王洪はフィールズ賞の有力候補となる。掛谷予想はなぜそれほど重要なのでしょうか?

100年前、日本の数学者影谷惣一は興味深い平面幾何学のパズルを提唱しました。問題の平面条件を一般の n 次元空間に拡張すると、「茅予想」と呼ばれる重要な命題が導き出されます。その後、分析家たちは、掛谷予想が現代数学における最も重要な未解決問題の一つと密接に関係していることに気づき、それが幾何学的測度論の中核となり、この新興分野に幅広い研究空間を切り開きました。しかし、数学界は長い間、2次元空間におけるKakeya予想のみを解決してきました。 3次元空間は破壊不可能な要塞のようなもので、これまで人類が開発した数学の武器は完全な成功を収めることができなかった。しかし、2025年2月末、王紅とジョシュア・ザレが数学界に衝撃を与える論文を発表した。

著者 |ジアウェイ

トイレ使用中に襲われた日本の侍とリーマン積分

数学は難しい考えを簡単な言葉で表現する科学です。

—エドワード・カスナーとジェームズ・ニューマン

これはネタバレみたいなものです。 2025年の2月も残りわずかとなったが、数学界は今年最も重要な数学の成果を目にしたようだ。ニューヨーク大学クーラント数学研究所の准教授で、まだ34歳の王紅氏が、ブリティッシュコロンビア大学のジョシュア・ザール氏と共同で、プレプリントウェブサイトarXivに127ページの論文を提出し、3次元カケヤ予想の証明を発表したのだ。

Wang Hong と Joshua Zare は、3D Kakeya 予想を証明したと主張して、論文のプレプリントを arXiv に公開しました。 |画像出典: [2502.17655] 凸集合の和集合の体積推定と3次元におけるKakeya集合予想

掛谷予想は有名な回転針問題から導き出されました。 1917 年、日本の数学者掛谷宗一 (1886-1947) は、後に彼の名にちなんで名付けられた有名な問題を提唱しました。

長さ 1 単位の線分 (針) を 180° 回転させても常に図形内に収まるすべての図形のうち、面積が最も小さいのはどれですか。線分に沿って前後に移動する場合、線分は領域を掃引しないことに注意してください。

かけやは待ち伏せされた日本の侍からインスピレーションを得たと言われています。彼は、場所を取らない理想的な長い針として、武士の刀を抽象化しました。同時に、便宜上、彼は問題を 2 次元平面に限定しました。掛谷氏は次のようにコメントした。

侍は護身用に長い刀を持っており、トイレなど、どんな場所でも、その大きさに関わらず自由に刀を振るう必要がありました。

注：掛谷針問題に関する当初の声明と関連する歴史については、異なる文書に記載されている記録が若干異なります。便宜上、ここでは上海科学技術教育出版社が発行する「数学の発見シリーズ」のジュリアン・ハビルの著書「信じられない：直感に反するパズルとその驚くべき解決策」の記述を採用します。

掛谷壮一の貴重な人物像 |出典：東京大学大学院数理科学研究科画像コレクション

半径 0.5 の円は、条件を満たす最も簡単な形状ですが、条件を満たすすべての形状の中で面積が最小の形状ではないことは明らかです。

掛谷氏とその同僚、そして他の何人かは当初、高さ 1 の正三角形が、問題の条件を満たし、面積が最小となる凸図形であると推測していました。ハンガリーのポジョニ（現在のスロバキアの首都ブラティスラバ）からデンマークのコペンハーゲンに移住した才能と野心のあるハンガリーの数学者、ユリウス・パールは、高さ 1 の正三角形がカケヤの条件を満たす最小の凸形状であるという証明を 1921 年に発表しました。

正三角形は、カケヤ条件を満たす最小の面積を持つ凸形状です。 |画像出典: 信じられない: 直感に反するパズルとその驚くべき解決法、第 13 章

ボーアのコペンハーゲン居住地への資金援助を行ったのは、物理学者で量子論の先駆者であるニールス・ボーアの弟である数学者ハラルド・ボーアだった。おそらく、ボーアにカケヤの回転針パズルを紹介したのはこの数学者だったと思われる。

一方、掛谷氏と以前の研究者たちは、非凸図形の場合、答えは三尖弁を指し示すと推測した。これは、ハイポサイクロイドファミリーの特別なメンバーです。しかし、さらに小さな形があることに人々が気づくまで、そう長くはかかりませんでした。

