凝縮系物理学者が「馬の理論」を書き直し、魔法の超モル物質を実現

凝縮系物理学の分野では、量子モル物質の研究がタイムリーです。この記事は、読者がこの分野における新たな進歩、すなわち格子長の大きい超モアレ材料の取得を理解していただくために、「Ma Shuo」の物理学バージョンから始めます。超モアレ材料がもたらす魔法のような物理的効果、そしてこの研究が理論から計算、実験まで完全な閉ループを完成させ、これまでの研究者が開拓しながらも達成できなかった整数フラックス・ブロッホ状態と整数BZ振動を実現する方法を理解し、それが量子の世界の研究に新たな道を切り開く様子を垣間見ることができます。

著者 |馬 亜奇(香港科技大学) 、黄 美珍(香港科技大学) 、カルロと王 寧(香港科技大学)

スーパーモアレは言う

モアレがあり、その後スーパーモアレがありました。モアレは一般的ですが、超モアレはまれです。

モアレの超格子の単位格子は数百ナノメートルの規模に達する可能性があるが、以前の著者らは超格子を生成できる可能性があることを知らなかった。

これは、従来のモアレの量子干渉効果と波動粒子二重性の力によって引き起こされるスーパーモアレです。

100ナノメートルの原始細胞に含まれる磁束の量は100倍に増加し、ブラウン・ザック振動が磁場に比例するという現象が世界に明らかになりました。

ああ！ブラウン・ザックや侯世達のような先人たちが今日のデータを見たら、きっとこう言うだろう。「この人たちがいなければ、誰と一緒に帰ればいいんだ？」

解決

このセクションは、韓愈、范中燕、および数人の物理学者の「超モアレ理論」が混在しており、読む人にとっては混乱を招きます。あらかじめお詫び申し上げます。しかし、この古典中国語と俗語、古代と現代、中国と外国の混合には、実は量子溶融材料に関する現在の研究における新たな進歩が含まれている[1]。以下の記事は、中学校で習った古代中国の文学と同じように、この進歩を評価するものとして読むことができます。

量子モアレ材料とは、人工の二次元超格子材料を指します。この種の材料に関する理論的、計算的、実験的研究は現在、凝縮物質物理学と量子材料科学の研究の焦点となっています。具体的な例としては、二層ねじれグラフェン[2]や遷移金属二カルコゲニドなどがあげられる。前者では超伝導が発見され、後者では、現在世界中で盛んに研究が進められている分数量子ホール効果の磁場のないバージョンである分数チャーン絶縁体が発見されました。これらの材料に共通する特徴は、積み重ねと回転により、材料内に形成される人工モアレ格子のスケールが、単層成分の原子格子のスケールよりも大きくなる可能性があることです。たとえば、単層グラフェン内の炭素原子によって形成されるハニカム格子の結合長はオングストローム（10^(-10) m）のオーダーであるのに対し、二層ねじれグラフェンのモアレ超格子の格子長は最大 10 ナノメートル（10^(-8) m）に達することがあります。 2次元（ディラック）電子ガス、モット絶縁体、非フェルミ液体、非従来型超伝導体、量子異常ホール効果（チェン絶縁体）とその分数バージョンなど、量子多体物理学や位相物理学で誰もが追求する新しい現象はすべて、このような長さスケールとエネルギースケールの変化によって量子モル物質に現れます。さらに、正確なゲート電圧、回転角度、歪み、垂直電場、外部磁場などを介してそれらを制御し、同じサンプル内でこれらの新しい物質の状態間の相転移を実現できます。理論から計算、実験まで、あらゆる年齢層に適したモル物質が凝縮物質物理学のホットな話題となっているのも不思議ではありません。

長さスケールとエネルギースケールの変化、そしてその結果生じる新しい物理現象は、ムーアの法則を超えて継続できるでしょうか?ここで議論したい進歩は、モアレ超格子に基づいて超格子単位セルのスケールをさらに拡大し、単位セルを 10 ナノメートル (10^(-8) m) から 100 ナノメートル (10^(-7) m) に拡大する方法を見つけることです。このようにして製造された2次元超格子材料がスーパーモアレ[1]である。

