数学の本を上手に読むにはどうすればいいでしょうか? |展開する

李天炎教授（1945-2020）は中国で非常によく知られています。彼は、有名な物理学者ダイソンによって不滅の至宝と称された学術的傑作「第3周期はカオスを意味する」を持っているだけでなく、「水素爆弾の父」ウラムの数学的な予想を証明し、オランダの数学者ブラウワーの有名な不動点定理の構成的証明も行い、カオス力学系とホモトピー接続アルゴリズムの2つの分野で学術的地位を確立しました。このような学問の巨人は、約20回もの大手術と数え切れないほどの小手術を受けた「数学の石鉄生」でもある。

南ミシシッピ大学数学科の丁久教授は、李天炎の弟子として、師に対して深い思いを抱いている。李教授が亡くなったとき、彼は涙ながらに「忘れられない35年間の師弟関係：伝説の中国数学者、李天炎教授を偲んで」と書いた。その後、彼はさらに情報を収集し、心を痛める作品「混沌から抜け出して：李天炎と私の数学的関係」を完成させました。詳しい紹介は記事末尾の書評をご覧ください。ここで、学者と共有するために、この本の第 5 章「魔法の読書法」を抜粋したいと思います。

この記事は、『混沌から抜け出す：李天炎と数学への愛』（上海科技教育出版社）の第 5 章「魔法の読書法」から抜粋することを許可され、タイトルは編集者によって追加されました。この本を購入するには、「Fanpu」の公開アカウントにアクセスし、記事の最後にある「原文を読む」をクリックしてください。

著者：ディン・ジウ（南ミシシッピ大学数学教授）

数学ではよくあることですが、「勉強の秘訣」を詳しく説明する前に、まずその科目の教師と選ばれた教科書が満足のいくものであるという前提を立てます。独学であれば学習意欲も問題ないと考えます。さらに、知能の役割は私たちが考慮する要素ではありません。このような比較的理想的な背景を踏まえて、どうすれば数学の本を効果的に読むことができるでしょうか?

李天炎教授は、台湾とアメリカでの長期にわたる書籍研究と研究実践を経て、貴重な読書法をまとめました。数十年にわたる読書を通じて、私は「良い本を読む」ことについての洞察も蓄積してきました。私は先生と離れて30年になりますが、先生と生徒としての私と先生の関係は薄れるどころか、輝きを増し続けています。重要な要素の 1 つは、人生、学習、教育、研究、スピーチに関する多くの問題について私たちがほぼ同じ見解を持っていること、そして私たちが強く同意する行動規範に従っていることです。この章では「数学の学び方」に焦点を当てており、これはまさに李天炎教授の生涯にわたる読書と研究の集大成です。実際、それは私の読書と学習に対する理解にも散りばめられています。私たちの教師と生徒は皆、数学を上手に学ぶための最も重要な方法は概念を習得することだということを深く理解しています。実際、これは数学を徹底的に理解している私の大学の同級生の何人かの共通の経験でもあります。 2015年7月に李教授の70歳の誕生日を祝う教師と生徒の集まりで、私の指導者であるヨーク教授と教育問題について徹底的に意見交換をしたので、読書に関するヨーク教授の見解もいくつかお伝えしたいと思います。

数学では、公理と公準を前提とし、定義を指針とし、論理を概念のさまざまな特性と他の概念との相互関係を明らかにする有用な命題を徐々に導き出す手段とします。このプロセスでは推論の技術が極めて重要です。定理の証明を理解する私たちの能力はすべて、中学校で学んだユークリッド幾何学から来ています。そのため、1977 年の江蘇省大学入学試験で数学で満点を取った大学の同級生である魏沐生は、ミシガン州立大学での私との会話の中で、平面幾何学が中学校で最も重要な数学の科目であると信じていました。

