子供が作れる構造が数学界を50年間悩ませてきた

少し前、有名な数学者リチャード・エヴァン・シュワルツは、50年来のハルパー・ウィーバー予想を証明したと発表しました。ペンシルバニア大学の数学者タバチニコフ氏の言葉を借りれば、シュワルツ氏の研究スタイルは「単純で明確だが、一般的に難しいと認識されている問題に取り組むこと。そして、彼は通常、以前の研究者が気づかなかった事柄に気づく」という。

著者 |ジアウェイ

メビウスの帯は、解析、位相幾何学、幾何学における奥深く、重要かつ基本的な概念です。しかし驚くべきことは、現代数学の他の研究対象とは異なり、メビウスの帯は抽象的で理解しにくいものではなく、非常に具体的で直感的なものであるということです。薄い紙テープを使って、子供でも簡単にメビウスの帯の模型を作ることができます。

薄い紙片でメビウスの輪を作る |画像出典: 書籍「メビウスからチャーンへ: メビウス変換とメビウスの帯」、劉培傑、ハルビン工業大学出版局

しかし、次のような疑問について考えたことがあるでしょうか。薄い紙テープではなく、正方形の手漉き紙（縦横比 1:1）などの「幅広」の紙テープを使えば、紙を破らずにメビウスの輪を作ることができるのでしょうか。 (ネタバレ注意: 他に条件が付いていなければ、答えは「はい」です。ただし、非常に巧妙な方法が必要なので、まずは自分で考えてみることをお勧めします。)

上記の問題をさらに「数学化」して、「滑らかなメビウスの帯を作るには、幅広の紙テープの長さと幅の最小の比率はいくらか」と問います。実際、過去 50 年間、数学界は上記の問題を解くことができませんでしたが、今年 8 月 24 日に有名な数学者リチャード・エヴァン・シュワルツが非常に巧妙な方法で答えを出しました (半月以上後の 9 月 13 日に、彼は論文を更新しました)。

位相幾何学におけるメビウスの帯については、1858 年に 2 人のドイツ人数学者、アウグスト・フェルディナント・メビウスとヨハン・ベネディクト・リスティングが独立してこの幾何学的構造を発見しました。(ストーニーブルック大学の数学者モイラ・チャスは、ガウスが以前からこの片面の存在を認識していたことを明らかにしました。)

数学者であり天文学者でもあるメビウスは、位相幾何学の先駆者とも考えられています。彼は位相幾何学の性質を明らかにした最初の人物であった。 1863年に出版された『基本関係論』では、点が一対一に対応し、隣接する点が隣接する点に対応する2つの図形を考察し、そのように接続した2つの図形の関係を研究することを初めて提案した。その後 160 年間にわたり、幾何学的図形や空間が形状を継続的に変化させた後もその特性をどのように保持するかを研究するトポロジーが発展し、数学の最も重要な分野の 1 つになりました。メビウスの輪もまた、非常に重要な意味を持っているようです。それ自体には、今日まで完全には明らかにされていない多くの素晴らしい特性があります。

前述のように、この「単純な」問題は半世紀にわたって位相学者を悩ませてきました。長方形の紙テープが単位長さとして幅を持っている場合、それを使用して「滑らかな」メビウスの帯を作成するために必要なテープの最小の長さはどれくらいでしょうか。

数学者の頭の中にある紙テープは、操作可能な単純な表面（厚さを考慮する必要がない）という、一種の理想的な数学的オブジェクトですが、それでも「物理的な」紙テープの基本的な特性を保持しています。① 紙は伸縮性がないため、伸ばすことができません。 ② 紙テープは、明らかに損傷なく通過することはできません。

「滑らかさ」とは、平たく言えば、製造されたメビウスの輪に折り目が付いていないことを意味します。専門家の観点から見ると、滑らかな表面とは、表面上のどの点にも固有の接線面があることを意味します。ただし、折り目の上の点は、平面上の鋭い点と同様に、複数の方向に接線面を持つことができます。

滑らかさという条件は必須です。そうでないと、紙テープの長さが幅よりも小さくなる可能性があります。これは、問題の性質が変わることと同じです。前の質問に戻りましょう。正方形の手漉き紙を使って、紙を破らずにメビウスの輪を作ることはできますか?

