世界は複雑すぎる！シンプルなルールを探索するにはどうすればいいでしょうか?

1. 複雑な世界、シンプルなルール

夕日の中、鳥たちは群れをなして舞い、時には散り、時には集まり、互いに衝突することなく空間配置を絶えず変え、互いに離れることなく障害物を飛び越えることができます。鳥の群れは空で舞い、魚の群れは水中でどのように変化するのでしょうか?

2021年、スエズ運河で貨物船が誤って座礁し、世界経済に「ドミノ効果」を引き起こし、その結果、貿易量は1日あたり最大90億ドル減少しました。なぜ小型貨物船が世界のサプライチェーンを遮断できるのでしょうか?同様に、オンライン上の噂がネットワーク全体にわたって大規模な世論を引き起こすのはなぜでしょうか?蝶の羽の優しい羽ばたきが、何千マイルも離れた場所で本当に嵐を引き起こすのでしょうか?

これらの質問は無関係に思えるかもしれませんが、よく考えてみると、これらの複雑な現象には共通点が 1 つあることがわかります。つまり、これらはすべて、相互作用する多数のエンティティで構成される複雑なシステムで発生するということです。 2021年のノーベル物理学賞は、複雑系理論への先駆的な貢献により、イタリアの物理学者ジョルジョ・パリシ教授に授与されました。ジョージ・パリシ教授も若い頃、ローマ駅で何千羽もの鳥が群れをなして空を飛んでいる光景に魅了されました。彼はよく長時間立ち止まって、鳥の群れを観察したり写真を撮ったりしていました。パリシ教授は鳥の群れの観察データに基づいて統計物理学の手法を用いて鳥の群れの飛行の謎を解明した[1]。群れをなして飛ぶ鳥の素晴らしい光景を再現するには、それぞれの鳥が 3 つの基本原則に従うだけでよいことがわかりました。 3 つの基本原則は次のとおりです。

（１）視界内で隣人に近づく。それぞれの鳥は、視界内にいる仲間と一緒に旅をすることを望んでいます。

（２）視界内の近隣者と一貫した飛行方向を維持すること

（３）隣の車に近づきすぎたときは、衝突を避けるために方向を調整してください。

つまり、群れの飛行の秘密は、個々の鳥にあるのではなく、鳥同士の相互作用にあるのです。鳥の群れの飛行は非常に複雑ですが、その背後にあるルールは非常に単純です。鳥の群れのようなシステムを研究するときには、私たちが頼りにしている還元主義という呪いが生まれます。 [還元主義とは、複雑なシステム、物事、現象は、いくつかの部分の組み合わせに分解することで理解し、説明できるという哲学的な考え方です。 ] は無効です。

2. 複雑系とは何ですか?

還元主義は鳥の群れの集団行動を理解することはできませんが、飛行機を理解するのには非常に効果的です。飛行機には無数の部品と多彩な機能がありますが、各部品の機能を理解していれば、飛行機の飛行原理を完全に理解することができます。飛行機のようなシステムを複雑システムと呼びます。鳥の群れや脳のようなシステムの場合、たとえシステムのすべての構成要素（鳥1羽1羽やニューロン1つ1つなど）を研究したとしても、システム全体から生じる驚異（鳥の群れが飛ぶことや意識が生まれることなど）を理解することはできません。このようなシステムは、図 1 に示すように複雑システムです。複雑システムの研究が解決を目指す中核的な問題は、複雑システムの背後にある単純かつ普遍的な法則を探求することです。