単位格子を大きくしたい場合、格子定数が類似する 2 つの材料を人工的に積み重ねてヘテロ接合を形成することは不可能です。ヘテロ接合の単位セルサイズは、2 次元材料の 2 つの層間の格子定数の差によって決まり、この差は有限です。グラフェンと六方晶窒化ホウ素 (hBN) によって形成される最も一般的なヘテロ接合の場合、その最大単位セル サイズはわずか約 14 ナノメートルです。一方、ホモ接合内の同じ 2 次元材料の 2 つの層間の角度を単純に調整するだけでは、より大きな単位セル スケールを実現することはできません (これまでにも多くの試みが行われてきましたが)。これは、実際の材料では原子配列の不均一性が大きな問題であり、二重または多層のモル材料はファンデルワールス力（3次元材料で一般的な化学結合ではなく）によって結合されるためです。ファンデルワールス力は化学結合ほど強くなく、原子は比較的簡単に位置を調整して局所的な基底状態を見つけることができますが、全体としては原子の配置がより無秩序になり、周期的な格子を形成できなくなります。

では、このような問題をどうやって克服すればいいのでしょうか?古いことわざに「疑問があるときは量子力学に頼りなさい」というのがあります。この問題の解決策は、すでに安定している 2 つのモアレ超格子を積み重ね、適切な角度に回転させることです。このとき、重ね合わせた安定なモアレ超格子（単位格子サイズは約 10 ナノメートル）内の電子の波動関数は干渉効果を生み出します。つまり、2 つのモアレ間の相対回転角度が干渉に必要な整合条件を満たす場合、つまり 2 組のモアレの逆格子ベクトルが特定の関係を満たす場合、2 つのモアレの波長が干渉し、干渉波の波長が長くなります。このようにして生成された超モアレ超格子は、前述の材料の不均一性を克服し、より大きな単位格子の安定した周期格子構造を示す格子長を有する。超モアレの形成は、原子密度を機械的に回転させて単に幾何学的に大きな周期を配置するのではなく、2つの安定したモアレ超格子における電子波動関数の量子力学的干渉効果に依存しているため（実際の物質の原子配置は本質的に不均一であり、原子密度で真の周期を形成できないことは言うまでもありません）、まさに「波動粒子二重性の威力は十分に根拠がある」と言われています。これまでに得られた実験結果は、実際には理論上の整合条件を満たす多くの干渉波長のうちの 1 つにすぎません。この道が開かれれば、さらに多くの超モアレ物質が生み出され、より大きな長さスケールでの新しい量子多体物理現象や位相物理現象が次々と出現することが期待されます。

では、格子長が長いスーパーモアレを使えば、どのような新しい物理現象を実証できるのでしょうか?これには、「スーパーモアレ理論」の導入に組み込まれた「ブラウン＝ザック、ホフスタッターの前任者」と呼ばれる数人の物理学者、および格子内の周期的なポテンシャル場と磁場の共同作用下で電子によって実証されたホフスタッターのバタフライ効果とブラウン＝ザックの量子振動効果について言及する必要があります。

ホフスタッターのバタフライ振動とブラウン・ザック振動

ホフスタッターバタフライはカオス現象でよく言われるバタフライ効果ではなく、ホフスタッターは中国人ではなく、アメリカの物理学者D.R.ホフスタッターです（彼の名前の中国語訳は非常に現実的だと言わざるを得ません）。 1970 年代に、彼は数値計算によって 2 次元周期ポテンシャル場と垂直磁場における電子の量子運動のエネルギー スペクトルを得ました。スペクトルが蝶のような形をしているため、この名前が付けられました。彼の研究結果は、現代の科学計算データ視覚化の初期の例の一つにもなった[3]。

図 1. ホフスタッターが描いた「バタフライ ダイアグラム」は、蝶のような形をした外部磁場の関数として、2 次元正方格子内の電子のエネルギー レベルを表します。画像は参考文献[4]より引用。

外部磁場の関数としての 2 次元正方格子内の電子のエネルギー レベルを図 1 に示します。数学的構造の観点からこのスペクトルの最も注目すべき特徴は、特定の磁場値 (水平軸) の下で、電子が取り得るエネルギー固有状態 (垂直軸) が磁場の変化に応じて複雑に分裂し、蝶のような形をした反復的なフラクタル構造を生成することです。その後、蝶の羽の特性はチャーン整数であることが発見され、ホフスタッターの蝶はその後の整数量子ホール効果理論や位相量子数理論において重要な役割を果たしました。このようなパターンが形成される本質的な理由は、