答えはイエスです。正方形のクラフト紙を、下図のようにアコーディオン型のプリーツ構造に折るだけです。「紙製オルガン」全体を紙片として扱い、通常のメビウスの帯と同じように 180 度 (半回転) ひねり、接着剤を使用して両端を貼り合わせます。これは「圧縮された」メビウスの帯を形成します。これは、紙の構造を破壊せずに通常のメビウスの帯に拡張できないことを除いて、一般的なメビウスの帯と本質的に同じです。したがって、滑らかさが要求されない場合には、アスペクト比が 1 の紙テープを使用してメビウスの帯を作成できます。

アコーディオン型のメビウスの輪 |出典: 古典数学に関する30の講義

最も標準的な滑らかなメビウスの帯は、このように見え、「折り目」はありません。しかし、非弾性紙テープで作られたメビウスの輪とこれとの間には見た目の違いがあります。 |画像ソース: 作者は数学的手法を用いて画像を生成した

1977年、プリンストン大学の数学者チャールズ・シドニー・ウィーバーとベンジャミン・リグラー・ハーパー・ジュニアは、紙テープを使って滑らかな表面を作るというアイデアを研究しました。

セルジュ・タバチニコフはペンシルベニア州立大学の数学者であり、彼の指導者は世界的に有名な位相幾何学の巨匠ドミトリー・フックスです。彼らは教科書『Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics』（仮訳「古典数学に関する30の講義」）を共著した。講義14では、紙テープのメビウスの帯とハルパー・ウィーバー予想について詳しく説明しました。

2019年、ブラウン大学の数学教授リチャード・シュワルツ氏はタバチニコフ氏との共同研究を通じて彼らの古典的な教科書を朗読した。「その章を読んだ瞬間、私は夢中になった」と彼は後に語った。

シュワルツ氏は8月24日にarXiv.orgで公開された論文に基づき、ハルパー＝ウィーバー予想を証明したと発表した。他の数学者による簡単なレビューの後、彼の証明は現在、位相幾何学のコミュニティで広く受け入れられています。

シュワルツ自身は幾何学群の分野の権威です。幾何群論は、1980 年代後半に始まった比較的新しい数学の分野です。有限生成群を研究し、その代数的性質とこれらの群が作用する幾何学的空間との間の関係を探ります。彼はまた、平面凸形状に基づく力学システムであるビリヤードボールの経路問題にも重要な貢献をしました。

彼の研究分野は、力学系、双曲幾何学、反復理論、位相幾何学など多岐にわたります。2002 年、シュワルツは北京で開催された国際数学者会議に招待され、45 分間の報告を行いました。 2003年にグッゲンハイム奨学金を受賞した。

リチャード・エヴァン・シュワルツは、2023 年 3 月 22 日にニュートン数学研究所でトムソンの 5 点問題について説明します。 |画像出典: ロスチャイルド講演: トムソンの 5 点問題 - YouTube

しかし、この最新論文が急速に受け入れられた理由は、シュワルツ自身の学術的地位と歴史的信頼性に加え、彼が使用した手法にあります。彼は問題を扱いやすい部分に分割し、それぞれの部分を解くには基本的に基本的な（現代の）幾何学的手法のみを必要としました。「この証明は純粋な優雅さと美しさの行為だ」とドイツのゲッティンゲン大学の数学者マックス・ワルデツキー氏は語った。

数学的創造力が強い。「自己交差する面と自己交差しない面を数式で区別するのは常に難しい」と、『30 Lectures on Classic Mathematics』の著者であるフォックス氏は言う。「この困難を克服するには、（シュワルツの）幾何学的洞察力が必要です。しかし、これは非常に稀なことです！」

興味深いことに、シュワルツは当初「初心者」らしいミスを犯し、それが数年にわたる損失につながった。あのミスがなかったら、「この問題は3年前に解決できたのに！」シュワルツはやや残念そうに言った。

幾何学では、表面上の任意の点を通過する直線が少なくとも 1 本ある場合、その表面は線織面と呼ばれます。もう一つの一般的な言い方としては、直線から連続的な動きによって表面を構築できる場合、その表面は線織面と呼ばれます。 3 次元ユークリッド空間を例にとると、最も一般的な線織面は平面、円柱、円錐、鞍面です。有名なメビウスの帯も線織面です。線織面の場合、表面をより単純な平面構造に分解する方法があります。

