常にシンプルな具体的な例を示すために、一連の不平等によって記述された特定のN次元の「キューブ」のサブ地域の体積を推定する問題を考えてみましょう。一般的なアプローチは、スペースを体系的にポイントのグリッドに分割して目的の体積を近似することであり、このアプローチにより、均一な確率で空間内のいくつかのポイントをランダムに選択し、特定の領域に属するこれらのポイントの数を（機械的に）決定することができます。確率理論の基本的な事実によれば、十分な数のサンプルポイントが使用されている限り、この比率は私たちが望む確率で1に近づき、したがって相対量のおおよその値を与えます。

わずかに複雑な例として、拡散粒子が部分的に反射され、部分的に吸収される湾曲した表面に囲まれた空間の領域の拡散問題を考慮してください。この領域のジオメトリが複雑な場合、整数違いの方程式を古典的に解決しようとするのではなく、多数の「物理的に」ランダムなウォークを実行しようとする方が経済的かもしれません。これらの「ウォーク」はマシンで便利に実行でき、確率理論でのランダムウォークの処理は微分方程式に還元されます - このプログラムは実際には正反対です。

このアプローチのもう1つの例は、一連の機能方程式を与えられ、それらを確率的またはゲーム理論的解釈を持つ同等の方程式に変換しようとすることです。これらの同等の方程式は、ランダムプロセスを表すためにコンピューターでシミュレートされ、結果の分布は元の方程式の解について合理的な推測を与えます。さらに、問題の物理システムの挙動の「同型」を直接得ることが望ましい。現在研究されている多くの物理的問題では、特定の理想化によって元々得られた微分方程式は、いわばもはや神聖なものではないことを指摘する必要があります。少なくとも、これらのシステムのモデルをコンピューターで直接研究することは、ヒューリスティックな価値があるかもしれません。

戦争の終わりとその後の数年間、フォン・ノイマンと私（この記事の著者）は、このアプローチを使用してかなりの数の問題を扱いました。当初、身体的状況自体は、確率的解釈の問題を直接提起します。その後、上記の3番目のタイプの問題が研究されました。この数学モデルの理論はまだ非常に不完全です。特に、変動と精度の推定は開発されていません。この点で、Von Neumannは、適切なゲームを通じて特定の確率分布を持つ一連の数値を生成するなど、多数の独創的な方法を再び提供しました。彼はまた、流体ダイナミクスにおける厳密に決定的な問題のために、ボルツマン方程式と重要な確率モデルを治療するための確率モデルを考案しました。この作業のほとんどは、さまざまなラボレポートに散らばっているか、原稿形式に残っています。近い将来、数学コミュニティに体系的に編集された論文のコレクションを公開したいと考えています。

オートマトン理論と確率論的論理

クロード・E・シャノン教授の記事「フォン・ノイマンのオートマトン理論への貢献」は、オートマトン理論で彼の作品を紹介しています。この作品は、ゲーム理論と同様に、過去数年にわたって幅広くますます広範な研究に影響を与えました。ここでは、数学的論理、コンピューター、数学的分析への彼の関心と、数学の物理学の問題に関する知識と相まって、新しい構造に実を結びました。 Alan Turing、Warren McCulloch、およびWalter Pittsのアイデアは、電気ネットワークまたは理想化された神経系を介した論理的命題を表現することで、彼がオートマトンの一般的な理論を提案し、概説するように促しました。理論の概念と用語は、数学、電気工学、神経科学など、いくつかの異なる分野に由来しています。これらの研究は、おそらく最初は非常に単純化されたレベルで、より多くの数学的な成果につながることを願っています。これは、生物の働きと神経系自体を形式化することです。

原子力 - ロスアラモスでの作業

第二次世界大戦の発生直前に、人々はニュターンを吸収し、より多くの中性子を放出するウラン原子の核分裂現象を発見しました。多くの物理学者は、大量のウランが指数関数的に反応し、膨大な量のエネルギーを放出することにすぐに気付きました。そこで彼らは、新しいエネルギー源の使用を実現するために、この現象を定量的に評価する方法について議論し始めました。

