あなたが思いつく最大の数字は何ですか?数えることも科学であることが判明

子供に、考えられる最大の数字は何かと尋ねると、たいていは「50兆」と答えるでしょう。

もちろん、このような数は日常的な基準からすると大きい数字であり、おそらく地球上のすべての生物や宇宙のすべての星の数よりも大きいでしょう。しかし、これらは数学者が遭遇する本当に大きな数字と比べると見劣りします。

「巨大数研究」は、巨大な数の研究に特化したサブ分野です（ 「googology」であって「googology」ではないことに注意してください）。

数年前、MIT は「Big Numbers Championship」を開催しました。

ルールはとても簡単です。 2人が黒板まで歩いていき、交代で数字を書きます。数字が大きい方が勝ちです。 「他人の数字＋１」や無限大は書けないなど、いくつか制限はありますが、基本的には数字が明確に定義されていれば、何を書いても大丈夫です。

「ビッグナンバーズ選手権」のポスターの左下には優勝者のラヨが描かれている。後で尋ねられるので、この人を覚えておいてください。

では、なぜ数を数えることが科学となり、さらには競争になったのでしょうか?

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大きな数字について考える最初の脳

アルキメデスは、大きな数の問題について真剣に考えた最初の人物の一人だと考えられています。彼は、世界には砂粒がいくつあるのか、そして空間全体に砂粒がいくつ収まるのかを知りたいと考えました。彼は「砂のカウンター」という記事の中でこう書いています。

砂粒の数は無限だと思っている人もいると思いますが、砂粒の数は無限ではなく、それを超える数は存在しないと思っている人もいます。

道を切り開くために、アルキメデスは当時利用可能な大きな数の命名システムを拡張し始めました。これは、それ以降、より大きな整数を定義しようとしたすべての数学者が直面した重要な課題でした。

ギリシャ人は 10,000 を「数えきれない」という意味のmuriousと呼びました。アルキメデスは研究の出発点として「無限に無数」を使用しました。これは 100,000,000 であり、現代の指数で言えば 108 です。

アルキメデスは、「無限に無限」に達する数を「第一階数」と呼び、「無限に無限」に達する数に「無限に無限」(1016)を掛けたものを「第二階数」などと呼びました。

この方法を使用して、アルキメデスは8 億桁の数字を記述することができ、これを「第一段階」と定義しました。 10800000000 という数字自体が「第 2 段階」の始まりとみなされ、プロセスは再開され続けます。各ステージは前のステージの108倍の大きさで、無数のサイクルの終わりまで、最終的に彼は膨大な数を得ることができます

1080,000,000,000,000,000、つまり「無限回の無限回の無限回」です。

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神秘的な東洋の力

大きな数に関しては、西洋世界ではアルキメデスは魔法使いとみなされますが、東洋世界では学者たちがすぐに大きな数の探究で大きな進歩を遂げました。

3 世紀頃には、インドのサンスクリット語の文献『プラサンナ スートラ』に、コティ (サンスクリット語で 10,000,000)で始まる数体系が導入されました。

コティから下には、それぞれが前の数字の 100 倍になる長い数字の列があります。100 コティは 1アユタ、100 アユタは1ニユタ 、というように、1 の後に 53 個のゼロが続くタラクシャナまで続きます。同時に、彼は、10421 である uttaraparamuarajapravesa まで、1099 に等しい大きな数を dhvajhagravati と名付けました。

もう一つの仏教の経典である華厳経では、無限に重なり合う層を持つ宇宙について説明されています。第30巻では、釈迦は再び大きな数の形成について解説しています。1010から始まり、それを2乗すると1020になり、さらに2乗すると1040になり、10101、493、392、610、318、652、755、325、638、410、240まで続きます。この数を2乗すると、「数え切れないほど多くの数」が得られます。彼はさらに大きな数を「計り知れない」、「無限」、「比較できない」、「無数」、「考えられない」、「計り知れない」、「表現できない」などと名付け続け、ついには「表現できない、表現できない」という頂点である 1010×(2^122) に到達した。この数字は、アルキメデスの著作に記された最大の数字である 1,080,000,000,000,000,000 をはるかに上回ります。

