反復と言えば必ず理解できるでしょう。

編集者注

科学コミュニケーションには興味深い現象があります。それは、知識が基礎的で難解であればあるほど、関連する科学普及書は豊富で数も増えるということです。明らかな例としては、数学と物理学の一般科学の読書量が他の科目の読書量をはるかに上回っていることが挙げられます。数学における有名な予想やパラドックス、物理学における相対性理論や量子力学などに対する一般的な解釈は無数に存在します。これは、難しいテーマであっても、わかりやすい入り口がある可能性があることを示しています。優れた科学普及書の著者は、説明に力を入れることで読者の理解の難しさを軽減することができます。この記事では、初等数学から始めて、数学における極めて重要な「反復」の概念について詳しく説明します。

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

「反復」という言葉は、一部の人にとっては馴染みのない言葉かもしれませんが、数学においては長い歴史を持っています。約 3,500 年前、古代バビロニア人は、与えられた正の数 A の平方根を逐次近似する巧妙な方法を考案しました。今日の標準的な用語で言えば、それはよく知られたニュートン反復法を使用して方程式 x^2 – A = 0 を解くことでした。今日、反復法は数学の世界のほぼすべての分野で積極的に利用されており、方程式を解くためのさまざまな反復法は、計算数学者やエンジニアが決して手放さないツールとなっています。

反復とは何かを説明するために、誤差がゼロであると想定される理想的な計算機を用意し、0.5 などの数値を入力してから、「x^2」というラベルの付いた四角いキーを押してみましょう。結果は小さな画面に表示されます: 0.25。もう一度四角いキーを押すと、結果は 0.0625 になります。何度も押すと、0.00390625 になります。何度も押すと、「初期番号」0.5 から始まる一連の数字が表示されます。

0.5、0.25、0.0625、0.00390625、0.0000152587890625、…

これらの手順を計算した後、我慢できなくなり、ボタンをもう一度押したくないと思うかもしれませんが、少なくとも上記の数字の変化傾向から、これらの小さくなる数字は最終的に 0 に近づくことがわかります。

このような計算は実に簡単なので、幼稚園児でもできるようです。たとえ電卓を捨てたとしても、小学生は紙とペンを使ってこれらの「二乗」を一つずつ計算することができます。中学校で習う数学の概念を使って表現すると、電卓の四角いキーは「xの2乗」という関数を表します。

上記の数列の最初の数値 0.5 は選択した初期値、2 番目の数値 0.25 は x = 0.5 のときの x 2 乗関数の関数値、3 番目の数値 0.0625 は x = 0.25 のときの x 2 乗関数の関数値、4 番目の数値 0.00390625 は x = 0.0625 のときの x 2 乗関数の関数値、5 番目の数値 0.0000152587890625 は x = 0.00390625 のときの x 2 乗関数の関数値、というように続きます。

x の 2 乗関数を「ブラック ボックス」と見なすと、x の値を入力すると、ブラック ボックスは関数値 x2 を出力します。上記の計算機の操作は、実際には初期値を選択してブラック ボックスに入力し、ブラック ボックスによって吐き出された関数値を同じブラック ボックスに何度も何度も無限に入力します。この「ブラック ボックス操作」のプロセス全体を数学では関数反復、または略して反復と呼びます。

一般に、ある実数の区間で定義された関数 y = f(x) があるとします。この関数は、ドメイン区間をそれ自体にマッピングします。つまり、この関数の独立変数 x と従属変数 y はどちらもドメイン内の値を取ります。

反復を調べると、必然的に「固定点」と「周期点」という 2 つの重要な用語に遭遇することになります。関数 f の定義域に、方程式 f(x*) = x* を満たす点 x* がある場合、つまり、関数 f の下での x* の反復結果が依然として x* 自体である場合、この点は関数 f の不動点と呼ばれます。

不動点の代数的な意味は x = x*、つまり方程式 f(x) = x の解であり、幾何学的な意味は、平面上の xy-直交座標系の関数 f のグラフと座標系の対角線 y = x との交点の座標です。この交点は関数 f のグラフ上にあり、座標系の対角線上にあるため、その 2 つの直交座標 (x*、y*) は 2 つの方程式 y* = f(x*) と y* = x* を同時に満たします。

上記から、初期点が周期点である場合、与えられた関数は特定のステップまで反復したときに初めて初期点に戻り、その後、毎朝何度も学校の楕円形のトラックを走り回る優秀な生徒のように、サイクルを無限に繰り返すことがわかります。初期点が周期点ではない場合、この点から始まるすべての反復点は当然、初期点に戻ることはありません。開始点に戻ることは決してないので、これらの反復ポイントの最終状態は予測不可能である必要がありますか?

