ブラックホール内部の旅: 特異点は存在しないのか?

ブラックホール内部の理論的探究は、常に物理学研究の重要な方向性でした。答えるのが難しい質問の一つは、特異点が本当に存在するかどうかです。ペンローズとホーキングは古典的な重力に基づいて特異点定理を導き出し、ブラックホールの特異点を確認しました。しかし、特異点の定義は複数あります。ブラックホール理論のこの核心的な問題を探るために、ブラックホール研究の先駆者であるロイ・カーは最近、特異点は存在しないとする論文を発表しました。彼はなぜこのような結論に達したのでしょうか?

著者：アン・ユセン（南京航空航天大学物理学部）

宇宙を見上げると、壮大な星空が魅力的ですが、美しさの裏には危険が潜んでいることも少なくありません。最も危険で神秘的な領域はブラックホールです。

1915年に提唱されたアインシュタインの一般相対性理論は、人々の空間と時間の概念に革命をもたらしました。一般相対性理論の導入は、時空が静的な舞台ではなく、舞台上の観客、つまり時空内の物質によって歪められることを示しています。この効果は、運動方程式（アインシュタインの方程式）を解くことによって説明できます。一般的に言えば、アインシュタインの方程式を解くのは非常に難しいですが、物理学者は常に対称性の良いさまざまな状況を見つけ、それを理想的なモデルとして使用して研究を行うことができます。 1916 年、カールシュヴァルツシルトは第一次世界大戦の塹壕で、彼の名にちなんで名付けられたシュヴァルツシルト計量と呼ばれる有名な解を得ました。

シュワルツシルト計量は、球対称ブラックホールの解としてだけでなく、星の外側の時空の解としても使用できます。この計量を見ると、計量(1)が発散する2つの特別な位置r = 2Mとr = 0があることは明らかです。これら二つの相反する理解は長年物理学者を困惑させてきた。最終的に、この 2 つの異なる位置は、実はブラックホールの最も重要な 2 つの特性、つまり事象の地平線と特異点に対応していることが発見されました。それらを理解することは、ブラックホール物理学研究の最も重要な要素です。

ブラックホールのこれら 2 つの特徴を紹介する前に、まずブラックホールの概念の形成について復習しましょう。 1930 年代には、J・ロバート・オッペンハイマー、スブラマニアン・チャンドラセカールらが、恒星が燃え尽きた後の重力崩壊の問題について深く考察しました。彼らは計算を行い、星の質量が十分に大きい場合、理論的には重力崩壊を防ぐのに十分な反発力は存在しないことを発見した。そのため、彼らは、重力崩壊は止まらず、最終的に恒星は極めて高密度になり、周囲の時空が大きく歪んでブラックホールが形成されるだろうと大胆に予測した。この見解は当時多くの人々から疑問視され、この予測は理論モデルの単純化が原因かもしれないと考える人も増えました。現実には、人々が理解していない何らかのメカニズムが崩壊を阻止するはずなので、ブラックホールは実際の物理的現実ではない。

今日に至るまで、重力崩壊の終わりにおける物理学は完全には理解されておらず、重力崩壊が最終的にもたらす特異点の問題は依然として物理学者を困惑させています。しかし、現在の重力波観測からブラックホールの存在を示す強力な証拠が得られています。それだけでなく、近年ではブラックホールの写真も撮影されています。これらすべての進歩は、私たちの宇宙にそのような神秘的な天体が本当に存在することを明らかにしています。

図 1 ブラックホールの最初の写真 |出典: イベント・ホライズン・テレスコープ・コラボレーション

ブラックホールの地平線

まず、ブラックホールの 2 つの重要な特性のうちの 1 つである事象の地平線について説明します。シュワルツシルトブラックホールを例にとると、事象の地平線、つまりシュワルツシルト解における r=2M の位置では、座標の選択によって計量解が発散するように見えることがわかりました。 t、r、θ、φの座標を選択しないと、他の特殊座標系では発散は発生しません。