03

宇宙はもはや巨大な数字を収容することはできない

1920年、アメリカの数学者エドワード・カスナーは、9歳の甥のミルトン・シロタに、1の後にゼロが100個続く数字の名前を考えるように頼みました。シロタは「グーゴル」を思いついた。カスナーがジェームズ・ニューマンと共著した『数学と想像力』で引用されて以来、「グーゴル」は一般の語彙に加わった。

シロタ氏はまた、「疲れるまで1の後に0を書き続ける」という意味の「グーゴルプレックス」という用語も作った。この控えめな表現を改良すると、グーゴルプレックスは正確には 10 グーゴル、つまり 1 の後に 1 グーゴルのゼロが続く数として表現できます。グーゴルプレックスは非常に巨大なので、地球上にそれを書き記すのに十分な紙がありません。たとえそれぞれのゼロが陽子や電子と同じくらい小さくできたとしても、観測可能な宇宙全体を書き記すには桁数が足りません。

「既知の宇宙には、グーゴルプレックスのゼロをすべて書き表すのに十分な紙がありません。」

グーゴルプレックス、ズーゴル、ズーゴルプレックスの値はグーゴルから派生した

グーゴルプレックスは、「言い表せない数、言い表せない数」を含む、古代に名前が付けられたどの数よりも大きい。ただし、これは「スキーブス数」という 1 つの数値よりも小さくなります。これは、1933 年に南アフリカの数学者スタンレー・スキーブスが素数を研究中に作成しました。素数分布問題の上限値を指し、その値は1010^8852142197543270606106100452735038.55となります。

有名なイギリスの数学者ゴッドフリー・ハロルド・ハーディは「スキーブス数」を「数学の歴史において実用的な意味を持つ最大の数」と表現しましたが、この巨大な上限自体がリーマン予想を必要とします。

純粋数学の分野に追い抜かれないように、物理学者も物理学の分野でいくつかの大きな数を提案し、いくつかの珍しい問題を解決してきました。この大きな数字の戦いにおいて物理学の最前線にいた初期の人物は、フランスの数学者、理論物理学者、博学者のアンリ・ポアンカレでした。彼は多くの作品の中で、「物理的なシステムが特定の状態に戻るには正確にはどれくらいの時間がかかるのか」という疑問を提起しました。この時間を「再発時間」と呼びます。カナダの理論家ドン・ペイジ（スティーブン・ホーキングの元教え子）は、観測可能な宇宙のポアンカレ再発時間は 1010^10^10^2.08 年であり、これはグーゴルプレックスとスキーブス数の間の数値であると推定しています。

04

新しいシンボル？新しい呪文！

指数記号が多すぎて植字に不便であったため、アメリカのコンピュータ科学者ドナルド・クヌースは「上向き矢印表記法」を導入しました。この命名法では、指数演算は単一の上向き矢印↑で表されます。たとえば、googol(10100) は 10↑100 と表され、33 は 3↑3 と表されます。繰り返される指数演算（日常的な記号はありません）は、2 つの上向き矢印 ↑↑ で表され、「反復累乗」と呼ばれます。これは非常に計算集約的です。非常に小さい数字 3 を例に挙げてみましょう。

3↑↑3=33^3 =327

その値は: 7,625,597,484,987

指数関数から反復的な力まで、上向きの矢印を追加するだけで、より劇的な成長がもたらされます。この計算を続けると、この電力塔の長さは太陽にまで達する可能性があります。この数はトリトリと呼ばれ、これまで述べてきたどの数よりもはるかに大きく、私たち凡人には到底理解できない数です。しかし、これはまだ始まったばかりです。トリトリはそれほど偉大ですが、文法の偉大な頂点と比較すると、それはまだ取るに足らない塵の粒のようなものです。