初期点が周期点でも最終周期点でもない、つまり対応する反復点がすべて互いに異なるが、反復点系列の最終的な方向を予測できるという状況もあります。たとえば、系列は最終的に固定数に収束するか、固定周期軌道にどんどん近づくか、正の無限大に発散するか、負の無限大に発散するか、またはその絶対値系列が正の無限大に発散します。これらのさまざまな条件下での予測可能性を分析して解決するには、初等代数の数学的ツールだけでは不十分であり、初等微分積分に関する知識がいくらか必要です。これが、高等数学が非常に有用な科目である理由です。具体的には、微分積分学における「平均値定理」や「単調収束定理」が、この解析プロセスの数学的裏付けとなることがよくあります。この記事は「反復の簡単な説明」なので、後ほど定理の 1 つを適用する方法についても簡単な言葉で説明しますが、画像の視覚効果を補足すると理解しやすくなります。この目的のために、まず、関数の割り当てに依存する前述の「代数的表現」とは対照的に、視覚的にわかりやすい関数反復の「グラフィカル表現」を導入します。

反復点列の最終方向を確認する際に、関数値を手作業または計算機で何度も計算して反復点を次々に取得するのは時間がかかりすぎると感じる場合は、グラフ曲線を十分に正確に描画できる限り、関数のグラフを使用して代数的方法と同等のことを行うこともできます。この幾何学的手法により、初期点から上下左右に交互に曲がるショートカット パスに沿って急速に前進できるため、反復点列の「移動軌跡」を直感的に観察し、軌道の最終目標を簡単に確認できます。

より一般的には、上記の「グラフ反復法」は、線形関数 f(x) = ax + b について、x 項の係数 a の絶対値が厳密に 1 未満である限り、つまり |a| であることをすぐに証明できます。 < 1 の場合、任意の実数を初期点とする反復点のシーケンスは、最終的に f x* = b/(1-a) の唯一の固定点に近づきます。また、|a| > 1 の場合、b/(1-a) に等しくない任意の実数から始まる反復点のシーケンスは、最終的に無限大に発散します。対照的に、これら 2 つの事実の分析と証明には、もう少し時間がかかります。

上記の線形関数の直線グラフは非常に平坦で、傾きの絶対値が 1 未満の場合、固定点 x* = b/(1-a) は、美しい少女が周囲の少年を引き付けるように周囲の点を自分自身に引き付けるため、これらの近傍点から始まる反復点軌道はすべて最終的にその点に向かうため、この固定点は比喩的に魅力的と呼ばれます。実際、固定点 x* は、その近くにあるすべての点を引き付けるだけでなく、実軸上のすべての点も引き付けるため、大域的に引力のある固定点となります。

一方、線形関数の直線グラフが非常に急峻で、その傾きの絶対値が 1 より大きい場合、固定点 x* = b/(1-a) は、周囲の平和主義者から遠ざかる戦争主義者のように、それとは異なる周囲の点を「反発」するため、これらの点から始まるすべての反復点シーケンスは、最終的にそこから「離れ」、近づこうとしません。この固定点は反発と呼ばれ、さらに全体的に反発します。

上記から、条件 |a| を満たす任意の線形関数について、 ≠ 1 の場合、その唯一の固定点は、全体的に引力を持つか、全体的に反発力を持つかのいずれかです。直ちに導かれる帰結として、この関数には他の周期点は存在しない。理由は簡単です。周期が 1 より大きい周期点がある場合、たとえばその周期は 3 であり、この周期点から始まるすべての反復点は、常に同じ周期 3 の軌道の 3 つの点の間で「交代」するからです。どのようにしてそれらは固定点に向かう傾向があり、あるいは無限大に発散するのでしょうか?