図1 複合システムと複雑システム

ニュートンは機械的かつ決定論的な物理学の王国を確立しました。傾斜面を滑り落ちるボールのような現象は、常にニュートン力学によってしっかりと制御されます。この決定論的な王国では、システムの初期状態を与えれば、すべてが特定のルールに従って動作します。 1961 年の冬、気象学者のエドワード・ノートン・ローレンツは天気を予測することを期待して独創的な数学モデルを構築しましたが、予期せず別の世界を発見しました。コンピューターの 0.0001 秒の系統的誤差によって、まったく異なる結果が生じる可能性があります。諺にもあるように、「小さな間違いが大きな間違いにつながる」のです。彼はこの高度に非線形な気象モデルをコンピューターに入力し、その結果得られた状態の軌跡は羽を広げた蝶のように見えました。つまり、誰もがよく知っているバタフライ効果が発生します (図 2 を参照)。この効果は、非線形システムの初期値に対する敏感さを鮮明に示しており、複雑なシステムにおける興味深い現象であるカオスも反映しています。

図2 バタフライ効果の起源

実際、私たちがよく知っている現実のシステムのほとんどは、混沌としているわけでも完全に秩序立っているわけでもなく、その中間に位置しており、これを混沌と秩序の境界状態と呼んでいます。複雑性科学は混沌と秩序の境界で生まれた科学です。 1984 年、ゲルマン、アンダーソン、アローなどの支援を受けて、物理学、経済学、コンピューターの分野で研究する科学者のグループが、サンタフェのイッソ地区の修道院を借りてサンタフェ研究所を設立しました。この研究所は現在、複雑科学研究の世界的に有名なセンターとなっている。サンタフェ研究所のメンバーに代表される多くの学者が、ニュートン以来の還元主義的思考の束縛を打ち破り、創発やカオスなどの複雑系現象を理解しようと努めてきました。

3. 複雑な世界で単純なルールを探る方法 - ネットワークサイエンス

サンタフェ研究所の創設者の一人であるジョージ・コーワンは、かつて彼らは21世紀の科学の先駆者であると語ったことがある。今、未来がここにあります!科学者による 30 年以上にわたる努力を経て、複雑科学は、複雑系の特徴付けと研究に複雑ネットワークを応用するという新たな発展段階に入りました。ネットワーク科学が誕生しました。ネットワーク科学の中心的な考え方は、複雑ネットワークを使用してさまざまな複雑なシステムをモデル化することです[2]。現実世界では、地球規模の生態系や物流システムから細胞内のタンパク質相互作用システムまで、あらゆるものを複雑なネットワークを使用してモデル化できます (図 3 を参照)。ここで、ノードはシステムのコンポーネントを表し、エッジは要素間の相互作用を表します。システムから抽象化されたネットワーク構造とその上のダイナミクスを研究することで、ネットワークに対応する複雑システムの法則を理解することができます。

図3 さまざまな複雑ネットワークの例

[タンパク質相互作用ネットワーク（www.creative-proteomics.com より）]

ソーシャル ネットワークは私たちの日常生活で最も身近なネットワークです。各人はソーシャル ネットワーク内のノードであり、オンラインとオフラインの関係を通じてつながっています。元の質問に戻りますが、なぜオンライン上の噂がネットワーク全体に大規模な世論を引き起こすことができるのでしょうか。そして、世論をコントロールするにはどこから始めるべきなのでしょうか。これらの問題を解決する鍵は、ソーシャルプラットフォーム上で噂を広める重要人物を見つけ出すこと、そして重要な伝播経路を特定して遮断することにあります。簡単に言えば、これはネットワーク内の重要なノードをどのように発見するか[3]と、ネットワーク内の重要なリンクをどのように発見するか[4]という2つの重要な科学的問題の探求です。これら 2 つの問題の研究は、ネットワーク科学ではネットワーク情報マイニングと呼ばれます (図 4 を参照)。

図4 ネットワーク情報マイニング

1. ネットワーク内の重要なノードをマイニングするにはどうすればいいですか?

