数学的証明とは一体何なのか？丨Unroll

数学史家であり、ミューレンバーグ大学のトルーマン・ケーラー名誉数学教授であるウィリアム・ダナムは、1994年に『数学の宇宙』を出版しました。この本のタイトルには、数学の歴史における重要な問題と人物を表す26文字の英語が使われています。この記事はJ——Justificationから抜粋したものです。数学と他の科目との最大の違いは、命題を証明する必要があることです。これによって数学は数千年にわたって発展し進歩し、人類は徐々に知恵の頂点へと登りつめました。さらに、著者の意見では、「数学的証明の基準は、人間の活動の他のどの分野とも異なる」とのことです。では、数学の定理の証明とは一体何なのでしょうか?この記事では、数学的な証明の性質に関する非常に興味深い疑問に対処する 4 つの基本原則を紹介します。

本稿は『数学：大問題と異能の人々』（チューリング｜人民郵政出版、2022.3）より抜粋を許可され、編集者がタイトルを付したものです。

ウィリアム・ダナム（米国ミューレンバーグ大学数学教授）

翻訳：Feng Su

数学者マイケル・アティヤ（1929-2019）はかつて「証明は数学をまとめる接着剤だ」と言った。明らかに、この見解が意味するのは、証明や議論が数学の具体化であるということです。

こうした見解は議論の余地があるかもしれない。数学は非常に幅広い科目であり、評価、反例の構築、特殊なケースのテスト、日常的な問題の解決など、多様な活動が含まれます。数学者は24時間定理を証明し続ける必要はありません。

しかし、理論的命題の論理的証明が数学の活動のすべてではないとしても、それは確かに数学の分野の特徴です。数学は、証明、推論、論理的演繹と切り離せないのと同様に、他のすべての学問分野と切り離せないものです。バートランド・ラッセルは数学と論理学を比較して、「両者の間に境界線を引くことはもはや不可能である。実際、両者は一体である」と主張した。

この本では多くの数学的な議論が分析されています。第 A 章 (算術) では、素数の無限性を証明しました。 H章では、ピタゴラスの定理を証明しました。一般的な数学的議論に関する限り、これらの証明はかなり単純です。他の議論では、最終的な結論に達するまでに多くのページ、多くの章、さらには多くの巻が必要になります。謙虚なチャールズ・ダーウィンが述べたように、関連する知的要求はすべての人に当てはまるわけではないかもしれません。「長くて純粋に抽象的な思考の流れを追う私の能力は極めて限られているため、形而上学や数学で成功することは決してできないだろう。」あるいは、ジョン・ロックはもっと簡潔にこう言った。「数学的証明はダイヤモンドのように固く、明瞭である。」

数学の定理の証明とは正確には何でしょうか?この質問は、哲学的、心理学的、数学的要素が関係しているため、一見するほど明確ではありません。アリストテレスは、証明を「外面的な陳述ではなく、心の瞑想」と表現したとき、このことを深く理解していました。

ラッセルはまた、説得力のあるコメントも残している。数学者は「推論の完全なプロセス」を紙に書き記すことは決してできないが、「よく訓練された頭脳を納得させるのに十分な証明の要約」を書き記さなければならない。彼が言いたかったのは、あらゆる数学的記述は他の記述や定義の上に構築され、それらはまた別の記述や定義の上に構築されており、証明があらゆる論理的ステップに沿って遡ることを要求するのは無謀かもしれないということである。しかし、20世紀初頭、ラッセルがアルフレッド・ノース・ホワイトヘッド（1861-1947）と共同で最高傑作『数学原理』を執筆したとき、彼は世界に対するアドバイスを忘れてしまったようだった。この本では、彼らは数学全体を基本的な論理原理にまで押し戻そうと試み、その過程で細部を保持しました。結果は非常に苦痛です。彼らの展開は非常に徹底的であるため、最終的に「基数算術入門」の章のセクション 54.43 で 1+1=2 が証明されるまでに、本書は 362 ページにも及びます (図 1 を参照)。 『プリンキピア・マテマティカ』は議論を激しくします。

図 1 ラッセルとホワイトヘッドは 1+1=2 であることを証明した丨アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルが 1910 年に共著した『プリンキピア・マセマティカ』第 1 巻からの抜粋。ケンブリッジ大学出版局提供

