数理物理学者リーブ：ファインマンは私が厳密な計算で時間を無駄にしていると考えていたが、それが私に数理物理学の道を追求する決意を固めさせた

2023年の京都賞はアメリカの数理物理学者エリオット・H・リーブ氏に授与された。リーブは多体物理学の研究に基づいて、物理学、化学、量子情報科学などの分野における数学的研究の基礎を築きました。彼は数学的分析にも重要な貢献をした。京都賞の関係者は彼を数学科学の分野における知的巨人の一人と呼んだ。受賞後の公開講演で、リープ氏は過去半世紀にわたる物理学と数学の研究を語った（記事の写真はリープ氏の講演で使用された）。

スピーチ |エリオット・H・リーブ

編集：葉凌源

私は1932年にアメリカのボストンで生まれましたが、ニューヨークで育ち、そこで私の世界観が形成されました。私たちの家族は中流階級ですが、ニューヨーク市は優れた無料の公立教育を提供しています。私はアマチュア無線の活動を創造したり参加したりすることを楽しんでいることに気付きました。私が最も誇りに思っているのは、モールス信号を非常によく学び、無線 W2ZHS ライセンスを取得したことです。これにより、世界中の他のすべてのオペレーターと接続して情報を送信できます。これらの趣味や取り組みは従兄弟から大きな影響を受けており、それが私を電気技師になる道へと導いてくれると思いました。 17歳のとき、私は家族とともにボストンに戻りました。私は非常に幸運にも、有名な物理学者ビクター・ワイスコフ氏からマサチューセッツ工科大学（MIT）に入学するよう勧められ、激励を受けました。

リーブはMITで学部時代を過ごした（1949-1953年）

1949年にMITに入学して間もなく、初めて受けた物理学の授業で私の考えは変わりました。人気の『ファインマン物理学講義』の共著者であるマシュー・サンズは、ニュートン物理学の知的な美しさに私の目を開かせてくれました。最初は内容を理解するのに苦労しました。高校の授業では、ニュートンの方程式の意味など、物理法則を深く理解する準備はあまりできませんでした。ニュートンの方程式を理解するのにしばらく時間がかかりました。文字通りの意味です。力は質量×加速度に等しい。物体の加速度を知るには、まず力と質量の大きさを知る必要があります。シナリオが異なれば、これらの物理量の具体的な値は異なりますが、その背後にある原理は同じです。マシュー・サンズの辛抱強い助けにより、私は授業時間の半分をこの方程式の意味の理解に費やし、私の科学者としてのキャリアは順調なスタートを切りました。ニュートンの同時代人たちも私と同じような困難に直面したに違いありません。

それ以来、私はエンジニアになるという考えをあきらめ、その後の学部課程では純粋物理学のコースに転向しました。 MIT の学部生だった私は、幸運にも初期の粒子線形加速器を開発している研究室でパートタイムの仕事を見つけることができました。現在実際に稼働している加速器は非常に大型ですが、当時はまだ非常に小型でした。この 1,700 万電子ボルトの機械を作ったアイザック・ハルパーン氏とピーター・デモス氏は、私が今まで出会った中で最も刺激的な人々です。それらは私の学部時代のキャリアに大きな影響を与えました。

ベイツ線形加速器

1949 年当時、一般の人々にとって物理学は化学ほどよく知られていませんでした。父は、私が突然物理学を専攻しようと決めたことで、将来が貧困になるだろうと考えました。しかし、そうではありません。私は幸運にも、第二次世界大戦後の自然科学に対する政府の資金援助の波に乗ることができ、十分な生活を送ることができました。

数学は私の勉強に多少は役立ちましたが、それほど大きなものではありませんでした。私は幸運にも、MIT でアティヤ・シンガー指数定理で有名なイサドア・シンガーから高度な線形代数を学ぶことができました。その後、私は彼と親しい友人になりました。

