混乱に関して、水素爆弾の父ウラムは何をしたのでしょうか？

明確な意味での「カオス」の定義が出てくる前に、ウラムは初期の研究である現代エルゴード理論について詳細な研究を行い、広範囲にわたる疑問を提起し、アルゴリズムを提示し、収束を推測して、計算エルゴード理論という新しい分野を切り開きました。ヨーク氏とその協力者による「存在」の数学的証明に基づいて、中国系アメリカ人の数学者ティエンヤン・リー氏は、不変密度関数を計算する数値的手法を独自に提案し、その収束を証明した。彼は計算エルゴード理論の先駆者でもあります。

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

偉人はユーモア作家であることが多い。水素爆弾の父、スタニスワフ・ウラム（1909-1984）はかつてこう言った。「カオスの研究を『非線形解析』と呼ぶのは、動物学を『象以外の動物の研究』と呼ぶようなものだ。」

実際、決定論的な意味での「カオス」の定義は 1970 年代半ばまで導入されませんでしたが、その「エルゴード性」の探求は 45 年前に始まりました。1930 年代初頭のフォン・ノイマンの平均エルゴード定理とバーコフの点ごとのエルゴード定理という 2 つの古典的なエルゴード定理が主な代表であり、現代のエルゴード理論の研究はウラムによって先導されたと言えます。

「カオス」を探る「不変密度関数」法

数学において「エルゴード」という言葉はどういう意味ですか?まず、「横断する」ということが何を意味するのかを想像できるように、「横断しない」ということの意味を説明する例を挙げてみましょう。 [0, 1]を自身に写像する写像Sを定義する: 0 ≤ x < 1/4のとき、S(x) = 2x; 1/4 ≤ x < 3/4のとき、S(x) = 2x – 1/2。 3/4 ≤ x ≤ 1のとき、S(x) = 2x – 1です。これがSのグラフです。

上記の非エルゴードマッピングの例から、「エルゴードマッピング」の定義を導き出すことができます。ドメインからドメイン自体へのマッピングには、マッピングによる逆像がドメイン自体と等しいため、常に 2 つの自明な「不変集合」、つまり空集合とドメイン自体が存在します。マッピングがエルゴード的であるとは、本質的に「非自明な」不変集合を持たない場合、つまり、マッピングの下でその逆集合と同じ集合となるような、そのドメインの非自明な部分集合を持たない場合です。つまり、マップがエルゴード的であるのは、マップが単純な不変集合のみを持つ場合です。

「不変密度関数」はいつ存在するのでしょうか?

Andrzej Lasota (1932-2006) と Michael Mackey (1942-) が共著した書籍 Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics の第 6 章のセクション 2 で、著者らは、上記の演算子にはゼロ関数のみが唯一の固定点として存在することを証明しています。

上記の 2 つの例の違いに注意してください。最初のマッピングの導関数は常に 1/2 に等しく、これは厳密に 1 未満です。しかし、2番目の写像の導関数は、(0, 1]上のどこでも1より大きく、x = 0では1に等しい。これは、いくつかの例外を除いて、領域区間上のどこでも存在する導関数を持つ写像があり、その導関数の絶対値が1より大きくなる場合、対応するフロベニウス-ペロン演算子は非ゼロの固定点を持つのかという疑問を提起する。上記の導関数条件を満たす写像は、

初等微積分を学んだ読者は、区分的に引き伸ばされたマッピングは、ドメイン区間全体のどこでも微分可能ではないことを知っているはずです。そうでなければ、「微分積分学の基本定理」として知られるラグランジュの平均値定理によれば、マッピングの範囲間隔はドメイン間隔よりも長くなり、範囲がドメイン内に含まれるという基本的な仮定に矛盾します。これは、よく知られている区分的に引き伸ばされたテントマップ T の導関数が点 x = 1/2 に存在しないという事実によっても示されます。したがって、セグメント化された細長い間隔マッピングは、「セグメント化された微分可能性」を通じてのみ実現できます。