この章では、私たちは水面上に頭が上がらないように努めます。証明とは、論理の法則の範囲内で慎重に練られた推論であり、主張の真実性を主張する上で反駁の余地がなく説得力のある推論を意味します。 「誰を説得するのか？」のような質問あるいは「誰の基準で非の打ちどころがないのか？」後回しにします。

もちろん、何を証拠とみなさないかを選択することもできます。直感、常識、あるいはさらに悪いことに暗示に訴える発言は議論ではありません。刑事訴訟において有罪の証拠として使用される「疑いの余地のない」証拠は、いわゆる議論ではありません。数学者は、証明によって合理的な疑問だけでなく、あらゆる疑問を解消できると信じています。

数学的な議論には、さまざまな方向からアプローチすることができます。ここでは、4 つの重要な基本原則を示し、数学的証明の性質に関する非常に意味のある質問を 1 つずつ説明します。

基本原則1: 個々の事例だけでは不十分

科学においても日常生活においても、実験によって原理が繰り返し確認されると、私たちはその真実を受け入れる傾向があります。陽性例の数が十分に多い場合、「証明された法則」があると言えます。

しかし、数学者にとって、いくつかの事例の結果は、何らかのヒントを与えるかもしれないが、決して証明にはなりません。この現象の例を以下に示します。考慮する

これは本当ですか？明らかに、いくつかの正の整数を代入して何が起こるか確認することができます。 n=1のとき、f(1)=1-28+322-1960+6769-13132+13069-5040=2となり、この主張は明らかに正しい。 n=2を代入すると、結果は

f(2)=27-28×26+322×25-1960×24+6769×23-13132×22+13069×2-5040=2

今回もその主張は真実である。読者の皆さんには、計算機を取り出して、f(3)=3、f(4)=4、f(5)=5、f(6)=6、さらにはf(7)=7であることを確認することをお勧めします。

この主張の証拠は確立されているようだ。特にこのような機械的な計算に興味のない人たちは、この発言が真実だと主張するかもしれません。しかし、それは真実ではありません。 n=8を代入すると、

結果は予想していた8ではありません。さらに計算すると、f(9) = 40329、f(10) = 181450、f(11) = 640811となり、この主張は失敗するだけでなく、驚くほど間違っています。この文は任意の正の整数 n に対して真であるという推測は、n=1、2、3、4、5、6、7 に対して真ですが、実際には誤りです。

次の式を展開して同類項を結合すると、先ほど述べた多項式が得られる。

f(n)=n+[(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)]

明らかに、n = 1 の場合、項 (n-1) はゼロなので、角括弧内の積はすべてゼロになります。したがって、f(1) = 1 + 0 = 1です。n=2の場合は、n-2=0なので、f(2)=2+0=2です。同様に、f(3)=3+0=3となり、f(7)=7+0=7まで続きます。しかし、これ以降は括弧内の項はゼロではなくなります。たとえば、f(8)=8+7!=5048 です。

これにより、次のような挑戦的な拡張提案が生まれます。導入するとしよう

g(n)=n+[(n-1)(n-2)(n-3)…(n-1000000)]

そして、すべての正の整数 n に対して、g(n)=n であると推測します。

g(n) の項を掛け合わせて結合すると、100 万次の驚くべき方程式が得られます。上記と全く同じ推論により、g(1)=1、g(2)=2、というようにg(1000000)=1000000まで続きます。

100 万回連続して正しい証明を発見した後、正しい考えを持つ人なら誰でも g(n) が常に n を生成するかどうか疑問に思うでしょう。数学者以外の人にとって、100万回連続して成功するということは、疑わしい証明をすべて排除することと同等です。しかし、さらに検証してみると、g(1000001)は実際には1000001+1000000に等しいことがわかります。これは非常に大きな数字であり、明らかに 1 000 001 を超えています。

上記の例は、数学的証明の最初の基本原則を強調しています。つまり、何百万通りものケースだけでなく、すべての可能なケースを証明しなければならないということです。

基本原則2: シンプルがベスト

数学者は独創的な証明を賞賛します。しかし、数学者は、巧妙かつ経済的な証明、つまり、要点を押さえ、不必要な手間をかけずに要点を押さえた簡潔な推論を高く評価します。このような証明はエレガントであると考えられています。