数学では、新しい概念の定義には必然的に他の概念が使用され、それに属する命題は、その概念の性質、用途、または他の概念との関係に関するものに過ぎません。命題を語る際には、関係するすべての概念が明確かつ曖昧さなく定義されていなければなりません。そうでなければ、天才であっても命題を理解することはできません。したがって、それらの証明で遭遇する数学的概念はあらゆるところに存在します。したがって、ある概念に遭遇したときは、その概念の完全なイメージを心の中に持っていなければなりません。たとえば、微積分の級数理論には、無限級数が収束する場合、その級数の一般シーケンスは 0 に近づく必要があるという単純な命題があります。この命題には、「級数」と「シーケンス」という 2 つの基本的な名詞概念と、それぞれ級数とシーケンスに使用される「収束」という非常に重要な概念があります。したがって、この命題を証明するときは、これらの概念の定義とそれらの関係を明確にする必要があります。級数の収束の定義さえ曖昧なままである場合、または級数の一般数列と級数の部分および数列との間の関係および区別がまだ解明されていない場合、級数の収束から、その一般数列が 0 に近づくという級数の収束の必要条件をどのように導き出すことができるでしょうか。

概念は非常に重要ですが、多くの学生は概念を真剣に受け止めなかったり、「概念を習得する」という強力な読書ツールについて知らないだけです。その理由の一つは、大学入学前の小中学校時代に、大学入試のバトンと設問の海の戦術に惑わされ、暗記ばかりを求めたからではないでしょうか。おそらく、彼らがこの最悪の読み方を受動的に受け入れるもう一つの理由は、定義を理解するよりも暗記する方が簡単でリラックスできるからでしょう。定義を暗唱することは、昔の私立学校の先生が首を振って古い本を暗唱するように生徒に教えたのと同じように、単なる機械的な動作です。概念を理解するには脳で考える必要があります。よく書かれた数学の教科書の概念の定義は非常に明確に表現されており、言葉遣いと文の構造は非常に経済的です。つまり、文には余分な言葉がなく、すべての単語に意味があります。多くの論理接続詞を含む複雑な定義の意味を完全に理解することは、決してそれを暗記するだけでは十分ではありません。定義を読みながら絶えず瞑想し、それを完全に理解するために頭を悩ませる必要があります。定義を本当に理解しているかどうかをテストする良い方法は、その定義が正しくなかったら何と言うかを自分自身に問いかけることです。書き留めることができない場合は、定義を本当に理解するにはまだ遠いかもしれません。

Li Tianyan 教授は、授業で抽象的な概念を教えたり説明したりするときに、例を挙げて説明するのが好きです。広州で初めて彼の講義を聞いたとき、私は彼の「複雑なものを単純化する」という手法に魅了されました。私はまた、彼がアメリカでの最初の学期にヤン教授の代理を務めていたときの態度も記録しました。アメリカで彼の授業を聞いたのはそれが初めてでした。ここで例を挙げて、数学的な記述を否定してみましょう。まずは、理科や工学を専攻する学生なら誰でも学んだ微積分から始めましょう。読者は「ε-δ」言語の限界の厳密な定義を学習していることを前提としています。まず定義を思い出してみましょう。実変数 x の実数値関数 f とし、関数の定義域区間に実数 a が与えられているとします。任意の正の数εに対して、xが区間内にあるときに不等式0が満たされるような正の数δが存在するような実数Lが存在する場合、

ただ暗記することばかり求め、考えることを拒否することは、今日多くの人が数学を学ぶときに犯す大きな間違いであり、これは李天炎教授によっても批判されています。私がミシガン州立大学で学んでいた数年間、彼が博士号を取得した母校であるメリーランド大学の数学科で実際に起こった出来事について話すのを何度か聞いたことがありました。留学生は博士課程入学資格試験のために口頭試問を受けなければなりません。試験官は受験者に、点集合位相における有名なティホノフの定理を証明するように求めましたが、2次元での簡略化されたバージョン、つまり、2つのコンパクト集合の積は、積位相においてもコンパクト集合であることを証明するように求めただけでした。しかし、博士課程の学生は、一般的なティホノフの定理（任意のコンパクト集合の積は、積位相の下でもコンパクト集合である）を証明させてほしいと教授に懇願した。その理由は、彼女はこの一般的な結論の証明を最初から最後まで暗記しているが、定理の特殊なケースを証明できないからです。