MITを卒業した後、もっと広い世界を見てみたいと思いました。その時まで、私はアメリカのいくつかの大都市以外にはどこにも行ったことがありませんでした。ワイスコフ教授の指導のもと、私は相対性理論に関連したテーマで卒業論文を書きました。彼は、ルドルフ・パイエルス教授とサム・エドワーズ、ジェリー・ブラウンの2人の講師を擁する英国バーミンガム大学の数理物理学科が、理論物理学を研究するのにヨーロッパで最高の場所の一つであると信じています。そして、彼らは全員英語を話します。私にとってこれは非常に重要なことでした。なぜなら、私はまだ外国語に触れたことがなかったからです。ジョン・ベルは当時の私の同級生で、後に量子情報にとって極めて重要な不等式を発見しました。

バーミンガム大学、英国 (1953-1956)

その年月の間に私は念願を叶え、ヨーロッパのほとんどの国を旅しました。私はバーミンガムで3年間過ごし、平凡な博士論文を書き、1956年に博士号を取得しました。次の目的地は京都だったので、博士号取得後の最初の仕事は日本でした。なぜ京都を選ぶのか？ボストンで日本美術を専門とする美術書店を経営していた叔父が、私に浮世絵に興味を持たせてくれました。バーミンガムでは、吉田史郎という日本人原子物理学者と同じオフィスで働くという幸運に恵まれました。私は彼の英語力向上を手伝うよう指示され、その通りにしました。その代わりに彼は私に基本的な日本語を教えてくれました。父は私に日本語の漢字を教えてくれませんでした。ただ聞いて話すことで覚えただけなので、私はまだ文盲のようなものです。

博士号を取得後、リープは京都に来た（1956-1957年）

それにもかかわらず、米国フルブライトプログラムのおかげで、私は京都大学基礎物理学研究所（YITP、別名湯川ホール）に1年間通うための資金を得ることができました。その年の経験は、文化的にも科学的にも私に大きな影響を与えました。それまで、私は自分が科学に価値ある貢献をすることができるかどうか常に疑問に思っていました。京都ではそうだったと思います。京都を離れてから、またこの仕事ができるようになったのは、さらに4年後のことでした。

京都大学基礎物理学研究所

京都大学基礎物理学研究所で、私は山崎一夫という優秀な若い日本人物理学者に会いました。私は彼と緊密な協力関係を維持し、結晶内に閉じ込められた電子の動きを記述する物理学における非常に難しいポーラロンモデルを一緒に研究しました。これは当時人気のあった方向性でした。私たちは、物理的な直感に基づいた計算を超えて、ポーラロンモデルの基底状態を数学的に厳密に計算することにしました。ポーラロンのエネルギーは実際には有限であること、言い換えれば基底状態が存在することを示します。ファインマンなどの他の物理学者は、基底状態が他の同様の物理モデルには存在しないにもかかわらず、これを自明であるとみなしました。こうして、ポラリトンと私たちの生活に関する研究は新たな章に入りました。

ポラロン

京都でのこの経験によって、私は科学研究を行う能力があると確信しました。 2年後、私はコーネル大学でファインマン本人に会い、彼は私に何に興味があるのか​​尋ねました。私は京都で山崎一夫と一緒に行った仕事について誇らしげに話しましたが、彼はかなり攻撃的な反応を示しました。「本物の物理学者はそんな研究はしません！」彼の目には、若い学者としての私は時間を無駄にしているように見えた。この否定的な評価によって、私は数理物理学の道を選び、それが物理学にとって重要であると信じる決意を固めました。

イリノイ大学（1957-1958年、左）とコーネル大学（1958-1960年）

京都の後、私はイリノイ大学で1年間、その後コーネル大学で2年間過ごし、太陽の輝きの背後にある原子核反応のメカニズムを解明した有名なノーベル物理学賞受賞者ハンス・ベーテのもとで働きました。しかし、この3年間で何も達成できず、数理物理学者としての自分の将来について不安を感じるようになりました。しかし、この時期に私は、生涯を通じて私を悩ませてきた問題、つまりボーズ気体、特にその最低エネルギー状態の研究に出会いました。インドの物理学者サティエンドラ・ナート・ボースにちなんで名付けられたボーズ気体は、特異な量子特性を持っています。そこで私は最高の大学で、最高の物理学者たちの下で2年間働き、1960年に大学を去ったときには、考えるべき問題だけが残っていました。この疑問は36年間私の心の中にありました。私がこの問題をヤコブ・イングヴァソンとともに解決したのは、何年も後の 1996 年のことでした。これが数理物理学におけるボーズ気体への現在の関心のきっかけとなりました。