完全に弾性のない紙のストリップは、メビウスの帯の基本的な形状を作成します。 |出典: オーストラリアの有名なSF作家、グレッグ・イーガン

上のメビウスの帯も線織面です。 |出典: オーストラリアの有名なSF作家、グレッグ・イーガン

何らかの先入観により、シュワルツは2021年の論文で、メビウスの帯から分解された構造は平行四辺形になるはずだと誤って信じていました。これが失敗につながりました。

シュワルツ氏は他の多くの戦略を試したが、成功する証明を見つけるまでに約2年もの歳月を費やした。彼は最近、2021年に採用していたアプローチが効果的であるはずだという強い予感がしたため、この問題を再検討することにした。ある意味、彼の直感は正しかった。

シュワルツさんは今年の夏までに、コンクリート紙テープを使った実験をすることにした。これらの実験中、シュワルツはメビウスの帯のモデルを分解して、「なんと、結果として得られた平面構造は平行四辺形ではなく、台形だ！」と気づきました。シュワルツは自分の間違いに気づき、最初はイライラしたが、その後、この新しい情報を使って再計算することを決意した。「修正された計算では推測通りの数字が出た」と彼は語った。「私はびっくりしました。…校正を書くために3日間ほど眠れませんでした。」

ついに、この50年来の推測が証明されました。「長年の課題を解決するには、多大な勇気が必要だ」とタバチニコフ氏は語った。「それがリチャード・シュワルツのスタイルです。彼は、簡単に説明できるが一般的に難しいとされる問題に取り組むのが好きです。そして、以前の研究者が気づかなかったことに気づくことがよくあります。」

関連して、数学者は、メビウスの帯が埋め込まれる長さに制限がないことをすでに知っています（ただし、物理的に作成するのは面倒です）。しかし、1 回ではなく 3 回ねじれたメビウスの輪を作成する場合、紙片をどれだけ短くできるかは誰も知りませんでした。「奇数回のねじれを持つメビウスの帯の最適なアスペクト比の問題です」とタバチニコフ氏は語った。「近い将来、誰かがこのより一般的な問題に取り組むことを期待しています。」

別の観点から見ると、シュワルツの証明は問題の終わりではありません。彼の証明は滑らかなメビウスの帯にのみ適用でき、角や折り目のあるメビウスの帯には適用できませんでした。これらの滑らかでないメビウスの帯は、端で折り畳むことができるため、サイズが小さくなるはずです (前の質問を参照)。

滑らかな条件下では、アスペクト比の最小値を得ることはできません。最小値に到達するには、この退化した三角形のメビウスの帯を得ることしかできません。 |画像出典: The Optimal Paper Moebius Band、2308.12641.pdf (arxiv.org)

より広い視点から見ると、紙テープのメビウスの帯の研究は、数学の非常に新しい分野である「紙シート幾何学」（または「折り紙幾何学」）に属します。

紙シート幾何学は、紙の形状、特性、変形を研究する数学です。多角形、面、立体など、さまざまな幾何学図形を紙で作る方法と、折り曲げる、切る、描くなどの幾何学的な問題を紙を使って解決する方法を学びます。その重要な応用例の 1 つは、折り紙とも呼ばれる折り紙の芸術です。折り紙は、平らな紙を動物、花、星などのさまざまな複雑な立体的な形に折る技法です。折り紙には、紙をどのように折り、構成するかを説明する多くのルールと公理があります。

紙シートジオメトリのもう 1 つの応用は、段ボール工学の Cartonage (段ボール包装、フランス語) です。カルトナージュとは、複数枚の厚紙やボール紙を切り、折り、接着して、箱、フォルダー、本などのさまざまな実用的な物を作る技法です。

カルトナージュでは、段ボールの厚さ、強度、安定性も考慮する必要があります。紙のシート幾何学は、位相幾何学、代数、組合せ論などの他の数学の分野と組み合わされ、現代の数学者を困惑させる多くの難しい問題を生み出します。

このような数学の分野は、抽象的な対象の複雑さを直感的に明らかにするだけでなく、数学と私たちの日常生活を結び付け、魅力的なテーマを形成します。メビウスの帯は数学に限定されません。日常生活にも興味深い応用があります。