事象の地平線の物理的特性は、時空の歪みの程度が高いために時空座標が交換されることです。事象の地平線を通過するとき、つまりr＞2Mからr＜2Mに移行するとき、元の外部時間座標tは事象の地平線内の空間座標になり、元の放射状空間方向rは時間方向になることが容易にわかります。この特性はブラックホールの本質的な特性です。ブラックホールの外側は時間とともに変化しない静的な時空であるとしても、ブラックホールの内側は時空座標の交換により静的な性質を持たなくなります。

事象の地平線のもう一つの物理的特徴は、事象の地平線内の光は、内側に放射されるか外側に放射されるかに関係なく、最終的には収束することです。したがって、ブラックホールに入ったものは何でも、光でさえも脱出することができます。それはまるで貪欲な大食いのように、周囲のあらゆるものを貪り食う様子で、それがブラックホールの名前の由来にもなっています。

上記の議論は、ブラックホールの地平線とブラックホールの内部の物理学を理解するためのシュワルツシルト解に基づいています。シュワルツシルトブラックホールが出現して間もなく、ブラックホールの外側に電磁場があると仮定して、荷電球対称ブラックホール、つまりRNブラックホールが構築されました。長い間、アインシュタインの場の方程式を解くには球対称性の助けが必要でした。 1963年にロイ・カーが彼の名前を冠したカーブラックホールを発見し、重要な進歩が起こりました[1]。このブラックホールメトリックは対称性が少なく（軸対称性のみ）、回転するブラックホールを記述できます。

RN ブラックホールとカーブラックホールは、事象の地平線内部のシュワルツシルトブラックホールとは根本的に異なります。以下では主にカーブラックホールの物理的特性の一部を紹介します。

カーブラックホールの測定基準は次のとおりです。

事象の地平線内にはコーシーの地平線も存在します。内地平線の存在はブラックホールの内部に大きな影響を与えます。この時点で、事象の地平線は、物体が進入できるが出られない場所ではなくなり、同時に、内側の地平線内の局所的な時空は依然として安定しており、時間とともに変化しません。

ブラックホール特異点

ブラックホールのもう一つの特徴である「特異点」について紹介します。シュワルツシルトブラックホールの場合、r = 0の位置では、この時点での計量の発散は、どのような座標変換によっても除去できません。これは、時空の曲率で構成されるいくつかのスカラーを計算することによっても確認でき、この時点でこれらのスカラーが発散することがわかります。スカラーは座標系の選択に依存しないため、この発散は物理的な発散であり、r = 0 の位置はブラックホールの特異点と呼ばれます。

カーブラックホールについては、その特異点の構造がシュワルツシルトブラックホールの特異点の構造とは非常に異なることがさらに発見されました。まず、内なる地平線の存在により、ブラックホールの特異点は空間的な特異点から時間的な特異点へと変化します。同時に、特異点の構造は異なり、これは式（2）の球座標からは容易には分かりませんが、直交座標に変換すると明らかになります。座標変換関係は次のようになります。

a=0 の場合、この座標関係は、人々がよく知っている直交座標から球面座標への変換と同じですが、回転が存在するため、結果はわずかに変わります。 x、y、z には次の関係があります。

回転が存在するため、等しい r 面の場合、カー時空は球対称時空とは多少異なります。元の球対称時空における等r面は球体ですが、ここでは楕円体になります。 r=0 の特異点位置の場合、この時点で条件が満たされます: x^2+y^2=a^2、z=0。回転がない場合、特異点の位置は x=y=z=0 に対応します。しかし、回転後、特異点における x と y は 0 にならない可能性があり、x 平面と y 平面は半径 a の円を形成します。この特性から、カーブラックホール特異点が現れる場所は特異リングとも呼ばれます。

しかし、これらの解析的なブラックホール解に特異点が現れるという理論的事実は、特異点の存在を完全に確認するものではありません。なぜなら、これらのブラックホールを得る過程で、特別な対称性が多かれ少なかれ選択されたからです。当然の疑問は、特異点は対称性によって引き起こされる単なる錯覚なのか、ということです。アインシュタインの方程式を解くには対称性が必要なので、この質問に答えるのは実は簡単ではありません。

