幾何学と物理学が出会うとき: 地球はトポロジカル絶縁体か?

20 世紀に物理学が発展するにつれて、数学の幾何学が物理理論に導入されました。アインシュタインはリーマン幾何学を利用して一般相対性理論を構築し、楊振寧はゲージ場とファイバー束の対応関係を発見し、1980年代以降に誕生した位相量子場理論は物理学を新たな高みへと押し上げました。幾何学理論とそれに関連する概念は物理理論において重要な役割を果たしており、「物理学は幾何学である」と多くの人が言うほどです。今日、幾何学から生まれたこれらの物理的概念は、大気科学や情報科学など多くの分野に浸透し、幾何学にも新たな活力をもたらしています。

著者：董維源

物理学の理論はさまざまな分野から借用され、使用されることがよくあります。近年、気象学者は海洋と大気の波の法則を研究する際に、地球をトポロジカル絶縁体と比較しています[1-3]。物理学者によるトポロジカル相転移の研究方法と結論の助けを借りて、彼らは赤道ケルビン波の形成メカニズムについて深い理解を得ました。

ケルビン波は、地球の自転による偏向力（コリオリの力とも呼ばれる）によって引き起こされる海洋と大気の波です。その最大の特徴は、群速度が位相速度と同じであるため、この波は移動中に消散しないことです。数千キロメートルにわたって継続的にエネルギーを輸送することができ、エルニーニョなどの気候現象の形成における重要な要因の 1 つです。

実際、このタイプの波は 1879 年にすでに発見されており、発見者にちなんで名付けられました。そうです、発見者は万能の科学の天才、ケルビン卿であり、絶対温度スケールは彼にちなんで名付けられました。 100年以上も後に自分が発見した海洋と大気の変動が、現代物理学とこのように奇妙な形で結びつくとは、この老領主は想像もしていなかっただろうと私は思います。たとえ老領主がタイムマシンで現在に旅したとしても、ケルビン波が実際には「位相的保護下の励起」の一種である理由をすぐに理解することはできないだろう。

現代物理学のほぼあらゆるところに幾何学的概念と幾何学的言語が浸透しており、その深さと広さは 19 世紀の物理学者にはまったく想像もできないほどです。

微分幾何学が物理学に参入

1915 年に発表された一般相対性理論は、物理学の幾何学化における最初の画期的な出来事でした。それ以来、微分幾何学は物理学者が習得しなければならない数学言語となりました。

重力の本質は時空の曲率であり、重力場の強さは時空の曲率であるため、曲がった多様体を操作する科学は、当然、一般相対性理論を学ぶための主な前提条件になります。いわゆる多様体は、さまざまな種類のグラフィックスとして考えることができます。たとえば、ジャガイモの表面は 2 次元多様体ですが、一般相対性理論で研究される時空は 4 次元多様体です。

計算を行うには、多様体上に座標系を確立する必要があります。多様体自体の形状が奇妙であったり、座標系の範囲が限られていて、1 つの座標系だけでは多様体上のすべての点をカバーできない場合は、多様体上の複数の点を選択し、各点が周囲の近傍をカバーするローカル座標系を確立してから、すべてのローカル座標系を並べて多様体全体をカバーする必要があります。

たとえば、ある瞬間に地球を原点とする 4 次元の直交座標系では、遠く離れたブラックホールの内部をカバーすることはできません。無限の時間が経過しても、ブラックホールの事象の地平線に非常に近い場所にしか到達できません。しかし、これは事象の地平線で時空自体が引き裂かれることを意味するものではありません。ブラックホールの事象の地平線に近い宇宙飛行士は、自分の位置と特定の瞬間を原点とする新しい座標系を確立することができます。この座標系は私たちの座標系と重なり、ブラックホール内の他の座標系と一致します。複数の座標系の助けを借りて、地球とブラックホール内部を結ぶ滑らかな世界線を描くことができ、事象の地平線では時空そのものがまだそのままであることを示します。

さらに、曲率について議論するためには、まず多様体を固定しておかなければなりません。くねくねと動くクラゲの表面には、明らかに明確な曲率がありません。ステレオタイプの意味は、「多様体上の任意の 2 点間には一定の距離がある」ということと同等であるため、多様体上の距離の定義は曲率の定義に先行する必要があります。

これは「メトリック」と呼ばれ、多様体上の各点とその隣接点の間の距離をどのように計算するかという疑問に答えます。多様体上のすべての点が独自のメトリックを持つ場合、多様体全体が「石化」され、その場合にのみ曲率を計算できます。