実際、この現象は非常に一般的です。生徒の中には、すでに上記の限界の定義を暗記している人もいますが、この定義の背後にある意味をまだ理解していません。特定の状況で使用したり、少し難しい極限問題を解いたりすると、混乱してしまい、どこから始めればいいのか分からなくなってしまいます。限界が存在しないことを証明したり、限界が存在するとしてもその値が与えられた数値ではないことを証明するのはさらに困難です。理解しにくい数学の本を読んでいると、複雑な定義や難しい定理を理解するのが難しいと感じることがよくあります。このようなことが起こったとしても、あまり悲観的になったり、がっかりしたりしないでください。これには十分な忍耐と自信が必要です。過去の概念を振り返ることは、多くの場合正しい選択です。ここで、アメリカの著名な物理学者リチャード・ファインマン (1918-1988) が 23 歳のとき、9 歳年下の妹に与えた読書指導のアドバイスを借りてもいいでしょう。「最初から読みなさい。何も感じなくなるまでできるだけたくさん読み、それからまた最初から読み始めなさい。すべてを理解するまで読み続けなさい。」この方法は効果的で、教師なしで独学で学びたい人に最適です。ファインマンの妹はこの方法を使って天文学の本を読んで理解し、成功したときの喜びが、この科目を生涯の仕事として選ぶきっかけとなりました。私は長い間独学をしており、数学の本のすべての章とセクションを完了するために、この往復方式をよく使用しています。李教授は長年多項式方程式を解くことを研究してきました。彼は代数幾何学に近い非可換代数を独学で学びました。彼のアプローチはファインマンのアプローチと一致していると思います。解析数学の基礎をしっかり身につけていた大学の同級生たちは、ファインマンと同じように考えていたに違いありません。彼らは、読んでいる途中で理解できない部分に遭遇すると、最初からやり直し、一歩一歩着実に進歩し、最終的にはその章やセクション全体をマスターするのです。

証明を理解し、その方法を学ぶことは、数学の本を読む上で重要なステップです。李天燕教授が数学の学習で最も嫌うのは、証明を理解せずに暗記することです。したがって、生徒が定理の証明を教師に報告したい場合、教師は決して一般的な結論を証明するようには求めず、生徒が本当に理解しているかどうかを確認するために特定の簡単なケースを証明するように求めます。彼は生徒たちにこれを要求しただけでなく、自らの行動を通じてそれを実証しました。晩年、引退を控えていた彼は、母国から訪ねてきた数人の学生に「連続関数の3点周期性の存在はn点周期性の存在を意味する」という証明を説明するよう依頼された。これらの学生の一人である Xu Shistein さんは、現在、この学部の博士課程の学生として正式に認められています。李教授が証明を説明している写真を送ってくれたのですが、黒板に書かれていたのは n = 4 の特殊なケースの証明で、結論が一般の正の整数 n に対して有効であることを証明するという考えが、この特定の証明で完全に実証されていました。したがって、Li 教授の学生になるには、n = 3 または 4 の場合の特別な結論を証明できなければなりません。

2017年に李教授は学生にカオス理論を教える

問題は、教科書やモノグラフでは、著者が n = 3 または 4 の場合の特定の定理の証明を記述しておらず、定理の説明とその証明が基本的に一般的なものであることです。複雑で長い証明をどう理解すればよいのでしょうか?ヨーク教授のアドバイスを読んでみましょう。