数学者と比較して、理論的医師はより小さく、より密接に編まれたグループを形成し、一般的に結果とアイデアをより迅速に交換します。ボン・ノイマンの量子理論の基礎に関する研究は、彼を主要な物理学者のほとんどと早期に接触させ、新しい実験的事実を認識させ、最初から核分裂現象に隠された巨大な技術的可能性についての憶測に参加しました。戦争の勃発前、彼はすでに国防の問題に関連する科学的研究に従事していました。しかし、オッペンハイマーが彼をコンサルタントとしてロスアラモス研究所を訪問するように彼を招待し、原子爆弾を建設するという究極の目標を持って仕事に参加し始めたのは1943年後半でした。

誰もが知っているように、1942年12月2日にフェルミ率いる物理学者チームによってシカゴで最初の自立した核連鎖反応が達成されました。彼らは、ニュターンが減速してさらなる核分裂を開始する可能性を高めるモデレーター材料と一緒にウランを配置する原子炉を構築しました。原子炉は非常に大きく、中性子の数がE時間まで指数関数的に増加するまでに比較的長い時間がかかります。ロスアラモスで確立されたプロジェクトの目標は、非常に少量の同位体のウラン-235またはプルトニウムの同位体で非常に迅速な反応を引き起こすことです。 1943年の晩春に、科学チームが形成され始め、その年の秋までに、多数の傑出した理論的および実験的物理学者がロスアラモスに定住しました。 von Neumannが到着したとき、グループは皮膚材料を臨界質量に組み立てるさまざまな方法を研究していました。オプションのいずれも、それらが成功するかどうかを事前に把握できません。 1つの問題は、核反応が軽度または中程度の爆発を引き起こす前にそれらを迅速に組み立てることです。そうしないと、核電荷のほとんどが無駄になります。

エドワード・テラーは、ジョニーがラミー（ロスアラモスに最も近い駅）に到着し、公式の車に「丘」（ロスアラモスの町、プラトーにある）に連れて行かれたことを覚えています。

「彼が到着したとき、調整評議会はセッション中でした。私たちのリーダーであるオッペンハイマーはオタワ会議について報告していました。彼のスピーチは、最も重要な人と同様に重要な決定について言及しました深い声（誰の源泉が歴史に失われた）は言った：「山で靴屋を見つけることができますか？」当時、ジョニーと科学的な質問は議論されていませんでしたが、彼はその瞬間からロスアラモスの性質を完全に理解していたと主張しました。」

職場の雰囲気はとても活気がありました。技術的または工学的研究所と比較して、ここの雰囲気は非公式で探索的であり、したがって、大学のセミナー、いわば科学的議論の抽象的なスタイルのようなものでした。ロスアラモスに到着したときの私の驚きを鮮明に覚えています。環境は、明確で実用的なプロジェクトに取り組んでいるエンジニアよりも抽象的な推測を議論している数学者のグループを連想させていることを発見しました。科学的に言えば、この状況の印象的な特徴は、発生した問題の多様性であり、それぞれがプロジェクトの成功にとって同様に重要です。たとえば、空間と時間における指数関数的に増加している中性子の分布の問題。同様に重要な問題には、原子爆弾のコア電荷の核分裂によって引き起こされる増加するエネルギー堆積の問題、爆発の流体力学の計算が含まれます。放射線の形でのエネルギーの分布。そして最後に、原子爆弾の後の周囲の材料の動きは、その臨界状態を失います。これらの問題のすべてを理解することが重要です。これらは、数学の非常に異なる領域を含むものです。

