数学への愛：並外れた天才ガロアと彼の美しい理論

数学の天才ガロアは20歳で決闘で亡くなり、短い生涯を終えましたが、彼の思想の真髄は歴史の長い流れの中で永遠に流れ続けるでしょう。

カスパー・ミュラー

翻訳 |徐肇慶

1832年5月30日の早朝、銃声が鳴り響く中、当時20歳だったエヴァリスト・ガロワが、露に濡れた草の上に負傷して倒れた。歴史上最も魅力的かつ神秘的な人物の一人が、人生の終わりに近づいています。

ガロア |画像出典: ウィキメディア・コモンズ

導入

これは愛と数学、そしてとても賢い若者についての物語です。彼が走り書きした原稿は、数学の最も美しく興味深い分野の一つを切り開き、方程式についての考え方に革命を起こしました。彼は 350 年前の問題を解決しただけでなく、彼の理論は 2,000 年前の疑問にも答えを与えました。これらについては後でまた取り上げます。

より具体的には、ガロアは多項式の根を見つける問題を検討しました。 （訳者注：多項式の根は多項式の解とも呼ばれ、多項式p(x)関数をゼロにするxの値です）

当時の数学者たちは、5次以上の多項式の根を求める一般的な公式は存在しないことをすでに知っていました。 (ここでの公式とは、n 乗根を取り、四則演算を適用することを意味します。この概念は根号解法とも呼ばれ、この記事では解けると表現します。) しかし、ガロアは、なぜ一部の高次多項式は根号解法が可能で、他の高次多項式はそうでないのかを理解したかったのです。 （翻訳者注：ここでは、読者は、2次多項式の根を求める公式を例として、根号が解けるという概念を理解することができます。）

たとえば、方程式 x5-1=0 は解くことができ、これらの解を 5 次根と呼びます。これらの解は、複素平面の単位円上に美しく均等に分布しています。この単位円は、正五角形の頂点、つまり 5 つの 1 の 5 乗根でもあります。

したがって、d 次 (d ≥ 5) のいくつかの多項式方程式は実際に解くことができます。ガロア理論が取り組む問題は、単にいくつかの方程式が解けないことを知るのではなく、まさになぜそうなるのか、どの方程式が根本的に解けるのかということです。

いくつかの多項式方程式が解けないという事実は、もう一人の天才、ノルウェーの若き数学者ニールス・ヘンリク・アーベルによって実証されました。実際、パオロ・ルフィニやオーギュスタン＝ルイ・コーシーなど、何人かの偉大な数学者もこれに貢献しましたが、ガロアの理論に近い理論を提唱した人は誰もおらず、その理由を正確に説明できる人もいませんでした。

この記事では、まずガロアの歴史的概要と生涯を見ていき、次に20歳で起きた彼の早すぎる謎の死について簡単に触れます。その後、その美しい数学理論の全体像を見て、それがなぜそれほど優雅なのかについて説明します。

ガロア理論のすべてを 1 つの記事で網羅することは不可能ですが、その優雅さと美しさの一部を紹介し、皆さんが自分で研究し探求するきっかけになれば幸いです。

ガロア

ガロアは 1811 年 10 月 25 日に生まれました。幼い頃から数学に興味を持ち、14 歳のときにアドリアン・マリー・ルジャンドルの『幾何学原論』を発見しました。彼はその本を「小説のように」読み、一読で理解したと言われている。

15歳のとき、彼はラグランジュの論文を読み始めました。おそらくラグランジュから多大なインスピレーションを受けたのでしょう。

ガロアは自分の時間には一生懸命勉強していたが、授業ではあまりやる気がなかった。

1828年と1829年に、彼は当時フランスで最も権威のある数学学校であったエコール・ポリテクニークに二度拒否された。一度目は特定の科目の成績が悪かったため、二度目は口頭試験に不合格だったためでした。彼は口頭試験を失敗したと言われました。 （訳者注：エコール・ポリテクニークはフランス最高の工学大学とみなされており、フランスのエリート教育モデルの頂点として称賛されています。）

この瞬間から、時間があっという間に過ぎていきました。 1829 年にガロアは連分数に関する論文を発表し、同じ頃に多項式方程式に関するいくつかの論文も寄稿しました。その評論家は、当時の最も偉大な数学者の一人、オーギュスタン＝ルイ・コーシーに他なりません。

