いまだに旧式のミシンを使ってワッペンを作っている友人は数学の天才かもしれない

昔ながらの足踏みミシンは、世代の思い出となるはずです。その原理についてじっくり考えたことはありますか？より使いやすくするために、賢いエンジニアたちは何百年もの間この機械を絶えず革新し続けてきましたが、そこには驚くべき数学が関わっています。今ではスマートな電動ミシンが登場していますが、生地を加工する方法は依然としてさまざまな糸の組み合わせを使用することです。これらの古い物を振り返ることで、人々に新たなインスピレーションが与えられるかもしれません。

トニー・フィリップス（ストーニーブルック大学数学名誉教授）

ハドロンによる編集

ミシンは 19 世紀の驚異的な機械発明のひとつです。マハトマ・ガンジーはこれを「人類の数少ない有用な発明の一つ」と呼んだと言われています。この自動化ツールは、情報を提示するのではなく、実際の材料を処理するという点で、プリンターや金銭カウンターとは異なります。この記事では、よく一緒に言及されるミシンとボビンワインダーの数学的原理について説明します。二重糸ロックステッチ（ミシンで最も一般的なプロセスであるロックステッチとも呼ばれます）がトポロジーレベルでどのように実現されるか、そしてアルキメデスの螺旋の形をしたカムによって糸が長いボビンに均等に巻かれるようにする方法を説明します。

ラインステップトポロジー

最も原始的なミシンは、1 本の糸のチェーン ステッチを使用していました。

チェーンステッチ縫製法: 各ステッチごとに、絹糸の輪が前の糸の輪によって形成されたループに引き込まれます。

チェーンステッチは、糸がまったく絡まないため、トポロジーの問題ではありません。上の写真で糸の右端を引っ張るだけで、ステッチ全体がほどけます。このタイプのステッチは、家庭にあるジャガイモやドッグフードが入った袋など、何かを簡単に開ける必要がある場合に便利です。ただし、破れたらダメになってしまうような服を本当に欲しくない場合を除き、この機能は悲惨な結果になることがあります。

本縫い方式を実現できる最も初期のミシンは、1830 年から 1850 年の間に発明されました。このミシンは、2 本の糸を使って縫製していました。

本縫い方式：各ステッチで上糸と下糸が同じ方向に絡み合います。縫っている布を無視すると、2 本の糸が均等に撚り合わされていることがわかります。

一見すると、機械でロックステッチを縫うことは位相的に不可能に思えます。ミシンは縫い目を作るために 2 本の糸を使用します。各糸はスプールから出ます。上糸はミシンの上部にあるスプールから出され、下糸はミシン内部のシャトルに隠されたボビンから出されます。それで、疑問は、この 2 本のワイヤーがどのようにして輪になって絡み合うのかということです。

答えは簡単です。糸巻きがミシンに固定されていないのです。初期のミシンでは、糸のボビンは弾丸形のシャトルに保持されていました。ステッチごとにシャトルが糸の中を進み、針が上がるとシャトルが後退して、完全な円を描きます。この縫製方法を実現するための鍵は、シャトルがミシン内で自由に動くことです。より現代的なミシンでは、ボビンは滑らかな円形の金属シャトルに保持されており、シャトルは固定位置にありますが、完全に固定されておらず、回転することができます。縫い目ごとに上糸が金属シャトルに引っ掛かり、シャトルが回転して下糸と絡み合い、しっかりと引っ張られます。

図a

図b

ロックステッチ方式を実現するための 2 つの方法。図a：「振動シャトル」各ステッチごとに、シャトルは糸のボビン（青い糸）を、上の糸（赤い糸）によって形成されたループに通します。図b：「フック」糸のボビン（緑色の糸）は、固定された丸い滑らかなシャトルの中に収められており、ステッチごとに糸（黄色の糸）がシャトルの周りを 1 回引っ張られます。どちらの場合も、トポロジー的に可能であるためには、シャトルがマシン内で自由に移動できる必要があります。

魔法のアルキメデスの螺旋

これらの興味深い事柄は、私の元同僚であり親友でもあるエンリコ・ジュスティ（イタリアの数学者）から学びました。彼は以前、ヴェネツィアで開催された「マテマティカ・エ・カルトゥーラ」会議での講演で、ミシンとボビンワインダーについて言及していた。これらはフィレンツェの数学博物館「アルキメデスの庭」でも見ることができます。もう一人のイタリア人数学者、フランコ・コンティは、2000年にジュスティと共同で出版した「コンパスを超えて：曲線の幾何学」という本に基づいてこの展示を企画した。博物館のウェブサイトには、これらの巻き上げ機の仕組みに関する情報も掲載されている。

チェーンステッチ マシンに馴染みのない方のために説明すると、マシンごとにボビン (シャトル内に収まり、糸を下に通す小さな糸巻き) が異なり、それぞれが異なります。ボビン内の糸をボビンに巻きやすくするために、すべてのミシンにはボビンワインダーと呼ばれる装置が付いています。この装置は、通常、ミシンの主軸の横にあり、縫製作業からは遠く離れています。

左の写真は、1910 年に製造されたクラシックなミシン、シンガー スフィンクス モデル 27 です。右の写真は、ワインダーのクローズアップです。モデル 27 は振動シャトルを採用して設計されています。