「学生 (教授も) は証明の重要なアイデアを理解しようと努め、できれば 2 つの重要なアイデアを見つける必要があります。これらの重要なアイデアは、必ずしも「補題」の形で現れる必要はありません。なぜなら、本では一見もっともらしい重要な手がかりが多すぎる可能性があるからです。実際、重要なアイデアは学生を驚かせるものであることが多いため、証明では人によって異なる重要なアイデアが選ばれます。それらは理解を深めるための重要な要素です。重要なアイデアには複雑な証明が含まれることがあるため、学生はその過程で 2 つの重要なアイデアを発見する必要があります。」

2015 年 7 月に私に送られた長いメールの中で、ヨーク教授は証明の中で重要なアイデアを見つける方法を説明する 2 つの例を挙げました。おそらく、微積分における連続関数に関する「中間値定理」が彼と彼の弟子たちの最も有名な論文で重要な役割を果たしたため、彼はこの定理の証明を最初の例として使用しました。この定理の幾何学的な意味は、ほとんどの人にとって理解しやすいものです。つまり、直線の両側にある既知の点を結ぶ連続曲線は、必ずその直線を少なくとも 1 回は通るということです。その厳密な数学的表現は次の通りです。f が閉区間 [a, b] 上で定義された実数値の連続関数である場合、関数値 f(a) と f(b) の間の任意の数 d に対して、[a, b] 内に点 c が存在し、f(c)=d となります。定理を証明する最初の重要な考え方は、区間 [a, b] を区間の中点を通る 2 つの閉じた部分区間に分割し、それぞれを元の区間の半分の長さにすると、数 d は 2 つの閉じた部分区間の 1 つの両端点における f の 2 つの関数値の間にある必要があり、この特性によって決定される部分区間が元の区間を置き換えるというものです。 2 番目の重要な考え方は、現在取得されているサブ区間の端点の 1 つで d が f の関数値にならない限り、上記の区間を二等分するという考え方を繰り返し、数値 d が常に区間の 2 つの端点の関数値の間にあるという特性を維持することです。上記のプロセスの各ステップで必要な関数値 d を取得できない場合は、長さが毎回半分に短縮され、前部が後部を囲む、閉区間の無限シーケンスを取得できます。これらの区間の長さは最終的に 0 に近づくため、実数に関する「入れ子になった閉区間定理」により、共通点 c が 1 つだけあることが保証されます。 f が連続関数であるという仮定によれば、点 c は方程式 f(c)=d を満たす必要があります。上記の 2 つのアイデアは、中間値定理を証明するために必要な重要なアイデアです。

おそらく、メリーランド大学で学部長を務めていた同大学の数学部の歴史における「適格性口頭試験」の例証のためだろうが、ヨーク教授が挙げた2番目の例は、前述のチホノフの定理の標準的な証明であった。この証明は当然ながらはるかに難しく、また、エルンスト・ツェルメロ (1871-1953) による集合論の選択公理も必要とします。この公理はすべての数学者に認められているわけではないので、ここでは詳しく説明しません。ただ、この証明につながる重要なアイデアが 2 つあることを指摘しておきます。位相幾何学の基礎知識があり、証明の根本に迫りたい読者は、2016 年に Commercial Press から出版された私の著書「アメリカ教育の個人的経験: 30 年間の経験と思考」の付録「ヨーク教授が教育について語る」で詳細を読むことができます。

