彼はタングラムのおかげで数学パズルに夢中になり、今では100年前の問題を解いた。

今年5月末、子どもの頃にタングラムパズルに出会い、パズルを解くこと、そしてその後パズルを作ることに夢中になったフィンランド人が、100年前の数学パズルを解きました。彼以前にも、折り紙とパズルの達人である中国人が、この難問の解決に重要な貢献をしていた。

著者 |ジアウェイ

人間はパズルゲームが大好きのようです。さまざまな文明において、さまざまな時代の人々によってさまざまな種類のジグソーパズルが繰り返し発明されてきました。有名な「アルキメデスのパリンプセスト」によると、アルキメデスはかつて正方形を 14 個の断片に分割し、さまざまな方法で断片を再び組み合わせて正方形を形成する方法を考えたそうです。中国発祥のタングラムは、世界中の子どもたちに無限の楽しみをもたらす知育玩具です。今年5月末、子どもの頃にタングラムパズルに出会い、パズルを解くこと、そしてその後パズルを作ることに夢中になったフィンランド人が、100年前の数学パズルを解きました。

アルキメデスのオストマキオンパズル、14 ピースの正方形パズル。

パズルを分割する

これらのパズルの人気は、新聞や雑誌がさまざまなパズルで紙面を埋め尽くし始めた 19 世紀後半に大幅に高まりました。最も人気があったのは、アメリカのパズルクリエイター、サム・ロイドとイギリスのパズルクリエイター、ヘンリー・デュードニーでした。それ以来、ジグソーパズルや関連する派生パズルは娯楽や数学の教育に使用されてきました。

ロイドはかつて、一般の人々に向けて知的な挑戦状をたたきつけた。大工は、司教冠形（正方形の 1/4 を切り落とした形、つまり二等辺三角形を取り除いた形）の木の板を、継ぎ合わせた後に小さな正方形に再び組み立てられるように、何枚（必要最小限の枚数）に切断する必要があるか？ロイドは後に独自の答えを出しましたが、残念ながら彼の解釈は間違っていました。ロイドは、それを 4 つの適切な小さな部分に分割すれば十分だと考えています。

写真の男性が持っているのは、いわゆるミトラです。

数学では、正多角形やその他の単純な幾何学的形状をいくつかの部分に分解し、それらを別の形状に再構成することを平面領域分割と呼びます。 Dissection は、ジグソーパズル ゲームのプロフェッショナルなアップグレード版と言えます。プレイヤーは、既知のフラグメントの助けを借りてパズルを完成させる段階から、適切なフラグメントを自分で設計して切り取り、グラフィックを再編成する段階にアップグレードします。

解剖は後に、1961 年 11 月にサイエンティフィック アメリカン誌に掲載されたマーティン ガードナーの「数学ゲーム」コラムのテーマとなりました。ガードナーはコラムで、ロイドの問題である「マイター解剖パズル」を再び一般に紹介しました。読者は熱心に参加しましたが、4つのピースをどうやって組み合わせるかは誰もわかりませんでした。正方形を形成するには、元の形状を少なくとも 5 つの部分に分解する必要がありました。

ロイドの死から100年以上経った2024年5月27日になって、mathstodonコミュニティのVesa Timonenというユーザーが次の写真を投稿しました。

4ピースパズル

まず写真に何が写っているか説明させてください。

一番上の層は、1901 年にロイドが提起した問題です。左側の図形を分割し、右側の図形 (正方形) に戻します。

上から2番目のレベルはロイド自身が出した答えです。写真からわかるように、彼は段差をつけて正方形を作ろうとしました。しかし、簡単な計算をすると、正方形を得ることは不可能であることがわかります。

3 番目の層は、歴史上ヘンリー・デュードニーによって示された 5 部構成です。もちろん、ダドニー氏以外にも、国内の折り紙とパズルの達人であるフー・ウェイ氏など、独自の5ピースの分解構造を提示した人もいます。ヴェサ・ティモネンが後ほど挙げた参考文献の中にも、傅偉がWeChatのパブリックアカウントで公開した「折り紙のアイデアを使った100年前の数学の問題に対する新しい解決策」という記事がありました（つまり、記事の最後にある参考文献2で、著者は5ブロックの斬新な解決策を示しました）。

ティモネン氏は、傅偉氏の論文が、この問題を整理するのに最適な文書であると信じている。彼は中国語を理解できなかったが、翻訳ソフトの助けを借りて全文を読んだ。興味のある友達は読んでみてください。また、ロイドの方法が機能しない理由を説明できる非常に詳細な計算も含まれています。同時に、4 ピース分割が見つからなかったため、しばらくの間、4 ピース ソリューションは存在しないと人々は信じる傾向がありました...