磁場がゼロになると、電子は磁場の制約から解放され、自由な状態に戻ることができます。周期的な結晶内を自由に移動する電子の波動関数は、図 2.a に示すように、スイスの物理学者フェリックス・ブロッホ (1905-1983) にちなんでブロッホ状態と呼ばれます。ホフスタッターのバタフライエネルギースペクトル内の電子は、磁場の整合条件が満たされるとブロッホ状態になる波動関数を持ち、そのエネルギーは図1の色付き領域になります。このとき、電子は伝導でき、この時点で磁場が存在することを考慮すると（整合条件では電子は磁場を感じることができませんが）、電子の波動関数は磁気ブロッホ状態と呼ばれます。磁場整合条件が満たされない場合、電子波動関数は絶縁状態にあり、そのエネルギーは図1の空白領域になります。

磁気ブロッホ状態の電子は、エネルギーバンド内の金属の自由電子と同様に、磁場によって束縛されないため、弾道輸送を維持することができます (図 2.c)。磁場を調整し、電子の状態を図 1 の空白領域に調整すると、電子はエネルギーバンドの中央のエネルギーギャップに入ったかのように拘束され、伝導に参加できなくなります (図 2.b)。ホフスタッターバタフライ（2次元周期格子ポテンシャル場と垂直磁場内の電子）の輸送特性を測定し、その伝導性が磁場によってどのように変化するかを観察すると、磁場が変化すると、

格子単位セルを通過する磁束は、整合条件を満たす状態と満たさない状態の間で変化します。

電子の挙動は、磁場に対する「自由束縛」状態の間で変化します。

その導電性は、磁場に応じて「伝導-非伝導」の振動挙動も示します。

このタイプの振動動作は、図2.d、e、fに示すようにブラウン・ザック振動（略してBZ振動）と呼ばれ、アメリカの物理学者エドモンド・ブラウン[5]とイスラエルの物理学者ジョシュア・ザック[6]にちなんで名付けられました。これら二人の理論物理学者は、1960年代に均一磁場がブロッホ電子の運動に与える影響を検討していました。 1970 年代のホフスタッターの研究はブラウン・ザックに基づいていると言えますが、ブラウン・ザックは磁気並進群の数学的構造についてより詳しく議論したのに対し、ホフスタッターは計算されたバタフライエネルギースペクトルとエネルギースペクトルのフラクタル構造を発掘しました。

図2. 格子単位セルサイズと磁場およびBZ振動の整合条件。 。磁場がない場合、電子は格子ポテンシャル場内を自由に移動し、その波動関数はブロッホ波になります。 b .磁場があっても相応の条件が満たされない場合、電子の動きは制限されます。 c . ...整合条件 /0 = / が満たされる場合、つまり、格子単位胞を通過する磁束が磁束量子の / 倍である場合、電子が感じる有効磁場はゼロになり、電子は磁気ブロッホ波の自由状態を復元します。 a、b、cは参考文献[8]より。 d .格子単位セル（灰色の六角形）が小さい場合、1 つの磁束量子を伝えるには複数の単位が必要になります。青い六角形は、特定の磁場強度で磁束量子を伝えるために必要な領域を表し、灰色の矢印は磁束量子を表します。つまり、格子単位セルは磁束量子の分数だけを通過できる、つまり /0 =1/( = 1,2,3, … ) です。すると、実験的には、図 e に示すように、1/ で周期的に変化する分数 BZ 振動が見られます。格子単位セルが大きくなると、単位セル（スーパーモアレ単位セル、赤い六角形）は同じ磁場下で整数個の磁束量子を持つことができます。つまり、/0 = ( = 1,2,3、…)です。すると、図 f に示すように、実験的に周期的に変化する整数 BZ 振動が見られます。

これまでのところ、すべてのコンテンツは理論物理学者と計算物理学者がプレイするゲームでした。ホフスタッターバタフライと BZ 振動は実際の 2 次元材料で観察できますか?地球上の多くの物事と同様に、理想と現実のギャップは非常に大きく、不満足なものです。これ

実際の物理的材料で BZ 振動を観察するには、格子単位セルの面積 (つまり単位セルのサイズ) をできるだけ大きくして、1 つの単位セルにできるだけ多くの磁束量子を含められるようにし、システムの伝導率が磁場とともに振動し、周期 / の BZ 振動挙動を示すようにする必要があります。図2.d、e、fはこの現象の概略図です。

ホフスタッターバタフライ振動と BZ 振動が 2 次元量子材料で実現されたのは近年のことでした。 2013年、英国マンチェスター大学のファルコ氏とガイム氏（2010年ノーベル物理学賞受賞者、グラフェンの発見で有名）は、hBNとグラフェンの結晶軸を揃えることで、波長約10ナノメートルのグラフェン/hBN（略称：G/hBN）分子超格子を実現した。この値はグラフェンの格子定数の約40倍であり、単位セル面積が増加することを意味します。