コーネル大学卒業後、私はニューヨーク州ヨークタウンハイツにある IBM コンピュータリサーチセンターに行きました。それは研究センターが設立された1960年のことでした。これは私にとって初めての常勤職でしたが、私はそこで3年間しか働きませんでした。私は幸運にも、私と同年代の同僚であるテッド・シュルツ氏とダン・マティス氏と一緒に働くことができました。当時、物理学を学んでいた私たち3人は、ある定説を数学的観点から証明したいと考えていました。この関心は他のすべての産業研究室の研究範囲を超えているため、これを実行する自由を与えてくれた IBM に感謝しています。

一般的に、1960 年から 1970 年は世界の物理学研究にとって輝かしい 10 年間であり、物理学におけるいくつかの重要な定理がこの時期に生まれました。その 1 つは、1 次元の物質は決して磁化できないという Lieb-Schultz-Mattis の定理です。言い換えれば、原子の鎖は磁性を生み出すことはなく、少なくとも 2 つの次元が必要になります。有名なドイツの物理学者ハイゼンベルク、バーミンガム大学での私の博士課程の指導教官であるペイレルス教授、コーネル大学での私の指導教官であるベーテを含む当時の理論物理学者のほとんどは、まったく逆のことを想像していました。彼らは、磁化は一次元の物体で起こるはずだと信じていました。そして私たちは、これが決して起こらないことを証明しました。私たちの結論が正しいことを同僚たちに納得させるのにかなりの努力が必要でしたが、最終的にペイレルスは私たちの数学的証明を受け入れました。これは量子力学において広く注目を集めた最初の数学的証明の一つであり、後に私たちはこれを基にしていくつかの定理を開発しました。

『一次元の数理物理学』（1966年）の再版。

IBM に入社して 2 年目に、私は西アフリカの国シエラレオネに行き、首都フリータウンの大学で 1 年間応用数学を教えました。当時、ここでは多くの社会政治的運動が起こっており、マラリアも流行していました。ちなみに、マラリアにかかったことがない人に言っておきますが、マラリアは非常に不快な病気です。

リーブはシエラレオネのフォーラベイ大学で1年間の休暇をとって教鞭をとった。

だからこそ、そこで科学的な問題について考える時間があったのです。その時に私は 1 次元ボソンのモデルを発明し、その後 IBM に戻ったときに Werner Liniger と一緒にそのモデルを解決しました。現在、このモデルは量子力学における多体問題を理解する上で基本的な役割を果たしています。この研究は1次元の原子鎖のモデルに関するものでしたが、後に実験的に確認されました。

ニューヨークのイェシバ大学で2年間学んだ後、ボストンに戻り、ノースイースタン大学の教授に就任しました。そこで私は、Wu Fayue教授と共同で、1次元ハバード模型を解明した、Physical Review Letters (PRL) 史上最も引用された論文を執筆しました。この論文は、この雑誌に掲載された論文の中で最も多く引用された論文として、今も記録を保持しています。

PRLで最も引用された論文

ノースイースタン大学在学中、私は氷という別のものに興味を持つようになりました。水は冷えると凍って氷になりますが、氷は単純なものではありません。氷と数学にはどのような関係があるのでしょうか?ライナス・ポーリングは、水分子の配列方法を考えることによって氷のエントロピーを計算できると述べ、非常に重要な観察をしました。水分子は 2 つの水素原子と 1 つの酸素原子で構成されていることがわかっています。実験により、絶対零度でも氷のエントロピーはゼロにならないことが判明しました。これは物理学の歴史の中で最も独創的な実験の一つです。言い換えれば、氷に内在するエントロピーの一部は決して消えることはない。これは、氷の中の水素原子と酸素原子の配置、つまり水分子の向きが著しくランダムであることを意味します。