三尖線丨出典：カケヤセット - Wikipedia

また 1917 年に、アブラム・ベシコヴィッチというロシアの数学者が、一見異なる問題を解きました。偶然にも、ベシコヴィッチも研究職を求めてデンマークに行き、彼の主なスポンサーはハラルド・ボーアでした。

ベシコヴィッチがカケヤの「魅力的で直感的な定式化」のパズルについて知り、まったく異例で予想外の解決法を提示するまでには、さらに数年かかりました。

1917 年、ベシコヴィッチは次のリーマン積分問題について考えていました。

平面上にリーマン積分関数 f がある場合、任意の固定された y に対して f(x, y) が x の関数としてリーマン積分可能であり、f の二次積分が二重積分 ∫∫f(x, y)dxdy に等しいような直交座標系 (x, y) が必ず存在するのでしょうか?

上記の質問に答えるために、ベシコヴィッチは集合を構築しました。集合とは、すべての方向を指す単位線分を含み、面積（厳密に言えば、ルベーグ測度）が 0 である図形です。

このセットはベシコヴィッチセットと名付けられました。このような線分の集合が存在するため、上記の質問に対する答えは「いいえ」です。

今日、後世の観点から見ると、この問題は本質的には実解析における重要な定理であるフビニの定理の探求と発掘であったことがわかります。しかし、数学の魅力は、その予想外のところにあることが多いのです。いわゆる「バウアー接続」（前述のバウアー）をベシコビッチ集合に適用すると、カケヤの針問題に対する答えは、針が掃引する面積が 0 に任意に近づく可能性があるため、面積が最小の図形は存在しない、ということであることが証明できます。

このように、解析学における積分問題と平面上の幾何学的問題の間には素晴らしいつながりが築かれており、ベシコビッチ集合はカケヤ集合と呼ばれます。

また、インターネット上の一般的な科学一般の記事や一部の出版物には間違いがあることも言及する価値があります。多くの人は、面積が 0 のベシコビッチ集合の存在が、「針が掃く最小面積は 0 になる可能性がある」という結論に直接つながると誤解しています。ただし、すべての方向を向いた針を直接一緒に配置することによって得られるパターンは、針を 180 度連続して回転させることによって得られるパターンとは異なります。実際、針はベシコビッチセット内のある位置から別の位置に連続的に変更できず、0 の領域をスイープすることはできません。そこで必要になるのが「バウアー接続」という技術です。同時に、針が掃引する面積は任意に小さくなる可能性があるが、ゼロではないという結論に達しました。

掛谷予想 - 面積から次元へ

実数では、オブジェクトはゼロに非常に近いにもかかわらず、実際にはゼロではない場合があります。どういうわけか、それがテクノロジーの核心なのです。

--ジョシュア・ザレ（ブリティッシュコロンビア大学）

ベシコヴィッチ集合を構築する方法は数多くありますが、最も古典的なのは「ペロンツリー」と呼ばれる手法です。これはベシコヴィッチのオリジナルの構築を簡素化したもので、オスカー・ペロンにちなんで名付けられました。

高さが 1 の正三角形 (この三角形は Kakeya 問題を満たす最小の凸形状であることに注意してください) を想像し、それを半分に分割し、次に示すように 2 つの直角三角形を少し重ねます。この新しい図形の面積は三角形の面積よりも小さいですが、その上部の 2 つの角にはそれぞれ長さが 1 以上の線分が見つかります。

もう一度やり直して、三角形を 8 つの等しい部分に分割します。 2 枚ずつ積み重ね、さらに 2 枚ずつ積み重ねます。この形状はペロンツリーと呼ばれます。このステップを繰り返して三角形を 16、32、…、2^n 個に分割すると、図形全体の面積がどんどん小さくなることは明らかであり、ステップ数が増えるにつれて図形の面積が限りなく 0 に近づくことが証明できます。

ペロンの木の建設プロセス |出典：カケヤセット - Wikipedia

こうして、カケヤの針の回転問題は完全に解決されたようだ。これはまた非常に興味深く、難しい楽しい数学の問題です。しかし、それだけでしょうか?間違っている！

ベシコヴィッチ集合を平面に適用して針問題を解決した後、数学者は集合自体の特性、特にそのフラクタル次元に注目し始めました。

任意の方向の単位ベクトルが含まれているため、直感的には、この集合の次元は 2 未満にならないはずです。これが元々の Kakeya 予想です。実際、測度ゼロの集合の場合、次元の定義は複数あります。一般的に、最もよく使用される次元は、ハウスドルフ次元とミンコフスキー次元です。ここでは前者についてのみ紹介します。