1960年代から1970年代にかけて、ソ連の物理学者ウラジミール・ベリンスキー、イサク・ハラトニコフ、エフゲニー・リフシッツは、対称性を考慮せずに特異点形成の問題を議論しようとした[2] 。最終的に、この問題はロジャー・ペンローズとスティーブン・ホーキングによる特異点定理の証明によって解決されました[3]。特異点定理は非常に巧妙です。ペンローズとホーキングは、測地シンクなどの大域微分幾何学の手法を使用して、アインシュタインの方程式を解くことなく、かなり一般的な状況下でブラックホールには特異点がなければならないことを証明しました。ソビエト科学者の努力が無駄ではなかったことは言及する価値がある。彼らが発見したBKL仮説（3人の姓にちなんで名付けられた特異点モデルの一種）は、ブラックホールのような特異点付近の重力の動的挙動を単純化し、特異点付近の運動方程式を解くことを可能にした。彼らの研究は特異点の存在を否定するものではありませんが、特異点付近の時空計量の変化する法則をより直感的に理解するのに役立つ可能性があります。

特異点は存在しない？

読者は、特異点の紹介によると、特異点とは、さまざまな時空曲率によって構築されたスカラーが発散する場所である、と疑問に思うかもしれません。ペンローズは実際にはアインシュタインの方程式を解いていないのに、曲率スカラーが発散することをどうやって知ったのでしょうか?実際、ペンローズが語った特異点と私たちが紹介した特異点の間には微妙な違いがあります。

特異点には実際には 2 つの定義があります。1 つは、座標の選択に依存しない特定のスカラーの発散による上記の定義です。もう 1 つは、非拡張時空 (略して FALL) における測地線アフィンパラメーターの有限性によって特徴付けられます。第二特異点の定義は、次の直感から来ています。通常の時空では、粒子は常に時空内にあるはずです。ある有限パラメータの下で、時空内の曲線が突然この時空内で消えてしまう場合（そして背景時空を解析的に拡張できない場合）、それは時空自体に特異点が現れ、曲線がこの特異点で終了するためであるに違いありません。この特異点の定義は抽象的ですが、一般的なものであり、特定のメトリック解に依存しないため、数学的な証明に非常に役立ちます。特異点を定義する最初の方法は直感的ですが、特定のブラックホールの解に依存します。これら 2 つの定義は非常に異なっており、これら 2 つの特異点表現の関係を直感的に確立することは困難です。この疑問に応えて、ブラックホール研究の先駆者であり、もうすぐ90歳になるカーは、この問題を議論する別の論文[4]を発表し、ブラックホールには特異点がないかもしれないと提唱した。

カー氏は記事の中で、カーブラックホールの場合、特異点で終わらない FALL が少なくとも 1 つ存在すると指摘しました。彼は簡単な反例を発見しました。カーブラックホールの対称軸に沿って移動する光の軌道は、次の式を満たします。

これにより、2つの光線を解くことができます。

そして

で

この光線の視線速度 dr/dt は内側の地平線と外側の地平線で 0 なので、測地線は内側の地平線と外側の地平線の間の領域にのみ存在します。現時点では、この光子測地線は有限のアフィンパラメータを持つ。

(この曲線のアフィンパラメータとして r 座標を使用できます)。そこで、カーは論文の中で、有限のアフィンパラメータを持つ測地線を構築したが、それが曲率特異点を持つどの場所とも交差しなかったことを示しました。このことから、カーはペンローズによって証明された特異点定理が不完全である可能性があることを指摘した。ペンローズの証明は、非常に一般的な条件下では FALL が確実に発生することを指摘していますが、これは特異点が確実に出現することを意味するものではありません。

図 2 Kerr が挙げた反例は緑色の測地線ですが、彼が使用した座標系は灰色の領域のみをカバーしています。この領域は完全な時空ではありませんが、より大きなクラスカル時空（つまり、白い部分を含む）まで拡張できます。

ブラックホール内部の具体的な物理的イメージについては、内地平線は依然として定常時空であるため、カーブラックホールに現れる奇妙なリングの代わりに、何らかの星（中性子星など）が内地平線内に存在する可能性があると提唱した。この星の測定基準と外側のカーブラックホールは、実際の物理的なイメージを形成します。言い換えれば、エキゾチックリングは、実際の非エキゾチックな物体の理想的な近似値にすぎません。