最初の科学的な質問である、既知のネットワーク情報に基づいて、ネットワークの構造と機能に重要な影響を与えるノードをどのようにマイニングするかについては、実際にはノードをどのように分類するかという質問になります。この問題を解決する方法の中で、ネットワーク内のノードの位置を記述するコア番号に従ってノードをソートする古典的な方法（Kコア分解[5]）があります。これは、タマネギの皮をむくようなプロセスで、ネットワークを層ごとに剥いていきます。ノードの剥離が遅いほど、ネットワーク内での核となり、このノードの影響力が大きくなります。しかし、このような方法は主に静的で単純なネットワークに適しています。現実世界では、私たちが直面するネットワークのほとんどは、大規模で、重みがあり、進化し、方向性を持っています。このような複雑なネットワークに直面した場合、コアの数を迅速かつ効率的に計算し、重要なノードを見つけるにはどうすればよいでしょうか?

科学者のH指数に触発されて、私たちは局所H演算子[6]を定義し、演算子Hを実数の有限列に適用してy=H(x1,x2,…,xn)を取得しました。 H演算子の定義は、実数列(x1、x2、...、xn)でy以上の数を最大でy個見つけることです(図5を参照)。この概念は、H 指数の概念とまったく同じです。 H 演算子をネットワークのノード次数シーケンスに適用すると、返される y 値はノードの 1 次 H インデックスと呼ばれます。 H 演算子をノードの隣接ノードの 1 次 H インデックスにさらに適用すると、ノードの 2 次 H インデックスを取得できます。このような継続的なアクションの後、ノードの H インデックス シーケンスを取得できます。興味深いことに、このシーケンスはノード内のコアの数に収束することが厳密に証明されています。

図5 H演算子定義の概略図

したがって、H 演算子を通じて、長い間無関係であると考えられてきた 3 つの指標 (度数、H 指数、コア数) をリンクしました。この発見をネットワークのDHC定理[6]と呼んでいます（図6参照）。この定理は、進化する重み付けされた有向ネットワークにも適用されます。この定理に基づくと、ネットワーク ノードのローカル情報のみに基づいて、ノードのコア数を分散方式で迅速に計算できるため、複雑なネットワーク内の重要なノードを迅速かつ正確にマイニングできます。

図6 DHC定理

DHC 定理を適用して Weibo ネットワークの主要ユーザーを特定することで、主要な食品安全世論の 95% 以上を追跡するには、4 万人の Weibo ユーザーのうち 1 人未満を監視するだけでよいことがわかりました。さらに、この方法は国家のイノベーション分析[7]、重要な脳領域の特定[8]、都市メディアの影響の分析[9]など多くの分野にも応用できます。

2. ネットワーク内の隠されたリンクをマイニングするにはどうすればいいですか?

2 番目の科学的な質問は、既知のネットワーク構造情報と可能なノード属性情報に基づいて、接続されていない 2 つのノード間の接続の可能性をどのように推定するかということです。この問題はリンク予測と呼ばれ、ソーシャル ネットワークにおける「友達の推薦」はリンク予測問題の典型的な応用例です。リンク予測研究では、データとアルゴリズムが予測の精度を直接決定します。予測結果が悪かった場合、より良いアルゴリズムを設計する方法を検討することがよくあります。しかし、分析されたデータ自体が予測可能かどうか、つまりネットワーク データの予測可能性をどのように特徴付けるかという非常に重要な問題が見落とされています。

ネットワークから少数のリンクがランダムに抽出された場合、ネットワークの特徴ベクトル空間はわずかにしか影響を受けず、ネットワークが規則的、つまり予測可能性が非常に高いことを意味すると考えられます。この考えに基づいて、少数のリンクの削減または追加によって引き起こされる摂動は固有値にのみ影響し、固有ベクトルには影響しないと仮定して、量子力学におけるハミルトニアンの一次摂動に似た方法を適用します。このようにして、摂動後に再構築された隣接行列と実際の隣接行列の違いを観察することができます。私たちはこの違いを測定するための指標として、ネットワークの構造的一貫性[10]を提案しました。一貫性が強ければ強いほど、ネットワークの予測可能性が高まります。この考えに基づいて、ネットワーク構造の変動に基づくリンク予測モデルをさらに提案しました（図 7 を参照）。この方法は、失われたリンクを予測し、ネットワークに追加されたノイズ エッジを識別する点で、従来の階層モデルやランダム ブロック モデルよりも大幅に優れています。関連するアルゴリズムは、社会分野における関係性の予測だけでなく、乳がん、肺がん、心不全などのさまざまな病原遺伝子の予測にも使用でき、従来のシステム生物学の方法よりも高い予測精度を実現します[11]。

