悲しみの平行線はいつか交わるのでしょうか?

平行線といえば、誰もがよく知っているものです。2本の平行な線路、白黒の横断歩道など、これらは日常生活で目にすることのできる平行線です。文学作品には、「二人の人間は平行線のようなもので、決して交わることはない」というような記述もあります。

私たちの印象では、平行線は決して交差しないという性質を持っています。しかし、「平行線は無限遠点で一点に交わる」と言う人もいます。

平行線はどこかの点で交差しますか?彼らは無限の境地で出会うのでしょうか？

図1 平行レール（画像出典：百度百科事典）

この問題を理解するには、まず「平行線は決して交差しない」という格言がどこから来ているのかを理解する必要があります。

平行線は平面幾何学の第五公理から生まれる

古代ギリシャの数学者であり幾何学の父であるユークリッドは、幾何学を研究していたとき、一部の幾何学的知識は長期にわたる人間の反復的な実践を通じて正しいことが証明されており、他の知識から演繹する必要がないことを発見しました。ユークリッドはその後、著書『原論』[1]の中で5つの公理を提示し、それに基づいた幾何学体系を構築した。 5 つの公理は次のとおりです。

公理1: 任意の点から任意の点まで直線を引くことができる

公理2: 有限線分は延長できる

公理3: 任意の点を中心とし、任意の距離で円を描くことができる

公理4: すべての直角は等しい

公理 5: 直線が同一平面上で他の 2 本の直線と交差し、一方の側の 2 つの内角の合計が 2 つの直角の合計よりも小さい場合、2 本の直線は無限に延長された後、この側で交差します。

5 つの公理のうち、最初の 4 つは比較的簡潔で明確である一方、5 番目の公理は比較的冗長であるように思われます。

その後の研究と導出により、第 5 公理は次の 2 つのステートメントと同等であることがわかりました。1 つは、三角形の内角の合計は 180 度であるということです。もう 1 つは、直線の外側の点を通る直線と交差しない直線は 1 本だけであるということです。

2 番目の文で交差しない 2 本の直線は平行線と呼ばれます。平行線は決して交わらないという諺はここから来ています。 5 番目の公理は平行性に関連しているため、平行公理とも呼ばれます。

非ユークリッド幾何学と平行公理

平面幾何学の第 5 公理が提案されて以来、数学者たちは「この公理は他の公理に置き換えることができるか」という疑問について考え始めました。

19 世紀には、ガウス、バチェフスキー、ボヤイらがそれぞれ独立して、さまざまな平行公理の使用を試みました。最終的に、直線の外側の点を通り、既知の直線に平行な線が何本描かれるかに基づいて、ロバチェフスキー幾何学とリーマン幾何学という 2 つの新しい幾何学体系が形成されました。

これら 2 つのシステムはユークリッド幾何学とは異なるため、総称して「非ユークリッド幾何学」と呼ばれます。

ロバチェフスキー幾何学 (略称: ロバチェフスキー幾何学) は、直線の外側の点を通り、既知の直線に平行な少なくとも 2 本の線を引くことができるというものです。

図 2 ロバチェフスキー幾何学 (出典: Baidu Image)

図 2 に示す双曲面はこれを視覚的に示しています。双曲面では、空間の曲率により、既知の直線と平行な直線を、その直線の外側の点を通って複数描くことができます。

この幾何学は双曲空間の状況を記述するため、「双曲幾何学」とも呼ばれます。

このような双曲空間では、直線の外側の点を通り、既知の直線に平行な複数の線を描くことができます。さらに、双曲空間で任意の三角形を作成すると、三角形の内角の合計は平面幾何学の内角の合計 (180°) よりも小さくなります。

リーマン幾何学では、与えられた直線に平行で、その直線の外側の点を通る直線は存在しないと仮定します。ロバチェフスキー幾何学は双曲面の幾何学を考慮しますが、リーマン幾何学は楕円空間の幾何学を考慮します。

そのため、リーマン幾何学は「楕円幾何学」とも呼ばれます。

図 3 リーマン幾何学 (画像提供: Baidu Image)

図 3 はリーマン幾何学の特徴を鮮明に示しています。楕円空間では、三角形の内角の合計は 180 度未満です。また、楕円空間内のすべての直線は、楕円空間の頂点にある無限遠点を通るため、直線の外側の点を通る既知の直線と平行な線を引くことは不可能です。

これは、「平行線は無限遠で交差する」ということわざの由来でもあります。

実際、幾何学の定義によれば、リーマン幾何学を使用して問題を研究する場合、すべての直線は無限遠で交差し、平行線の概念は存在しません。これは、数学的な定義では、平行線は同じ平面で交差することのない直線でなければならないためです。

この観点からすると、「平行線は無限遠で交差する」というのは数学的には誤った命題ですが、一定の芸術的価値を持っています。

非ユークリッド幾何学の応用価値は何ですか?

