張一堂に触発され、17歳の少年が世界の数論問題を解く

ダニエル・ラーソンは双子素数問題の論文を研究しながら、メイナードが張一堂の研究成果を改善するために使用した数学的手法を習得し、この手法を創造的に応用し、最終的にカーマイケル数の分布に関する画期的な結果を証明しました。

著者：呉朝陽（ポピュラーサイエンスライター、南京大学数学部准教授）

当時17歳だったダニエル・ラーセンは昨年、カーマイケル数の分布に関する重要な結果を証明して大きな騒ぎを引き起こし、メディアから「天才少年」として称賛された。 2023年10月18日、論文の改訂版がプレプリントウェブサイトでオンライン公開されると、ダニエル・ラーソンは再び数え切れないほどの数学愛好家や一部の学生の保護者の注目を集めました。

ダニエル・ラーセンとともに、カーマイケル数も数学愛好家の注目を集めています。ダニエル・ラーセンの証明が、張一堂の双子素数問題に関する研究と密接に関連していることは注目に値する。この記事では、興味深いカーマイケル数に焦点を当て、「天才少年」ダニエル・ラーセンの成長物語を簡単に紹介します。

「互いに素」、「合同」、「合同算術」

この物語をより完全に理解するには、まずそれに関連するいくつかの基本的な数学の知識を大まかに理解する必要があります。

まず最初に理解する必要があるのは素数です。素数は誰もが知っていると思います。これらは 1 より大きいが、1 より大きい 2 つの因数の積に分解できない自然数です (読みやすくするために、この記事ではすべて「数」は自然数を指します)。たとえば、2、3、5、7、11 はすべて素数です。素数ではないが 1 より大きい数は合成数と呼ばれます。たとえば、6 と 9 はそれぞれ 2⤫3 と 3⤫3 と表記できるため合成数です。

2 つの数に共通因数がないか、または「最大公約数」が 1 である場合、その 2 つの数は「互いに素」であると言います。たとえば、8 と 11 は互いに素ですが、6 と 9 は共通の因数が 3 であるため互いに素ではありません。

私たちが理解する必要がある他の 2 つの数学用語は、「合同」と合同演算です。つまり、「合同」とは「同じ余り」を意味します。具体的には、2 つの被除数が同じ除数に対して同じ余りを持つことを意味します。ここでは商が何であるかは気にせず、余りのみを気にします。たとえば、6 を除数とすると、被除数 14 と 8 の余りは同じになるため、「14 と 8 は 6 を法として合同である」と言います。私たちはこれを認識しています

14≡8 mod(6)。

上記の式は合同式と呼ばれ、mod (6) は式の両辺の数値の公約数が 6 であることを意味し、これは合同式の「法」と呼ばれます。同じ法mに対して、a ≡ b mod (m)とc ≡ d mod (m)が両方とも成立する場合、合同性

a + c ≡ b + d mod (m)、

a - c ≡ b - d mod (m)、

ac ≡ bd mod (m)

a^k ≡ b^k 法 (m)

これらはすべて真実です。 3番目を証明しましょう:

c ≡ d mod (m) は、c と d を m で割ったときの余りが同じであることを意味するため、c - d は m の倍数に等しい、つまり、c - d = mk となる整数 k が存在します。それから、

ac – bd = a (km + d) – bd

= akm + ad – bd

= akm + d (a - b)

既知の条件 a ≡ b mod (m) から、a - b は m で割り切れることがわかります。したがって、ac - bd も m で割り切れます。つまり、ac ≡ bd mod (m) です。

上記の 3 つの方程式は、合同式が加算、減算、乗算に関する方程式のように「正常に演算」できることを示しています。さて、「等しいものは等しいもので割ることができる」ということはわかっていますが、合同なものは等しいもので割ることができるのでしょうか?答えは「いいえ」です。特定の状況には特定の分析が必要です。解析方法は、合同式を除算方程式として書き、この除算方程式を使用して問題を検討することです。それでも、2つの簡単な結論を導き出すことができます。