フラクタル構造とは、自己相似な幾何学図形のことで、何度拡大したり縮小したりしても同じ、あるいは類似した形状が見られます。フラクタル構造は無限の複雑さと詳細さを持ち、雪の結晶、葉、海岸線など自然界によく見られます。
研究によると、物事が自己反復パターンに従うと、脳にリラックス感が生まれ、ストレスが軽減され、安心感やリラックス感が得られるそうです。人類の文明は、その誕生以来、無意識のうちにこの特徴を活用することを学んできました。自宅のベッドシーツ、壁紙、カーテンの模様について考えてみてください。これを「フラクタル流暢性」と呼びます。その原理は、おそらく、視覚要素を繰り返すことで、脳が視覚情報を処理するために使用する計算リソースが削減され、人々がリラックスして幸せな気分になるというものです。

フラクタルゴスパー曲線の自己反復構造 |出典: フラクタル曲線 - Wikipedia

フラクタルが存在する次元は整数ではありません。ハウスドルフ次元を使用して定義できます。測定された図形がどんなに複雑であっても、半径 e の小さな円で常にそれを覆うことができます (円同士が部分的に重なり合うことを許容します) (平面全体を小さな円で覆うことができるため、もちろん平面上の任意の図形を覆うことができます)。

フラクタル次元の近似計算方法のデモンストレーション |画像出典: ハウスドルフ次元 - Wikipedia

測定図形を覆う小円の数N(e)を考え、対数演算[LogN(e)/Log(1/e)]を考える。 e が 0 に近づく極限がフラクタルのハウスドルフ次元です。測定された数値が十分に規則的である場合、ハウスドルフ次元が通常の意味での次元であることは簡単に確認できます。

カケヤ予想に戻ると、半世紀に及ぶ研究を経て、1971年にロイ・デイヴィスは平面上のベシコビッチ集合のハウスドルフ次元とミンコフスキー次元がちょうど2であることを証明した。1次元の場合は自明なので、数学者はさらに、任意の正の整数nに対して、

n 次元ユークリッド空間では、すべての方向の単位ベクトルの集合は、ミンコフスキー次元とハウスドルフ次元の両方が n に等しくなりますか?

これが掛谷予想の完全な記述です。 3次元以上の場合、それは何世代にもわたる数学者の攻勢を阻止する、難攻不落の要塞のようなものです。 n 次元空間自体にはすべての方向の単位ベクトルが含まれている必要があるため、ここでの難しさは、実際には、高次元ベシコビッチ集合 (カケヤ集合) (「体積」は 0 だが、すべての方向の単位ベクトルが含まれている集合) の次元が、空間自体と等しくなるほど「大きい」かどうかです。トーマス・ウルフ、ジャン・ブルガン（1994 年フィールズ賞受賞者）、ネッツ・カッツ、テレンス・タオなどの数学者はこの分野で重要な中間結果を達成しましたが、n=3 という最も単純な特殊なケースにさえまだ対処できていません。

無限を有限に変える：掛谷予想の真の価値

これが簡単だと思うなら、問題を誤解しています。

——C++言語の父、ビャーネ・ストロウストルップ

カケヤ予想の研究は、現代数学の一分野である幾何学的測度論を生み出したが、1971年にチャールズ・フェファーマン（1978年フィールズ賞受賞者）が論文「球の乗数問題」の中で、カケヤ予想と現代調和解析の分野とのつながりを指摘するまで、数学界では一般に、カケヤ予想は極めて難しく興味深い問題とみなされていた。つまり、カケヤ予想には真剣さや含蓄がなく、学者の好奇心を満たすため、そして数学の純粋な美しさを鑑賞するという審美的な目的のためだけに研究されていたのである。

実際、ベシコヴィッチが 1917 年に考えていた積分問題がカケヤの針問題と関連していることに注目すると、カケヤの予想と現代の調和解析における最も重要なトピックとの間に関連があったとしても不思議ではありません。

書籍「10,000の科学問題：数学」によると、カケヤ集合（ベシコビッチ集合）は、調和解析、数論、偏微分方程式など多くの分野と深い関係があります。たとえば、調和解析の振動積分理論やディリクレ級数の分布において重要な役割を果たし、波動方程式の解の局所的滑らかさと密接に関係しています。

実際、ベシコビッチ集合の次元情報は、一連の数学的推測の生死を決定することになります。これらの数学的推測はほとんど知られておらず、世論でも評判がありません。しかし、数学者の目には、それらの重要性は有名なリーマン予想に劣らないものです。ベシコビッチ集合の幾何学は、偏微分方程式や調和解析などの分野で多くのトピックをサポートしていると言えます。最も印象的なのは、この予想が解析における 3 つの中心的予想の妥当性にとって必要条件であるということです。