数学の優雅さは、他の創造的な作品の優雅さと何ら変わりません。これは、長いスピーチよりも美しいフランスの田舎の風景を数行の筆致や詩で表現したモネの油絵の優雅さと多くの共通点があります。優雅さは本質的には数学的な性質ではなく、美的な性質です。

あらゆる理想と同様に、優雅さは必ずしも達成できるものではありません。数学者は短くて明確な証明を目指しますが、面倒な退屈な作業に耐えなければならないことがよくあります。たとえば、抽象代数学における有限単純群の分類の証明には、（最終的に検証された時点で）5,000 ページ以上かかりました。恵みを求める人は他の場所を探してください。

対照的に、数学者が達成する究極の優雅さは、いわゆる「言葉のない証明」であり、美しく説得力のある図によって、何の説明も必要とせずに証明が伝えられるものです。それ以上エレガントになるのは難しいです。たとえば、次の例を考えてみましょう。

しかし、第一の鉄則は、たった一つの事例に基づいて結論を急ぐのは愚か者だけだと警告している。この命題を証明するために図 2 を使用します。

図2

ここでは、図 2 の網掛け部分に示すように、1 つのブロックと 2 つのブロックと 3 つのブロックで構成される階段構造を使用します。正方形を使用してn×(n+1)の長方形の配置を作成します。この長方形は、完全に同一の 2 つのステップで構成されています。長方形の面積は、その長さと幅の積、つまりn×(n+1)に等しくなります。したがって、このステップの面積は長方形の面積の半分でなければなりません。つまり、

証明は完了しました。

読者は、この「沈黙の証明」には依然としてテキストによる説明が伴っていることに気づくでしょう。しかし、言葉による説明はまったく不要です。この図は千の言葉に値します。 （「Silent Proof」はAmerican Journal of College Mathematicsの定期コラムです。）

ここに、否定しようのない優雅さのもう一つの証拠があります。 1 から正の奇数を加算し始めるとします。

1+3+5+7+9+11+13+…

経験から、この加算をどれだけ実行しても、結果は常に完全な平方数になることが分かっています。例えば、

これは常に真実ですか?もしそうなら、この一般的な結果をどのように証明できるでしょうか?

以下の推論には、偶数は 2 の倍数であり、したがってある整数 n の形式は 2n であるという観察に基づく、少しの代数が必要です。奇数は 2 の倍数より 1 少ないので、ある整数 n の場合、その形式は 2n-1 になります。

定理 1 から始まる連続する奇数の合計は完全な平方数になります。

証明：Sを1から2n-1（n>0）までの連続する奇数の合計とすると、

S=1+3+5+7+…+(2n-1)

明らかに、1 から 2n までのすべての整数の合計を求め、偶数の合計を減算して連続する奇数の合計を得ることができます。言い換えると

S=[1+2+3+4+5+…+(2n-1)+2n]-(2+4+6+8+…+2n)

=[1+2+3+4+5+…+(2n-1)+2n]-2(1+2+3+4+…+n)

ここで、2 番目の角括弧内の式から係数 2 を抽出します。

最初の角括弧には 1 から 2n までのすべての整数の合計が含まれ、2 番目の角括弧には 1 から n までのすべての整数の合計が含まれます。図 2 の「サイレント証明」は、このような整数の合計を見つける方法を示しているので、その結果を 2 回使用します。

上記の式を簡略化すると、

一言で言えば、その証明は優雅です。しかし、それが私たちが探している種類の優雅さであるならば、図 3 は、代わりの、より短い、言葉を使わない証明を示しています。ここでは、奇数は 1 つの正方形、3 つの正方形、5 つの正方形など、特別な方法で配置されています。まず左下隅の正方形から始め、それを 3 つの塗りつぶされた正方形で囲んで 2×2 の正方形を形成し、その前の正方形を 5 つの塗りつぶされていない正方形で囲んで 3×3 の正方形を形成し、さらにその前の正方形を 7 つの塗りつぶされた正方形で囲んで 4×4 の正方形を形成します。この図は、1 から始まる連続する奇数の合計が常に (幾何学的な) 正方形を生成することを明確に示しています。この証明は極めて自然です。古代ギリシャ人は2000年前にそれを知っていました、そして現代の子孫は積み木を使ってこの証明を模倣することができます。

図3

ウィンストン・チャーチルは「短い言葉は良い、そして古い短い言葉は最高だ」と言いました。このエレガントな推論は、古い証明は良いものであり、古い短い証明が最良であると言い換えることができます。