まず、kとmが互いに素であれば、合同式を使うことができる。

ka ≡ kb mod (m)、

合同性を得る

a ≡ b mod (m)。

言い換えれば、k と m に共通因数がない場合、合同の両辺から因数 k を実際に「キャンセル」することができます。

次に、k が m の因数である場合、または同等に、m = kn である場合、合同 ka ≡ kb mod (m) から次の式が得られます。

a ≡ b mod (n)、

この場合、モジュール m 内の因子も一緒に「縮小」されます。

フェルマーの小定理とカーマイケル数

この記事のテーマについて話す前に、有名な「フェルマーの小定理」についても紹介する必要があります。この定理を述べる一つの方法は次のとおりです。

フェルマーの小定理: pが素数でaが自然数の場合、 a^p - aはpで割り切れる。つまり、

a^p – a ≡ 0 法（p）

設立。

当然、好奇心旺盛な人はこの定理に関連する命題を検討するでしょう。その中で重要な命題は次の 2 つです。

命題1 : nが合同となるような場合

2^n – 2 ≡ 0 を法として（n）

そうすると、 n は素数でなければなりません。

命題2（フェルマーの小定理の逆）： nが合同な

a^n – a ≡ 0 を法として（n）

ここにちょっとしたエピソードがあります。清朝の同治・光緒年間に、イギリスはトーマス・ウェイド（1818-1895）という外交官を中国に派遣した。ピンインが正式に導入される前は、彼が考案した「ウェード・ジャイルズ式ローマ字表記」が最も影響力のあるピンイン方式でした。興味深いことに、ウェイドは他の人の話を聞き間違え、間違ったメッセージをヨーロッパに送り返した。彼は、孔子の時代にはすでに中国人は素数について次のような「定理」を持っていた、と述べた。

中国の仮説： nが素数であれば、合同性は

2^n – 2 ≡ 0 を法として（n）

設立。逆に、 n が上記の合同性を満たす場合、 n は素数でなければなりません。

明らかに、中国仮説の前半はフェルマーの小定理の系であり、後半は前述の命題1である。1898年にジェームズ・ジーンズ（1877-1946）は、前述の命題1が誤りであり、最小の反例は341であると指摘した。彼は、341 = 11⤫31は合成数であるが、

2^5 = 32 ≡ 1 mod (31)、

2^5 = 32 ≡ -1 mod (11)、

それで、

2^340 = (2^5)^68≡ 1^68 ≡ 1 mod (31)、

2^340=(2^5)^68≡(-1)^68≡1mod(11)、

したがって、

2^340 ≡ 1 mod (31⤫11)、

2^341 ≡ 2 mod (31⤫11)、

つまり、

2^341- 2 ≡ 0 法 (341)、

1899 年、アルヴィン・コルセルト (1864-1947) は、イェンスの結果を引用した後、前述の命題 2 をさらに検討し、次の「コッセルト基準」を提示しました。

コッセルトの基準：合同となる自然数n

a^n – a ≡ 0 を法として（n）

すべての自然数aに対して、 nに平方因数が存在せず、 nのすべての素因数に対して**が存在する場合にのみ成り立つ。

n–1 ≡ 0 mod(p-1)。

フェルマーの小定理の観点から見ると、コッセルトの条件を満たす合成数は素数と非常に似ているため、「フェルマー擬素数」と呼ばれます。 1910 年、ロバート・カーマイケル (1879-1967) は、オイラーの φ 関数を応用してこの種の擬似素数を研究する先駆者となり、これらの擬似素数が少なくとも 3 つの素因数を持つことを証明し、3⤫11⤫17、5⤫13⤫17、7⤫13⤫31、7⤫31⤫73 など、3 つの素因数を持つ特定のフェルマー擬似素数を与えました。彼の先駆的な研究に対する敬意から、数学界ではそれ以来、フェルマーの擬素数を「カーマイケル数」と呼ぶようになった。

1939 年、ジャック・チャーニック (1911-1971) は、3 つ、4 つ、またはそれ以上の素因数を持つカーマイケル数の積表現について詳細な研究を行い、いくつかの重要な結果を得ました。 3 つの素因数を持つカーマイケル数については、チェルニックは次の形式になることを示しました。