ヨーク氏は世界的に有名なカオスの達人であり、その功績により「フラクタルの父」ブノワ・B・マンデルブロ氏（1924-2010）とともに2003年の日本国際賞を受賞したため、数学を学ぶ真の秘訣を上手に教えるのにふさわしい人物です。彼の弟子たちの目には、メリーランド大学の彼のカオス力学システムの研究チームは米国で最高の学術的評判を誇っている。しかし、このような創造的な研究数学者であるにもかかわらず、高校時代の数学の最高成績はわずか 87 点で、「優秀」という評価はひとつもありませんでした。これは伝聞による「フェイクニュース」ではなく、彼が私にメールで送ってきた高校の成績証明書すべてからそれがはっきりと分かります。しかし、中国の小中学生の多くは、数学の平均点が95点前後であるにもかかわらず、まだ「満点」のレベルに達していないため、放課後に家庭教師による「補習授業」に通って勉強を続けなければならないと聞きました。しかし、ヨークは私にこう言いました。「私は高校で数学のやり方を学びました。」そこで彼は、故郷のニュージャージー州で開催された高校数学コンテストで州内3位を獲得したのです。ヨークがコロンビア大学の学部課程に入学した後も、彼の成績証明書は依然として「パッとしない」ものだった。彼は「大学ではBを取ったことがない」と言って生徒たちを不安にさせた。李天燕は最初「すべてA」だと思っていたが、返ってきた答えは「C以下」だった。しかし、大学で優秀な数学の成績を収めた李天燕教授は、「今後の道のりを振り返る」という記事の中で次のように書いている。

「当時の私の成績は非常に優秀でしたが、今思えば、実は当時は何も知らず、何をしているのかさっぱりわかりませんでした。学生時代は、試験に備えて定理や論理を暗記することしかできませんでした。卒業後、兵役に就いた後、学んだことのほとんどを忘れていました。正直に言うと、留学する前は数学をあきらめたいと思っていました。その後、アメリカで私の師であるヨーク教授に出会いました。彼から、数学の学習と研究についての予備的な理解を徐々に得て、これらの理解は、将来の数学の勉強に対する私のビジョンとアプローチに大きく貢献しました。」

なんと心のこもった発言でしょう！少なくとも数学の勉強に関しては、成績は重要ではありません。なぜなら、数学の勉強は記憶力を鍛えることではなく、世界を理解する能力を鍛えることだからです。東洋と西洋の文化の違いは、読書や勉強の習慣にも影響を与えます。東洋、特に今日の中国では、学生たちは教科書の論理的推論のプロセスに受動的に従い、暗記することだけを追求し、考えることではなく数学を学んでいます。彼らは、なぜこのステップが次のステップにつながり、次のステップが次のステップにつながり、最終的に定理の結論に至るのかを知っているだけです。証明のプロセスは理解しているようですが、実際には理解しておらず、試験に対処することしかできません。優秀な西洋の学生は、勉強するときによく「なぜ」と尋ねます。「なぜこうなっているのか？」なぜこれをするのですか?これらの質問は試験には出題されない可能性が高いですが、研究をしているときに頻繁に出てきます。そこでヨークは若い学生たちに冗談交じりにこう言う。「試験に合格したいだけなら、定理の証明を暗記すればいい。でも研究がしたければ、証明の中の2つの重要な概念を本当に理解しなければならない。」