ここでは、フォンノイマンの貢献について詳細な説明をすることはできません。比較的重要な側面を指摘しようとします。 1944年初頭、私たちは核分裂性材料の組み立てのための崩壊法を検討しました。このプロセスには、核電荷への球状の影響が含まれ、それを圧縮します。 Von Neumann、Hans Bethe、およびTellerは、このアプローチの利点を最初に認識しました。 TellerはVon NeumannにSeth Neddermeyerの実験的作業について話し、球形の幾何学でこの根本的な結果を解決するために協力しました。 Von Neumannは、この方法が大きな圧力を生み出す可能性があると結論付け、議論の過程で、大きな圧力がかなりの圧迫が来たことが明らかになりました。爆発を十分に対称的に開始するには、内部に届けられた高い爆発物を複数の点から同時に爆発させる必要があります。ジェームズ・タックとフォン・ノイマンは、この実現を支援するために高爆発レンズの使用を提案しました。

私たちは以前、Von Neumannの物理学者とコミュニケーションをとる能力について言及しました。彼は物理学者の言語を理解し、ほとんどすぐにそれを数学者に馴染みのある形に翻訳することができました。この能力は、おそらく数学者の間では非常にまれです。その後、彼は答えを物理学者が一般的に使用する言語に戻すことができました。

爆発によって引き起こされる動きを計算しようとする最初の試みは、非常に概略的でした。関与する核電荷の状態の方程式はよく理解されていませんが、粗い数学的近似でさえ、解決策が明らかに正確な分析方法の範囲を超えている方程式が導き出されます。正しい定量的結果を得るためには、多くの退屈な数値作業を行う必要があり、この時点でコンピューターが必要な補助ツールとして表示されることは明らかです。

より複雑な問題は、核爆発の特性の計算です。放出されるエネルギーは、エネルギー堆積速度、材料の熱力学的特性、極端に高温で生成される放射などの因子によって制約される外向きの動きに依存します。最初の実験では、おおよその計算のみに満足する必要がありました。前述のように、コンピューターの複雑な計算がなければ、マグニチュードの順序でも推定するのは簡単ではありません。戦後、リソースを節約し、その使用を最大化するために、人々はより正確な計算のためにコンピューターを使用する必要性を提案しました。 Von Neumannは、検討中の身体的問題の数学的扱いに多大な貢献をしました。

戦争中、研究者は熱核反応の可能性を考慮していたが、最初はいくつかの議論とその後の予備計算で、核核反応を考えていた。 Von Neumannは、この反応を大規模に実現するためのさまざまなスキームを検討した想像力豊かなグループのメンバーとして非常に活発でした。数学的には、この反応とそのコースに必要な条件に対処することに伴う問題は、核分裂爆発の問題よりもさらに複雑です（実際、核分裂爆発の特性を理解することは、熱核反応を研究するための前提条件です）。私たちの議論の1つで、私たちはこの計算のプロセスを概説していました、そして、フォン・ノイマンは私に振り返り、「私たちはおそらくこの計算で、人類が合計で実行したよりも多くの基本的な算術操作を実行している」と言いました。しかし、数年で世界の学童が実行した乗算の総数が明らかに私たちの問題を超えていることに気付きました！

Spaceでは、Von Neumannの多数の小規模な技術的貢献をリストすることはできませんが、プロジェクトに取り組んでいる物理学者やエンジニアに人気がありました。

Von Neumannは、ペンや紙を使用せずに頭の代数的および数値計算と同様に、スケールの推定値と数値計算を行うのが非常に優れていました。この能力は、おそらくチェスを目隠ししてプレイする才能に幾分似ていますが、しばしば物理学者を感動させます。私の印象は、Von Neumannが検討中の物理的なオブジェクトを視覚化するのではなく、その特性を基本的な物理的仮定の論理的結果と見なし、この種の演ductive的推論を完璧に実行できるということです！

Von Neumannの個人的な科学的スタイルの主な特徴は、注意深く耳を傾ける意欲です。パズルが組み合わせの魅力を具体化できる限り、質問がそれほど科学的に重要ではない場合でも、彼はそれに注意を払うでしょう。これは彼を人気にし、数学技術の適用に従事している人々に賞賛されました。彼が話した多くの人々は、人々が自分の問題を簡単に解決できるようにする数学に魔法がなかったという知識によって積極的に助けられたり慰められたりしました。 Von Neumannは、おそらく数学的洞察に役立つかもしれない（そして今日の技術開発でますます一般的になっている）が、彼の時間に深刻な要求をもたらしたかもしれないあまりにも多くの広範囲の活動に無私無欲に関与しました。第二次世界大戦後の数年間、彼は自分が矛盾する要求に苦しんでいることに気づきました。