しかし、コーシーはガロアにグランプリを狙って論文をフランス科学アカデミーに提出するよう提案したものの、ガロアの論文は出版しなかった。

今日に至るまで、コーシーがなぜそれを出版しなかったのかは誰も知らない。彼はガロアの考えの重要性を認識していたが、出版前にガロアに編集を加えるよう提案したという説もある。政治が役割を果たしたと言う人もいる。 (どうやらコーシーとガロアは政治的見解が対立していたようで、当時はそれが大きな問題でした。)

1829年7月28日、ガロアの父親が亡くなった。ガロアは父親と非常に親しい関係にあったため、これは彼にとって大きな打撃でした。

1830年、コーシーの提案により、ガロアは方程式の理論に関する論文をもう一人の数学の巨匠、ジョセフ・フーリエに提出した。残念なことに、フーリエはその後すぐに亡くなり、ガロアの論文は失われました。

これは確かにガロアにとっての挫折であったが、彼は簡単には諦めなかった。その年の後半に彼は3つの論文を発表した。そのうちの 1 つは、後にガロア理論として知られる理論を概説したもので、もう 1 つは、現在有限体と呼ばれている数学的概念の最初の研究であり、後に数論の分野で非常に重要になりました。

ガロアの状況と人生を理解するには、当時フランスで何が起こっていたかを理解する必要があります。これはフランスにおける第二次革命としても知られる七月革命の真っ最中のことであり、ガロワは革命だけでなく戦闘や討論にも参加しました。彼は路上で暴動に参加し、数学と政治の勉強に時間を費やした。

ガロアの死の謎

父親の死後、ガロアはますます暴力的になり、何度も逮捕された。 1831 年 1 月、ガロアは再び理論を発表しようとしましたが、偉大な数学者シメオン・ドニ・ポアソンは彼の研究を「難解」とみなしました。

ガロアは当時刑務所におり、ポアソンが彼の論文を却下したことに非常に怒っていた。しかし、どういうわけか、今回は彼は批判を真剣に受け止め、自分の文章を整理し、声明をより慎重に書き始めました。

ガロアは1832年4月29日に釈放された。その後間もなく、決闘に巻き込まれた。

その有名な決闘については多くの憶測が飛び交っている。決闘の5日前にガロアが書いた手紙には、彼が恋をしており、決闘は恋人のために行われたことが記されていた。

決闘の前夜、ガロアは自分が死ぬことを確信し、徹夜で数学への最大の貢献となる、オーギュスト・シュヴァリエへの自身の見解を述べた有名な手紙と、それに付随する3つの原稿を書き上げた。

ガロアの原稿の最後のページ丨画像出典: Wikimedia Commons

数学者ヘルマン・ワイルはこの原稿についてこう述べた。

「そこに含まれるアイデアの斬新さと深遠さから判断すると、この手紙はおそらく人類の全文学の中で最も豊かな作品である。」

これは偉人の有名な言葉です。

1832年5月30日の朝、ガロワは腹部を銃撃され、その後反対派に見捨てられた。

翌朝、わずか20歳のガロアは亡くなった。

その後の物語

1843年、ジョセフ・リウヴィルはガロアの原稿を検討し、それが正しいと宣言した。この論文はガロアの死後14年経った1846年にようやく出版された。

しかし、この理論が数学者の間で人気を博し、人々がその謎を真に理解するまでには、さらに長い時間がかかりました。

実際、リウヴィルはガロアの方法の理論的核心である群を完全に見逃していました。ガロア理論が完全に理解され、抽象代数の中核部分として確立されたのは、世紀の変わり目になってからでした。この理論が代数学のコースの標準的な内容になるまでには、ほぼ 100 年かかりました。

ガロア手稿の最も有名な部分は、五次多項式の根を求める公式が存在しない、つまり、五次およびそれ以上の次数の多項式方程式は一般に根号で解くことができないということを証明している部分です。

前述のように、アーベルは1824年にすでに根号を解く「五次公式」が不可能であることを証明していましたが、ガロアはさらに深い理論的研究を行い、現在のガロア理論を提唱しました。

この理論は、任意の多項式方程式に根号解があるかどうかを判断するために使用できます。

ガロアは「群」という言葉を初めて作った人物であり、彼が使用した定義は、今日さまざまな大学で使用されているものと（ほぼ）同じです。彼は正規部分群と有限体の概念を導入しましたが、これについては後で説明します。