演習を行うことは数学を学ぶプロセスに欠かせない部分ですが、科学的に行うことで時間を節約できるだけでなく、半分の労力で 2 倍の結果が得られます。私が大学に通っていた頃、全国の数学学生がベラルーシの数学者ボリス・パブロヴィッチ・デミドヴィッチ（1906-1977）の『数学解析演習』に取り組むのが流行していました。この本は人々の推論能力の発達に計り知れない貢献をしてきました。これは、ソ連の数学者グレゴリー・ミハイロヴィチ・フィヒテンホルツ (1888-1959) の有名な著作『微積分学講座』に劣らず重要であるとさえ言えるでしょう。『微積分学講座』は、当時ほぼすべての数学の学生が持っていた複数巻の課外参考書でした。私の同級生の田剛は、学部時代に2万回以上の演習を行い、それがその後の彼の素晴らしい数学人生の基礎を築きました。しかし、記者のインタビューに対して彼は、喜劇の巨匠チャールズ・チャップリン（1889-1977）が名作映画「モダン・タイムス」で残した「機械に巻き込まれる」という誇張されたイメージのように、今の大学生がこれほど多くの質問をして「質問解決マシン」になるように訓練されることに賛成できないと語った。大学入試のプレッシャーと名門校に入りたいという願望から、中国の高校生は18歳になるまでの数年間、積極的または受動的に数え切れないほどの勉強をしてきました。しかし、大学に進学すると、多くの人が勉強に対する熱意が萎えてしまったことに気づきます。どちらの極端も賢明なアプローチではありません。通常の状況下で、どうすれば「科学的に質問する」ことができるのでしょうか?演習の目的は、概念の理解を強化し、概念を適用する能力を強化することです。したがって、演習を行う前に概念の意味をまだ理解していない場合は、タスクのような方法で演習を行わないでください。優れた教科書に掲載されている練習問題の中には、概念を復習したり命題を直接適用したりするために使用される少数の「定型的な質問」に加えて、さらに高度な、非常に難しい質問も数多く含まれています。よく書かれた教科書の中には、読者が誰が挑戦するかを競うために、練習問題セクションに高度な結果を掲載しているものもあります。勇気を出してこのタイプの質問に挑戦してください。そして、ほとんど考える必要のない「決まりきった質問」をあまりしすぎないようにしてください。これは数学のスキルと将来のイノベーション能力を向上させる良い方法です。

学生時代と切っても切れないものといえば「成績」​​。当然、誰もが美しさと同じくらい良いスコアを好みます。テストの点数はもちろん重要です。なぜなら、テストの点数は学校が生徒がコースをどれだけ習得したかを評価する唯一の方法であり、基本的に知識の習得度を反映するものだからです。良い成績証明書は、あなたの学習履歴の記録として、あなたの残りの人生に幸せをもたらします。その年、私は全国ドイツ語試験で記録破りの成績を収めました。大学院担当学部長の秘書から成績証明書を受け取り、オフィスを出たときには少し高揚した気持ちになりました。先生の返事では、良い知らせを急いで報告したことを嘲笑されましたが、それでも私は「高い点数は常に低い点数よりも良い」と固く信じていました。これは確かに真実ですが、過去 33 年間、ドイツ語やロシア語で数学の記事を読む機会が一度もなかったというのが実情です。 1950 年に発表された古典的なエルゴード定理の説明と証明を特に読みたいと思ったことがありましたが、その記事はフランス語で書かれていて理解できませんでした。

中国本土では、高校卒業生の大学入試の点数が1点低ければ、長年夢見てきた二流大学への進学を逃す可能性がある。そのため、子供の成功を願う多くの親たちは、極端な方法と悪魔のような訓練で成功を成し遂げた衡水中学校の大学入試での高得点を賞賛している。現在の大学入試制度においては、この点数は極めて重要です。しかし、ノーベル物理学賞受賞者の李宗道氏（1936年～）が言うように、クラスでトップの成績だったノーベル賞受賞者（当然、李氏自身も含む）は見たことがないが、クラスで最下位だったという人は何人かいたと聞いている。この一文は非常に示唆に富んでいます。勉強の目的は最高の成績を追求することではなく、真理を追求し、真理を理解し、最終的には職場に入ってから発明を生み出し、真理を発見できるようになることです。生徒がテストの点数を重視しすぎて先見性を欠き、視野を広げるために課外授業で本を熱心に読まずに、一日中試験の基準となる教科書だけに集中すると、たとえテストの点数がクラスでトップクラスだったとしても、長期的には後悔することになるかもしれません。高い志を持つ学生は、幅広く読書をし、10年後、20年後の輝かしい未来のためにしっかりとした基礎を築くことを考えるべきです。