4層目については、ティモネン自身が発見した4分割法です。

セグメンテーションの方法を考えるのは難しいですが、既存の方法を検証するのは非常に簡単です。数学界で予備調査を行った後、一部の人々は「Vesa Timonen とは誰なのか？」と疑問に思いました。彼はどうやってそれをやったのですか？

二重のアイデンティティ

ヴェサ・ティモネンには二重のアイデンティティがある。彼女は日中、組み込みソフトウェアエンジニアとして働いていますが、それが嫌いです。夜は、才能あふれる知育玩具パズルデザイナーです。数学界では比較的無名であるにもかかわらず、ティモネンはフィンランドで最も著名な教育玩具デザイナーの一人であり、数少ない現存するパズルデザイナーの一人でもある。国内の知育玩具（喬環、魯班錠など）愛好家の間でもよく知られています。

仕事中のベサ・ティモネン

彼は子供の頃から魔法に興味を持っていましたが、成長するにつれて魔法を解読することにさらに興味を持つようになりました。その後、叔父が彼にタングラムの遊び方を教え、二人でタングラムパズルを一つずつ解き始めました。大人になってから、彼は自分でパズルをデザインし始めました。花山キャストシリーズに作品多数収録。ハナヤマは、パズル愛好家の間で非常に影響力のある日本の玩具会社です。

ティモネンは、絶えず試行錯誤し、失敗を分析することで、誰でもユニークなパズルを作成できると信じています。彼はまた、失敗は創造のプロセスの一部であり、失敗のたびに新たな発見やインスピレーションがもたらされると強調した。

パズルデザイナーのノートには幾何学的な図形や数学的な計算が満載です。

今回、ティモネン氏は、現代のコンピューターの計算能力を利用して、さまざまな解剖問題を体系的に解決できることを期待してソフトウェアを作成しました。彼が最初に選んだ問題は司教のミトラの問題であり、彼は非常に簡単に答えを見つけました。実際、境界をスライドさせると、4 ブロック分解を無限に構築できます。

模式図（グラフの辺の長さが異なるように見えるかもしれませんが、実際には誤差は非常に小さいです）

韓国の延世大学の数学博士である Jin-Hoo Ahn 氏は、Timonen の解法に対する非テキスト形式の証明を提供しました。ぜひご覧ください。

画像ソース: THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)

ちなみに、アン・ジンフさんはパズル愛好家でもあり、からくり箱などの知育玩具も作ることができます。おそらくこれが、私がこの記事の主人公と出会った理由です。

もっと数学

ティモネンの 4 ブロック分解には欠陥があります。両側の緑のブロックは実際には鏡像対称です。つまり、パズルを解くとき、緑色のブロックは表裏を区別しません。ティモネンは鏡面対称性を含まないセグメンテーションの方法を見つけようとしたが、失敗した。代わりに、プログラムは鏡面対称性のない 5 ブロックの解を 50 個以上見つけました。したがって、4 ピースの非鏡像分解は存在しないかもしれませんが、まだそれを証明できていません。これは、この一世紀にわたるパズルの最後の欠けているピースでもあります。

数学には、有名なウォレス・ボヤイ・ガーウィーン定理 (1807) があります。これは、任意の 2 つの多角形のうちの 1 つを有限個の小さな多角形に分割し、平行移動と回転によって 2 番目の大きな多角形にまとめることができるという定理です。

上記の定理は分割の実現可能性を保証しますが、「有限」が特定の値に制限されている場合（たとえば、今日の問題は 4 つのピースです）、平行移動と回転だけでピースをうまく組み合わせることができるという保証はありません。鏡像を得るためにタイルを反転する必要があるかもしれません。