そうは言っても、G/hBN などの一般的なモアレ材料の単位セル面積はまだ十分に大きくありません。たとえば、単位セルの線形サイズを 10 ナノメートルから 100 ナノメートルに増やすことで、単位セルの面積をさらに 100 倍増やすことができ、同じ BZ 振動を観測するために必要な磁場を 100 分の 1 に減らすことができます。ここで、スーパーモアレ材料が役立ちます。前述したように、私たちのスーパーモアレは数十ナノメートルの生成周期を持つ構造を提供し、ホフスタッタースペクトルと整数 BZ 振動を研究するための優れたプラットフォームを提供します。

モアレがあり、そしてスーパーモアレがある

スーパーモアレを構築するということは、約 100 ナノメートルのスケールの周期的なポテンシャル場を構築することです。前述のように、量子モル材料の構築方法では、ヘテロ接合内の単位セルのサイズは制限されており、必要な長さよりも小さくなります。回転角度が極めて小さいホモ接合では大規模な周期構造が可能ですが、実際には構造緩和によって深刻な不均一性が生じます。これまで、整数磁束 BZ 振動は非常に限られたシステムでのみ実現されていました。同時に、これらのシステムでは、電荷トラップ中心、不純物、角度の不均一性、および層間結合によって引き起こされる電子バンドの変化がすべて、整数フラックス ブロッホ状態の実現を妨げます。

私たちの解決策は、2つの安定したモアレ超格子を積み重ねて回転させ、2組のモアレの逆格子ベクトルが整合関係を満たすときに電子波動関数が量子力学的干渉を受け、それによって超モアレの周期が大きくなるようにすることです[1] 。図 3.a に示すように、単層グラフェンと 1.0° ねじれ六方晶窒化ホウ素 (ねじれ hBN、略して t-hBN) を並べることで、2 つの小規模モアレ構造を作成しました。1 つは 14.4 nm t-hBN モアレで、もう 1 つは 13.0 nm G/hBN モアレです。 2 つのモアレ構造が互いに干渉して 63.2 nm のスーパーモアレ構造を形成します。これは、メインのディラック点 (tot = 0 に対応する単層グラフェンの固有抵抗ピーク) の近くに現れる抵抗ピークによって証明されています (図 3.c)。この構造はシンプルですっきりしていますが、その効果は顕著です。一般的に使用される hBN 結晶は、自然に積み重ねられた AA' 構造です。 hBN 結晶の奇数層を 2 つ、小さな角度で積み重ねることで、平行積み重ね界面を作成できます。このような積み重ねにより、界面（図3aの右側）に最初のt-hBNモアレパターンが生成され、そこでは対称性が破れて周期的なポテンシャル場が生成されます[9]。この電位場は本質的に静電気であり、直接接触することなく隣接する材料に影響を及ぼす可能性があります。同時に、単層グラフェンが t-hBN とさらに整列すると、グラフェンと hBN の格子定数の差によって 2 番目の G/hBN モアレ パターンが生成されます (図 3.a の左側)。 t-hBN と G/hBN 界面で生成される電位場は、周期と振幅が異なります (模式図を図 3.b に示します)。 G/hBN と t-hBN の回転角の大きさを制御することで、2 つのモアレ構造が量子干渉を生み出し、t-hBN/G/hBN スーパーモアレ構造を形成できます (図 3.a の中央)。この新しいモアレ構造は、一般に、2 つの単一モアレ構造よりも周期スケールが大きくなります。このようにして、グラフェン内を移動する電子は大規模な超モアレ電位場を感じることになります (図 3.b)。

図3. 超モアレ周期ポテンシャル場の生成。 。 2 つの単一モアレ構造とスーパーモアレ構造の概略図。 b . t-hBN と G/hBN ポテンシャル場を重ね合わせて、長周期の t-hBN/G/hBN ポテンシャル場を生成する概略図。 c . ...縦方向抵抗とキャリア濃度の関係（T = 1.5K）。データは参考文献[1]から得たものです。

マイクロスーパーモアレ、誰と一緒に帰るのかな？

この研究は、高磁束（/ > 1）下でのホフスタッターバタフライエネルギースペクトルを研究する機会を提供するだけでなく、均一な大規模超モアレ周期ポテンシャル場を作成するための新しい方法も提供します。 1960 年代のブラウン・ザックから 1970 年代のホフスタッター、グラフェンとモアレの時代のファルコとガイム、そして今日のスーパーモアレまで、二次元周期ポテンシャル場と垂直磁場における電子の量子運動の物語は、理論から計算、そして実験まで、地球上の実験室でようやく一巡しました。したがって、ブラウン＝ザック、ホフスタッター、その他の前任者たちが現在の進歩を見たら、「彼らはきっとこう言うだろう。『この男がいなければ、私は誰と一緒に家に帰ればいいんだ？』」