平面幾何学は私たちの実生活において大きな応用価値を持っています。小規模な機械製造から大規模な地理情報計測まで、平面形状計算は欠かせません。これが、私たちが子供の頃から平面幾何学を学んできた理由です。

では、非ユークリッド幾何学は数学者が衝動的に思いついたものだったのでしょうか?非ユークリッド幾何学には応用価値があるのでしょうか?

答えはイエスです。

非ユークリッド幾何学は、特定の空間や特定の問題において高い応用価値を持っています。

上記から、非ユークリッド幾何学は主に双曲空間と楕円空間という 2 つの非平面空間における幾何学的問題を研究するために使用されることがわかります。非平面空間は私たちの現実の生活にも広く存在しています。

非平面空間が現れる最も一般的な状況は 2 つあります。

最初のケースは、巨大な天体によって引き起こされる空間の歪みです。

一般相対性理論によれば、質量の大きい天体の近くでは空間がより顕著に曲がります。日常生活では、支えられた布の上に重いボールを置くと、重いボールが布を曲げることがわかります。

宇宙において、巨大な天体は圧力を生み出す重い球であり、宇宙構造物はそれを支える布です。最終的には、図4に示すように、大質量天体の周囲に一定の空間曲率が生成されます。

図4 巨大な天体は明らかな空間の曲率を生み出す（画像提供：Baijiahao）

このような曲がった空間を移動するとき、平面幾何学の関連知識は適用できなくなり、非ユークリッド幾何学が役立ちます。単一の天体によって生成される空間の曲率は楕円体に近いですが、複数の天体によって境界領域に双曲面に近い曲面空間が生成される場合があります。

もし人類が宇宙の広大な星の海の探査に乗り出すとしたら、非ユークリッド幾何学に基づいて曲がった空間の幾何学的関係を計算することは、宇宙旅行を実現するための必須の技術となるでしょう。

2 番目のタイプの非平面空間は、生きている平面自体の曲率が無視できるほど小さい空間です。

私たちが住んでいる地球は、実は楕円体です。宇宙から地球を見ると、地球の表面が湾曲していることが簡単にわかります。このとき、地球上の幾何学的関係は、空間立体平面幾何学を通じて分析することができます。

しかし、地球上でのみ観察し、宇宙からの視点を得ることができない場合、地球表面の 2 次元空間における幾何学的関係は、実際には楕円幾何学の関連する特性に準拠します。

地球表面のこの特性に基づいて、リーマン幾何学を使用して地球の表面を測定することができます。リーマン幾何学に基づく方法に基づいて地球表面の測地線を研究することにより、「測地幾何学」という分野が確立されました。

そのため、地球表面の地理情報、航空・航行などの問題を研究する場合、非ユークリッド幾何学におけるリーマン幾何学は非常に高い応用価値を持っています。

最後に、元の質問に戻りますが、平行線自体の数学的定義は、交差がなく、平行線が無限遠で交わらないというものです。リーマン幾何学では、一見「平行」に見える 2 本の直線は無限遠で交わりますが、実際には平行線ではありません。

平行線は交わらない運命にあるが、平行線の研究と平面幾何学の第五公理から、ロバチェフスキー幾何学や​​リーマン幾何学などの非ユークリッド幾何学が生まれ、さまざまな分野で幅広く応用されている。これは数学の研究ではよくあることです。一見すると空想的で「役に立たない」ものが、現実の生活で使われることになることがあります。

参考文献:

[1] Euclid、Lan Jizheng、Zhu Enkuan。ユークリッド原論[M]。陝西科学技術出版社、2003年。

著者: キャンティーンサイエンス普及

制作：中国科学普及協会

プロデューサー: 中国科学博覧会