図7 ネットワーク構造の一貫性の計算

ネットワーク情報マイニングには、非常に幅広い応用シナリオがあります。現在、いくつかの研究成果は、オンライン世論監視、病原遺伝子予測、医療保険詐欺特定、電子商取引サービスなどの実用的なシステムに応用されており、一定の社会的・経済的価値を生み出しています。第20回党大会の報告は、産業チェーンとサプライチェーンの国家安全保障上の重要性を強調し、産業チェーンとサプライチェーンの回復力と安全レベルの向上に向けた努力を要求した。ネットワーク情報マイニングの関連手法も関連研究に適用され、役割を果たすことができます。産業チェーンとサプライ チェーンは、当然のことながらネットワークであり、複雑なネットワークによって記述および特徴付けることができます (図 8 を参照)。サプライ チェーンとは、上流企業と下流企業によって形成される生産・販売関係ネットワークであり、製品やサービスをエンド ユーザーに届けます。産業チェーンとは、特定の経済的、技術的なつながりと空間レイアウトに基づいて産業間で形成される相互接続されたネットワークです。ネットワークを構築することで、重要なノードを特定し、「行き詰まっている」可能性のある業界を事前に発見することができます。重要なリンクを特定し、重要なリンクを最適化し、弱いリンクの早期警告を提供することで、マイクロノードからマクロネットワーク全体までの視点と組み合わせて、産業チェーンとサプライチェーンの最適化とアップグレード戦略を提案し、産業チェーンとサプライチェーンの自律性、制御性、安全性、効率性を確保できます。

図8 複雑なネットワークの観点から見た産業チェーンのサプライチェーンネットワークの最適化

4. ネットワーク科学の新たなフロンティア：低レベルから高レベルへ

グラフ理論は複雑ネットワークの重要な基礎の 1 つであり、その起源はケーニヒスベルクの 7 つの橋に関するオイラーの問題にまで遡ることができます。 1998 年のスモールワールド ネットワークと 1999 年のスケールフリー ネットワークの画期的な進歩によって、過去 20 年間でネットワーク科学の研究ブームが始まりました。現在、ノードレベルとエッジレベルでのネットワークの構造、ダイナミクス、予測、制御について、十分に理解されています。しかし、研究が進むにつれて、多くの現実世界のシステムには、ノードのペア間の2元関係だけでなく、グループの形での高次の相互作用も含まれていることが研究者によって発見されました[12]。たとえば、学術論文は複数の学者によって完成されることがあります。生物学的シグナル伝達や遺伝子発現の調節などの生命プロセスには複数のタンパク質の関与が必要です。脳の神経ネットワークでは、記憶を含む多くの認知機能が、神経細胞のグループの符号化と信号同期に依存しています。このような高次の相互作用は、バイナリ相互作用関係に基づくネットワークを使用して適切に記述することが困難です。ネットワーク科学の起源を遡ると、いくつかの新しいアイデアが生まれます (図 9 を参照)。オイラーのもう一つの重要な貢献であるオイラー特性やポアンカレのホール公式などは、ネットワーク科学に新しいアイデアをもたらし、マルチノード相互作用の高次構造や動的問題の研究に利用でき、ネットワーク科学の研究を高次ネットワーク分析の時代へと前進させることが分かりました。高度なネットワーク分析により、ネットワークの構造と機能に関するより深い洞察が得られ、ボトルネックを打破し、既存の困難な問題における新たな発見が期待されます。

