この古代中国の数学の宝の何がそんなに素晴らしいのでしょうか?

古代中国の数学には長い歴史があります。漢代に書かれた『九章算術』は、常に「数学古典の第一」として知られ、その中でも最も重要な数学作品です。

中国科学院の故院士で有名な数学者、呉文軍氏（1919-2017）はこう述べています。 「歴史上の数学の発展における『九章算術』とその劉徽の注釈の高い地位は、それぞれ独自の特徴を持つ古代ギリシャのユークリッドの『原論』のそれに匹敵します。」

では、『九章算術』はどのような数学的成果をあげたのでしょうか。また、なぜ数学史上これほど高い地位を占めているのでしょうか。今日は見てみましょう。

数え棒と準十進法の位取り

デジタル表現は人間が世界を理解するための重要な手段です。漢代に書かれた『九章算術』は、秦以前の時代からの数学の成果を要約したものです。そこに記録されている最も重要な数学的成果は、数え棒の準十進位数体系です。

いわゆる 10 進法では、1 から数えて 10 までカウント方法が変わります。いわゆる位取り記数法とは、同じ数字でも位置によって量的な意味が変わることを意味します。古代エジプトの数学では十進法が使用されていましたが、それは位置に基づくシステムではありませんでした（実際には基数値システムでした）。古代バビロニアの数学では位取り法が使われていましたが、六十進法も使われていました。現代のヒンドゥー数字やアラビア数字は十進法の位置値ですが、歴史的記録によると、中国の数え棒よりも後のものです。そのため、シンガポールの学者ラム・レイ・ヨンは、インドのアラビア数字は中国の数え棒に由来するとさえ提唱した。 2016年、中国科学院自然科学史研究所は『古代中国における重要な科学技術の発明と創造』を編纂し、この業績を明示的に取り上げた。

数え棒は中国で約2,000年もの間使われてきました。これらは、16 世紀にそろばんに取って代わられるまで、中国人が長い間使用していた数学の道具でした。これらは、日本、韓国、ベトナム、琉球諸島など漢字文化圏の国々で古くから使われてきた数学の道具でもありました。一般的には竹（象牙、骨、鉛、銀も使われる）で作られ、漢代には長さが約12cmありました。近代以降、多くの数え棒が発掘されている。 1983年11月、陝西省浙陽の漢人の墓から28本の象牙の計算棒が発掘された。日本にも数え棒があります。古代中国語では、「筭」は「算」とは異なります。前者は竹で遊ぶこと、つまり棒を数えることを意味します。後者は棒を数えるための容器であり、計算を意味するように拡張されています。そのため、古書では「九章筭术」のように「筭术」（つまり、数え棒を使った算法）と表記されることが一般的です。

そろばんの数え方には縦と横の2通りの方法があります。縦書きは 1、100、1 万の単位で表し、横書きは 10、1000、100 万の単位で表します。例えば12345は次のように並べられます

十の位の 1 と一の位の 1 の配置が異なるため、著者はこれを「準位値システム」と呼んでいます。これは、カウントロッドを使用してカウントすることの特徴と利点を正確に反映しています。 0 は空きスペースとして扱われるため、次のように垂直方向と水平方向の差によって空きスペースが最大限に強調されます。

203を示します

そしてそれは23（）ではあり得ません。 『九章算術』第 8 巻の方程式には正負の理論が含まれており、カウント チップの色と配置によって正負を区別することもできます。

アルゴリズム中心

算数の芸術 9章からなる数学の芸術

『九章算術』は 9 巻に分かれており、246 の問題が収録されています。学界では、この本は応用問題集であるという誤解が常にありました。実際には、246 の問題に対応するアルゴリズム（つまり手法）は 100 程度しかなく、複数の問題が 1 つのアルゴリズムに対応する場合も少なくありません。そのため、数学史家の郭樹春は、この本は「例を統括する専門書」の形を取っていると指摘した。

もうひとつの誤解は、この本はアルゴリズムの操作マニュアルであり、プランナーはそこに含まれる数学的原理を理解する必要がないというものです。この点について、数学史家の李紀民氏は、アルゴリズムの実装プロセスには数学的論理が含まれている（つまり、「計算に論理が埋め込まれている」）ため、数学的原理を理解しなければ実際に計算することは不可能であると指摘した。