基本原則3: 反例の価値

数学においては非常に厳しい現実です。一般的な命題を証明するには、一般的な推論が必要です。しかし、それを反駁するには、その主張が成り立たないことを示す特別な例だけが必要です。後者は反例と呼ばれ、優れた反例は非常に価値があります。たとえば、次のような推測があるとします。

定理を証明するには 50 ページの推論が必要になるかもしれませんが、それを反証するには 1 行の反例だけで済む場合があることを強調します。証明と反証の戦いでは、公平な競争の場はないようです。ただし、警告しておきます。反例を見つけるのは見た目ほど簡単ではありません。次の物語はその一例です。

2 世紀以上前、オイラーは、別の完全な立方数を得るには少なくとも 3 つの完全な立方数を加算する必要があり、別の完全な 4 乗を得るには少なくとも 4 つの完全な 4 乗を加算する必要があり、別の完全な 5 乗を得るには少なくとも 5 つの完全な 5 乗を加算する必要があり、などと推測しました。

第 F 章の読者は、これがフェルマーの最終定理 (n=3) の特殊なケースであることを認識する必要があります。

次数を上げて行くと、合計が 4 乗になる 4 つの完全 4 乗が見つかります。たとえば、次のような、決して自明ではない例を考えてみましょう。

オイラーは、3 つの 4 乗を足しても別の 4 乗は生成されないと推測しましたが、証明は示しませんでした。一般的に、少なくとも n 乗の n 乗が必要であり、それらの合計が別の n 乗に等しくなると彼は言いました。

これは 1778 年に真実だったし、ほぼ 2 世紀経った今でも真実です。オイラーを信じる人は証明を使ってオイラーの予想を確認することはできないが、オイラーを信じない人はそれを反証するための特別な反例を構築することはできない。この質問は未解決です。

その後、1966 年に数学者のレオン・ランダーとトーマス・パーキンが次の例を発見しました。

これは、オイラーが言った 4 つの 4 乗ではなく、3 つの 4 乗でも 4 乗を生成できることを示しています。

これらの反例を見つけるために必要な労力、さらにはコンピュータの処理能力は、驚くほどのものです。これは明らかに、基本原則 3 の帰結です。つまり、証明するよりも反証する方が難しい場合があるということです。

基本原則4：否定的な事実を証明できる

理髪店やファーストフード店では、「否定を証明することはできない」という古い言い伝えをよく耳にします。次のような会話がきっかけになるかもしれません。

A: 「スーパーマーケットのタブロイド紙に、レプラコーンが賞を獲得したと書いてありました。」

B: 「レプラコーンなんて存在しないよ。」

A: 「何だって言ったの？」

B: 「レプラコーンなんて存在しないって言ったでしょ。」

A: 「本当にそうでしょうか？存在しないことを証明できますか？」

B: 「もちろん...いいえ。でも、それが存在することを証明することもできません。」

この会話はとても長いです。言い換えれば、レプラコーンが存在しないことを証明することは決してできないと主張しています。

数学者はもっとよく知っています。最も偉大で最も重要な数学的推論のいくつかは、特定の数、特定の形状、特定の幾何学的構造は存在しないし、存在し得ないという証明に関するものでした。人々は、存在しないものを確立するために、最も強力な武器、つまり合理的で厳密な論理を使用します。

否定は証明不可能であるという一般的な考えは本質的に間違っています。レプラコーンが存在しないことを証明するには、アイルランドのすべての岩と南極のすべての氷山をひっくり返す必要があるようです。もちろんこれは不可能な野望です。

何かが存在しないことを論理的に証明するために、数学者は非常に異なるが完全に適切な戦略を使用します。つまり、そのオブジェクトが存在すると仮定し、その後に続く結果をたどるのです。存在の仮定が矛盾につながることを証明できれば、論理の法則により、最初のステップで行った存在の仮定が間違っていたと結論付けることができます。したがって、間接的なアプローチをとることで得られた結果が正しいという事実を説明しながら、このものは存在しないという議論の余地のない結論を導き出すことができます。