(6M+1)、(12M+1)、(18M+1)がすべて素数となるような非負整数Mが存在する限り、これら3つの素数の積、つまり(6M+1)(12M+1)(18M+1)はカーマイケル数でなければなりません。実際、M = 1 のとき、7⤫13⤫19 となり、これは確かにカーマイケル数です。

カーマイケル数を検索するために使用できる 3 因数積の式は多数ありますが、最も一般的なものは次のとおりです。

その結果、短期間でインターネット上で人気を博しました。公平に言えば、この研究結果は、一部の報道にあるように「世界の問題を解決する」というには程遠いが、チェルニク氏の研究の延長であり、革新的な成果である。

問題: カーマイケル数に対するバーナード・チェビシェフの定理を証明してください。

Chernik の研究から、同じ d に対して、多くのカーマイケル数は kd+1 という形式の素数の集合の積であることがわかります。

数論コミュニティでは、x 未満の素数の数を π(x) として記録します。これは素数計数関数と呼ばれ、非常に早い段階で次のような重要な結果を得ました。

π(x) ～ x / ln(x)

d と a が互いに素である場合、kd+a の形式のすべての自然数は等差数列を形成します。 x 未満の素数の数は π(x; d, a) と表されます。するとπ(x, d, a)はπ(x)と関連する式を持つ:

π(x; d, a) ～ π(x) / φ(d)

ここで、φ(d)はオイラーのφ関数、つまりdを超えずdと互いに素である自然数の数です。

つまり、kd+1 形式の自然数の等差数列では、x が十分に大きい限り、x 未満の素数の数は少なくとも ln(x) の順序に達します。 d と互いに素である自然数の数が少なければ少ないほど、数列に含まれる素数は多くなります。

明らかに、x より小さく kd+1 の形をした素数が多ければ多いほど、これらの素数のいくつかの積に等しいカーマイケル数が存在する可能性が高くなります。上記の素数計算式は、この形式のカーマイケル数が多数存在することを強く示唆しています。

カーマイケル数を研究する人なら誰でも、コッセルト基準には重要だが簡単に証明できる結果があることを知っています。

****S がいくつかの奇数の素数からなる集合であり、 Lが集合 { p-1 |内のすべての数の最小公倍数に等しいと仮定します。 p∈S **} です。 QがSのサブセットであり、 c がQ内のすべての素数の積に等しく、 c** **≡ 1 ( mod L ) である場合、 **c**** はカーマイケル数です。 **

ある数の素因数がすべて小さい場合、それはラマヌジャンが「高度に合成された数」と呼んだ数です。 L が高度に合成された数である場合、合同性c **≡ 1 ( mod L )** が成り立つかどうかを検証するのは比較的簡単です。 1992 年、四川大学の張明志は L を高度合成数として扱い、上記の推論に基づいて、巨大カーマイケル数を探索する新しい方法を提示しました。

張明志に触発され、kd+1 形式の素数に対する前述の計数公式を適用して、アルフォード (ウィリアム R. アルフォード、1926 年 - 2022 年)、グランビル (アンドリューグランビル)、およびポメランス (カールポメランス) は 1994 年に、十分に大きい高度合成数 L に対して、kd+1 形式の素数の多くの群の積を L を法として剰余がすべて 1 になるような自然数 d が存在することを証明し、さらにカーマイケル数が無限に存在することを証明しました。

Alford らは、x^(1-E) から x までの素数の個数を数えたこれまでの結果を適用しました。十分に大きいxに対して、xを超えないカーマイケル数が少なくともx^(*1/3)*あることを証明した。

素数の分布法則を最も簡潔に説明したものが、有名なベルナール・チェビシェフの定理です。2 より大きい任意の自然数 n に対して、n と 2n の間には少なくとも 1 つの素数が存在します。