Von Neumannは、核エネルギーのリリースによって引き起こされる技術革命は、人間の歴史のどの技術的発見よりも、特に科学的発展により大きな変化をもたらすと信じていました。彼は、彼が非常に若いとき、彼は彼の生涯に核エネルギーが発達すると信じており、人間の活動の順序を変えると信じていたと言いました。

彼は、制御された熱核反応の可能性に関する初期の概念と審議に積極的に関与していました。 1954年、彼は原子力委員会のメンバーになり、核分裂反応器の建設と運用に関連する技術的および経済的問題に取り組んでいます。この立場では、彼はまた、数学コンピューターに関する研究を組織し、大学や他の研究センターで利用できるようにする方法を見つけるのに多くの時間を費やしました。

Von Neumannの数学的旅

Von Neumannは数学に非常に多くの永続的なマークを残したので、彼の作品のこの側面をめちゃくちゃに一見して、他の多くの分野での彼の業績の散発的な報道と組み合わさって、彼の作品に連続的なスレッドはありますか？

ポアンカレが言ったように、「私たちが自分自身に尋ねるいくつかの質問、そしていくつかの質問は自然に起こります」。今、偉大なフランスの数学者がこの曖昧な区別をしてから50年後、数学的問題のこの分裂はより明確になりました。数学者が考えるオブジェクトは、通常、いわば、以前の構造の特別な一般化です。これらの理論は、もともと物理的な写真に触発されたことがありましたが、他の理論は自由な数学的な創造物から進化しました。 Von Neumannの考えは、両方の傾向に明らかに影響を受けました。彼の欲求は、物理学やその他の科学の複雑さの高まりに関連する可能性のある錐体数学的構造を可能な限り密接に保つことでした。

18世紀の偉大な数学者、特にオイラーは、多くの自然現象の記述を数学分析の分野にうまく組み込んだ。 Von Neumannの作品は、Set TheoryとModern代数によって開発された数学を同様の役割を果たすようにしようとしました。もちろん、今日はこれははるかに難しい作業です。 19世紀の大半にわたって、無限微積分の開発（微積分の初期の形式）とその後の数学分析は、物理学の発見によって開かれたパンドラの箱の内容をカタログ化するだけでなく、それらを真に理解することの約束を提供しました。この希望は、ユークリッド空間の実数システムが、代わりに、あるいはトポロジー的にさえ、物理理論の唯一の、または最高の数学的基盤であると主張することができなくなるという理由だけで、今では幻想的です。微分および積分方程式と分析機能の理論によって数学的に支配された19世紀の物理的思考はもはや十分ではありません。新しい量子理論には、SET理論の分析的により一般的な見解が必要です。その原始概念自体には、確率分布と無限次元関数空間が含まれます。一方、代数は、実際の数値または複雑な数字のみで表される構造よりも一般的な組み合わせと代数構造の研究を伴います。したがって、この数学を理解するために、Cantorのセット理論を使用し、Hilbert、Hermann Weyl、Emmy Noether、Emil Artin、Richard Brauerなどの人々によって開発された複雑なアイデアのセットを使用できます。

生物科学における最近の基本的な研究に由来する新しいタイプの組み合わせ分析の開発に影響を与えた一般的な数学の別の領域。ここで、現在の一般的なアプローチの欠如はさらに明白になります。これらの問題は本質的に非線形であり、非常に複雑な組み合わせ特性を持っています。決定的で包括的な理論に必要な洞察を得ることを期待する前に、さらに多くの年の実験的およびヒューリスティックな研究が必要になるように思われます。この認識により、フォン・ノイマンは過去10年間でコンピューティングマシンの研究と建設に彼のエネルギーの多くを捧げ、オートマトンの研究のための予備的な概要を開発したことが認識されました。