フリップミラーの使用を制限することに加えて、パーティション分割に対してより厳しい制限を課すこともあります。有名なヒンジ解剖など。

幾何学において、多関節メッシュ (スイングヒンジメッシュまたはデュードニーメッシュとも呼ばれる) は、すべてのパーツが「ヒンジ」ジョイントによって接続されて全体を形成するメッシュです。このように、接続を切断することなく（切断することもできず）、チェーンを連続的に揺らすことで、ある図形から別の図形への並べ替えを実行できます。通常、折り畳みおよび展開中にフラグメントが重なり合うことが許可されていると想定します。

連結セクションの概念は、前述のヘンリー・デュードニーによって普及されました。 1907 年の著書「カンタベリーパズル」で、彼は正方形をヒンジで三角形に分割する有名な手法を紹介しました。

しかし、ウォレス・ポーイ・ドイツのウィーン定理を連結分解に一般化することは可能でしょうか?言い換えれば、等しい面積を持つ 2 つの多角形は、明確な分解によって必ず互いに分割できるのでしょうか?この疑問は未解決のままです。

2007 年になって、Erik Demain らは、このような連結パーティションが存在するはずであることを証明し、連結パーティションを生成するための構築アルゴリズムを提供しました。この証明は、振動時にコンポーネントが重なり合わない場合でも有効であり、共通の断面を持つ任意の 3 次元形状のペアに一般化できます。しかし、3 次元空間では、再組み立て時にコンポーネントが重なり合わないという保証はありません。 2 次元平面上での重なりは物理的には非常に簡単に実現できます。移動中に上層と下層を分離するものとして理解するだけです。しかし、3 次元コンポーネントが互いに重なり合うことは不可能であり、剛体では物理的に不可能です。それは数学的な無形オブジェクトとしてのみ考えることができます。

円を四角にする

これまでの議論は常に直線で形成される図形に留まっていました。では、曲線で形成された図形も分割して再構成できるのでしょうか?おそらく、セグメンテーションの究極の問題は、円を四角にすることなのでしょう。

紀元前 450 年頃、「理性が世界を支配する」と信じていた哲学者、天文学者、数学者のアナクサゴラスは、冒涜罪で投獄されていたときに、今では有名な数学の問題を提起しました。コンパスと目盛りのない定規だけを使って、与えられた円と同じ面積の正方形を描くことができるでしょうか?

この疑問に対する答えは、1882年にドイツの数学者フェルディナント・フォン・リンデマンが、これは定規とコンパスでは解けない問題であることを証明したときに出ました。彼は、円周率が超越数と呼ばれる特別な数であることを証明しました（超越数には e も含まれます）。

物語はここで終わってもよかった。しかし 1925 年、人類史上最も重要な論理学者の一人であるアルフレッド・タルスキが、ルールを微調整して問題を再定式化しました。彼は、円盤を有限個の小さな断片に切り分け、それらを使って正方形を再構築することは可能かと尋ねました。

1988 年、ミクローシュ・ラツコビッチはタルスキの疑問に正面から答えました。円は分割して再構成すると正方形になるが、そのためには円を約 10^50 個の部分に分解する必要がある、というものです。しかし、かなり長い間、円を二乗する方法には、直感的に表示および構築できないいくつかの要素が常に含まれていました。面積を定義できないフラグメント (ルベーグ非測定集合) と、面積が 0 のフラグメント (ゼロ測定集合) があります。

数年前、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）の数学者アンドリュー・マークスと、現在トロント大学に在籍するスペンサー・アンガーが、円の二乗に関する初めて完全に構成的な証明を提供した。すべてのピースは例外なく一定の面積を持つ。

コストは、円を 10^200 個の部分に分解する必要があることです。理論的には構築可能ですが、そのプロセスは複雑すぎて実証できません。

2022年2月、ウォーリック大学のアンドラス・マテ氏とオレグ・ピクルコ氏、ビクトリア大学のジョナサン・ノエル氏がオンラインで発表した論文は、この古くからの疑問に新たな要素を加えました。彼らの作品も円を約 10,200 個のピース​​に分割していますが、形状はより単純で視覚化しやすいものになっています。デモビデオを作成することもできます。

数学者たちはすでに、パズルのピースをさらに単純化し、ピースの総数と不均一性の両方を減らすアイデアを持っています。マークスが行ったコンピューターシミュレーションでは、分解は 22 個以下のピースで実行できることが示唆されているが、証明されているわけではない。彼は下限値はもっと低くなる可能性があると考えています。

「20ドル以下で円を正方形にできるはずだよ」と彼は言った。 「でも1,000ドルは賭けないよ」

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