第Q章では、最も有名な非存在の証明について議論します。なぜ非存在は

スコア？ただし、現在の目的には次の例で十分です。

定理 辺の長さがそれぞれ 2、3、4、10 である四辺形は存在しません。

この問題に取り組む実用的な方法は、棒をこれらの長さに切断し、四辺形に配置することです。これは単なる説明ですが、論理的には岩の下にゴブリンを見つけるのと同じです。たとえ私たちが何年もかけてこの 4 本の棒から四辺形を作ろうと試みて失敗してきたとしても、いつか誰かがそれらから四辺形を作ることに成功するかもしれないという可能性を排除することはできません。

合理的なアプローチは、否定を間接的に証明することです。まず、辺の長さが 2、3、4、10 である四辺形があると仮定し、矛盾を生成してみます。これは戦略的な飛躍です。

仮想の四辺形を図 4 に示します。四辺形を 2 つの三角形に分割する点線の対角線を描き、この対角線の長さを とします。 G 章 (古代ギリシャの幾何学) で説明されているように、ユークリッドは三角形のどの辺も他の 2 辺の合計よりも小さいことを証明しました。したがって、△ABCでは、10＜4+xであることがわかります。 △ADCでも同様にx＜2+3です。これら2つの不等式を組み合わせると、

10＜4+x＜4+(2+3)=9

上記の不等式によれば、10＜9となります。それは話になりません。この特殊な四辺形が存在するという当初の仮定はこの矛盾につながるため、この仮定は無効です。

この四辺形の 4 つの辺の出現順序 (時計回り) は、10、2、3、4 です。図 5 に示すように、これらの 4 つの辺を配置する方法は他にもあり、同じ推論でも矛盾が生じます。このとき、10＜2+x＜2+(3+4)=9となります。それは話になりません。

図4と図5

探し続ける必要はなく、何度もレイアウトを変更する意味もありません。そのような四辺形は存在し得ません。ついに否定的な結果が証明されました。

背理法による証明は非常に優れた論理戦略です。私たちが証明したいことの反対が真実であると仮定すると、私たち自身の目的が達成されないように思えます。しかし、結局、私たちは災害を回避しました。ハーディは背理法による証明を「数学者の最高の武器の 1 つ」と表現しました。「これはチェスにおける最初の動きの他のどの戦術よりもはるかに優れています。チェスのプレイヤーはポーンや他の駒を犠牲にすることができますが、数学者はゲーム全体を犠牲にします。」

質問: 人間はまだ必要ですか?

1970 年代から 1980 年代にかけて、不安なイメージが数学者の意識に入りました。これはコンピューター画像処理であり、光の速度で、事実上確実性のない定理の証明作業を引き継ぎます。

数学界全体を困惑させたのは、その後にコンピューターを使って定理を証明するいくつかの事例であった。このような状況では、定理が多くのサブケースに分割されることがよくあります。各サブケースが確認されれば、問題全体が解決されたと結論付けることができます。残念ながら、この分析では通常、数百のケースと数万の計算を考慮する必要があり、人間がすべての手順を繰り返すことは不可能です。つまり、そのような証明は他のマシンによってのみチェックできます。

1976 年、四色予想の解決により、コンピューターによる証明が数学の舞台に劇的に登場しました。いわゆる四色予想は、平面上に描かれた地図はどれも 4 色 (または 4 色未満) で色付けでき、共通の境界を持つ任意の 2 つの領域は異なる色で塗られるというものです。 (たとえば、図 6 では、領域 A と領域 B の両方を赤く塗りつぶすことはできません。そうすると、共通の境界がわかりにくくなるためです。領域 A と領域 C のように、1 つの点で交差する 2 つの領域を同じ色で塗りつぶすことは許可されていますが、その点は境界ではありません。)

4色予想は1852年に提案され、次の世紀にわたって幅広い注目を集めました。平面の地図は 5 色で確実に着色できるという事実や、地図を 3 色で着色するだけでは不十分であるという事実など、いくつかの問題がすぐに解決されました。図7にそのような地図を示します。この図では、領域 A、B、C の各ペアに共通の境界があるため、領域 A、B、C を異なる色にする必要がありますが、4 番目の色を使用しない限り領域 D に色を付けることはできません。

したがって、5 色は (おそらく) 多すぎ、3 色では足りません。明らかに、これには 4 色が必要です。平面の地図を色付けするには 4 色で十分でしょうか?