具体的には、フーリエ解析には、いわゆる制限予想とボクナー・リース予想があり、より広い分野では局所平滑性予想があります。包含と難易度の関係は次のとおりです。

掛谷予想 ⊂ 制限予想 ⊂ ボクナー・リース予想 ⊂ 局所平滑性予想

これはまた、掛谷予想が真実でなければ、その後の予想はすべて偽になることを意味します。現代のアナリストは涙を流して休むことができる。

この一連の数学的推測の重要性は、本質的にはフーリエ変換の重要性に由来します。フーリエ変換は、ほぼすべての関数を正弦波の合計として表すことができます。これは物理学者やエンジニアにとって最も強力な数学ツールであり、おそらく行列理論にのみ匹敵します。おそらくさらに重要なのは、加算、減算、乗算、除算の四則演算などの基本的な常識です。

フーリエ変換は微分方程式を解くための最も重要なツールであり、不確定性原理などの量子力学の考え方の背後にある数学的基礎です。また、実際のアプリケーションにおいても比類のない価値があり、信号の分析と処理において重要な役割を果たし、現代の携帯電話などを可能にしています。

制限予想から局所平滑性予想まで、それぞれがフーリエ変換の「誤差」をさまざまな程度に制限するため、数学者やエンジニアはこれらの予想が正しい世界に住みたいと思うのは当然です。なぜなら、そのような世界では、フーリエ変換によって生じる「誤差」は常に「制御可能」であり、少なくとも予想よりも悪化することはないからです。

さらに、数学者たちは、上記の予想のために調和解析で使用された手法が、一見無関係と思われる数論の分野における主要な結果を証明するのにも使用できることを発見して驚きました (これはリーマン予想の証明を容易にする可能性があります)。

掛谷予想が解析の中心的テーマと結び付けられると、さらに注目を集めるようになりました。しかし残念ながらそれは難しすぎます。 n = 3 の特殊なケースについて言えば、1995 年まで、トーマス・ウルフは、3 次元空間におけるベシコヴィッチ集合のハウスドルフ次元とミンコフスキー次元は少なくとも 2.5 でなければならないことしか証明できませんでした。この下限を引き上げるのは難しい。 1999 年になってようやく、テレンス・タオとその協力者たちはミンコフスキー次元を突破し、新たな下限値 2.500000001 を得ました。たった 0.000000001 の改善ではありますが、これはゼロから何かへの成果です。その結果、彼らの論文は数学分野のトップ4誌の1つである『Annals of Mathematics』に掲載されました。

テレンス・タオらによるこの論文の後、冒頭で述べた2人の学者、ワン・ホンとザレによって新たなブレークスルーが達成されました。2022年に彼らはテレンス・タオらの枠組みを引き継ぎ、射影理論を独創的に導入し、ついに特殊なタイプのベシコビッチ集合上の3D空間でカケヤ予想を証明しました。したがって、彼らはベシコヴィッチコレクションを最も深く理解している人々であると考えられています。

最も深く理解している人

（研究の方向性の選択）それはあなたの興味次第です。興味があるなら勉強してください。興味がないなら勉強する必要はありません...

—ニューヨーク大学クーラント数学研究所の王洪氏

2023年7月、王紅さんは母校で学術報告を行いました。|出典：北京国際数学研究センター

34歳の王紅さんは、16歳の時に大学入試で653点を獲得し、北京大学の地球宇宙科学部に入学しました。その後、数学への強い関心から、数学科に転入しました。

彼女はMITで博士号取得を目指して勉強しながら、有名な数学者ラリー・ガス（前述のテレンス・タオと同じく、幾何学的測度論と解析の分野で第一人者）に師事し、調和解析の分野で徹底的な研究を始めました。 2023年7月よりニューヨーク大学クーラント数学研究所の准教授を務める。

ザレ氏はテレンス・タオ氏の教え子であり、2013年に博士号を取得しました。両氏は主要な問題について極めて重要な研究を行ってきました。彼らの学術的業績は国際的な数学界で高く評価されています。

ジョシュア・ザール画像ソース: personal.math.ubc.ca/~jzahl/

2020年、Wang Hong、Gus、Ou Yumengが協力して、Falconerの距離集合問題（発明）を推進しました。 2023年、王宏と任賢治はファーステンベルグ集合予想を完全に解決しました。 2020年頃、フラクタル幾何学を研究する学者の間では、ファーステンバーグの予想は解決が難しい問題であるか、またはそれを解決するためのツールが現在存在しないと一般的に信じられていました。本日、Wang Hong 氏と Zar 氏は、3D Hanging Valley 問題を解決したことを発表しました。ファルコナーの距離設定問題が完全に解決される日が待ち遠しいですね！昨年前半には、王洪氏をフィールズ賞の候補に推薦すべきだという声も上がったほどだ。