本質的に、ガロアは現代群論と抽象代数学の分野の創始者の一人でした。

群論は対称性の研究であり、多くの数学および物理学の分野で幅広く応用されています。抽象代数は「現代数学の言語」とも呼ばれます。

ガロア理論のコースを勉強する前に、群論、環とイデアル理論、体論、モジュール理論（モジュールは体ではなく環上の線形空間を指します）など、非常に抽象的な抽象代数学のコースをすでにたくさん勉強していたことをはっきり覚えています。

その後、ガロア理論を学び、以前に学んだことの多く、特に群論と体論を応用しました。最後に、これらすべての抽象的な数学的オブジェクトを使用して、特定の多項式方程式に根号解がない理由を証明できますが、これはガロア理論の全体ではありません。

これがまさに私がガロア理論が美しいと思う理由です。

ガロア理論

ガロア理論は、抽象代数の 2 つのサブフィールドである群論と体論を結び付けます。

前述したように、ガロア理論の誕生は次の疑問から始まりました。

5 次以上の多項式方程式の場合、多項式の係数、通常の代数演算 (加算、減算、乗算、除算)、および根号 (平方根、立方根など) を使用して、すべての根、つまり方程式のすべての解を表現できる式はありますか。

アーベル・ルフィニの定理は、そのような表現が存在しない多項式方程式が存在するという反例を提供しましたが、ガロアの理論は、4次以下のすべての方程式を含むいくつかの方程式が根号解を見つけることが可能である理由と、5次以上の多くの方程式が根号解を持たない理由を説明することで、前の質問に対するより完全で明確な答えを提供しました。

現代のガロア理論では群と体の言語が使用されるため、他の事柄にあまり立ち入ることなくガロア理論を説明しようとしますが、完全を期すためにこれらの数学的概念を簡単に紹介します。

群論

群論は対称性の研究です。

正方形を想像してください。この正方形には一定の対称性があります。90 度回転しても同じに見え、180 度回転しても同じ、270 度回転しても同じに見えます。もちろん、360度回転させると元の状態に戻ります。

これを把握するために、変換方法がわかるように正方形の 4 つの角にマークが付いていると想像できます。

正方形の中央を通り、正方形を同じ大きさの 2 つの長方形に分割する軸または線を選択するなど、一種の反射対称性もあります。この線に沿って正方形を反転しても見た目は同じですが、この変換は回転とは異なります。

最後のタイプは、単純な対称性（何も変化しない）です。

すべての対称性には反対称性が存在します。たとえば、時計回りに 90 度回転した後、反時計回りに 90 度回転すると、互いに打ち消し合い、単純な対称性になります。

この概念は代数的に一般化できます。

群 G は、次の条件を満たす集合と演算で構成されます。

1. 2 つのグループ内の要素 g と h の場合、演算の結果はグループ内の要素 g*h になります。

2. 任意の元 g がそれとの演算後も変化しないような単位元 e が存在する、つまり g*e=e*g=g;

3. 任意の元 g に対して、g*a=a*g=e となる逆元 a が存在する。

上記の例では、グループの要素は変換そのものです。たとえば、前述の 90 度回転と反射変換は、どちらもグループの要素です。 90 度回転を σ 、反射変換を τ で表します。

このグループの操作は、変換の組み合わせにすぎません。したがって、σ*τ を得ることができます。これは、まず対称軸に沿って反転し、次に 90 度回転させるというものです。しかし、σ*τ≠τ*σであることに気づくでしょう。つまり、グループでは要素演算の順序が重要になります。 （翻訳者注：ここでは、回転は時計回りで、正方形の 4 つの角に番号が付けられていると仮定します。これにより、最初に反転してから回転させた場合の結果が、最初に回転してから反転した場合の結果とは異なることを、読者が描画することで確認できます。）

したがって、グループの概念は対称性を抽象化する方法です。実際、抽象的な変換のグループは非常に大きいため、そのいくつかを視覚化する方法さえわかりません。

しかし、最も単純なグループの 1 つは、誰もがよく知っています。つまり、すべての整数の集合と加算演算がグループを形成します。

2 つの整数を加算すると、3 番目の整数が得られます (集合は加算に関して安定しています)。任意の整数 k に対して 0+k=k+0=k であるため、単位元は 0 であり、逆元は -k であるため、k+(-k)=0 です。