これを読んだ後、読者は数学を理解するだけでなく、得た知識を上記の条件を満たさない残りの 2 つの線形関数 f(x) = x + b と g(x) = -x + b に適用し、それぞれの反復軌道が最終的にどこにつながるかを理解できると思います。

ここでも、両方の非線形関数は反復点軌道の規則性を示しています。すべての初期点について、反復点シーケンスの最終的な方向は予測可能であり、唯一の固定点と周期 2 の 2 つの周期点を除いて、他の周期点はありません。次回の科学一般向けの記事では、周期が 2 乗以上の不動点と周期点の両方を持つ単純な関数について説明し、自然科学との歴史的なつながりをたどります。

これまでのところ、私は高度な数学を正式に使用したことはありません。私は初等数学を使って反復問題について議論し、基本的な概念を紹介しました。おそらく、理学や工学の博士号、修士号、あるいは学士号を持つ読者の中には、「内容が浅すぎる」と感じる人もいるかもしれません。しかし、数学的な文章とプレゼンテーションの達人として、ハンガリー系アメリカ人の数学者ポール・ハルモス（1916-2006）は、生涯を通じて、公開レポートが初歩的であればあるほど、人々の心をつかむ可能性が高くなると常に強調していました。ここで、2 次多項式を使用して、関数の反復における初等微分積分の優れた使用法を説明してみます。たとえ読者が微積分を一度も学んだことがなくても、それは問題ではありません。なぜなら、読者は少なくとも高校の代数学を理解しており、ある程度の幾何学的直感を持っていることがわかっているからです。さらに、私は以前、数学を簡単な言葉で説明すると約束しました。そうでなければ、タイトルで約束した「必ず理解できます」という 5 つの言葉に値しないことになります。

私が与える関数は f(x) = 2x(1-x) ですが、その定義域は閉区間 [0, 1] に制限されます。明らかに、f のグラフは、2 つの点 (0, 0) と (1, 0) を通る放物線で、対称軸は x = 1/2、最高点は (1/2, 1/2) で、下向きに開いています。これは座標平面上の単位正方形に位置しているため、f の範囲は [0, 1/2] となり、したがって f は [0, 1] を自身に投影します。したがって、ドメイン区間内の任意の点から始めて、f を無限に反復することができます。

この時点で、初等数学から高等数学にジャンプする必要がありますが、必要なのは、前述の「単調収束定理」です。単調な有界シーケンスには、必ず限界があるということです。その証明には、すべての実数に関する「完全性公理」が必要です。この公理は、米国の「上級微積分学」教科書の出発点であり、中国の数学科の「数学解析」コースに属しています。ただし、上記の定理を理解するために、次の視覚的な例を使用できます。数万人の兵士のチームが前進している様子を想像してください。これは単調に増加するシーケンスに相当します。前方に障害物がなければ、兵士たちは遠くまで歩き続けます。しかし、乗り越えられない壁が立ちはだかっている場合、前進を続ける兵士たちは壁の麓に集まることしかできません。これは、ある点に収束しなければならない上限を持つ増加シーケンスと同等です。

実際、私たちは上記の一般的な主張を簡単に証明しました。この記事の最後のプレゼントとして、これを贈ります:

命題。関数 f の反復点のシーケンスが x* に収束し、f が x* 内で連続する場合、x* は f の不動点です。

「関数の反復」は、豊富な内容と幅広い応用範囲を持つ数学のトピックです。記事が長いため、この記事では「未来を予見できる」いくつかの秩序だった反復プロセスのみを一般向けに紹介しました。しかし、秩序から無秩序、つまり混沌へと、さらなる魔法のシーンがまだ待っています。その背後にある数学的な操作を簡単な初歩的な言葉で説明することが、反復について語り続けるための指針となる考え方です。

2023年3月27日月曜日に書かれた

ハティスバーグ サマー ハウス

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

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