氷を説明する一つの方法は、矢印で構成された格子模様として想像することです。このモデルでは、各点は酸素原子を表し、矢印は水素の位置を表します。水素は常に 2 つの酸素原子の間にあり、どちらかの側を指すことができます。先ほど言ったように、絶対零度でも氷には多少の変化があり、その全体的な再配置を数える必要があります。まさにそれが私がやろうとしていたことです。ちなみに、このモデルはライナス・ポーリングによって発明されました。下の図に示すように、酸素原子が格子上に規則的に配置されている場合、氷のエントロピーは水素原子が配置できる方法の総数の対数に等しくなります。また、氷が形成されるためには、各頂点にその頂点に向かう矢印が 2 つと、頂点から離れる矢印が 2 つ必要です。

2次元氷モデル |出典: ヴァディム・ゴリン

したがって、氷のエントロピーを計算することは、この図の矢印の規則的な配置の総数を数えることと同じです。計算の結果、

「6頂点問題」と呼ばれる組合せ数学の新しい分野が発見されました。なぜなら、各頂点に、その頂点に向かう矢印が 2 つと、頂点から離れる矢印が 2 つある場合、配置は 6 通りあるため、すべての頂点でこの構成を持つ配置の総数を計算する必要があるからです。これにより、組合せ論というサブフィールド全体が生まれました。私の貢献は、要件を満たす順列の総数を見つけることでした。もちろん、この分野にはまだ解決されていない未解決の問題が数多く残っています。

その後の数年間は、ジョエル・レボウィッツとのコラボレーションのハイライトでした。クーロン力には熱力学的限界が存在することを実証しました。この定理は、荷電粒子にはより低いエネルギー限界があるというフリーマン・ダイソンとアンドリュー・レナードの結論とともに、「物質の安定性」を証明しています。この概念を少し説明しましょう。下の図でわかるように、原子には原子核があり、その周りを電子が回っています。電子が運ぶ電荷は原子核が運ぶ電荷に等しい。マクロ的な物質を形成するには、多くの原子が結合する必要があります。

物質の安定性

問題は、原子核と電子の配列（蜘蛛の巣のように見える）で構成された物質がなぜ不安定にならないのか、ということです。マクロ的な物質は本質的には無数の原子核と電子で構成されていますが、それらをしっかりと結び付けるものは何もないようです。では、なぜそれほど安定しているのでしょうか?上の写真のような素材で作られていますが、叩いても壊れません。物理学では、人々は徐々にこの問題に気づくようになり、私たちはそれを解決しようと決意しました。上記画像は荒いですが、根本的な間違いはありません。原子は互いに引き合いますが、その引力は非常に弱いため、個々の原子は依然として完全な状態を保っています。この謎を数学的に解くのに数十年かかりましたが、私はその解決にいくらか貢献しました。この問題の解決は多くの学者の共同の努力によるものです。上で述べた Dyson 氏や Lenard 氏、そして私の同僚の Walter Thirring 氏などがそうです。

そして 1973 年に、メアリー・ベス・ルスカイと私は量子エントロピーの強い劣加法性を証明しました。数学的な観点から見ると、この結論は量子コンピューティングの基礎の 1 つです。この結論を証明するには多くの数学的分析が必要であり、それが純粋関数解析に取り組む段階の始まりでもありました。この時期の私の他の仕事には、現在ではブラスカンプ・リーブ不等式として知られ、量子情報理論で非常に幅広く応用されている別の解析的不等式の証明が含まれていました。ヘルム・ヤン・ブラスカンプは、当時私が一緒に働いていた若いオランダ人の数学者であり物理学者でした。

1975 年に私はプリンストン大学の数学部と物理学部に就職しました。同年、私はウィーン大学で世界で最も有名な数理物理学者の一人であるウォルター・サーリングと親交を深めました。先に述べた物質の安定性に関するダイソン-レナードの証明は実際にはかなり複雑であり、それほど多くの計算ページを必要とせず、より優れた安定性の推定を行うことができる、より簡潔な証明があるはずだと私たちは考えています。結局私たちは大きな成功を収め、まったく新しい種類の数学的不等式（リープ・サーリング不等式）を発明しました。現在、この不等式には私たちの名前が付けられています。