李天炎教授は大学で優秀な成績を収めていたにもかかわらず、その記録を真剣に受け止めたことはなかった。その間、彼は博士課程の学生たちに「中核となるスキル」を学び、「本当の才能と知識」を持つようにと頻繁に注意していた。南洋理工大学での勉強を振り返ってみると、テストでいい点数を取るために勉強しなかったことが良かったと思います。その代わりに、スポンジのようにできるだけ多くの有用な知識を吸収したいと思いました。数学や人文科学を含む大量の課外書籍を粘り強く読むことが私の習慣になりました。普段、私は教科書を読むのにあまり時間をかけません。しかし、毎回の授業の前に、私は先生が何を話すのかを大まかにざっと目を通しました。授業の後は、メモを取らずにただ耳をそばだてて注意深く聞いていました。せいぜい、本の向こうで突然聞いた内容を教科書の空白部分に書き留めるくらいでした。授業に熱心に耳を傾けた後、概念が頭に染み込んでいくのを感じました。しかし、アメリカに行ってみると、多くのアメリカ人教授が教科書に沿って教えなかったり、教科書をまったく使わなかったりすることがわかりました。彼らはほんの数冊の参考書を列挙し、雄弁な舌使いに頼って知識を売りつけていた。そこで私は「心機一転」して授業のノートを取り始めました。しかし、私は段階的に教えるのではなく、学生が考え続けることを奨励する教授を好みます。

李天炎教授の数学における3つの主要な貢献を改めて見てみると、博士課程の学生時代に数学のさまざまな分野に手を出していたことがわかり、これは驚くべきことです。私は中国では彼の作品を一つしか理解できませんでしたが、アメリカに来てから彼に深く影響を受けました。私は一つの技術を習得することに限定せず、彼の研究結果を明確に理解するよう努めました。このことが彼に良い印象を与えたようで、私が就職した後、勤務先の大学がグリーンカードの申請を手伝ってくれた時、人事部から彼が書いた推薦状を見たのですが、そこには彼の教え子の中で「私の研究分野をすべて理解しているのは彼だけだ」と書かれていました。

読み方を学ぶことは、将来研究や探究に携わりたいと願う人々にとって、学術研究の第一歩を踏み出すための強固な基盤となります。

書評

愛が深ければ、それは自然なことです。愛が深いとき、それを手放すことにどうして耐えられるでしょうか?

——「混沌から抜け出す：李天炎と私の数学的関係」を推薦する

執筆者：王涛（中国科学院自然科学史研究所）

李天炎教授（1945-2020）は中国では非常によく知られており、一般の読者でもその名前を知っています。彼の論文「周期 3 はカオスを意味する」は非常に有名で、プリンストン高等研究所の F. ダイソンは有名な演説「鳥とカエル」の中で、この論文を数学文献における不滅の宝と呼んだ。このような業績を成し遂げることができれば、歴史に名を残すのに十分です。これに加えて、李天炎には「水素爆弾の父」ウラム (S. ウラム) による数学的予想の証明と、オランダの数学者 L. ブラウワーによる有名な不動点定理の構成的証明という 2 つの傑作があり、これによって李天炎はカオス力学系とホモトピー連続アルゴリズムの 2 つの分野で学術的地位を確立しました。

南ミシシッピ大学数学科の丁久教授は、李天炎の弟子として師に対して深い思いを抱いており、国内の読者に何度も李天炎の数学的業績、学問的思想、不屈の意志を紹介しています。李天炎の死後、丁九は悲しみのあまり、自分を抑えることができなかった。彼は長年大切にしていた日記や、35年間の二人の往復書簡の記録をめくり、当時のことを細部まで思い出しながら、友人たちの助言や読者の期待を胸に猛烈に書き上げた。この心を痛める作品「混沌から抜け出して：李天炎と私の数学的関係」（以下、「混沌から抜け出して」）を完成させるのに、彼は2か月半を要した。