もちろん、私たちより前にも同じような現象を研究した人たちがいました。例えば、2つのhBN/G界面を積み重ねるとhBN/G/hBN構造[11]が形成され、2つのG/G界面を積み重ねると3層のねじれグラフェン構造[12]が形成されます。これら 2 つの構造に共通するのは、同じタイプのモアレスタッキングを使用し、隣接する層間の近接結合によってスーパーモアレを形成することです。ただし、この設計には 2 つの欠点があります。まず、隣接する層間の距離が固定されているため、潜在的な場の強度を調整することができません。第二に、最近傍結合では異なる材料の層が空間的に離れすぎないことが必要であるため、より多くの層を積み重ねてより複雑なスーパーモアレを作成することはほぼ不可能です。

違いは、私たちが使用する t-hBN/G/hBN スーパーモアレ構造は異なるタイプのモアレで構成されており、上記の 2 つの欠点を回避していることです。これは、G/t-hBN における t-hBN の電位場が、界面の電気分極によって生成される静電ポテンシャルから生じるためです。この電位場により、異なる材料層を空間的に分離することができ、hBN の厚さを変えることで電位場の強度を調整できます。さらに、hBN は絶縁体であるため、電子輸送には直接関与しません。層間相互作用によって電子特性が大きく変化するシステムである 3 層ねじれグラフェンと比較すると、G/t-hBN スーパーモアレ構造は比較的クリーンなシステムです。この超モアレデバイスは、量子力学的干渉効果を利用して製造されており、明瞭かつ制御可能な高密度単一光子源アレイや3次元トポロジカル絶縁体などを実現することが期待されており[13]、量子通信や量子コンピューティングなどの分野で重要な応用が期待されています。

参考文献

[1]。 Ma, Y., Huang, M., Zhang, X., Hu, W., Zhou, Z., Feng, K., Li, W., Chen, Y., Lou, C., Zhang, W, Ji, H., Wang, Y., Wu, Z., Cui, ねじれ窒化ホウ素に整列したグラフェンのスーパーモアレポテンシャル。ネイチャーコミュニケーションズ16、1860（2025）。

[2]。ねじれたグラフェンの三昧｜量子多体における叫びと彷徨 IX、ファンプ。

[3]。 Hofstadter, DR 有理磁場と無理磁場におけるブロッホ電子のエネルギー準位と波動関数。フィジカルレビューB14、2239（1976）。

[4]。 Harper, F.、Simon, SH & Roy, ​​R. ホフスタッター模型における平坦なチャーンバンドへの摂動論的アプローチ。フィジカルレビューB90、075104（2014）。

[5]。ブラウン、E. ブロッホ 均一磁場内の電子。フィジカルレビュー133、A1038（1964）。

[6]。 Zak, J. 磁気翻訳グループ。フィジカルレビュー134、A1602（1964）。

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[8]。クリシュナ・クマール、R.、ミシュチェンコ、A.、チェン、

[9]。 Zhao, P.、Xiao, C.、Yao, W. h-BN 基板内のねじれ界面からの 2D 材料のユニバーサル超格子ポテンシャル。 npj 2D材料とアプリケーション5、38（2021）。

[10]。 Krishna Kumar、R.、Chen、グラフェン超格子における繰り返しブロッホ状態によって引き起こされる高温量子振動。サイエンス357、181-184（2017）。

[11]。 Wang, L.、Zihlmann, S.、Liu, M.-H.、Makk, P.、Watanabe, K.、Taniguchi, T.、Baumgartner, A. & Schonenberger、二重配向hBN/グラフェン/hBNヘテロ構造における新世代のモアレ超格子。ナノレターズ19、2371-2376（2019）。

[12]。 Zhu, Z., Carr, S., Massatt, D., Luskin, M. & Kaxiras, E. ねじれ三層グラフェン: 相関電子のための正確に調整可能なプラットフォーム。フィジカルレビューレターズ125、116404（2020）。

[13]。 Herzog-Arbeitman, J.、Song, Z.-D.、Regnault, N.、Bernevig, BA Hofstadter トポロジー: 高流束における非結晶トポロジカル材料。フィジカルレビューレターズ125、236804（2020）。

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