ファーステンベルク集合予想は、フラクタル幾何学の分野における有名な数学の問題です。具体的には、この予想は集合の複雑さとサイズに関係するハウスドルフ次元に関連しています。この予想は、集合が特定の幾何学的構造（平面上の直線の集合など）を持つためには、そのハウスドルフ次元が特定の条件を満たしている必要があるというものです。この説明からも、掛谷予想と非常によく似ていることがわかります。具体的には、異なる方向へのセットの投影に何らかの構造がある場合、セットの全体的な次元に下限があるはずです。この予想は集合論や幾何学だけでなく、力学系や数論などの分野にも関連しているため、数学では広く研究されています。

王洪氏が論文を発表した後、予測市場プラットフォームは、同氏が来年、数学界の最高賞であるフィールズ賞を受賞する可能性が高いとみている。

王洪氏とザレ氏の最新の論文はさらに膨大（127ページ）である。著者は、2022 年 (スティッキー Kakeya 集合とスティッキー Kakeya 予想) と 2024 年 (R³ における Kakeya 集合の Assouad 次元) の 2 つの論文を、この論文と合わせて三部作と呼んでいます。序文で、著者らは、彼らの証明は「Katz-Tao プログラム」の枠組みで Kakeya 予想を解くというアイデアに基づいており、それを実装したものであると書いています。

解析手法ではすべての方向を指す単位ベクトルを処理できないため、調和解析のツールを適用する際には、まず問題を離散化する必要があります。基本的な考え方は、単位ベクトルに「幅」を与えることです。つまり、単位ベクトルを幅のない理想的な幾何学的線分として扱うのではなく、実際の物理的な針として扱うのです。同時に、彼らは集合のベクトル要素に幅を与えた後、ベシコビッチ集合の体積を計算しました。幅と物理的な針の間の数値関係を比較した後、背理法の助けを借りて、矛盾を得て、推測が有効であると推論することができます。

実際の証明プロセスでは、いくつかの例外は避けられません。それらの構造は非常に「醜い」ので、少し分析が必要です。記事の長さからもわかるように、このプロセスは簡単ではありません。

王洪氏とザレ氏の論文が最終的に査読を通過しれば、彼らの研究結果は画期的なものと言えるだろう。多くの学者は、王洪氏が数学界最高の栄誉であるフィールズ賞を受賞する初の中国人数学者になるかもしれないと考えている。論文の審査には少なくとも1年かかることを考えると、彼女が2030年（受賞年齢の40歳以内）に受賞する可能性は非常に高いと思います。

近い将来、中国の数学者は独自の革新的な思考と厳格な研究方法により急速に台頭し、世界の数学界で徐々に重要な地位を占めるようになるだろう。同時に、伝統的な限界を打ち破る勇気を持った才能ある女性数学者もますます多く登場しています。彼らは、輝く星のように、並外れた知恵を使って、世界の数学の発展に無限の新しいエネルギーを注入しています。

謝辞: 本論文に対するコメントをいただいた南ミシシッピ大学の Jiu Ding 教授とカリフォルニア工科大学の Yi Ni 教授に感謝します。

参考文献

[1] Hong Wang、Joshua Zahl、R³におけるKakeya集合のAssouad次元、arXiv:2401.12337

[2] Hong Wang、Shukun Wu、分離定理と両端のFurstenberg不等式を使用した制限推定、arXiv:2411.08871

[3] テリー・タオ、3次元カケヤ予想、ワンとザールのその後、新着情報

[4] ケビン・レン、ホン・ワン、ファーステンバーグは平面での推定値を設定する、arXiv:2308.08819

[5] 東野博士は偏微分方程式、組合せ論における多項式法：有限体上の掛谷予想、知湖を知らない

[6] 5歳で2度飛び級 - 16歳の少女が北京大学に入学した秘密、Sina.com

[7] フェファーマン、チャールズ。「ボールの乗数問題」数学年報94.2（1971）：330-336。

[8] ジョーダナ・セペレヴィッツ「針の上に立つ推測の塔」クアンタ・マガジン

[9] ジョーダナ・セペレヴィッツ「新たな証明が難問の解決に役立つ」Quanta Magazine

特別なヒント