メビウスの輪の原理は産業界でも利用されています。メビウスベルトは、元々の平らなベルトを、内側と外側の 2 つの表面から循環する「片面」のベルトに変更する特別に設計されたコンベアベルトです。コンベアベルト上の搬送物によって発生する応力が片側負担から両側循環に変わり、コンベアベルトの耐用年数が延びます。

同時に、その非常に「親しみやすい」性質のため、メビウスの輪は芸術作品に広く登場します。実際、それはブラックホールに次ぐ科学における「星」の概念です。芸術家は空間と形の独特な性質を探求するためにこの形状をよく使用します。メビウスの輪の無限の性質と、時間と空間との絡み合いにより、メビウスの輪はインスピレーションの源となり、多くの芸術作品の構成要素となっています。

例えば、1988年に日本で公開されたアニメ映画「機動戦士ガンダム逆襲のシャア」では、メビウスの輪が運命の比喩として使用されています。人間はメビウスの輪の上を歩く蟻のように、この悪循環から決して逃れられず、常に同じ過ちを繰り返し、同様の悲劇が絶えず起こります。

最後に、関連する逸話を一つお話ししたいと思います。主人公は、10代のアメリカ人物理学者リチャード・ファインマンと、当時の恋人アーリン（後にファインマンの妻となるアーリン・グリーンバウム）です。アーリーンは、哲学の先生が「すべての物には紙と同じように表と裏がある」というモットーを持っていたと話しました。ファインマンは、この見解自体を再考する必要があると述べ、百科事典から学んだ知識を使って、一枚の紙を取り出し、恋人の前でその場でメビウスの紙の輪を作りました。アーリーンはとても驚き、翌日その紙の指輪を学校に持って行きました。先生が一枚の紙を取り上げて、すべての物には二面性があることを説明する例を挙げ始めたとき、先生は興奮してメビウスの紙の輪を掲げ、その場にいた先生と生徒全員を驚かせました。

追記

10 年前、私は偶然「古典数学 30 講義」を読み、その本の第 14 講義にあるメビウスの紙のリング問題に魅了されました。したがって、私はハルパー＝ウィーバー予想の難しさについてある程度直感的に理解しています。

したがって、10年後にこの予想が自分の目で証明されるのを目撃することは、私にとってまったく予想外で興奮する出来事でした。そして、その証明は、同じ教科書を読んで、比較的基本的な技術を使って同じ問題に魅了された位相幾何学の権威によってなされたのです。これが、私がこの記事を書こうと思った理由でもあります。

最後に、有名なオーストラリアのSF作家、グレッグ・イーガン氏に感謝したいと思います。彼は論文の議論に参加し（参考文献[1]）、著者が論文のいくつかの概念を理解するのを助けました。同時に、Egan 氏は寛大にも、彼が作成したデモビデオを著者が自由に使用することを許可してくれました (この記事で使用されている GIF は彼が作成したものです)。

イーガンはSFの世界では異例の存在だ。彼の SF 小説のほとんどはハードコアではなく、数学や物理学の高度な知識を必要とするものが多い。彼の SF 小説『シルドのはしご』は、多くの SF ファンから史上最も難解な SF 小説であると考えられています。この本を理解するには、少なくとも物理学の大学の学位が必要だと言われています。そのため、彼はハードSFの王としても知られています。

参考文献

[1] 最適な紙のメビウスバンド、2308.12641.pdf (arxiv.org)

[2] 古典数学に関する30の講義、ドミトリー・フックス、セルジュ・タバチニコフ、アメリカ数学会

[3] 数学者が50年来のメビウスの帯のパズルを解く - サイエンティフィック・アメリカン

[4] メビウスからチャーンへ：メビウス変換とメビウスの帯、劉培傑、ハルビン工業大学出版局

[5] リチャード・エヴァン・シュワルツ（brown.edu）

[6] 甘丹燕著『代数的位相幾何学と微分位相幾何学の簡潔な歴史』湖南省教育出版社

[7] メビウスの輪 - Wikipedia

この記事は科学普及中国星空プロジェクトの支援を受けています

制作：中国科学技術協会科学普及部

制作：中国科学技術出版有限公司、北京中科星河文化メディア有限公司

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