曲率にはいくつかの数学的な定義がありますが、物理学者はリーマンの定義を好みます。リーマン曲率はベクトルの移動中にその変化によって経験されるので、それを理解する前に、多様体の曲率がベクトルの移動にどのように影響するかも理解する必要があります。

平面空間ではベクトルは変化せずに任意に移動できますが、曲がった空間ではこの自由度は存在しません。たとえば、上図に示す球面上でベクトルを移動し、赤道から「移動」を開始すると (2 次元球面内のベクトルの方向は球面に対して接線方向にしかならないことに注意してください)、オレンジ色のパスを通って北極に到達するベクトルの方向は、青色のパスを通って北極に到達するベクトルの方向とは異なります。これは球体の曲率によって生じる効果です。

リーマン曲率はこの効果を利用して多様体上の各点の曲率を定義します。具体的なアプローチとしては、

これは明らかに 3 つのベクトルから 1 つのベクトルへのマッピングです。このマッピング関数を提供する「マシン」はテンソルと呼ばれます。リーマン曲率はテンソルなので、リーマンテンソルとも呼ばれます。ちなみに、先ほど述べたメトリックもテンソルです。実際、一般相対性方程式全体はテンソル方程式です。

ファイバー束とゲージ場

1954 年に発表されたヤン＝ミルズ理論は、物理学の幾何学化の第二波の基礎を築きました。 10年以上経って、物理学者たちは突然、この理論を記述するのに最も適切な言語は繊維束であることを発見した。

いわゆる繊維束は、毛で覆われた多様体として大まかに理解することができ、各毛は下部の多様体上の点に対応します。ここでの毛髪、つまり繊維は、かなり抽象的な意味合いを持ち、さまざまな繊維束理論における多様体へのさまざまな付着を表します。これらの追加は自然なものである場合もあれば、装飾として追加されたものである場合もあります。

最も直感的な種類のファイバーは、多様体上の各点の接線空間です。名前が示すように、この時点ですべてのベクトルが存在する空間です。下の図の左側は具体的な例を示しており、下の多様体 M は 2D 球であり、青い平面は M 上の切断点 P です。

こういった関係性を抽象的に描く手法。

曲率を紹介したとき、多様体上のベクトルの「変換」について漠然と触れました。

接線束の概念は直感的で理解しやすいが、物理学者にとっては強力な武器ではない。物理学者が本当に気に入っているのは、対称性を保持できるファイバー束です。これは非常に中核的かつ重要なため、単に主要バンドルと呼ばれます。

対称性について話すとき、グローバル対称性とローカル対称性という 2 つのまったく異なる概念を区別する必要があります。前者は多様体全体の対称性であり、後者は各点の特性です。以下の内容では、物理学においては局所的な対称性が全体的な対称性よりもはるかに重要であることが示されます。

対称性を記述するために使用される数学的言語はグループであり、各対称性は特定のグループに対応します。たとえば、O(n) グループと SO(n) グループは n 次元実空間の回転対称性に対応し、U(n) グループと SU(n) グループは n 次元複素空間の回転対称性を表します。

私たちが住んでいる 3 次元空間では、あらゆる回転操作は、x 軸、y 軸、z 軸の周りの回転という 3 つの基本操作の組み合わせに分解できます。つまり、SO(3)群自体を空間とみなすと、その次元もちょうど3になります。しかし、SO(4)群は異なります。 4次元空間での回転は6つの基本操作から構成される[4]ため、SO(4)群自体の次元は4ではなく6である。

群自体も、直感的な接空間と同様に空間として見ることができるため、基になる多様体に挿入されたファイバーとして見ることもできます。ただし、各ファイバーによって表される空間の次元数は、基になる多様体と異なる場合があります。

グループ構造を持つこの繊維束が主束です。ファイバーによって表される局所対称性とは、基礎となる多様体上の関数 Φ(x) がファイバーに沿って変化しても、各点における Φ(x) の値は変化しないため、主バンドル上の異なるセクションは Φ(x) と同等であることを意味します。物理学では、Φ(x) のような局所対称性を持つ場を総称してゲージ場と呼びます。

物理学者の目には、時空そのものが繊維束であり、さまざまな基本的な相互作用は、異なる対称群を持つ主束間の接続であるさまざまなゲージ場から生じます。重力場はSO(3, 1)に対応し、電磁場と弱い力はU(1)×SU(2)に対応し、強い力はSU(3)に対応する。