Alford らが使用した方法区間[1, x]（xが十分に大きい場合）内のカーマイケル数の数の下限を与えますが、この区間の後半、つまり[x/2, x]内のカーマイケル数の存在を証明することはできません。この区間の後半にカーマイケル数が存在することは、カーマイケル数に対するバーナード・チェビシェフの定理です。アルフォードらカーマイケル数に対するバーナード・チェビシェフの定理を証明することは極めて困難な作業であると結論付けた。 Alford らの考えに従えば、 kd+1の形式の素数のみを考慮すると、カーマイケル数に対するバーナード・チェビシェフの定理を証明することは不可能です。

ダニエル・ラーセンの研究

主人公が登場するのはこの時点でのみです。

ダニエル・ラーセンは、kd+1 と kd'+1 の形式の素数の組み合わせを同時に考慮することで、[x/2, x] におけるカーマイケル数の存在を証明できるかもしれないという大胆なアイデアを提案しました。幸いなことに、ジェームズ・メイナードは、双子素数に関する張一堂の結論を改善する革新的な方法を提案し、h が 246 以上の場合、間隔 h を持つ「素数ペア」x と x+h の分布法則が成り立つことを証明しました。ダニエル・ラーセンはメイナードの論文を理解し、メイナードの方法を kd+1 や kd'+1 などの素数の組み合わせに創造的に適用し、あまり離れていない d と d' に対して kd+1 と kd'+1 が素数となる頻度の下限を証明しました。

kd+1 および kd'+1 の形式の「素数ペア」が多数存在するため、Daniel Larsen は Alford らの方法の修正版を使用することができました。以下の画期的な結果を証明するため:

任意の正の小数****δ **と、 δに依存する十分に大きな自然数nに対して、 nと**の間で

カーマイケル数。

上記の結果が複雑すぎると思われる場合は、弱めながらもシンプルで覚えやすい結果にまとめることができます。

n > 3300の場合、 nと2nの間には常にカーマイケル数が存在します。さらに、 n が無限大に近づくと、 nと2nの間のカーマイケル数の数も無限大に近づきます。

読者は、この説明が限られた条件（ n > 3300 ）でのカーマイケル数のバーナード・チェビシェフの定理であることを自分で確認できます。

いわゆる「中国仮説」に関する否定的な研究がコッセルト基準を生み出したことがわかります。張明志の高度合成数の使用はアルフォードらに刺激を与え、カーマイケル数の無限数の証明の出発点となった。張一堂の研究はラーソンの数学研究への情熱に火をつけ、メイナードによる張一堂の証明方法の改良はラーソンの画期的な研究の鍵となった。カーマイケル数の研究におけるいくつかの主要な節目に中国の痕跡があるというのは興味深い偶然です。

ダニエル・ラーセンの父マイケル・ラーセンと母アイェレット・リンデンシュトラウスは、二人ともインディアナ大学の数学教授でした。家庭における強い数学的雰囲気は彼に大きな影響を与えました。

2013年以降、張一堂の双子素数問題における画期的な進歩は両親の間で話題となり、幼いダニエル・ラーソンの強い関心を喚起した。彼は、両親に多大な感銘を与えたこの数学の成果を理解し、機会があれば独自の数学研究を始めようと決心しました。ダニエル・ラーソンは高校1年生のときから、チャン・イータン、メイナード、タオ・ゼシュアンといった最先端の数学者による双子素数問題に関する論文を研究しようと努めてきた。これらの論文は中学生には難しすぎましたが、ダニエル・ラーセンは粘り強い人だったので、決して簡単には諦めませんでした。数か月の探究の後、彼は、比較的簡単に思えるが、前述の数学者の研究に密接に関連する問題、つまりカーマイケル数の分布を研究の方向性として現実的に決定しました。彼は17歳で、前述のカーマイケル数の分布に関する画期的な結果を証明し、一躍「天才少年」となった。

ダニエル・ラーソンの物語に何かインスピレーションがあるとすれば、優れた家庭教育環境、優れた才能、そしてたゆまぬ努力がすべて「天才少年」を生み出す重要な要素であると言えるでしょう。

参考文献

[1] Korselt、A.「Problème chinois」、L'Intermédiaire des Mathématiciens、6 (1899): 142–143。

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[8] ダニエル・ラーセン、「カーマイケル数に対するベルトランの公理」、Int.数学。解像度ない。（2023）、第15号、13072-13098

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部