それで、

それはグループです。しかし、整数の群と加算演算はどのような対称性を体現しているのでしょうか?答えは並進対称性です。整数kを加える

これは数値軸に沿った移動距離 k とみなすことができ、正と負は方向を表します。

ドメイン理論

数学において、体とは特別な種類の環のことです。ドメインは、通常は加算と乗算、つまり + と * の 2 つの演算を含む集合と考えることができます。ここでの加算と乗算は通常の演算ではないかもしれない。それらはドメインに依存する。

ガロア理論の美しさを議論する前に、分割体とは何かについても知っておく必要があります。しかし、それは非常に単純です。

係数がすべて有理数である n 次多項式 f を考えます。代数学の基本定理から、n 次多項式 f にはちょうど n 個の複素根（根の重複度を含む）があることが分かっています。

最後の概念は、ドメイン K の自己同型性です。これは、ドメイン内の構造を保存する順列を表す巧妙な言葉です。 σがKの自己同型ならば、

σ(x+y)=σ(x)+σ(y)、σ(x*y)=σ(x)*σ(y)

そして σ は全単射です。つまり、このマッピングは単射かつ全射です。

体 K が体 F の拡張である、つまり F が K のサブフィールドであると仮定します。固定された体FのK上の自己同型σを考えることができます。体Fの任意の元xに対して、σ(x)=xが成り立ちます。

ガロア理論の基本定理

与えられた多項式に対して、異なる代数方程式は異なる根を関連付けることができます。 （この記事における代数方程式は、有理係数を持つ多項式方程式を指します。）

ガロア理論の主な考え方は、根の順列を考慮して、順列後も元々満たされていた代数方程式が依然として有効であるようにすることです。

これらの順列によって形成される群は、多項式のガロア群と呼ばれます。

解けるグループ

ガロア自身もそれを理解し、当時の有名な原稿で研究しました。多項式 f を考えます。 f のガロア群が可解群である場合、多項式は根号によって解けますが、そうでない場合は解けません。

もちろん、グループにとって「解ける」とはどういう意味なのかについても説明する必要があります。

群 G とその部分群 H (H＜G) を考えます。次の条件が成り立つ場合: H の元 h、および群 G の元 g とその逆元 a、元 g*h*a∈H に対して、H を G の正規部分群と呼びます。

これは、H が群 G の作用、または群 G の要素の共役に対して不変であることを意味します。

より一般的には、正規部分群 H と群 G の要素の間の同値関係を構築することができます。これには剰余類の理論を使用する必要がありますが、読者がこれに精通しているとは想定しておらず、この記事の範囲外です。したがって、ここでは、この同値関係によって新しいグループを構築できると言えます。

結論

ガロア理論の優れた点は、あらゆる多項式をその根に関する代数情報を保存する群に関連付けることができることです。この群を研究することで、この代数情報を多項式の世界に変換することができます。

先ほど、この理論を使っていくつかの非常に古い問題を証明できると述べました。

ガロアの理論の副産物として、「立方体を2倍にする」問題と「円を2乗する」問題は最終的に不可能であることが証明されました。これらはすべて、前述の有理数体の拡張に関連しています。

エヴァリスト・ガロアは疑いなく第一級の天才であった。時代と環境は彼に多くの困難をもたらし、彼の気楽さは数学界では型破りとみなされ、数学は曖昧さを避けるために高い正確さと注意を必要とするため、現在ではある程度受け入れられていません。数学者はこの要件を説明するために「厳密さ」という言葉をよく使います。

しかし、これは彼の理論が間違っていることを意味するものではありません。ガロア理論は正しくて美しい！現在では、アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明や代数的数論など、数学のさまざまな分野で使用されています。

グループを使用して別の構造を表すというアイデアは素晴らしいです。この考え方は現在多くの分野に応用されています。たとえば、代数的位相幾何学では、群を研究することで位相空間に関する情報を得ることができます。代数幾何学では、環論とイデアル理論を用いて多項式の解集合を研究することができます。楕円曲線上の点はグループを形成します。

読者の皆様、ここまで読んでくださったなら、ガロアについてのこの旅を楽しんでいただけたと思います。コメントでお知らせください。

読んでくれてありがとう。

カスパー・ミュラー、数学への愛
https://www.cantorsparadise.com/for-the-love-of-mathematics-84bf86a8ae09

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