Von Neumannの作品を振り返り、多くの支部とその広大な拡張で、ヒルバートは次のように言うことができます活力は、その部分の不可分性に正確にあります。

（編集者注：元のテキストの最後の部分では、Von Neumannの名誉とポジションの一部と、著者ULAMが編集した論文のリストを紹介します。必要に応じて元のテキストを読むことができます。）

注記

1.翻訳者のメモ：トーマス・ロバート・マルサス（1766-1834）は、英国の聖職者、人口統計学者、政治経済学者であり、人口理論にとって世界的に有名です。

2. [7] Uber Die Grundlagen der Quantenmechanik。 D.ヒルバートとL.ノルドハイムと。数学。アン。巻。 98（1927）pp。1-30。

3.翻訳者のメモ：Lothar Wolfgang Nordheim（1899-1985）は、量子理論、核物理学、および粒子物理学に貢献したドイツ系アメリカ人の物理学者でした。

4.原子現象の非相対論的量子理論の公理化の現状の優れた簡潔な要約については、ジョージ・マッキーの記事Quantum Mechanics and Hilbert Space、Amerを参照してください。数学。毎月、1957年10月、依然としてフォン・ノイマンの著書数学の数学的基盤に基づいています。

5。Wahrscheinlichkeitstheoretischeraufbauder Quantenmechanik、nachr。 ges。ウィス。 Göttingen（1927）pp。245-272。

6.関係する数学的議論をここで要約することは不可能です。物理学者の大多数は、フォン・ノイマンの提案にまだ同意していました。これは、量子力学の現在の数学的定式化とは異なる理論が隠された変数を許可しないということではありません。より最近の議論については、1957年4月1〜4日、ブリストル大学で開催されたコルストン研究協会の第9回シンポジウムの議事録、コルストンペーパー（第9巻）を参照してください。

7。数学。 SEM。 Hansischen Univ。巻。 8（1930）pp。28-31。

8.翻訳者のメモ：TiborRadó（1995-1965）はハンガリーの数学者であり、プラトーの問題を解決することで有名です。

9. [41]準エルゴード仮説の証明、Proc。ナット。アカデミー科学。 USA Vol。 18（1932）pp。70-82。

10。フランス系アメリカ人の数学者であるバーナード・オスグッド・クープマン（1900-1981）は、エルゴジック理論、確率理論、統計理論、および作戦研究における彼の基本的な研究で知られています。アメリカのオペレーション研究協会の創設メンバーおよび6番目の社長。

11.翻訳者の注：メトリックトランジテーション、参照
https://encyclopediaofmath.org/wiki/metric_transitivity

12. [56]操作性微分方程式のコンパクトソリューションについて。 I. S. Bochnerと。アン。数学の。巻。 36（1935）pp。255-291。

13. [80]フーリエ積分とメトリックジオメトリ。 IJ Schoenbergと。翻訳。 Amer。数学。社会巻。 50（1941）pp。226-251。

14. [86]高有限順序のマトリックスの近似特性、Portugaliae Mathematica Vol。 3（1942）pp。1-62。

15. [91]高次の線形システムの解。 V. BargmannおよびD、Montgomery。 Nord-9596-25、1946年10月、85 pp。

16. [94]高次のマトリックスの数値反転。 HH Goldstineで。ブル。 Amer。数学。社会巻。 53（1947）pp。1021-1099。

17. [109]高次のマトリックスの数値反転、ii。 HH Goldstineで。プロセスAmer。数学。社会巻。 2（1951）pp。188-202。

18.Kuhn、HW、＆Tucker、AW（1958）。ゲームと数学経済学の理論におけるジョン・フォン・ノイマンの仕事。アメリカ数学協会の速報、64（3）、100–123。 doi：10.1090/s0002-9904-1958-10209-8