ウラムの伝説

ウラムは「非線形解析」という総合的な研究分野の先駆者でした。実際、彼と、生涯の友人であるジョン・フォン・ノイマン（1903-1957）や物理学者エンリコ・フェルミ（1901-1954）を含む他の数人の賢人たちは、原子爆弾の開発に取り組んでいる間にこの分野を創始しました。何年も前に、私はウラムのエッセイ集『科学、コンピューター、そして人々』を読みました。数学の普及者マーティン・ガードナー (1914-2010) が書いた序文の最初の段落は、次の通りです。「ウラム、または友人からはスタンと呼ばれた彼は、数学のあらゆる分野だけでなく、物理科学や生物科学にも興味を持っていた偉大な創造的数学者の一人でした。親友のフォン・ノイマンと同様、また多くの同僚とは異なり、ウラムは純粋数学者や応用数学者に分類することはできませんでした。彼は、応用問題とはまったく関係のない純粋領域と数学の応用に、同じだけの美しさと興奮を見出すことを決してやめませんでした。」

ウラムはユダヤ人でした。彼の出生地であるリヴィウは、もともとオーストリア・ハンガリー帝国時代のポーランドの一部であり、現在はウクライナ西部に位置している。したがって、彼はポーランド/ウクライナの数学者であり、「パンテオン」ウェブサイト (pantheon.world) で史上最も伝説的なウクライナの数学者 10 人の 1 番目としてリストされています。私が3度読んだ、彼の人気のある自伝『数学者の冒険』の冒頭で、ウラムは読者に、4歳のときに家族の居間にあったペルシャ絨毯の幾何学模様に魅了されたと語っています。弁護士である父親が非難するように笑ったとき、彼は心の中でこう言った。「父は私が世間知らずだと思っているから笑っているのだろうが、私にはこれが奇妙なパターンだとわかっている。私は父が知らないことを知っているのだ。」これはおそらく、新しいことを探求するという彼の生涯にわたる才能の最初の現れだった。彼が疑問を提起し解決することを好んだもう一つの証拠は、ポーランドの数学学派が世界中で有名だった1930年代に、関数解析の巨匠であるシュテファン・バナッハ（1892-1945）率いるポーランドの数学エリートたちがスコットランドのカフェで数学について議論し、遭遇した数学の問題をリアルタイムで書き留めていたことです。「スコットランドの本」は現在、国際的な数学界で有名です。最も多くの質問を寄せてくれたのは、20代のウラムさんでした！

人々と議論し、質問することへの愛情があったからこそ、ウラムの脳に芽生えた「要点の感覚」が、後に数学のさまざまな分野への旅の始まりとなったのです。たとえば、フォン・ノイマンに「セルオートマトン理論」を最初に提案したのは彼でした。「モンテカルロ法」のアイデアは、数論と積分の厄介な問題についての彼の考えから生まれました。そして、後にソリトンとカオスの研究に大流行を引き起こすことになる「非線形解析」が、彼がコンピューターのキーボードを弾くにつれて彼の指から流れ出し始めたのです。この記事に関連するのは、彼が純粋数学、応用数学、計算数学を組み合わせた分野である「計算エルゴード理論」の誕生を告げる数値手法を提案したことです。

ウラムは20歳で集合論に関する数学の論文を発表し、第二次世界大戦前夜にアメリカに渡りました。それ以来、彼の天才的な頭脳は国に多くの素晴らしいアイデアをもたらし、そのうちの一つは米国政府にとって非常に重要で「歴史の流れを変える」ほどのものだった。この偉大な貢献により、彼は大多数の科学者から「水素爆弾の父」と称えられたが、水素爆弾の構想から開発成功までの全過程を通じて、後者の方が前者よりも社会的評価が高かったため、ハンガリー系アメリカ人の理論物理学者エドワード・テラー（1908-2003）がこの役割を果たしたと考える人が多かった。 1951年1月23日の正午、ウラムの妻は、自宅で不思議な表情で窓の外の庭を見つめている夫を見つけ、「うまくいく方法を見つけたわ」と言った。「何の仕事？」妻は彼に尋ねた。「水素爆弾は全く別の問題であり、歴史の流れを変えることになるだろう」と彼は答えた。並外れた才能を持つ「数学者」であるウラム氏でさえ、「黒板やメモ用紙に書いた落書きが人類の発展の進路を変えることができる」ことに驚嘆することが多いという。