カーの結論に関しては、まだ検討する価値のある疑問がいくつか残っている。まず第一に、彼が見つけた反例では、使用された座標系が時空全体をカバーしていませんでした。したがって、座標系のこの部分によってカバーされる領域は、拡張不可能な時空を表すものではありませんでした。さらに、カーが発見した測地線は完全な測地線ではありませんでした。少なくとも数学的解の意味で特異点定理を研究する場合、特異点が存在するかどうかを調べるには、背景の時空が拡張不可能であることを確認する必要があるため、彼が探している反例がペンローズ特異点定理に違反する反例を構成するかどうかはまだ議論の余地があります。

第二に、数学的解の解析的拡張によって与えられた時空構造が実際の時空の物理的外観ではないとしても、実際の時空の物理的イメージも、カーが提案したアイデアからある程度逸脱する可能性がある。カーの提案では、特異点定理に違反する反例を見つけるにしても、ブラックホール内部の物理的イメージを見つけるにしても、カーブラックホールの内なる地平線の存在に頼らなければなりません。しかし、多くの研究により、ブラックホールの内側の地平線は不安定であることが示されています[5]。この不安定性は、内部地平線の動的不安定性から生じます。このとき、内側の地平線付近で小さな変動が増幅され、元の内側の地平線が新たな曲率特異点（つまり、質量インフレーション効果）の位置になります。

同時に、時空には様々な物質場が存在するため、これらの物質場がブラックホールを毛状（スカラー毛など）にすると、ブラックホールの内なる地平線も消えてしまいます。したがって、実際の物理的イメージには内地平線（つまり、内地平線と特異点の間の領域）が存在しない可能性があり、内地平線内に何らかの恒星測定基準が安定して存在する可能性は排除されます。さらに、カーが発見した特異点に触れないタイプの FALL も失敗します。これは、カーの例の測地線が内側の地平線で交差するためですが、この時点で内側の地平線の位置が新しい特異点の位置になるため、反例の測地線は実際には特異点と交差することになります。

ブラックホール内部：21 世紀の黒体放射？

注目すべきは、カーの議論は特異点問題に対する一つの解決策に過ぎず、彼の提案が失敗したとしても特異点が存在することを意味するわけではないということだ。ペンローズとホーキングが古典的重力に基づいて証明した特異点定理は、むしろ古典的重力の失敗の兆候です。この意味では、ブラックホール特異点は、黒体放射の紫外線発散と同様に、より歴史的な意義を持っていると言えます。量子物理学は新しいパラダイムであり、あらゆる物理理論は小規模で量子物理学のパラダイムに組み込む必要があります。現在、一般相対性理論に代表される重力理論だけが、依然として奮闘を続けています。重力は量子化される必要があり、一般相対性理論と量子力学を統合する必要があると人々は信じています。この過程で、さまざまな物理量が発散するブラックホール特異点に、まったく新しいバージョンの量子力学が与えられ、この発散を解決することが量子重力の誕生への唯一の道となります。

古典的な一般相対性理論によって予測されるブラックホール内部のイメージは不完全なものであるに違いない。宇宙の最も秘密の片隅、ブラックホールの内部には、もっと魔法のようなものが隠されているに違いありません。

注記

[1] ブラックホールには無毛定理があるが、これはアインシュタイン-マクスウェルの枠組みの中でのみ成立する。より一般的な枠組みでは、この緩い定理の制限を超えることができる構成が数多くあります。

参考文献

[1] RP Kerr、「代数的に特殊な計量の例としての回転質量の重力場」、Phys.レット牧師11、p. 237（1963年）。

[2] VA Belinskii、IM Khalatnikov、EM Lifshitz、「相対論的宇宙論における特異点への振動的アプローチ」、Adv.物理。 19、525（1970）。

[3] R.ペンローズ、「重力崩壊と時空特異点」、Phys.レット牧師14、p. 57（1965年）。

[4] RP Kerr、ブラックホールには特異点があるか? arXiv:2312.00841.

[5] E.ポアソン、W.イスラエル、「ブラックホールの内部構造」物理学改訂D41（1990）1796-1809。

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