図9 ネットワーク科学の発展の歴史と今後のフロンティアの課題

高次トポロジカル解析は、社会プロセスから神経科学に至るまで、複雑系の多くの例において大きな可能性を示しています。最も基本的な高レベルのネットワーク構造はサイクルです [サイクル: 同じ開始点と終了点で構成される閉じたパス。 ] 構造（クリーク [クリーク: 無向グラフ内の頂点のサブセット。クリーク内の 2 つの異なる頂点は隣接している必要があります。つまり、その誘導サブグラフは完全グラフです。 ] と穴 [空洞: ネットワーク内の無関係な同値類のサイクルの中で最小のサイクル。 ] （図10参照）。人間の脳では、クラスターとホールは、前者は情報処理と記憶の単位として、後者は脳間の情報の統合と分配の機能的基盤として、人間の脳の並列処理と高レベルの認知活動に非常に重要である[13]。高次ネットワーク トポロジ分析を実行する最初のタスクは、ネットワーク内の高次構造を見つけることです。しかし、これまでのところ、高次ネットワーク構造の研究に対する体系的な理論的アプローチは存在しません。たとえば、脳の高次構造を完全にマッピングすることは、依然として大きな課題です。

図10 クラスターとホールの構造の模式図

ネットワークの高次構造を見つける鍵は、ネットワーク構造をどのように計算するかにあります。私たちはポアンカレの幾何学的分解の考え方を参考にして、ネットワークを幾何学的物体として捉えます。次に同様の分解を行い、均質なサブネットワークに分解します[14]。次に、バイナリ フィールド上のいくつかのベクトル空間と境界演算子を使用して、ネットワークを記述および計算します。これに基づいて、ネットワーク内のクラスター、ホール構造、およびトポロジカル不変量を計算し、最後にオイラー・ポアンカレの公式を反映して計算の精度をさらに検証できます (図 11 を参照)。私たちはこの方法をC.エレガンスの神経ネットワークに適用し、神経ネットワーク内のすべてのクラスターとホールの数を計算し、神経ネットワークの完全な高次構造マップを描きました[15]。これらのクラスターと穴の構造の生物学的意義については、さらなる解釈が必要です。

図11 高次ネットワーク分析の理論的枠組み

高次ネットワーク解析を脳の理解に応用することは、まったく新しい視点となるでしょう。クラスターやホールなどの高次構造は脳にとって非常に重要であり、脳機能に関連する神経回路の理解と知識を促進し、臨床応用や脳のようなコンピューティングフレームワークの開発に新たなアイデアを提供します。たとえば、自閉症患者の脳内の神経ネットワークを分析したところ、健康な人に比べて自閉症患者の脳ネットワークにはクラスターが少なく、穴が多いことがわかりました。ある程度、クラスターは情報を局所的に並行して処理する能力を反映し、ホールは異なる脳領域からの情報を統合する脳の能力を反映します。これは、自閉症患者の局所的に情報を並行して処理する能力は低下しているが、脳の領域間で情報を統合する能力は向上していることを示しています。しかし、具体的には、これらのクラスターと穴は特定の方法でどのように組織化され、認知や病気とどのように関連しているのでしょうか?これらはすべて、将来さらに研究する必要がある重要な問題です。

将来的には、ネットワーク科学と人工知能の組み合わせが大きな可能性を秘めています。現代のデジタル社会におけるセキュリティやガバナンスの問題など、現在の課題を解決するだけでなく、新たな科学的問題や応用技術を生み出し、社会や経済など多くの分野で重要な役割を果たすことが期待されています（図12を参照）。 1984年のサンタフェ研究所の設立と複雑性科学の誕生から、複雑系の研究に対する2021年のノーベル物理学賞の授与まで、複雑性科学はわずか数十年で急速に成長しましたが、まだ未熟でありながら未来を代表する思春期の子供のようなものです。複雑科学は増加傾向にあり、中国の学者には有望な未来があります。

図12 ネットワーク科学と人工知能の組み合わせの応用シナリオ

参考文献

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