テラーとウラムのどちらが水素爆弾の「生物学的な父親」であったかについては、ロスアラモス国立研究所のドイツ人の上司で理論部門の責任者であり、1967年のノーベル物理学賞を受賞したハンス・ベーテ（1906-2005）がかつて素晴らしいコメントを残している。「水素爆弾が作られた後、記者たちはテラーを水素爆弾の父と呼び始めた。歴史上、ウラムは種を提供したので父親であり、テラーは子供と一緒にいたため母親であると言った方が正確だと思う。私としては、私は助産婦だと思う。」ここでベーテは強調するために「ウラム」という名前を太字で書きました。

ウラムの質問、方法、推測

1960 年に、ウラムはわずか 150 ページの小さな本「数学の問題集」を出版しました。この薄い本には数学的なアイデアが満載されており、ジェームズ・ヨーク (1941-) やその協力者羅蘇田など多くの数学者の成功につながりました。著書の第 6 章の第 4 節で、ウラムは次のように問いかけています。「単位区間からそれ自体へのマッピング S が、十分に「単純な」関数 (たとえば、区分線形関数または多項式) によって定義され、そのグラフが y = x の線と交差せず、その傾きの絶対値が 1 未満である場合、対応するフロベニウス-ペロン演算子には、非自明な不変密度関数がありますか?」その後、ウラム氏は、上記の質問に対する答えがまだ与えられていない、パラメータを持つ区分線形マッピングの族の例を示しました。

13年後、ウラムの次世代の同胞であり「非線形解析」の後継者として、ロスーダと北米の協力者ヨークは、ウラムの上記の質問に対する回答をアメリカ数学会誌に発表しました。これは「区分的単調変換に対する不変測度の存在について」と題された現代エルゴード理論における重要な論文です。要約はたった一文で、論文の貢献を簡潔にまとめています。「本論文では、[0, 1] 区間上の区分的に連続かつ区分的に二次微分可能な変換のクラスが絶対連続不変測度を持つことを証明します。」論文では、次のような結果が証明されました。

ロズンダ・ヨーク定理

区間をそれ自身に写す写像 S が区分的に二次連続的に微分可能であり、区間上のその導関数の絶対値が 1 より大きい定数より小さくなることがない場合には、S に対応するフロベニウス-ペロン演算子には少なくとも 1 つの不変密度関数が存在します。

特に、Losuda と Yorke は、Ulam の本で定義された区分線形マッピングの族に対して肯定的な回答を与えました。つまり、0 < a < 1/2 を満たすすべてのパラメーター a に対して、マッピング Sa は絶対的に連続した不変測度を持ちます。さらに、彼らの純粋数学の研究は、ヨーク大学のティエンヤン・リー博士（1945-2020）による計算数学における独創的な論文を生み出し、それは計算エルゴード理論の古典となりました。

ウラムは『数学の問題集』において、不変密度関数の存在という問題を提起しただけでなく、不変密度関数の存在を仮定して数値的に近似する確率の考え方に基づく計算法を初めて提案した。与えられたマッピングS: [0, 1] → [0, 1]に対して、Ulamはまずドメイン区間[0, 1]をn個の等しい部分に分割します。 i = 1, 2, …, n の場合、i番目の部分区間は

「フロベニウス-ペロン演算子が不変密度関数を持つ場合、[0, 1] の分割数 n が無限大になると、不変ステップ関数は不変密度関数に収束すると推測されます。」これは現在では「ウラム予想」と呼ばれ、彼が不変密度関数を計算するために構築した数値形式は後に「ウラム法」と呼ばれるようになりました。現代の研究分野である「計算エルゴード理論」は彼の著書の74～75ページから始まり、これはその中でも最も古く、最も有名なアルゴリズムです。