「Out of Chaos」は、時代を超えた科学的概念「カオス」をタイトルに使用しており、これは李天炎の最も重要なラベルでもあります。李天炎はどのようにして混沌を発見したのでしょうか?その裏にはどんな刺激的な物語が隠されているのでしょうか?数学者として生まれた丁久氏は、科学史家の洞察力と科学ライターの文体の両方を兼ね備えています。彼はしばしば歴史的な手がかりから出発し、美しい言葉を使って李天炎の数学的貢献と関連する数学理論を簡潔かつ明快にわかりやすく説明し、読者が「混乱から抜け出す」ことができるようにしています。この本は李天炎の半生を描いた伝記とも言える。読者を最も感動させたのは、李天炎の強い意志かもしれない。彼は人生のほとんどを病気と闘いながら過ごしたが、決して希望を捨てなかった。中国科学院の閻建安院士は彼を讃える詩を書き、「文学界の石鉄生に匹敵する」と述べた。香港城市大学の陳冠栄教授は、彼のことを記念して「天眼鉄生」という慣用句を作ったほどだ。

しかし、伝記はこの本の唯一の主題ではありません。副題が示唆するように、著者と数学の指導者との関係がこの本の核心です。この本は読者に、数学者、教師、生徒の関係を理解する貴重な機会を提供します。本書を最後まで読むと、著者と李天炎の「関係」は「父と息子の関係」であり「恋人同士の関係」でもあることが分かる。

この本の前半では、主に著者がどのようにして李天炎の弟子になったかが語られています。主人公の二人は、一人は中国の南京大学に、もう一人はアメリカのミシガン州立大学にいます。 1980年代、著者がリーチアンヤンの学生になりたかった場合、彼は本当に運が必要でした。幸いなことに、相同性の曲線は、著者とLi Tianyanが中国の広州で初めて会うための橋として機能しました。恋をしている男の子と女の子のように、ティアンヤンの学生になる過程で、著者はしばしば幸せを感じましたが、時にはストレスを感じました。 TOEFL、英語テスト、博士課程の資格試験などの一連のテストに合格した後、著者は1987年1月にLi Tianyanの公式弟子になりました。読書中に、読者は著者の誠実さを感じることができます。彼は、彼が遭遇した後退と失敗を避けたことはありません。したがって、この本は貴重な回想録でもあります。

中国人は、「一度教師、常に父親」と信じています。著者が本で認めたように、両親は別として、リー・ティアンヤンは彼に最大の影響を与えました。特に、彼の勉強と米国での仕事の間、Li Tianyanは親切でありながら厳しい親のようで、読書の秘密と研究の方法を彼に教えました。このプロセスでは、著者はまた、長年にわたって中国と米国の教育と文化に関する彼の考えと経験についても話しました。これらの内容は、本の後半を構成します。リー・ティアンヤンはこれらの「子供たち」を非常に心配しているので、時折の怠lackを心配しているだけでなく、彼らの継続的な成長にも満足しています。彼はまた、彼らが卒業後に満足のいく仕事を見つけて人気のある教師になることができるように、彼らにスピーチ、特にインタビューレポートの作成方法を段階的に教えています。著者に深い印象を残したのは、彼の故郷に対する李ティアンヤンの愛でした。彼は祖国に対して深い感情を持ち、外国人を尊厳をもって扱い、従順ではないように扱うように「子供」に教えました。

この本を読んだ後、読者はLi Tianyanの個人的な魅力に惹かれると信じており、著者が彼のメンターを逃したという本当の感情に感動するでしょう。読書のプロセス中、読者が著者の他の2冊の本、「賢者の混乱：カオスとフラクタルに関するとりとめのない話」と「アメリカの教育の個人的な経験：30年の経験と思考」を参照できる場合、彼らはティアンヤンと彼の数学的成果の理解を深めることはできませんが、中国と米国の教育の真の意味についてさらに学ぶことはできません。

リー・ティアンヤンは、学生のディン・ジュウが数学文化に関する素晴らしい作品を書いたという事実に慰められることがあります。いつか将来、著者がリー・ティアンヤンのより完全な伝記を書くことができることを願っています。これは読者へのより大きな贈り物になるでしょう。