呉文軍氏は、高レベルの観点から、古代中国のアルゴリズムは建設的かつ機械化されていると指摘した。現代の実存数学に対応する、いわゆる構成主義とは、アルゴリズムがしばしば解決の道筋を提供することを意味し、機械化は計算プロセスを指します。フランスの学者カリン・ケムラは、大量の綿密な文献分析を通じて、同書の数学問題と劉慧の注釈、図や棊などの幾何学的道具、数え棒の実装は、実際にはアルゴリズムを表示するための道具であると指摘し、「九章算術」に代表される古代中国の数学がアルゴリズム中心の数学であることを強力に証明しました。

世界の数学史の観点から見ると、古代ギリシャの数学を除くすべての数学文明はアルゴリズム的な傾向があります。デンマークの数学的歴史家イェンス・ホイラップ氏はさらに、中国の数学はあらゆる文明の中で最もアルゴリズム的であると考えている。かつて、学界では一般的に『九章算術』は実用的かつ社会的なものだと考えられていました。実際、他の数学文明にもこれらの特徴があります。アルゴリズムを重視する点だけが古代中国の数学に特有です。この点で、「九章数学術」は理論的な数学の著作とみなすことができます。

『数学術に関する九章』の最初の巻の 1 つには、数え棒を使用して分数を計算する規則と、さまざまなフィールドの面積を計算する公式が示されています。その中には、円の面積の公式があります。「円周の半分に半径を掛けたものが、ステップの積である」（つまりπ）という公式は、円周率の値を巧みに回避しているため、完全に正確です。

第 2 巻の「ミレー」では、さまざまな穀物の変換を示し、3 つの既知の数の比率の 4 番目の数を見つける「現在の方法」を提案しています。このアルゴリズムは、西洋では「3レート法」と呼ばれています。

第 3 巻では、さまざまな項目の比例配分について説明します。

第 4 巻の「邵光」では、土地の測定と分割について説明し、数え棒を使用して平方根と立方根を求めるアルゴリズムを示します。この方法は宋代に、任意の 1 変数高次方程式の数値解を求めるための一般的なアルゴリズムとして開発されました。これは現代数学のニュートン法に似ています。

第 5 巻「Shang Gong」は、さまざまな幾何学的物体の体積計算を含む工学上の問題です。あらゆる幾何学的物体の体積を解くための基礎として、3 つの基本的な幾何学的物体 (立方体、溝、尾根) が提案されています。いわゆる立方体は正立方体です。いわゆるトレンチは、正直角三角形の底辺を持つ三角錐であり、2 つのトレンチが一緒になって立方体を形成します。いわゆる陽馬は、正方形の底面と、底面に対して垂直な 1 つの辺を持つ 4 面ピラミッドであり、3 つの陽馬が一緒になって立方体を形成します。

第6巻「平等配分」は、税金の比例配分の問題について説明しています。

第7巻は、西洋では「二重仮定法」と呼ばれる、2つの仮定を通して問題を解くアルゴリズムです。この方法は、あらゆる問題を線形問題として理解し、解決策を見つけることができるため、ユニバーサルアルゴリズムとも呼ばれます。

第 8 巻「方程式」は、複数の変数の線形方程式のシステムを解くための完全なアルゴリズムであり、この問題を扱うときに使用する必要がある正と負の計算の規則を示します。たとえば、最初の質問:

今は上等な米が3束、中等な米が2束、下等な米が1束あり、合計39斗です。上等な米二束、中等な米三束、下等な米一束、合計三十四斗。上等な米一束、中等な米二束、下等な米三束、合計二十六斗です。質問: 一握りの小麦には上粒、中粒、下粒がそれぞれいくつずつ入っていますか?彼は言った。「上質の米一束の重さは9.4斗四分の一斗、中質の米一束の重さは4.4斗四分の一斗、下質の米一束の重さは2.4斗四分の三斗です。」