病気だった李天炎が初めて「ウラム予想」を証明した

ロスダとヨークが定理を証明して発表した後、区分的に延長されたマッピングのクラスに対する絶対連続不変測度の存在が厳密に保証されました。博士号を取得したばかりの李天燕は、彼らの論文を読んで、すでに計算数学に大きな関心を抱いていたため、理論的に存在することが保証されている不変密度関数を効果的に計算する方法を真剣に考え始めました。しかし、神は彼の健康にはあまり優しくありませんでした。 1974年に博士号を取得してからわずか6週間後、腎臓がひどく損傷したため、血圧が220/160ミリバールまで上昇しました。李天炎教授が病気で逝去された翌日の2020年6月25日、弟子たちが李天炎教授を偲んで開いた追悼式で、李天炎教授の師であるヨーク教授は、1969年に台湾からメリーランド大学に博士号取得のために留学したが、翌年から腎臓に問題が生じ始めたことを回想した。当時彼はまだ25歳でした。 1976年までに彼の腎機能はわずか10%しか残っていなかったため、彼は腎臓透析を受け始めました。この透析は、移動時間を除いて週3回、1回5時間、5年半続きました。その後、彼は腎臓移植を受けるためにヨーロッパへ渡ったが、拒絶反応により移植は失敗した。ついに1981年、妹の腎臓が彼の腎臓と適合し、移植は順調に行われた。この無私の献身的な努力は39年間彼のために働き、26本の博士論文の執筆にも貢献しました。

李天炎さんは病気に対しても強い意志を示し、決して諦めなかった。 1970 年代半ば、彼の研究のアイデアの多くは病院のベッドで思いついたものでした。ロスダ・ヨーク定理の条件を満たす区間写像のクラスに対する絶対連続不変測度を計算するユーティリティを設計するために、彼はまず数値解析の一般原則に従ってフロベニウス・ペロン演算子を離散化しました。まず、ウラムと同様に、彼は区間[0, 1]をn等分しました。次に、彼は範囲が有限次元の部分空間である射影演算子を定義しました。これは、[0, 1]上のすべての積分可能な関数を、上記の区間分解に対応する区分定数関数に投影します。各関連サブ区間の定数値は、このサブ区間の積分可能関数の平均値、つまりサブ区間の関数の積分値をサブ区間の長さで割った値です。この射影演算子は非負の積分可能関数を非負のステップ関数に射影し、[0, 1] 上の関数の積分を変更せずに維持することが簡単にわかります。

すべての積分可能な関数をそれ自身にマッピングする「単位演算子」も射影演算子であり、範囲が最も広い射影演算子です。したがって、上記の射影演算子は単位演算子の有限次元近似になります。 Li Tianyan はこれをフロベニウス-ペロン演算子と組み合わせ、フロベニウス-ペロン演算子の有限次元近似を構成しました。区間分解によって決定されるすべての区分定数関数から構成される n 次元部分空間に制限される場合、その定義域と値域は同じ部分空間であり、この部分空間の標準密度関数基底の下では、その行列表現はランダム行列になります。この基底における密度関数は、n 個の部分区間すべての特性関数を部分区間の長さで割ったものです。当時、李天炎は、その行列が、ウラムが15年前に出版した本の中で確率法を使って構築したものとまったく同じであることを知らなかった。

当時、李天炎はブラウワーの不動点定理に特別な関心を抱いていた。なぜなら、彼は以前に微分位相幾何学に基づく現代的なホモトピー接続法を考案し、そのような不動点を数値的に近似していたからである。そのため、彼は標準的なペロン-フロベニウスの非負行列理論を採用せず、ブラウワーの不動点定理を直接借用して、このようにして構築したフロベニウス-ペロン演算子の有限次元近似演算子には、区分的に一定の密度関数である非ゼロの不動点がなければならないことを証明しました。この結論は区間 [0, 1] の任意の有限分割に当てはまるため、彼が提案した「区分定数関数投影法」は適切な数値法です。つまり、任意の自然数 n に対して、アルゴリズムは n 個のサブ区間に基づくステップイメージを使用して、フロベニウス-ペロン演算子の近似不変密度関数を計算できます。

今、解決すべき問題は 1 つだけ残っていますが、計算数学者にとって、これは最も重要な問題であり、通常は最も難しい問題です。構築された適切アルゴリズムは収束するでしょうか?言い換えれば、任意の自然数 n に対して存在することが保証されているこの近似的に不変な密度関数は、n が無限大に近づくにつれて収束するのでしょうか?さらに、収束する場合、私たちが望むとおりにフロベニウス-ペロン演算子の正確な不変密度関数に収束するでしょうか?