後で起こったいくつかの出来事について触れておきます。最も有益な結果の 1 つは、いわゆる Lieb-Oxford 境界です。スティーブ・オックスフォードと協力して、私たちは固体中のエネルギー交換に関係する、これまで誰も存在を想像すらしなかった境界を発見しました。これ以上詳しく説明はしませんが、固体を安定に保つエネルギーとして考えてください。このエネルギー限界についての推定値はありますか?それはどれくらい大きいでしょうか？このような見積もりを頂きましたが、予想外でした。

1979年、私は幸運にも、観客席に座っていた妻のクリスティアーネ・フェルバウムとともに、再び長期休暇で京都を訪れることができました。私たちはたくさんの刺激的なことを体験しましたが、おそらく最も重要なのは路面電車に関することでした。今出川通で京都電車が最後に停車する瞬間を目撃しました。とても思い出に残るイベントで、たくさんの人が来てくれました。路面電車が線路に沿って滑り、突然停止し、最後の路面電車が私たちの目の前で止まったのをはっきりと覚えています。

リープは京都に戻り（1978-1979年）、日本初の路面電車の廃止を目撃した。

先ほどお話しした固体エネルギー交換の限界に関する研究は、実は私が京都にいた頃に始まったものです。しかし、後にプリンストン大学でオックスフォード大学と協力し、その境界を現在の価値にまで改善しました。

同様に影響力のある別の論文も日本と関係があります。それは、電子スピンの AKLT モデルです。このうち、A はイアン・アフレック、K はトム・ケネディを表します。 T は、1987 年に私のポスドク研究員であり、今日もここにいらっしゃるハル・タサキの略です。これは、最も低いエネルギー状態とその下の次のエネルギー状態の間にエネルギーギャップが存在することを示す凝縮物質物理学における最初のモデルの 1 つでした。この特性を持つ物質はごくわずかです。通常、物質の状態のエネルギーは下から上に向かって連続的に変化しますが、ここにはエネルギーギャップがあり、これは今日誰もが使い慣れている電子製品において非常に重要な役割を果たしています。

最後に触れておきたいのは、熱力学におけるエントロピーの意味について、Jakob Yngvason と共同で取り組んでいる研究です。エントロピーは熱力学における最も古い概念の 1 つであり、19 世紀初頭の熱力学の始まりにまで遡ります。しかし、エントロピーとは一体何なのでしょうか?それは（間接的に）測定できる物理量である以外に何か意味があるのでしょうか？原子や分子が飛び回ったり衝突したりするというボルツマンの図とは関係なく、エントロピーには他の意味があるのでしょうか?エントロピーとは粒子の動きのことでしょうか？答えはノーです。エントロピーはより一般的な意味を持ち、現在ではコンピューターサイエンスなどのさまざまな分野で使われています。

どのような状態遷移が可能かを示す指標として、エントロピーが重要であることがわかります。これがエントロピーです。エントロピーが実際に何を意味するのかを、物理モデルから完全に独立した方法で説明します。エントロピーは何が可能で何が不可能かを示し、判断基準は開始状態のエントロピーが最終状態のエントロピーより小さいかどうかによって決まります。エントロピーは、物質は原理的には 1 つの状態から別の状態へと変化できるものの、ほとんどの場合、この変化は一方向にしか起こらず、この方向はエントロピーと呼ばれる単純な関数によって決定されるという一般法則を示す計算方法です。これにより、エントロピーを理解するためのまったく新しい視点が得られます。

この講演では、私が関わらせていただいた数学、物理学、数理物理学の研究分野についていくつか触れました。私は、多くの国々、特に日本の京都から集まった多くの優れた同僚と協力し、その過程で多大な支援と励ましを受けるという大きな栄誉に恵まれました。最初はキャリアに疑問があったにもかかわらず、私は頑張り続けました。京都賞を授与し、私の人生と仕事について語る機会を与えてくださった稲盛財団に、心から感謝申し上げます。皆様ありがとうございました。

この記事は、クリエイティブ コモンズ ライセンス (CC BY-NC) に基づいて、Elliott H. Lieb の「My Journey Through Physics and Mathematics」から翻訳されました。

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