19. [17] Zur Theorie der esellschaftsspiele、数学。アン。巻。 100（1928）pp。295-320。

20。[72]übereinökonomischesgleichungssystemund eine verallgemeinerung brouwerschen fixpunktsatzes、erg。アイヌスマス。 Coll。、ウィーン、K。Menger編、Vol。 8、1937、pp。73-83。

21. [102]微分方程式によるゲームのソリューション。 GW Brownで、「ゲームの理論への貢献、数学研究のnAnn。」、第24号、プリンストン大学出版局、1950、pp。73-79。

22. [113]最適な割り当て問題に相当する特定のゼロサム2人のゲーム。 「ゲームの理論への貢献、*Vol。II、Ann。ofMath。Studies、No。28、Princeton University Press、1953、pp。5-12。

23. [114]ポーカーの2つのバリアント。 DG GilliesとJP Mayberryを使用。 「ゲームの理論への貢献」、Vol。 II.アン。数学の。研究、いいえ。 28、プリンストン大学出版局1953、pp。13-50。

24. [90]ゲームと経済行動の理論。 O. Morgensternと。プリンストン大学出版局（1944、1947、1953）625 pp。

25.翻訳者の注：アブラハム・ウォルド（1902-1950）は、ルーマニア系アメリカ人の統計学者でした。生存者のバイアス問題は、第二次世界大戦中の航空機の損傷の問題で考慮されました。

26.翻訳者のメモ：2007年のノーベル経済賞の受賞者であるレオニード・ハーウィッチ（1917-2008）は、メカニズムの理論設計の先駆者でした。

27.アメリカ経済レビューVol。 35（1945）pp。909-925。

28.翻訳者のメモ：ジェイコブ・マルシャクはエコノミストであり、西洋情報経済学の創設者の一人です。 1959年、彼は「情報経済学者のレビュー」を発表し、情報経済学の誕生をマークしました。

29。Journal of Political Economy Vol。 54（1946）pp。97-115。

30. [84]星のランダムな分布から生じる重力場の統計、I。S。Chandrasekhar。 The Astrophysical Journal Vol。 95（1942）pp。489-531。

31. [88]星のランダムな分布から生じる重力場の統計。 II.変動の速度 '、動的摩擦*、空間相関。 S. Chandrasekharと。 The Astrophysical Journal Vol。 97（1943）pp。1-27。

32. [108]宇宙空力の問題の存在と一意性または多重性の説明（第10章）の議論、1949年8月16〜19日、パリで開催された宇宙的次元の宇宙的次元の動きの動きに関するシンポジウムの議事録。 Office、1951、pp。75-84。

33. [100]流体力学的ショックの数値計算の方法。 Rd Richtmyerと。 Journal of Applied Physics Vol。 21（1950）pp。232-237。

34。ジュール・チャーニーは気象の問題について彼と緊密に協力した。 [104]順圧渦度方程式の数値統合を参照してください。 JG CharneyおよびR. Fjortoftと。 Tellus 2（1950）pp。237-254。

35. [120]テクノロジーを生き残ることができますか？、フォーチュン、1955年6月。

36. Translator's Note：この引用は、シェークスピアのThe Tempestから「The Great Globe自体」を借りています。

37.翻訳者のメモ：ENIAC、そのフルネームは電子数値積分器とコンピューターであり、1946年2月14日に米国で生まれました。ENIACは、ABC（Atanasoff-Berryコンピューター）と最初の汎用コンピューターに次いで2番目の電子コンピューターでした。これは、さまざまなコンピューティングの問題を解決するためにプログラムできる完全な電子コンピューターです。

38.翻訳者の注：閉じたソリューションについては、参照してください
https://mathworld.wolfram.com/closed-formsolution.html

39.Hubert：Problèmesfuturs desMathématiques、Comptes-rendus、2èmeCongresInternational deMathématiques、パリ、1​​900。

この記事は、S。Ulam、John von Neumann 1903-1957、Bullから翻訳されたCreative Commonsライセンス（CC BY-NC 4.0）に基づいています。 Amer。数学。社会64（1958）、1-49、元のリンク：

https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.PDF

制作：中国科学普及協会

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