以下の方程式は技法別に列挙されており、解法の手順は現代の行列方程式の解法に似ています。清朝末期に現代数学が中国に導入された後、李山蘭は「方程式」という古語を借用して方程式を翻訳しましたが、これは実際には方程式の本来の意味を変えました。

第 9 巻「ピタゴラスの定理」では、平面図形の面積計算問題について説明し、ピタゴラスの定理とそのさまざまなバリエーションを紹介します。

アルゴリズムの正しさを論じる

劉慧の『算術九章注釈』

「数学の芸術に関する 9 つの章」のテキストには、その正しさの証明なしにアルゴリズムのみが示されています。これは、かつて中国の数学が『原論』に代表される古代ギリシャの数学より劣っていることの証拠とみなされてきた。現代数学の歴史の研究により、この見解はまったく支持できないことが明らかになっています。

まず、古代ギリシャ数学以外の数学文明では、証明のないアルゴリズムのみを与えることが多い。そのため、呉文軍氏は、数学の歴史はアルゴリズム的傾向と演繹的傾向という2つの大きなテーマの盛衰によって形成されたと考えています。

第二に、テキストに証明があるかどうかは、実際にはテキストの性質とそれが作成された文脈によって決まります。言い換えれば、テキストに証明が存在しないということは、数学の実践において証明が存在しないことを意味するものではありません。

第三に、リン・リナのような学者は、古代ギリシャの数学的証明が唯一の証明形式であると考えるべきではなく、他の文明にも異なる形式の証明が存在すると考えています。 2 番目と 3 番目の点は、劉徽のメモから確認できます。

魏景元4年（263年）、劉徽は『九章算術』に注釈をつけ、ほとんどのテキストのアルゴリズムの正しさを主張した。特に、第1巻の円面積公式の証明、第4巻の球体体積公式の注釈、第5巻の陽馬の体積の証明では極限近似の推論法が用いられており、極めて高い論理的推論能力を示している。劉徽は、第4巻の球体の体積の公式を解く過程で、牟鶴蓋を発明したが、その体積を計算できなかったため、「説明できる人を待った」という。この問題は最終的に祖崇志とその息子によって解決されました。劉徽の幾何学の問題の証明にはグラフ (平面の問題) と棊 (立体の問題) の使用が必要であり、彼の推論原理は呉文軍によって「相補的入力と出力の原理」として要約されました。

「数学術の九章」の影響と歴史的地位

『九章算術』は唐代と宋代の両時代において帝国数学院の教科書として使用されました。劉徽の後、唐代の李春鋒、北宋代の賈仙、劉懿、蒋周、晋代の秦九早、楊慧、李イェ、元の時代の朱世傑らは『九章算術』に沿って古代中国の数学を発展させ、宋・元の時代にその頂点を極めた。明清時代には中国の数学の発展の主流は変化したが、『九章算術』の全体的な枠組みは変化しなかった。日本の数学は、宋・元の時代の中国数学を基に合算理論を発展させ、19世紀には面積の和などの初等的な微積分問題を扱うことができました。

李厳（1892-1963）と銭宝聡（1892-1974）が中国数学史研究の先駆者となって以来、『九章算術』とその注釈は中国の数学の成果を示す画期的な著作とみなされてきたが、それらは主に現代数学と結びつく点に焦点を当てていた。実際、『九章算術』に書かれた独特なアルゴリズムも中国数学の偉大な成果です。これらは、中国の数学の歴史的歩みの独自性と歴史的経験の妥当性を示しています。

呉文軍氏は、古代中国の数学のアルゴリズムをコンピュータソフトウェアとして、また数え棒やそろばんなどの道具をコンピュータハードウェアとして理解し、数学の機械化というアイデアを創造的に提案しました。これは古代中国の数学における「過去を現在に適用する」という典型的な例です。

企画・制作

この映画は科学普及中国創造育成プログラムの支援を受けた作品です

制作：中国科学技術協会、科学技術出版社、北京中科星河文化メディア有限公司

著者: 朱一文、科学技術史博士、中山大学哲学科教授、博士課程指導者、論理認知研究所専任研究員

企画丨Lin Lin

編集者：リンリン・チョン・ヤンピン

校正：徐来