弾丸型の振動シャトル モデルとボビン。表示されているものの長さは約 1.5 インチです。

円形ロータリーシャトルの短いボビンの場合、糸が均等に巻かれることを確認することは通常問題になりません。ミシンの巻き取り機を使用すると、糸を均等に引き出すことができます（もちろん、巻き取りプロセスを監視し、必要に応じて手動で調整することをお勧めします）。しかし、上の写真のような、細長いスプールを使用する古いモデルでは、これはそれほど簡単ではありません。巻き取りプロセス中にラインをスプールに沿って前後に誘導する必要があるからです。非常に簡単な解決策は、ワインダー上に可動構造を設計して、前後運動の効果を実現することです。下の図は、ラインをスプールの長さと同じ直径の回転リングに通して固定点を介して巻き取り機に接続するという単純なメカニズムを示していますが、これによりラインがスプールの両端に蓄積されます。右の画像では、同じ長さの赤色の部分に比べて、緑色の部分の巻きが 2 倍になっていることがわかります。コンティ氏は、これによって糸が糸巻きの両端に積み重なる理由を説明します。

(a) 図1は実際の装置の概略図である。ボビンは紙面と平行な方向に一定速度で回転し、ディスクは紙面と垂直な方向に一定速度で回転します。ディスク上の黒い点に対応するボビンの位置が巻き取り位置です。黒い点がボビンの上に留まる時間の長さによって巻き取り量が決まります。図(b)に示すように、ディスクが一周等速回転する場合、ディスク上の巻き管の緑色部分の中心角は赤色部分で示した部分の中心角の2倍となるため、緑色部分の巻き量は赤色部分の巻き量の2倍となる。図(c)に示すように、巻線はボビンの両端に積み重ねられることがわかります。

このタイプのミシンの発明者とその後の開発者が提案した解決策は、上の写真のような、2 つのアルキメデスの螺旋を組み合わせたようなハート型のカムを回転ディスクに取り付けることでした。 （極座標では、0≤θ≤πのときはr=θ、−π≤θ≤0のときはr=−θと表すことができます）。取り付けられているアームはリールの長さに合わせて調整可能です。

1868 年に出版された 507 Mechanical Movements には、アルキメデスのねじを使用して円運動を等速直線運動に変換するこの装置が含まれていました。 (507 Mechanical Movements、著者のヘンリー・T・ブラウンは、The American Artisan 誌の編集者です。この出版物は、産業革命期の機械工学分野の新しいコンテンツの出版を専門としています。ブラウンは最終的にそれを本にまとめ、21 版を出版しました。この本は現在オンラインで入手でき、アニメーション画像も掲載されています。) このミシンの巧妙な装置は 96 番目で、本には説明も記載されています。

アルキメデスの螺旋

507の機械式ムーブメントの本に記録されたハート型カム

ハート型のカム。ハート型カムの回転により、アームの均一な横方向の動きを実現できます。点線はハート型カムの運動軌跡に一致します。アームアセンブリは任意の数の等しい部分に分割され、これらの点から一連の同心円が決定されます。外側の円の左端の点から始めて、小さなグリッドを 1 つ中心に向かって移動するたびに、等間隔の角度で回転し、徐々に中心に向かって移動する必要があります。そして、これらの同心円と外側に放射状に伸びる線の交点が、私たちが当てはめたい曲線になります。

初期に人気があった CD は、実際には情報を運ぶ媒体のストリップ (厚さ 1.6 ミクロン) で作られており、これもアルキメデスの螺旋でした。この利点は、ディスクが一定速度で回転する場合、情報を読み取るレーザー ヘッドはディスクに沿って一定速度で放射状に移動するだけなので、ストリップ メディアに記録された情報を途切れることなく均一に読み取ることができることです。古い蓄音機のレコードも同様の原理で動作し、その表面にある情報媒体、つまり溝が完全なアルキメデスの螺旋を形成します。

アルキメデスの螺旋は、等速回転と等速直線運動の両方によって形成される軌道です。違いは、前述のカムやディスクのように、回転軸に垂直な等速直線運動をするものがあることです。アルキメデスの水ポンプのように、回転軸に平行な等速直線運動をするものもあります。紀元前3世紀、アルキメデスはナイル川の水を使って土地を灌漑するという問題を解決するために、円筒形のらせん状の水ポンプを発明したと言われています。後世の人々はそれを「アルキメデスの螺旋」と呼んだ。アルキメデスのねじは最も古い水ポンプです。回転軸を中心に回転する螺旋面を利用して、低い場所から高い場所へ水を移送し、農地の灌漑に利用します。アルキメデス スクリュー ポンプは、操作が簡単で、構造とメンテナンスが容易で、流量が安定しているため、今でも産業用途で使用されています。

上の写真はアルキメデスのねじ式水ポンプを示しています。シャフトが1回転するたびに、各グリッド内の水が1ピッチずつ前方に押し出されます。

アルキメデスの螺旋は、別の一般的な螺旋である等角螺旋 (または対数螺旋) と混同されることが多いことに注意してください。両者の違いは、後者は幾何学的指数関数的に回転するのに対し、アルキメデスの螺旋は一定であることです。偉大な数学者ヤコブ・ベルヌーイはこの曲線に非常に執着しており、死後、自分の墓石に等角螺旋を刻むよう依頼したと言われています。その結果、職人たちはついにアルキメデスの螺旋を彫刻しました。

等角螺旋

アルキメデスの螺旋のようなこのシンプルで奥深い曲線は、小さなネジから大きな通信アンテナまで、今日ではさまざまなエンジニアリング用途にも使用されています。テクノロジーの魅力は、それが人類にもたらす実用的な応用にあり、その背後にある原理は自然の魔法をさらに実証しています。もしかしたら、物置の隅に眠っているミシンを掘り出してみることで、今まで気づかなかった科学的な原理が発見できるかもしれません。

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