前回の議論では、この問題を解決するには 2 つの選択肢しかないことが示されました。4 色で色付けできない特殊な種類のマップを提供する特別な反例を考え出すか、任意のマップをこのように色付けできることの一般的な証明を考案するかのどちらかです。数学者にとって、この反例を見つけるのは困難です。彼らが作った地図はどれも、どんなに複雑なものであっても、赤、黄、青、緑だけを使って色付けすることができました。 （クレヨンを持っている読者は、今すぐ地図を描いて試してみるといいでしょう。）

図6と図7

しかし、私たちが繰り返し自覚してきたように、証明は単にいくつかの反例を見つけることだけの問題ではありません。昔は、人々は一般的な推論を求めて必死になっていたが、すべてのケースは反例を見つけるのと同じくらい難しいことが判明した。状況は行き詰まっている。

その後、イリノイ大学のケネス・アペルとヴォルフガング・ハーケンが四色予想が正しいと発表し、数学界全体に衝撃を与えた。人々に衝撃を与えたのは結論ではなく証明手法だった。証明の最も難しい部分をコンピュータが完成させたのだ。

アペルとハーケンがこの問題に取り組んだ方法は、すべての平面地図を特定のタイプに分類し、各タイプを個別に分析することでした。残念ながら、チェックするタイプは数百あり、それぞれが高速コンピュータにとって膨大な作業になります。最終的に、コンピューターは、すべての可能なタイプを 4 色で着色できるという推測が正しいと宣言しました。この定理は証明されました。

これは本当ですか？公平に言えば、当時、数学界全体に不安感が広がっていました。これは正しい議論でしょうか?紛らわしいことに、この質問に答えるには、コンピューターの計算をチェックするために、生身の人間が約 10 万年間、週 60 時間働く必要があります。最も健康で楽観的な人でも、そんなに長く生きることはできませんし、そもそも、誰がそんな時間を取りたいと思うでしょうか?

プログラムにエラーがあったらどうなりますか?電力サージによってコンピューターが重要なステップをスキップした場合はどうなりますか?コンピューターのハードウェア設計にまれに小さな欠陥が見つかった場合はどうなるでしょうか?つまり、機械の脳が真実を伝えてくれると信頼できるのでしょうか?数学者ロン・グラハムは、これらの複雑な問題を考慮する際に次のように述べています。「本当の疑問は、誰も証明を検証できない場合、それは本当に証明なのかということです。」

今日までこの質問に対する明確な答えはありませんが、コンピューターによる証明がより一般的になるにつれて、数学者もコンピューターの存在に少し慣れてくるかもしれません。しかし、コンピューターの力に頼るのではなく、4色定理の証明が2ページに書かれた短くて巧妙でエレガントなものであったなら、ほとんどの数学者はおそらく安堵の​​ため息をつくだろうと言っても過言ではないでしょう。伝統主義者は古代数学が電源に差し込まれないようにしたいと考えている。

「まだ人間が必要なのか？」現時点ではこの質問に対する答えは依然として「はい」です。結局、誰かがエアコンをつけなければなりません。しかし、この見解を支持する人々自身も人間であるため、この見解は偏っている可能性があることを認めなければなりません。

これで数学的議論についての議論は終わりです。明らかに、語るべきことはまだたくさんあり、他の問題も提起されるべきであり、他の基本原則も提示されるべきである。しかし、私たちが最終的に到達した最も重要な結論は、それが優雅であろうと煩雑であろうと、直接的であろうと間接的であろうと、コンピューターに頼ろうが人間の労働に頼ろうが、数学的証明の基準は人間の活動の他のどの分野とも異なるということです。

「Fanpu」の公開アカウントにアクセスし、下の画像または左下の「原文を読む」をクリックしてご購入ください↓↓

特別なヒント

1. 「Fanpu」WeChatパブリックアカウントのメニューの下部にある「特集コラム」に移動して、さまざまなトピックに関する人気の科学記事シリーズを読んでください。

2. 「Fanpu」では月別に記事を検索する機能を提供しています。公式アカウントをフォローし、「1903」などの4桁の年+月を返信すると、2019年3月の記事インデックスなどが表示されます。

著作権に関する声明: 個人がこの記事を転送することは歓迎しますが、いかなる形式のメディアや組織も許可なくこの記事を転載または抜粋することは許可されていません。転載許可については、「Fanpu」WeChatパブリックアカウントの舞台裏までお問い合わせください。