これには、収束を証明するためにロスダ・ヨーク定理の推論の詳細から重要な手がかりを探すことが必要であり、同時にアルゴリズム提案者自身の頭の中に蓄えられた解析数学の真髄を活用することも必要です。 Losuda-York 論文では、York は、その定義域での有界変化の関数の変化と、その関数とその特性関数の積のある部分区間での変化との間のギャップを埋める有用な不等式を提示しました。この架け橋により、2 人の共同研究者は極めて重要な「ロセウダ-ヨーク変分不等式」を得ることができ、最終的には不変密度関数の存在という定理の結論に至りました。変動は数学的分析において重要な概念ですが、ここではその定義を省略し、1 つのことだけを指摘します。それは、変動が「収束分析」において主導的な役割を果たすことが多いということです。李天炎は、区間分解に対応して定義した射影演算子が積分可能関数の変化を増加させないことを鋭く観察しました。このようにして、ロスダ・ヨーク変分不等式の助けを借りて、ロスダ・ヨーク定理の条件を満たす区分的に細長いマッピングに対して、近似不変密度関数の変分がすべての自然数 n に対して一様に制限されることを証明しました。分析において古典的なハーレー選択定理を再利用すると、得られた区分定数密度関数シーケンスには、積分可能関数空間の「ノルム」の意味でフロベニウス-ペロン演算子の不変密度関数に収束するサブシーケンスが含まれます。特に、この不変密度関数が一意である場合、区分的に定数である近似不変密度関数のシーケンスはそれに収束します。

ウラムが不変ステップ関数シーケンスの収束に関する「ウラム予想」を提唱して以来、特定のクラスの区間マッピングに対するフロベニウス-ペロン演算子の数値解析が行われた初めてのケースです。これは李天炎の生涯における3つの主要な数学的貢献の1つでもあり、独立して完成され、1976年にアメリカ近似理論誌に掲載されました。彼の他の2つの貢献は「カオスの定義」と「ホモトピーアルゴリズム」と呼ばれ、30歳になる前の彼の最高傑作でした。しかし、記事が書かれるまで、彼は自分が発明したアルゴリズムが、ウラムが『Mathematical Problems』のページに書いた行列と本質的に同じであることを知らなかった。

論文を提出した後、誰かが著者にこう言いました。「あなたが提案した方法は、15年前に発表されたウラム法です。」違いは、ウラムはマッピングのどのファミリーに対しても彼の方法の収束を証明したのではなく、不変密度関数が理論上存在する限りアルゴリズムが収束すると推測しただけである。このことから、Li Tianyan が Losuda-York 区間写像族に対する Ulam 予想を「偶然に」証明したことがわかります。ウラム氏は世界的に有名な数学者であり、記事のタイトルに彼の名前を入れることで、より多くの潜在的な読者を引き付けるはずだ。そのため、Li Tianyan は、論文の元のタイトル「Frobenius-Perron 演算子の有限次元近似」を「Frobenius-Perron 演算子の有限次元近似: Ulam の予想の解決」に延長しました。ある意味では、ある種の 1 次元区間写像に対するウラムの予想を李天炎が証明したことで、15 年間基本的に休眠状態にあったウラムの方法が復活した。彼はウラムとともに計算エルゴード理論の主要な先駆者とみなすことができます。

過去半世紀にわたり、カオス写像の不変測度の計算は、数学におけるエルゴード理論と工学技術における非線形解析の活発な分野となってきました。ウラムの方法とその高次の一般化の研究と応用において、ウラムの独創的な研究と李天炎の革新的な論文は、ほぼ欠かせない古典文献となっている。