後者の2つが融合すると、U(1)×SU(2)×SU(3)構造を持つ主バンドルは、重力を除く宇宙のすべての相互作用が1つのオブジェクトに美しく融合された大きな空間になります。これはヤン＝ミルズ理論であり、一般相対性理論に匹敵し、素粒子の標準モデルの最も重要な理論的基礎です。

位相理論によるサポート

トポロジーは、よく冗談で粘土遊びの科学と呼ばれます。幾何学的図形の特定の形状やサイズは考慮せず、連続的な変化の中で図形が変化しない要素のみに焦点を当てます。コーヒーカップは連続的にドーナツに変形できるため、位相的な観点から見ると、コーヒーカップとドーナツは同じ数の穴があるため同じオブジェクトです。明らかに、穴の数は位相不変量です。

しかし、数学者が A と B が位相的な意味で同じであると言うとき、彼らは「同じ」の意味を表現するために異なる用語を使用します。一般的な用語には、同型、同相、準同型、ホモトピー、ホモロジーなどがあります。このことから、位相理論は粘土をこねるほど単純ではないことがわかります。

また、数学の大きな木において、位相理論の位置づけは、明確な境界を持つ枝ではなく、幾何学の分野に限定されるものでもなく、むしろあらゆるところに絡みつく蔓のようなものです。このため、多くの問題を簡素化する並外れた力を発揮できることが多いのです。

「毛玉定理」と呼ばれる興味深い定理があります。これは、偶数次元の球面上の滑らかな接線ベクトル場には必ずゼロが存在することを述べています。この定理の 2 次元のケースは非常に直感的です。これは実際には、毛玉を完全に滑らかにすることは決してできないことを意味しており、これがこの定理の名前の由来です。

対照的に、トーラス上の接線ベクトル場はどこでもゼロ以外になる可能性があることも直感的にわかります。これは、多様体の全体的な位相特性がその上のベクトル場の特性と密接に関連していることを示しています。

この定理が特別なものではないと読者が感じるなら、点源から放射される電磁波についても考えてみるとよいでしょう。その波面は 2 次元の球体であり、電磁波は横波であるため、場の強度の方向は常に波面の接線方向になります。毛球定理によれば、波面上には必ず場の強度ゼロ点が存在する[5]。ただし、波面上のすべての点は同じ振動位相を持ち、点源に対して完全に対称です。魔法の香りを感じますか？

電磁波が特定の特殊な媒体を伝播する場合、そのパラメータ空間でもヘアリーボール定理が適用される状況が発生する可能性があります。動的プロセスを記述する偏微分方程式の山を解くのは困難ですが、位相特性だけに基づいて、ゼロ点が確実に現れることを判断できます。この特殊な点は、純粋に位相的特性によって生成され、ある種の「位相的励起」に対応することが多い。

位相理論が大きな力を発揮できる理由は、さまざまな位相不変量と物理場におけるさまざまな積分結果との間のつながりを確立するからです。記事の前半で述べたように、物理的な場における場の強度は幾何学的な意味での曲率に対応し、距離関係はメトリックに対応します。物理場におけるある積分結果が場の強度や積分経路の長さに依存しない場合、幾何学的な言語に翻訳すると、その結果は多様体の曲率や計量に依存しないため、多様体がクラゲのようにくねくねしても積分結果は変化せず、この結果は多様体の何らかの位相不変量によってのみ決定されるはずです。

この考えに基づいて、物理学者はさまざまな積分結果、特に閉ループや閉曲面上の積分結果を研究することに非常に熱心です。もし実際に、場の強度と経路の長さの両方に依存しない物理量が発見されたら、人々は興奮して位相学の倉庫に駆けつけ、それに関連する位相不変量を探すでしょう。

統合パスに関しては、賢明な物理学者は確かにそれらを一つずつ手動で試すことを望まず、「総合的」な研究戦略を使用したいと考えています。

まずは馬鹿げた質問から始めましょう。平面上で、固定点から始めて、閉じた曲線を描き、最後に固定点に戻る場合、それを描く方法はいくつありますか?答えは明らかです。任意の 2 つの描画方法は位相的に同一です。言い換えれば、すべてのパスはホモトピックです。