ロナルド・グラハム

数学者、アクロバット、マジシャン

真の「スラッシュパーソン」

彼の妻は中国のグラフ理論の専門家、金芳栄です。

そのため、彼は中国名「葛麗衡」も名乗った。

先ほど見た数字に上向き矢印を追加すると、次のようになります: 3↑↑↑↑3=3↑↑https://pqnoss..cn↑↑3=3↑↑↑tritri 。

最初のレベルは3です。

2層目は3https://pqnoss..cn3=7,625,597,484,987です。

３層目は3https://pqnoss..cn3↑3…↑3、つまり3が7,625,597,484,987個（つまりトリトリ）あります。

4層目は3https://pqnoss..cn3↑3…↑3で、トリトリ3です。

類推すると、 3↑↑↑↑3はトリトリのパワータワーです。

↑↑↑、これは信じられないほど大きな進歩です。しかし、これまでのところ、我々はグラハム数列の最初の数であり、グラハム数自体の出発点であるG1までしか登っていません。それで、G2とは何でしょうか? 3↑↑↑↑…↑3、G1上矢印。一見しただけでも、その数はちょっと目が回ります。 G3 には G2 の上向き矢印があり、G4 には G3 の上向き矢印があると推測し続けることができます...そして、グラハム数はどれくらい大きいでしょうか? G64です。

そしてそれは、現時点で人類が作り出せる最大の数ではありません。

05

「理論上の数字」

冒頭の大きな数字の対決を覚えていますか?

コメディ、複雑な数学、論理、哲学的思考が混ざり合ったこの数学バトルは、非常にドラマチックで面白いです。優勝者はMITの哲学者アグスティン・ラヨ（ニックネームは「メキシコの増殖する怪物」）、挑戦者はプリンストン大学の哲学者アダム・エルガー（ニックネームは「悪魔の博士」）で、2人はどちらがより大きな整数を定義できるかを競っています。

エルガーは1でスタートしましたが、レイオはすぐにボード全体を1で反撃しました。負けじとエルガーはすぐに最初の 2 つの 1 以外をすべて消し、11 とそれに続く一連の階乗記号 (!) に変えました。

それはフェアユースのルールに該当します

こうした決闘が続くうちに、数字はやがて一般的な数学の領域を超えて拡大し、対戦相手はより大きな数字を表すために独自の記号を発明せざるを得なくなりました。

ついに、ラヨが致命的な一撃を与えた。彼はこの数を「グーゴル記号を含む第一階集合論の言語で表現できる任意の記号で名付けられる任意の有限の正の整数より大きいか、それ以下の最小の正の整数」と説明しました。

この数字がどれだけ大きいかは知る由もなく、おそらく永遠に分からないでしょう。時間と空間が足りません。停止問題が計算不可能であるのと同じように、レイヨ数も計算不可能です。

さて、私たちが容易に認識できる最大の正の整数に関して言えば、レイオ数は多かれ少なかれ、私たちが知っていることと知らないことの境界を示します。

これまでにももっと大きな数字がいくつか作られてきましたが、その中で最も有名なのは 2014 年に登場した「 BIG FOOT 」です。しかし、BIG FOOT を垣間見るということは、「 oodleverse 」と呼ばれる奇妙な世界に入り、「一次oodle理論」という言語を学ぶことを意味します。これは、解決するために高度な数学と高度なユーモアを必要とする素晴らしい冒険です。結局のところ、これまでに達成された最大の命名された数字はすべて、Layo 数と同じシステムに基づいています。

レイオ数のような巨大な数は私たちを無限に近づけると考えるのは簡単です。 **しかし、そうではありません。 **無限の数を使用して有限の数を生成することはできますが、どれだけ大きな数を見つけても、**「有限」と「無限」が融合する点は決して存在しません。 **実際、より大きな有限数を見つけることは、子供の頃に 1、2、3 と数えることと比べて、私たちを無限に一歩近づけるわけではありません。

しかし、私たちは常に、より大きな半径を持つどこかにたどり着きます。

——インタラクションの問題——

あなたが想像できる最大の数字は何ですか?

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