しかし、区間写像が区分的に伸長されていない場合、対応するフロベニウス-ペロン演算子が不変密度関数を持つ場合でも、ウラム法の収束は理論的に真に保証されていない場合があり、数値実験では収束が観察されていても厳密に証明することはできません。しかし、数十年にわたって、ウラムの予想は、他の多くのカテゴリの区間マッピングや高次元変換に対して証明されてきました。李天炎教授の証明方法に触発され、本論文の著者と中国科学院計算数学・科学工学計算研究所の協力者である周愛輝は、多変数関数の変化の概念を使用して、1990 年代に高次元の境界領域をそれ自体にマッピングする区分拡張変換のクラスに対するウラム予想を証明しました。このような変換に対する絶対連続不変測度の存在は、1980 年代後半に 2 人のカナダ人の数学者によって証明されました。

かつて李天燕教授は、ウラム予想を偶然に解決したことで内心ため息をついたことを私にこう語った。「これがフォン・ノイマンと同レベルの数学者であるウラムが提唱した未解決の問題だと知っていたら、私はそれに触れるのが怖かったかもしれない。」どうやら、李教授にとって、ウラムの有名な小冊子『数学問題集』を事前に読んでいなかったことは必ずしも損失ではなかったようだ。そうでなければ、彼は本当にそれに触れる勇気がなかったかもしれない。しかし、読者が2021年に出版した私の著書『混沌から抜け出す：李天炎と数学への愛』を読み、彼の生涯にわたる読書と学習の経験を知れば、おそらく私と同じように、彼が決して権威を崇拝する人ではなく、新しい問題に正面から向き合い、自主的に考え、解決方法を見つける人であると信じるだろう。彼は私を含めた弟子たちにこう言いました。「偉い人が問題を解決できないからといって、小さな人間も解決できないというわけではない。」

カオスに関する2つの見方：決定論的と統計的

19世紀末、「カオスの父」として知られるフランスの数学者アンリ・ポアンカレ（1854-1912）は、三体問題におけるカオス現象を自然科学で初めて発見しました。 70年後の20世紀半ば、「カオスの父」エドワード・ローレンツ（1917-2008）が天気予報における「バタフライ効果」の謎を解明しました。 15年後、数学者の洞察力により、優れたカオス定理が生まれ、カオスの数学的定義が生まれました。それ以来、カオスの研究は海の潮のように発展してきました。「カオス」は多くの科学者によって、「相対性理論」と「量子力学」に次ぐ 20 世紀の 3 番目に大きな科学的発見であると考えられています。その概念、アイデア、理論、方法はすでに物理科学、生命科学、工学科学の多くの分野で開花し、実を結んでいます。

決定論的な意味での混沌は、自然の複雑さと多様性を明らかにします。このため、統一された定義はなく、「秩序と予測可能性の束縛から解放されたダイナミクス」、「決定論的非線形動的システムの不規則で予測不可能な動作」、「特定の動的システムの複雑で非周期的な引力軌道」など、独自の観点からしか説明できません。故中国の理論物理学者ハオ・ボーリン（1934-2018）は、カオスを「周期性のない秩序」と見なしました。カオスがどのように説明されるかにかかわらず、「初期条件に対する敏感な依存性」はカオスの基本的な特性であり、動的システムの最終状態の予測不可能性につながります。

しかし、決定論的な意味では無秩序に見えるカオス的な動作は、確率統計の意味では「規則性」に戻ります。これは、混沌を研究するための新しいアイデアと新しい方法を提供するだけでなく、無秩序と秩序の間の相反するものの統一を反映しています。中国の確率論者、厳建安（1941年 - ）は、「無作為は恣意的ではない、確率は謎を解く。無秩序は秩序を隠し、統計は混乱を解決する」という五字詩を残した。決定論的システムの土地に蒔かれた確率と統計の栄養がもたらす豊かな果実を簡潔に説明する。「決定論と統計」という 2 つの観点からカオスを見ると、現代数学における自然法則を記述する 2 つの補完的で合理的な方法が反映されます。これは必然性と偶然性の有機的な組み合わせであり、「決定論的数学と確率論的数学は手を取り合って共存し、共に繁栄する」という哲学的概念の強力な証明です。現代のエルゴード理論とその計算方法は、決定論的システムの統計的特性を研究するための強力な武器です。