平面に穴を掘ると、一部の経路は 1 点まで縮めることができる一方で、一部の経路は縮むときに穴によってブロックされ、1 点まで縮めることができなくなるため、すべての経路がホモトピックではなくなるのは明らかです。すべてのパスは、穴の周りのループの数に応じていくつかのカテゴリに分類でき、穴の周りのループの数が同じパスはホモトピックであることがわかりました。

グループはすべての整数で表すことができ、各整数はその整数に等しい巻数を持つホモトピーパスを表します。巻き方は時計回りでも反時計回りでもよく、両者は打ち消し合うので、当然負の整数の巻き数が存在します。

詳しくは紹介しませんが、先ほどの一筆書きゲームで、多様体上の穴の数と絡み合いの数について簡単に触れておきます。これらは典型的な位相不変量です。さらに、結び目理論における結び目の分類も位相不変量に属します。

最も直感的な位相不変量は、小学校の数学オリンピックに登場した「オイラー特性」です。 3 次元の凸多面体は常に V-E+F=2 を満たします。ここで、V は頂点の数、E は辺の数、F は面の数です。 3D凸多面体の表面は2D球面と同型なので、それらはすべて

ただし、同じオイラー特性数を持つ多様体は、必ずしもすべて同型であるとは限りません。たとえば、1 次元リング、2 次元トーラス、メビウスの帯、クラインの壺はオイラー特性数が 0 ですが、明らかに準同型ではなく、いくつかの基本的な特性も大きく異なります。

オイラー特性に加えて、他の多くの位相不変量がありますが、スペースの制限と私の知識のため、ここですべてを列挙することはしません。しかし、現代物理学にとって非常に重要であり、言及しなければならない位相不変量が 1 つあります。それはチャーン-サイモンズ作用です。

名前が示すように、この位相不変量は当然物理的な積に対応します。

これは単なる通常の積分ではなく、物理場全体のすべての動的特性を生成する核心です。多くの読者は、最小作用の原理から運動方程式を導く手順をすでによく知っていると思います。

この位相不変量がなぜ物理学に自然にとても親しみやすいのかというと、それは物理学者の手から生まれたものであり、フィールズ賞を受賞した唯一の物理学者であるウィッテンによって開発されたからです。もちろん、彼の研究の基礎は、陳世臣らの初期の業績、特に「陳-サイモンズ 3 形式」と呼ばれる数学的対象に大きく由来しており、ウィッテンらによって物理学に導入されたこの理論は、今でも「陳-サイモンズ理論」と呼ばれています。

これを中核として、ウィッテン、シュワルツらは量子場理論の新しい分野である位相量子場理論 (TQFT) を開拓しました。ある意味では、位相的量子場理論の出現は、現代物理学全体の幾何学的色彩をさらに強めました。

まとめ

ここ数十年の発展過程において、現代物理学と現代幾何学理論は互いに補完し合いながら共に成長してきただけでなく、より汎用性の高い多くの理論的ツールも共に開発し、情報科学、経済学、社会科学などの分野で広く利用されています。記事の冒頭で述べた気象研究の結果は、まさにトポロジカル量子場理論がこの分野にもたらした貢献です。

楊振寧はかつて、世申陳にこう言った。「非可換ゲージ場とファイバー束の素晴らしい理論の概念的一貫性は、私にとっては奇跡です。特に、数学者がそれを発見したとき、物理的な世界を参考にしたわけではありません。あなた方数学者はそれを空想したのです。」 Shiing-Shen Chern 氏は即座にこれを否定しました。「いいえ、これらの概念は空想ではなく、自然で現実のものなのです。」

参考文献と注記

[1] Delplace, P., Marston, JB, & Venaille, A. (2017).赤道波の位相的起源。サイエンス、358(6366)、1075-1077。 https://doi.org/10.1126/science.aan8819

[2] トン・D.（2022）。 「浅水域のゲージ理論」。 arXiv:2209.10574.

[3] マコーミック、ケイティ（2023年7月18日）。 「量子物理学者が地球の変動する気象パターンをどう説明したか」クアンタマガジン。

[4] 4次元空間における回転軸は線ではなく平面である。 4 つの座標軸はペアで組み合わされ、合計 6 つの基本軸平面が存在します。

[5] ボルマシェンコ、エドワード (2016-05-23)。 「ポアンカレ・ブラウワー（「毛深い球」）定理が電磁波の伝播に及ぼす障害」。電磁波とその応用に関するジャーナル。 30（8）：1049–1053.書誌コード:2016JEWA...30.1049B. doi:10.1080/09205071.2016.1169226. 0920-5071. 図書館124221302 の検索結果

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